交流电的向量表示法
正弦交流电的相量表示法
之一，广泛应用于交流电的分析、设计和控制中。
02
正弦交流电的基础知识
正弦交流电的定义
总结词
正弦交流电是指电压和电流随时间按 正弦规律变化的电能。
详细描述
正弦交流电是现代电力系统中最常用 的电能形式，其电压和电流的大小和 方向随时间变化，且变化规律呈正弦 波形。
正弦交流电的特性
总结词
正弦交流电具有周期性、频率、幅值、相位等特性。
THANKS
性等特性。
相量表示法在交流电机、电力系 统、通信和控制等领域有广泛应 用，是现代电力电子和通信技术
中不可或缺的工具。
04
相量表示法与正弦交流电的 关系
相量与正弦交流电的对应关系
相量是复数，其实部表示正弦交流电 的幅度，虚部表示正弦交流电的相位 。
相量长度（模）表示正弦交流电的有 效值或最大值，相量的角度表示正弦 交流电的相位。
02
相量运算能够简化正弦交流电的分析过程，使得复 杂的三角函数运算转化为简单的复数运算。
03
相量运算在交流电路的分析、设计与控制中有广泛 应用。
相量在电路分析中的应用
在交流电路分析中，相量表示法 能够将时域的三角函数形式转换 为复数形式，便于计算和分析。
通过相量图和相量运算，可以分 析交流电路的阻抗、功率和稳定
复数几何意义
复数在平面坐标系中可以用点或 向量表示，实部为x轴坐标，虚部 为y轴坐标。
阻抗和导纳
阻抗定义
阻抗是电路中阻碍电流流动的量，表示为复数 形式Z=R+jX，其中R是电阻，X是电抗。
导纳定义
导纳是类似于阻抗的量，表示为复数形式Y=G+jB， 其中G是电导，B是电纳。
阻抗和导纳的关系
三相电压表示符号
三相电压表示符号三相电压表示符号是电气工程中非常重要的一个概念，它用于表示三相交流电的电压，是实际应用中必不可缺的基础。
下面我们将围绕“三相电压表示符号”展开讲解。
步骤一：什么是三相电压三相电压是三相交流电的电压，是指三相电的电势差（电压）的大小。
在三相电中，三个电压相位差为120度，它们组合起来形成了一个正弦波。
三相电压的重要性在于，在实际电气系统中，我们通常使用三相电源来驱动各种设备和机器，因此必须知道如何正确地表示和理解三相电压。
步骤二：三相电压表示方式在表示三相电压时，我们通常可以采用三种不同的方式。
它们分别是：1. ABC 相序表示法：这种方式将三相电压依次表示为 A 相、B 相和 C 相电压。
通常情况下，A 相电压与 B 相电压之间的相位差为120 度，B 相电压与 C 相电压之间的相位差也为 120 度。
2. RYB 相序表示法：这种方式将三相电压依次表示为 R 相，Y 相和 B 相电压。
在实际应用中， R 相电压通常与 A 相电压相等，而Y 相电压与 B 相电压相等，B 相电压与 C 相电压相等。
3. α β 0 相坐标表示法：这种方式是一种向量表示法，它将三相电压表示为α 轴，β 轴和 0 轴上的向量。
其中α 轴和β 轴之间的夹角为 120 度，0 轴是一个垂直于α β 平面的坐标轴。
根据实际需要选择一种最为适合的表示方法。
步骤三：三相电压符号的绘制为了方便使用和理解，我们通常将三相电压表示符号绘制成图形化的形式。
其中，ABC 相序表示法的符号是三角形，RYB 相序表示法的符号是六边形，而αβ0 相坐标表示法的符号是绕点的箭头，箭头方向为电压向量的方向。
三相电压的符号通常在电路图中使用。
在符号绘制时，不仅需要绘制出符号的形状，还需要标注电压的大小和相位差，以便更好地理解电路。
总之，在电气工程中，三相电压符号的理解和应用非常重要。
我们应该仔细学习各种表示方法，掌握符号的绘制技巧，以便更好地应用于实际电路中。
正弦交流电基本概念 向量分析法
图2-1
u Um 0 （a） ωt
Um
u
0
u Um
φ0 （b）
ωt
0
φ0 （c）
ωt
图（a）中，φ0=0，u=Umsinωt；
图（b）中，φ0>0，u=Umsin(ωt+φ0)；
图（c）中，φ0<0，u=Umsin(ωt－φ0)。 φ0的正、负问题。
－π<φ0<π
2.相位差
两同频率的正弦量之间的相位角之差或初相位之差。
则 u 与 I 的相位差为 ui= (30) ( 60) = 90，即 u 比 I 滞 后 90，或 I 比 u 超前90。 已知某正弦电压在t=0时为 110 2V ，初相角为30°，求其有效值
u Um sin(wt 30。 )
u(0) U m sin 30 U Um
u u1 u2 u3 u4
何谓反相？同 相？超前？滞 后？
不能！因为180V的正弦交流 电，其最大值≈255V >220V!
