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三角函数型应用题（高一）1．如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道( Rt FHE ，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好. 设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点，E, F分别落在线段BC , AD 上.已知AB20 米，AD10 3 米，记BHE.（ 1）试将污水净化管道的长度L 表示为的函数,并写出定义域；（2）若sin cos 2 ，求此时管道的长度L ；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.EH10 10FHsin解：（ 1）cos ，EF10AF10 sin cos由于BE10 tan10 3 10 3，tan3 tan3[, ] L 1010 10[ ,]3sinsincos ，，6 3cos6 3 .sin cos1 L 20(2 1) ;(2)sincos2 ,2时，L10 10 1010( sincos 1) （3）cossin sincos = sin cossincost 2 1[ , ]设 sincost2则由于6 3 ，tsincos 2 sin() [ 3 12],所以4220[3 12]L1 2,t 在内单调递减，t3 1,3 时 ， L 的最大值20(3 1) 米 .2于是当时6答：当6 或 3 时所铺设的管道最短，为20(31)米.2．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD ，AB=50 米， BC= 25 3米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF 和 OF，考虑到小区整体规划，要求 O 是 AB 的中点，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 上，且∠ EOF =90°，如图所示．（ 1）设∠ BOE= ，试将OEF的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（ 2）经核算，三条路每米铺设费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．DFA O C EB解： (1) ∵在 Rt △BOE 中， OB=25, ∠ B=90°，∠ BOE=，∴ OE=25 . ⋯⋯⋯⋯2分cos在 Rt △ AOF 中， OA=25, ∠ A=90°，∠ AFO=，∴ OF=25 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分sin又∠ EOF=90° ，∴ EF=OE 2OF 2 ( 25)2( 25 )2 =cos 25,cos sinsin∴ l OE OFEF 25 25 25cossincos sin25(sincos1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分即 lsin．cos当点 F 在点 D ， 角最小，求得此= π；6 当点 E 在 C 点 ， 角最大，求得此= π．3π π故此函数的定 域[ , ] . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分6 3(2) 由 意知，要求 路 用最低，只要求 OEF 的周 l 的最小 即可 . 由（ 1）得， l25(sincos1)π πcos sin，[ ,]6 3 sincost21t ， sin cos ，2∴ l25(sin cos1) 25(t 1)50⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分12cos sint 2 1 t 12由，5π π 7π3 1 2 ，∴3 11 2 1 ，124 ，得2 tt12 2从而 2 113 1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15分1t当π，即 BE=25 ， l min25( 21) ,4所以当 BE=AE=25 米 ， 路 用最低，最低 用 10000( 2 1) 元 . ⋯⋯⋯⋯ 16 分3. 如图， ABCD 是块边长为 100 m 的正方形地皮，其中 AST 是一半径为 90 m 的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在弧ST 上，相邻两边 CQ 、CR 落在正方形的边 BC 、CD 上，求矩形停车场 PQCR 面积的最大值和最 小值。

D R CSP QATB解：设PAB (090 ), 延长 RT 交 AB 于 MAM 90 cos , MP 90sin PQMB 100 90 cos .PR MR MP 100 90 sinS 矩形PQRCPQ PR(100 90 cos )(100 90sin )10000 9000(sincos ) 8100 sin cos (090 ),令 tsin cos(1 t2), sin cost 2 12S矩形PQRC10000 9000t8100 t 2 1 4050( t 10 )2950 -101029故当 t时， S 的最小值为 950m 2 , 当 t 2 时 S 的 (140509000 2)m 2954．如 ，在半径3 、 心角60o 的扇形的弧上任取一点 P ，作扇 形的内接矩形PNMQ ，使点 Q 在 OA 上，点 N , M 在 OB 上， 矩形PNMQ 的面 y ,按下列要求写出函数的关系式： （ 1）① PNx ，将 y 表示成 x 的函数关系式；②POB，将 y表 示成的函数关系式； 你 用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大 ．AP QBONM解：（ 1）①因 ON3 x 2， OM3x ，所以 MN3 x 23x ，⋯ 2 分，33所以 yx( 3 x 23x), x(0, 3) .⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分32②因 PN3 sin， ON3 cos ， OM3 3 sinsin，3所以 MN ON OM 3 cossin ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分所以 y3 sin( 3 cossin) ，即 y3sin cos3 sin 2， ((0, )) ⋯ 8 分3（2） y3sin cos3 sin 23 sin(2)3 ，⋯⋯⋯⋯⋯12 分62Q(0,)2(, 5) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分所以 y max3.⋯⋯⋯ 14 分236665． 如下图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地， ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池， ABC 外的地方种草 ,其余地方种花 . 若 BC=a, ABC= ，设 ABC 的面积为S 1 ，正方形 PQRS 的面积为 S 2 ，将比值S 1称为 “规划合理度 ”.S 2（ 1 ）试用 a , 表示 S 1 和 S 2 ；（ 2 ）若 a 为定值，当为何值时 , “规划合理度 ”最小？并求出这个最小值．APSBQ RC（1）在 RtABC 中， ABa cos , AC a sin，S 11AB AC1a 2 sin cos ⋯⋯⋯⋯⋯3 分22 x正方形的xBP , AP x cos，sin由 BPAPAB ，得 x x cos a cos ，sina sincos故 x1 sincos所以 S 2x 2( a sin cos ) 2 ⋯⋯⋯⋯⋯6 分1 sin cos 12（2）S 11 (1 sin cos )2 (1 2 sin 2 )1 1 S 22sincossin 2sin 2sin 2 1 ， ⋯⋯ 8分4令 tsin 2，因 0，22所以， tsin 2(0,1] ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分所以 S 1 11 t 1g(t) ， g (t) 1 1 0 ，S 2 t4 t 2 4所以函数 g (t ) 在 (0,1] 上 减， ⋯⋯⋯⋯⋯ 12分因此当 t1 g(t) 有最小 g (t)ming(1)9，4此 sin 21, 4⋯⋯⋯⋯⋯ 14分所以当 9 ， “ 划合理度 ”最小，最小 44． ⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分6． 如图所示，一条直角走廊宽为 2 米。

