中考数学规律型问题专题
含答案 中考数学复习专题六 规律探索题
专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二 图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个 【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年 【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二 图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875， 即点B 21的纵坐标为3875.。
2023中考数学复习： 规律性问题
例题 3
5
6
专题二 规律性问题—点坐标变换规律
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当堂检测
5.如图,在△OAB中,顶点O(0,0),A(-3,4),B(3,4),将△OAB与正方
形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第70次
旋转结束时,点D的坐标为( D )
A.(10,3)
B.(-3,10)
C.(10,-3)
二次函数性质找到最大值.
证明： 由题意,可得m+n=60,将n=60-m代入mn,得mn=m2+60m=(m-30)2+900,
∵-1<0,
∴当m=30时,mn有最大值,最大值为900.
例题 1
1
2
专题二 规律性问题—竖式规律
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当堂检测
1.（ 2022·河北一模）观察下列等式①1=12,②1+3=22,③1+3+5=32,……, 则第6个等式为 1+3+5+7+9+11=62 ;探究其中的规律,通过猜想 写出第n个等式为 1+3+5+7+9+…+(2n-1)=n2 .
例题 2
3
4
专题二 规律性问题—图形规律
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解题技巧
第一步:标序号,按图号标序. 第二步:找规律,将每个图中所求量的个数表示成与序号n有关的式子,使 其呈现一定的规律,从而得到第n个图中所求量的个数. 第三步:验证,代入序号验证所列的关系式是否正确. 第四步:求结果,将所求项的序号代入关系式求得结果.
例题 1
1
2
专题二 规律性问题—竖式规律 例题1
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中考数学专题训练：规律探索——数式规律(附参考答案)
中考数学专题训练：规律探索——数式规律（附参考答案）1．按一定规律排列的单项式：a，√2a2，√3a3，√4a4，√5a5，…，第n个单项式是( ) A．√n B．√n−1a n-1C．√n a n D．√n a n-12．在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12……则第2 023次输出的结果为( )A．6 B．3C．622 021D．322 0223．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是( )A．2 025 B．2 023C．2 021 D．2 0194．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为( )A．100 B．121C．144 D．1695．按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( ) A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．(n＋1)2a n6．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a－b－c的值是( )A．62 B．64C．－66 D．－1907．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是______________．8．根据图中数字的规律，则x＋y的值是_______．.例9．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)＝3a＋1；若a为偶数，则f(a)＝a2＝5.若a1＝8，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)，a4＝f(a3)，…，如f(15)＝3×15＋1＝46，f(10)＝102依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，…，(n为正整数)，a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝__________．参考答案1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．(10，18) 8．593 9．4 725。
中考数学规律复习题（整理全-含答案）
中考数学规律复习题（整理全-含答案）规律探索1⼀．选择题1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．72.把所有正奇数从⼩到⼤排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现⽤等式A M=（i，j）表⽰正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2013=（）A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）3.下表中的数字是按⼀定规律填写的，表中a的值应是．4.下列图形都是由同样⼤⼩的矩形按⼀定的规律组成，其中第（1）个图形的⾯积为2cm2，第（2）个图形的⾯积为8 cm2，第（3）个图形的⾯积为18 cm2，……，第（10）个图形的⾯积为（）A．196 cm2B．200 cm2C．216 cm2D．256 cm25．如图，动点P从（0，3）出发，沿所⽰的⽅向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射⾓等于⼊射⾓，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为（）A、（1，4）B、（5，0）C、（6，4）D、（8，3）6．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是7．我们知道，⼀元⼆次⽅程12-=x 没有实数根，即不存在⼀个实数的平⽅等于-1，若我们规定⼀个新数“”，使其满⾜12-=i (即⽅程12-=x 有⼀个根为)，并且进⼀步规定: ⼀切实数可以与新数进⾏四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成⽴，于是有,1i i =12-=i ，,).1(23i i i i i -=-=?=.1)1()(2224=-==i i 从⽽对任意正整数n ，我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i那么，20132012432i i i i i i +++++的值为( ) A ．0 B ．1 C ．-1 D ． i 8．下列图形都是由同样⼤⼩的棋⼦按⼀定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋⼦，第②个图形⼀共有6颗棋⼦，第③个图形⼀共有16颗棋⼦，…，则第⑥个图形中棋⼦的颗数为（）A ．51B ．70C ．76D ．81 ⼆．填空题1．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有的个数为（⽤含n 的代数式表⽰）．2．如图，在直⾓坐标系中，已知点A （﹣3，0）、B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则3．如图，正⽅形ABCD 的边长为1，顺次连接正⽅形ABCD 四边的中点得到第⼀个正⽅形A 1B 1C 1D 1，由顺次连接正⽅形A 1B 1C 1D 1四边的中点得到第⼆个正⽅形A 2B 2C 2D 2…，以此类推，则第六个正⽅形A 6B 6C 6D 6周长是．图①图②图③···（第8题图）5．如图，古希腊⼈常⽤⼩⽯⼦在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是．6 ．如图，是⽤⽕柴棒拼成的图形，则第n个图形需根⽕柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是．