u1与u2反相，即相位差为180°； ωt
u3超前u190°，或说u1滞后u390°，
u1与u4同相，即相位差为零。
第3章
3.2 正弦量的表示法
1 9
3.2.1 复数
＋j b r A 复平面 上有向 线段
。
u(0) 110 2 Um V 220 2V 。 sin 30 0.5
220 2 V 220V 2 2
i
0
同相 O i2 i1
t
i
反相
O
i2 i1
t
相位差φ的大小与时间t、角频率ω无关，它仅取决于两 个同频正弦量的初相位。
电工向量的计算1(电子)
I I
0
I I m m
0
这里 I
Im 2
为有效值， 0 为正弦量的初相位。
宁波职业技术学院数学教研室
电工向量的计算（vector calculus）
案例2 已知正弦交流电的电流表示 i 3sin(t 300 )(单位A), 写出正弦量向量 并分别用有效值向量和最大值向量表示，并作出 向量图。
a+b=b+a 即 (a + b ) + c = a + (b + c). 根据向量加法的三角形法则， 若向量 b 加向 量 c 等于向量 a ， 则称向量 c 为 a 与 b 之差， 记为 c = a b .
b a c=ab
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电工向量的计算（vector calculus）
数与向量的乘积：设 a 是一个非零向量， 是一 个非零实数， 则 a 与 的乘积仍是一个向量， 记作 a ， ( 1 )
( 2 )
| a | = | | | a |;
与 a 反向，当 < 0， 如果 = 0 或 a = 0，规定 a = 0.
数乘向量满足结合律与分配律，即 (a ) = ( ) a ， ( a + b ) = a + b ， ( + ) a = a + b ， 其中 ， 是数量.
4 tan AOB , 即AOB 53 0 3
O B I
2m
i C
I 1m
A
t
AOB 30 23
0
0
因此，合成电流为 i 10 2 sin(t 230 )单位为A
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第二章正弦交流电的表示方法讲述案例
电工电子技术
参数 见书32页
2、电容
（1）电容是表征电容器容纳电荷本领的物 理量，用字母C表示，单位是F（法拉）。
1F=106μF=1012pF （2）电容的大小与极板间的介电常数ε，电 容极板的正对面积S，电容极板的距离d有关。
即： C S （k为静电力常量） 4 kd
电工电子技术
（3）电容器极板上储存的电量q与外加电压 u和电容C成正比。
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量图
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
U
RRR
I
电工电子技术
（2）电阻元件上的功率关系
1)瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i Im sin ( t) 则 p u i Um sin t • Im sin t
成正比，与感抗成反比 I U U U
X L L 2 fL
电工电子技术
2 电路的功率
p
i
p ui
ωt
u
说明：（1） p>0，电感线圈吸取电能，并以磁能的方式 储存起来 （2） p<0，电感线圈把储存的磁能转换为电能， 还给电路
电工电子技术
2）平均功率 P
P 0 电感元件不耗能！
3）无功功率 Q
+ 负极，使电容器带电的过程称为
US －
充电。
结果：把从电源获得的电能储存 在电容器中，两极板之间有电压
电工电子技术
b 放电
+q E -q
电工技术：正弦交流电的相量表示法
同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如
i
-Im
O
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin ( t 1 )
实际应用更多的是有效值形式的相量表示！
一、正弦量的相量表示法
2.注意事项 （1）表示正弦量的复数称相量
（2）相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
u U m sin ( ω t ψ) ＝
（3）一个正弦量与一个复数是一一对应的关系。 （4）只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
ψ
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
同频率的两个正弦量相位差为一些 特殊角时，用相量图中的几何关系 很方便求相量和、相量差。 例:题3： 已知 解：
正弦交流电的相量表示法(2)
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
对称三相交流电压的时域表达式和相量表达式
对称三相交流电压的时域表达式和相量表达式在电力系统中，三相交流电压是一种常见的电力信号。
了解对称三相交流电压的时域表达式和相量表达式对于电力系统的分析和运行非常重要。
本文将深入探讨这一主题，从简到繁，由浅入深地介绍对称三相交流电压的时域表达式和相量表达式，以便读者能更深入地理解。
1. 对称三相交流电压的时域表达式对称三相交流电压由三个正弦波电压相位相差120度组成。
对称三相交流电压的时域表达式可表示为：\[V_a = V_m \cdot \sin(\omega t)\]\[V_b = V_m \cdot \sin(\omega t - \frac{2}{3} \pi)\]\[V_c = V_m \cdot \sin(\omega t + \frac{2}{3} \pi)\]其中，\(V_a\)、\(V_b\)、\(V_c\) 分别代表A相、B相、C相的电压；\(V_m\) 代表电压的峰值；\(\omega\) 代表角频率；\(t\) 代表时间。
时域表达式告诉我们，对称三相交流电压是随着时间周期性变化的正弦波电压。
A相、B相、C相的电压之间相位差120度，呈现对称关系。
2. 对称三相交流电压的相量表达式对称三相交流电压的相量表达式是一种通过向量表示三个电压之间相互关系的方法。
相量表达式可以更直观地展示电压之间的幅值和相位关系。
假设三相电压的相量分别为\(V_a\)、\(V_b\)、\(V_c\)，则其相量表达式为：\[V_a = V_{an} \angle 0^\circ\]\[V_b = V_{bn} \angle (-120^\circ)\[V_c = V_{cn} \angle 120^\circ\]其中，\(V_{an}\)、\(V_{bn}\)、\(V_{cn}\) 分别代表A相、B相、C相的电压幅值；角度表示电压之间的相位差。
相量表达式可以将三相电压用向量形式表示，从而清晰地展示电压之间的相位关系。
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2j
U a jb
U(cos j sin) 代数式
U e j
指数式
U
极坐标形式
HOME
10
设a、b为正实数
U a jb U e j U a jb U e j
在第一象限 在第二象限
在一、二象限，一般取值：180° 0 °
U a jb U e j U a jb U e j
在第三象限 在第四象限
在三、四象限，一般取值：0° -180 °
HOME
11
U2 j
U1
2=120°
1=60° +1
3= -120°
U3
HOME
12
例 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
U 3 j4
U 3 j4 U 3 j4
U 3 j4
u 5 2 sin( t 53 1)
2
相量的书写方式
最大值
Um 或 U
有效值
1. 描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。若其
幅度用最大值表示 ，则用符号：Um I m
2. 在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
UI
3.