现有一转动灵活的平板2m车，其平板面为矩形 ABEF ，它的宽为 1 米。

直线 EF 分别交直线AC 、 BC 于 M 、N ，过墙角 D 作 DP ⊥ AC 于 P ， DQ ⊥BC 于 Q ；N⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠CAB ，试求平板面的长E( 用 表示 ) ；DQ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米 FB2mlMAPC2， DN =21 ， EN = tan ，解：（ 1） DM =，MF =sincostan2 2－1 － tanEF=DM+DN-MF-=EN+tansincos= 2(sincos ) 1 （ 0）sincos2（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（ 0），平板车的长度不能通过，2即平板车的长度l min ；记 sincost, 1t2 ，有 sin cos = t 21 ，2= 2(sin cos ) 1 = 4t 2sin cost 2 1此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记4t 2m ，则 tm24）或直接求导，7．（本小分15 分）一棒欲通如所示的直角走廊，回答下列：（ 1）求棒L 关于的函数关系式：L；（ 2）求能通直角走廊的棒的度的最大．2解：（ 1）如，AB2, BC2L22AC AB BC0 cos sin cos sin（ 2）L 2 cos sin sin cos令 t cos sin 2 sin，因 0，所以 t 1, 2 ，44sin cos2 1 t 21sin cos2222t2221随着的增大而增大，L21，当 t 1,， ttt t1ttA所以 t10,2所以 L4,2 t2所以能通个直角走廊的棒的最大度4⋯⋯⋯15分22C2 B108．如图， A， B， C 是三个汽车站， AC， BE 是直线型公路．已知 AB＝ 120km，∠ BAC ＝75°，∠ ABC＝ 45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（ km）的速度往返于车站A， C 之间，到达车站后停留 10 分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（ km）的速度从车站 B 开往另一个城市 E，途经车站 C，并在车站 C 也停留10 分钟．已知早上 8 点时甲车从车站 A、乙车从车站 B 同时开出．（ 1）计算 A，C 两站距离，及 B，C 两站距离；（ 2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站 C 处利用停留时间交换．（ 3）求 10点时甲、乙两车的距离．（参考数据： 2 1.4 ，3 1.7 ， 6 2.4 ， 11110.5 ）ECAB（1）在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 60°．∵AB BC AC，sin 60sin 75sin 45120sin 451202240 696(km) ，∴ AC3sin 602120sin 75120624602206132(km) ．BC3sin 602（2）甲车从车站 A 开到车站 C 约用时间为961 （小时）＝ 60（分钟），即 9 点到 C 站，96至 9 点零 10 分开出．乙车从车站 B 开到车站 C 约用时间为1321.1（小时）＝ 66（分钟），120即 9 点零 6 分到站， 9 点零 16 分开出．则两名旅客可在9 点零 6 分到 10 分这段时间内交换到对方汽车上．（ 3 ） 10 点时甲车离开 C站的距离为509680(km) ，乙车离开 C 站的距离为6044120 88(km) ，两车的距离等于60802882 2 80 88 cos608 100 121 110＝8 1118 10.5 84(km) ．119． 如图所示， 某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室， 已知已有两面墙的夹角为60°（即C 60 ），现有可供建造第三面围墙的材料6 米（两面墙的长均大于 6 米），为了使得小老虎能健康成长， 要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC，问当 为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？解：在ABC 中，由正弦定理： ACABBC··············3 分sinsinsin()33 化简得： AC4 3 sinBC4 3 sin()13所以 SABCAC BC sin2312 3 sinsin() 12 3 sin( 1sin3cos ) ··············8 分3226 3(sin23 sincos ) 6 3(1cos 2 3sin 2 )[1226 3 sin(2)]262即 S ABC 6 3 sin(2) 3 3 (0 ) ···················12 分63所以当2, 即时，(SABC )max = 93 ··················· 分6 2314答：当60 时，所建造的三角形露天活动室的面积最大。