8．如图12，⼀段抛物线：y＝－x(x －3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……如此进⾏下去，直⾄得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________．9.直线上有2013个点，我们进⾏如下操作：在每相邻两点间插⼊1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点.25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…………请猜测，第n个算式(n为正整数)应表⽰为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7⾏、第7列的数x是__ __．12、如下图，每⼀幅图中均含有若⼲个正⽅形，第①幅图中含有1个正⽅形；第②幅图中含有5个正⽅形；……按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有个正⽅形；13．将⼀些半径相同的⼩圆按如图所⽰的规律摆放：第1个图形有6个⼩圆，第2个图形有10个⼩圆，第3个图形有16个⼩圆，第4个图形有24个⼩圆， ……，依次规律，第6个图形有个⼩圆．14.已知⼀组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n 个数是． 15、我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bx (a ≠0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a ＝__________；当顶点坐标为（m ，m ），m ≠0时，a 与m 之间的关系式是__________；（2）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kx (k ≠0)上，请⽤含k 的代数式表⽰b ；（3）现有⼀组过原点的抛物线，顶点A 1，A 2，…，A n 在直线y ＝x 上，横坐标依次为1，2，…，n （为正整数，且n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂⾜记为B 1，B 2，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正⽅形A n B n C n D n ，若这组抛物线中有⼀条经过D n ，求所有满⾜条件的正⽅形边长．①②③16．如图，所有正三⾓形的⼀边平⾏于x 轴，⼀顶点在y 轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次⽤1A 、2A 、3A 、4A 、…表⽰，其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距⼀个单位，则顶点3A 的坐标是，22A 的坐标是．第16题图17．如图，已知直线l ：y=33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去，则点A 2013的坐标为．18、如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼀动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的⽅向不断地移动，每移动⼀个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A4（2，0），… 那么点A 4n ＋1（n 为⾃然数）的坐标为（⽤n 表⽰）19．当⽩⾊⼩正⽅形个数n等于1，2，3…时，由⽩⾊⼩正⽅形和和⿊⾊⼩正⽅形组成的图形分别如图所⽰．则第n个图形中⽩⾊⼩正⽅形和⿊⾊⼩正⽅形的个数总和等于__________．（⽤n表⽰，n是正整数）20. （2013?衢州4分）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是．21.⼀组按规律排列的式⼦：ａ２，43a，65a,87a,….则第n个式⼦是________22.观察下⾯的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式⼦是．23.如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x 轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为．24.为庆祝“六?⼀”⼉童节，某幼⼉园举⾏⽤⽕柴棒摆“⾦鱼”⽐赛．如图所⽰：按照上⾯的规律，摆第（n）图，需⽤⽕柴棒的根数为．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、（n+1）2 2、（8052,0） 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、2 9、16097 10、[10(n-1)+5]2=100n(n-1)+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、（1）－1；a ＝－1m（或am ＋1＝0）（2）解：∵a ≠0 ∴y ＝ax 2＋bx＝a (x ＋2b a∴顶点坐标为（－2ba，－24b a ）∵顶点在直线y ＝kx 上∴k (－2ba)＝－24b a∵b ≠0 ∴b ＝2k（3）解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上∴可设A n 的坐标为（n ，n ），点D n 所在的抛物线顶点坐标为（t ，t ）由（1）（2）可得，点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正⽅形∴点D n 的坐标为（2n ，n ）∴－1t(2n )2＋2×2n ＝n ∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数，且t ≤12，n ≤12 ∴n ＝3，6或9∴满⾜条件的正⽅形边长为 3，6或916、（01），（－8，－8）. 17、()()201340260,40,2或（注：以上两答案任选⼀个都对）18、（2n ，1） 19、n 2+4n 20、20；21、221na n -（n 为正整数）22、-128a 8 23、（884736,0） 24、6n+2规律探索21、我们平常⽤的数是⼗进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表⽰⼗进制的数要⽤10个数码（⼜叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。
中考数学规律型问题专题
中考数学规律型问题专题【例题1】（2019•省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【例题2】（2019•省市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【例题3】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【例题4】（2019）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【例题5】（2019•庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【例题6】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3一、选择题1.（2019）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．82.（2018）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n 盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为（）A．S=3n B．S=3（n﹣1）C．S=3n﹣1 D．S=3n+13.（2019）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋14．（2019）如图，小聪用一面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．5．（2019）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A ．（，﹣） B ．（1，0） C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1） 6.