2013年江苏高考数学模拟试卷(五).

O
A
B
1
y
x
第9题图
2013年江苏高考数学模拟试卷（五）
第1卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．复数111z i i
=+++在复平面上对应的点的坐标是 ．
2．已知集合
121,A x -⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
，{}0,1,2B =，若A B
⊆，则x = ．
3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为10，18，20．若用分层抽样的方法抽取16个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ．
4．函数32()43f x x x =-- 在[1,3]-上的最大值为 ．
5．袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”， “9”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是 ．
6．若一个正方形的四个顶点都在双曲线C 上，且其一边经过C 的焦点，则双曲线C 的离心率是 ．
7．已知函数()()()lg 10x x f x a b a b =->>>，且221a b =+，则不等式()0f x >的解集是 ．
8．已知四点()0,0,(,1),(2,3),(6,)O A t B C t ，其中t R ∈．若四边形O A C B 是平行四边形， 且点(),P x y 在其内部及其边界上，则2y x -的最小值是 ． 9．函数π
π2sin 4
2y x ⎛⎫=
- ⎪
⎝⎭的部分图象如右图所示，则()
OA OB AB +⋅= ． 10．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任
意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的 取值范围是 ．
11．对于问题：“已知两个正数,x y 满足2x y +=，求
14x y
+的最小值”，给出如下一种解法：
2x y += ，()1411414(
)(5)2
2
y x x y x y x
y
x
y
∴
+=++
=
+
+，
440,0,2
4y x y x
x y x
y
x y
>>∴
+
≥⋅= ，1419(54)22x y ∴+≥+=，
当且仅当42y x x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即23
4
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，14x y +取最小值92．
参考上述解法，已知,,A B C 是A B C ∆的三个内角，则19A
B C
+
+的最小值为 ．
12．过直线:2l y x =上一点P 作圆()()2
2
4325
x y -+-=
的两条切线12,,,l l A B 为切点，当直
线12,l l 关于直线l 对称时，APB ∠= ． 13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式
2
12
2
2
ma n
S a n n
≥+
对任意等差数列{}n a 及任意正整
数n 都成立，则实数m 的最大值为 ．
14．已知函数()f x 满足()1
2()f x f x =，当[]13x ∈,时，()ln f x x =，若在区间1
,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内，函数
()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）已知函数2
1()(1)sin sin()sin()
tan 4
4
f x x m x x x
ππ=+
++
-
．
（1）当0m =时，求函数()f x 在区间3(,
)8
4
ππ
上的取值范围；
（2）当tan 2α=时，6()5
f α=
，求m 的值．
16. （本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 和侧面11ACC A 均为
正方形，90BAC ∠= ，D 为BC 的中点． （1）求证：11//A B ADC 平面； （2）求证：11C A B C ⊥.
第16题图
17．（本小题满分14分）如图，某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距()
+海
62里的M,N两点，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔AB，设塔底延长线与海平面交
于点O．已知点M在点O的正东方向，点N在点O的南偏西︒
15方向，2
2
ON海
=
里，在M处测得塔底B和塔顶A的仰角分别为︒
60．
30和︒
（1）求信号塔AB的高度；
（2）乙船试图在线段O N上选取一点P，使得在点P处观测信号塔AB的视角最大，
请判断这样的点P是
否存在，若存在，求出最大视角及O P的长；若不存在，说明理由．
A
B
O M
N
第17题图
18．（本小题满分16分）已知函数()()x
x f x x R e
=
∈．
（1）求函数()f x 的单调区间和极值；
（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，求证：当1x > 时，()()f x g x >；
（3）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，证明122x x +>．
19．（本小题满分16分）给定椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>，称圆心在坐标原点O，半径为
22
a b
+的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为
2(2,0)
F，其短轴上的一个端
点到
2
F距离为3．
（1）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）若过点(0,)(0)
P m m<的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，求m的值；
（3）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线
12
,l l，使得12,l l与椭圆C都只有一个公共点，
试判断直线
12
,l l的斜率之积是否为定值，并说明理由．
20．（本小题满分16分）已知数列｛a n ｝是以d 为公差的等差数列，数列｛b n ｝是以q 为公比的等比数列.
（1）若数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，且a 1＝b 1＝d ＝2，S 3＜5b 2＋a 88－180，求整数q 的值；
（2）在（1）的条件下，试问数列｛b n ｝中是否存在一项b k ，使得b ,k 恰好可以表示为该
数列中连续P （P ∈N ，P ≥2）项和？请说明理由；
（3）若b 1＝a r ，b 2＝a s ≠a r ， b 3=a t （其中t ＞s ＞r ，且（s —r ）是（t —r ）的约数）求
证：数列｛b n ｝中每一项都是数列｛a n ｝中的项.
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答
．．．．．．．．．．．．．．
题区域内作答
．．．．．．．
A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求证：P E是⊙O的切线．
B．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵A
10
12
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，若直线y kx
=在矩阵A对应的变换作
用下得到的直线过点(1,5)
P，求实数k的值．
C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，曲线
1
C和2C的参数方程分别
为
1
12
x t
y t
=-
⎧
⎨
=+
⎩
（t为参数）和
sin cos
sin2
x
y
θθ
θ
=+
⎧
⎨
=
⎩
（θ为参数）．分别写出曲线
1
C和2C 的普通
O
A
B
P
E C
方程并求出曲线1C 与2C 的交点坐标．
D ．（选修４－５：不等式选讲）已知正实数a b c ，，成等比数列，求证：
2222
()a b c a b c ++>-+．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．如图，PA ⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是PB 的中点．
（1）求证：AE ⊥平面PBC ； （2）求二面角B －PC －D 的余弦值．
23．（1）已知,*k n N ∈，且k n ≤，求证：1
1k k n n kC nC --=；
（2）设数列0123,,,,a a a a 是公差不为0的等差数列，证明：对任意的正整数n ，函数
P
A
B
C D
E
第22题图
()()()
()
1
2
1
22
012111n
n n n n
n n n n n p x a C x a C x x a C x
x a C x --=-+-+-++ 是关于x 的一
次函数．。