相量符号U、I
包含幅度与相位信息。
HOME
3
正弦量的相量表示法举例
例1：将 u1、u2 用相量表示
i1 100 2 sin(6280t 60) A
i2 10 2 sin(6280t 30) A
HOME
18
小结：正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im
t
T
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jbUej U
HOME
19
U
HOME
14
2. 复数乘、除法运算
设： A 1 A 1e j 1
A
2
A
e j 2
2
乘法： A A 1 A 2
A1 A2
e j (1 2 )
除法： A 1 A 1 e j 1 2
A2 A2
HOME
15
说明：
设：任一相量 A
则：A e ±j 90 o ( ± j ) A e j90 cos90 j sin 90 j
U 同频率正弦波的
U2
相量画在一起，
构成相量图。
2
1
U1
U U1 U2
HOME
5
注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。
新问题提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入相量的复数运算法。
相量
复数表示法
复数运算
3.2 交流电的相量表示法
3.2.1 复数的几种表示形式 3.2.2 相量与复数 3.2.3 相量的运算
1
3.2 交流电的相量表示法
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转矢量
在纵轴上的投影值来表示。
u Um sin t
ω
Um
t
矢量长度 = U m
矢量与横轴夹角 = 初相位
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋H转OME
U 311.1 60 o 220 60 o110 j 190.5 V
2
HOME
17
例2：已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为： I1 100 60 o A I 2 10 e j30 o A
求： i1、i2
解：
2
f
2 1000 6280
rad s
a1 a sin
a2 a cos
a2 a
θ
A
a a12 a22
arctg a2
a1
O
a1 +1
根据以上关系式及欧拉公式 e j cos j sin
可将复数A表示成代数型、三角函数型、指 数型和极坐标型4种形式。
A a1 ja2 a cos ja sin ae j a
代数型 三角函数型
u 5 2 sin( t 53 1)
u 5 2 sin( t 126 9)
u 5 2 sin( t 126 9)
HOME
13
3.2.3相量的运算
1. 复数加 、减运算
设： U 1 a1 jb1 U 2 a 2 jb 2
则：
U U1±U2 (a1±a2 ) j(b1±b2 )
Ue j
指数型 极坐标型
HOME
8
3.2.2相量与复数
将相量 U 放到复平面上，可如下表示：
j
a、b分别为U在实轴
U
和虚轴上的投影
bU
a
U a2 b2
+1
tg 1 b
a
U a jb U cos jU sin
HOME
9
j
bU
a
U
欧 拉
cos e j e j
2
公
+1 式
sin e j e j
HOME
6
3.2.1 复数的几种表示形式
相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
复数A可用复平面上的有向线段来 +j
表示。该有向线段的长度a称为复 a2 数A的模，模总是取正值。该有向
线段与实轴正方向的夹角θ称为复 数A的辐角。
O
A a
θ
a1 +1
HOME
7
复数A的实部a1及虚部a2与 +j
模a及辐角θ的关系为：
± j称为90°旋转因子
乘以+j使相量逆时针转90°
乘以-j使相量顺时针转90°
HOME
16
复数符号法应用举例
例1: 已知瞬时值，求相量。
已知: 解：
i 141.4sin314t A
6
u 311.1sin314t V
3
求：
i 、u 的相量
I 141.4 30o 10030o 86.6 j50 A 2
u1 2U1 sin t 1 u2 2U2 sin t 2
设： 幅度：相量大小 U2 U1
相位： 2 1
U2 领先于 U1
U2
2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U1
相位哪一个领先？ 哪一个落后？
HOME
4
例2：同频率正弦波相加 -- 平行四边形法则
u1 2U1sint 1
u2 2U2 sint 2 u= u1 +u2 = 2U sint