（2019·广西贺州）计算++++…+的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．7．(2019•)按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，……第n 个单项式是( ) A ．121)1(---n n x B ．12)1(--n n x C ．121)1(+--n n x D ．12)1(+-n n x二、填空题8.（2018）观察下列各式：，，，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律是 ．9.（2019）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分 数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．10.（2019·）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．11.（2019•省）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是，这2019个数的和是．12.（2019•省市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是．（n为正整数）13．（2019）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）14．（2019省）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是．15. （2019•省市）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x 轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．16.（2019•）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．17．（2019•潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）三、解答题18．（2019）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？19. （2019•）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．答案【例题1】（2019•省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【答案】D．【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝【例题2】（2019•省市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【例题3】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017【例题4】（2019）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题5】（2019•庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【答案】13a+21b．【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b【例题6】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n ＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，再由面积公式即可求解；解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n＝。
整式(规律问题)备战2023年中考数学考点微专题
考向1.2 整 式（规律问题）例 1、（2020·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，第n 个单项式是（ ） A ．()12n a -- B ．()2n a -C ．12n a -D ．2n a【答案】A【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．解： a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------•••∴ 第n 项为：()12.n a --故选A ．【点拨】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．例 2、（2021·湖北荆门·中考真题）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第________列．【答案】64 5【分析】找到第n 行第n 列的数字，找到规律，代入2021即可求解 解：通过观察发现： 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +，则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--，即1(1)2n n -+1设2021是第n 行第m 列的数字，则：1(1)2021()2m m n n n +=<-即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积， 2263=396964=4096,,m n ，为正整数，64n ∴=当64n =时，=5m 故答案为：64，5【点拨】本题考查了规律探索，通过观察发现特殊位置的数字之间的关系，找到规律，通过计算确定行数，再根据方程求得列数，能正确发现规律是解题的关键．例 3、（2021·湖南常德·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n +2n ×(n -1)，得出结论即可． 解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯ 第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯ …由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,nS n n n n =+=+故答案为：2n 2+2n ．【点拨】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．具体方法和步骤：(1)通过对几个特例的分析,寻找规律并且归纳;(2)猜想符合规律的一般性结论;(3)验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题具体解题方法：首先要按照题目中的排列顺序给已知量编上序号;然后找出已知量中变化和不变的部分,分析序号和变化部分之间的数量关系,猜想和归纳出第n个量的含有n的表达式,得出般规律;最后将序号代回表达式算出结果,比较所得结果与对应数值是否一致,验证猜想的正确性,得出最终结果。
中考数学规律型问题专题
中考数学规律型问题专题【例题1】（2019•四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【例题2】（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【例题3】（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【例题5】（2019•甘肃庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【例题6】（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n 在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3一、选择题1.（2019湖南常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．82.（2018成都）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为（）A．S=3n B．S=3（n﹣1）C．S=3n﹣1 D．S=3n+13.（2019云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋14．（2019河南）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．5．（2019湖北宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A ．（，﹣） B ．（1，0） C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1） 6.（2019·广西贺州）计算++++…+的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．7．(2019•云南)按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，……第n 个单项式是( ) A ．121)1(---n n x B ．12)1(--n n x C ．121)1(+--n n x D ．12)1(+-n n x二、填空题8.（2018云南）观察下列各式：，，，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律是 ．9.（2019湖南怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分 数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．10.（2019·贵州安顺）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．11.（2019•海南省）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是，这2019个数的和是．12.（2019•贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是．（n为正整数）13．（2019苏州）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）14．（2019黑龙江省绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是．15. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．16.（2019•山东泰安）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．17．（2019•山东潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）三、解答题18．（2019湖南张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？19. （2019•四川自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．答案【例题1】（2019•四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【答案】D．【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝【例题2】（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【例题3】（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题5】（2019•甘肃庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【答案】13a+21b．【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b【例题6】（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n 在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，再由面积公式即可求解；解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n＝。
中考数学：探索规律型问题(图形类)含答案
中考数学：探索规律型问题（图形类）一、选择题1. 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为【】A．50B．64C．68D．72【答案】D。
【分析】寻找规律：每一个图形左右是对称的，第①个图形一共有2＝2×1个五角星，第②个图形一共有8＝2×（1+3）＝2×22个五角星，第③个图形一共有18＝2×（1+3+5）＝2×32个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72。
故选D。
2. 小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是【】A．2010B．2012C．2014D．2016【答案】D。
【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解：∵2010÷12＝167…6，2012÷12＝167…8，2014÷12＝167…10，2016÷12＝168，∴2016既是三角形数又是正方形数。
故选D。
3.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。
取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。
取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。
取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图）…，按此方式依次操作。
则第6个正六边形的边长是【】A.511a32⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭B.511a23⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭C.611a32⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭D.611a23⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【答案】A。
中考数学找规律练习题(20道-后附答案)
中考数学找规律练习题（20道，后附答案）一：数式问题1.已知22223322333388+=⨯+=⨯，，244441515+=⨯，……，若288a ab b+=⨯（a 、b 为正整数）则a b +=．2.有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，其中a 1＝5×2＋1，a 2＝5×3＋2，a 3＝5×4＋3，a 4＝5×5＋4，a 5＝5×6＋5，…，当a n ＝2009时，n 的值等于（）A．2010B．2009C．401D．3343.有一组单项式：a 2，－a 32，a 43，－a 54，…．观察它们构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为．4.有一列数1234251017--，，，…，那么第7个数是．5.观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，……（1）猜想并写出第n 个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．6.将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第行第列．第1列第2列第3列第4列第1行123第2行654第3行789第4行121110……7.将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n=；②第i行第j列的数为（用i，j表示）．第1列第2列第3列…第n列第1行123…n第2行1+n2+n3+n…n2第3行12+n22+n32+n…n3………………二：定义运算问题8、有一列数1a，2a，3a， ，n a，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a=，则2007a为（）Ａ．2007Ｂ．2Ｃ．12Ｄ．1-三：剪纸问题9．如图（9），把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是（）10题图四：数形结合问题10、已知,A、B、C、D、E 是反比例函数16y x=（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）11、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为．12、如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为．四:图形问题13.如图所示，已知：点(00)A ，，3B ，，(01)C ，在ABC △内依次作yxO P 1P 2P 3P4P 5A 1A 2A 3A 4A 5（第12题图）2y x=第14题图C 2D 2C 1D 1CD AB等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于（）14.如图，边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使︒=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使︒=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为．15.如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记112233BD E BD E BD E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）.16.用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角O yx(A )A 1C112B A 2A 3B 3B 2B 1第13题图BCAE 1E 2E 3D 4D 1D 2D 3（第15题）（第16题）形，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）.17.如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子枚．18.观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是全等的），请写出第n 个图中最小．．的三角形的个数有个．19.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有个★．五：对称问题20.在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为1(11)A ，、2(02)A ，、3(11)A ，.一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点第1个图第2个图第3个图第4个图（第18题图）第17题图图案1图案2图案3……跳到以A为对称中心的对称点1P，第2次电子蛙由1P点跳到以2A为对1称中心的对称点P，第3次电子蛙由2P点跳到以3A为对称中心的对称2点P，…，按此规律，电子蛙分别以1A、2A、3A为对称中心继续跳下3去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是P（_______，2009_______）.参考答案1、8+63=712、D3、－a11104、－7505、（1）n×=n-；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个数式-第二个因数，即n×=n-；（2）把左边进行整式乘法，右边进行通分．试题解析：（1）猜想：n×=n-；（2）证：右边==左边，即n×=n-考点：规律型：数字的变化类．6、670，第三列7、1010（i-1）+j8、D 9、C 10、13π-2611、1012、1/513、14、15、16、2n+217、30218、19、4920、（2，2）。
数学中考各种规律题+详细讲解
3 9 3 5 -5 - 5 - 24 20092010 9 B . 5 -4C .2008 4018一、选择题1. （2010安徽，9, 4分）下面两个多位数 1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2,若积为一位数，将其写在第 2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第 2位.对第2位数字再进行如上操作得到第 3位数字 ，后面的 每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100位的所有数字之和是 ......................... （）A . 495B . 497C . 501D . 503【分析】按上述规律，以 3开头的多位数是：362486248••…，前100位数字中第一个 数字是3，依次为62486248…，共24个6248，最后三位数字是 624,所以前100位数字之 和是 3+ 24 >20 + 12=495【答案】A【涉及知识点】规律探究、自主学习 【点评】规律探究题是近几年中考的热点，本题还带有自主学习的成分，培养学生的自主学习能力应成为今后教学的重点，属于中档题.【推荐指数】★★★【典型错误】选其他答案比较多，如选D精品分类拒绝共享2. 精（2010重庆，8, 4分）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩 形绕其对称中心 O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转 45°第1次旋转后得到图①, 第2次旋转后得到图②， ……，则第10次旋转后得到的图形与图①〜④中相同的是（）【分析】规律的归纳：通过观察图形可以看到每转动 4次后便可重合，即 4次以循环, 10韶=2…2,所以应和图②相同.【答案】B【涉及知识点】规律的归纳【点评】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清题归纳出规律，然后 套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度.【推荐指数】★★★★品分类拒绝共享3.精（2010山东威 海市，12, 3分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1 , 0）,点D 的坐标为（0, 2）.延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形A 1B 1C 1C ;延长C 1B 1交x 轴于点A 2,作正方形 A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去， 第2010 个正方形的面积为 （）A . 图①tr图④B4个图案1次循环，由于2010- 4=502D•…2 ,因此可判断A【分析】观察图案容易发现每第2010个图案为B.【答案】B【涉及知识点】规律探索•【点评】此题考查探索规律的能力及有理数的简单运算•解题关键是发现图案中的变化规律•【推荐指数】★★A2009B2009 = 5【答案】D【涉及知识点】【点评】本题是正方形面积的规律探究题，应用了勾股定理及相似三角形知识求出几种特殊正方形的边长，长规律，最后得出正方形的面积规律使问题得以解决.【推荐指数】★★★★品分类拒绝共享4. 精（2010山东烟台，8, 4分）如图3，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察, 按此规律第2010个图案是（）【分析】由题意知, OA = 1 , OD = 2,DA = 5 ,A AB = AD = . 5 ,利用互余关系证得△ DOA s\ ABA1,…DOABOA,••• BA1= 1AB = 15，二A1B1 = A1C = 3AB =工2 2 2 2BA13同理.A2B2 =2A iB i =235，一般地An B n =n 1I 5，第2010个正方形的面积为4018勾股定理相似三角形正方形实质就是正方形边长的规律探究. 本题可先然后归纳出一般正方形的边C则顶点A 55的坐标为（)品分类拒绝共享5. （ 2010年江苏盐城，8, 3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据 此规律，m 的值是2X 4-0=8 ; 4X5-2=22 ; 60-4=44; 8X 10-6=74.【答案】D【涉及知识点】有理数运算找规律【点评】本题属于探究类试题，解答此类试题时，要充分分析试题的特点，各个量之间的 关系，然后得到一般的结论.【推荐指数】★★★★ 精品分类拒绝共享6. （ 2010江苏淮安，8, 3分）观察下列各式：1 1 21 2 3 0 1 23123 -2341233 13 4 3 4 5 2 3 43计算：3X （1 X 2+2X 3+3X 4+…+99X 100）=A . 97 X 98 >99B . 98 X 99 X 00C . 99 X 00 X 01D . 100 X 01 X 02【分析】从材料可以得出 1X2, 2X 3, 3X 4,……可以用式子表示，即原式 =.111 3 - 123 0 1 2- 2 3 4 1 2 3 - 99 100 101 98 99 10033 3= 1 23012234123 99 100 101 98 99 100=99 X100 X 01，所以选择 C.【答案】C【涉及知识点】材料阅读题【点评】对于材料阅读的问题是中考问题中的常见问题，也属于难度较大的问题，这种 问题的规律性比较强，所以找出材料中的规律是解决此类问题的关键.【推荐指数】★★★★ 精品分类拒绝共享7. （ 2010武汉市中考，9,3）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行，从内到外，它们的边长依次为2, 4, 6, 8,…，顶点依次用A 1, A 2, A J , A 4…表示为，【分析】根据图形所填数字可以看出:A、(13, 13)B、(- 13,—13)C、(14, 14)D、(- 14,—14)【分析】用图中可得，A,A2,A3,A的坐标分别是(1 , 1 ), (- 1 , 1), (- 1 , - 1 ),门，一1)；A5 , A6 , A7, A的坐标分别为：(2 , 2), (-2 , 2), (- 2 , - 2), (2, - 2);A , A10 , A11 , A12 的坐标分别是：(3 , 3) (—3 , 3) , (—3, —3), (3, —3);通过这些数可得出规律：每4个数一循环，余数是几就与第几个数的坐标符号是一样的，55十4=13……3所以符号应该与第3个一样，即横、纵坐标都为负数，坐标是13是最后一个数应该为52 ,坐标是14的最后一个数应该为56 ,所以A55的横、纵坐标都应该是14。
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中考数学规律型问题专题【例题1】（2019•省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【例题2】（2019•省市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【例题3】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【例题4】（2019）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【例题5】（2019•庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【例题6】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3一、选择题1.（2019）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．82.（2018）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n 盆花，每个图案花盆总数是S，按此推断S与n的关系式为（）A．S=3n B．S=3（n﹣1）C．S=3n﹣1 D．S=3n+13.（2019）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋14．（2019）如图，小聪用一面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．5．（2019）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A ．（，﹣） B ．（1，0） C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1） 6.（2019·广西贺州）计算++++…+的结果是（ ） A ．B ．C ．D ．7．(2019•)按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，……第n 个单项式是( ) A ．121)1(---n n x B ．12)1(--n n x C ．121)1(+--n n x D ．12)1(+-n n x二、填空题8.（2018）观察下列各式：，，，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律是 ．9.（2019）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分 数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ．10.（2019·）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．11.（2019•省）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是，这2019个数的和是．12.（2019•省市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是．（n为正整数）13．（2019）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）14．（2019省）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是．15. （2019•省市）如图，直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x 轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线l于点A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积为S2，阴影△A3B2B3的面积为S3…，则S n＝．16.（2019•）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．17．（2019•潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）三、解答题18．（2019）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？19. （2019•）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S＝1+2+22+…+22017+22018①则2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．答案【例题1】（2019•省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）A．5 B．﹣C．D．【答案】D．【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解．∵a1＝5，a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝5，…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a2019＝a3＝【例题2】（2019•省市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【例题3】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点A2019的坐标为．【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A1，A2，A3，A4，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1，），A3的坐标为（﹣2，2），A4的坐标为（﹣8，0），A5的坐标为（﹣8，﹣8），A6的坐标为（16，﹣16），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017【例题4】（2019）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2＝（﹣）2，③7﹣2＝（﹣）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题5】（2019•庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【答案】13a+21b．【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b【例题6】（2019•省市）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，再由面积公式即可求解；解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n＝。