2020-2021山东省实验中学第三次诊断考试数学试题

山东省实验中学2021届高三第三次诊断性考试数学试题 2020．12注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数23i ()1i-=+ A ． 34i -- B ． 34i -+ C ． 34i - D ． 34i + 2.若集合{}1213A x x =-+≤≤，20,x B xx -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤则A B = A ．{}10x x -<≤ B ．{}01x x <≤ C ．{}02x x ≤≤ D ．{}01x x ≤≤ 3. 命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 4.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0,1]上是减函数，则有 A ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则=λμ+A ．1B ．12C.13D ．236．已知数列{}n a ，2sin2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为 A ．5000 B ．5000-C ．5050D ．5050-7. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．312+ D ．512+ 8．已知函数2()ln f x x x =-和22()g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实 数m 的取值范围是A ．(],1ln 2-∞- B ．[)0,1ln 2-C ．]2ln 1,2ln -1+（D ．[)1ln 2,++∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述正确的是A ．这12天中有6天空气质量为“优良”B ．这12天中空气质量最好的是4月9日C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90D ．从4日到9日，空气质量越来越好10．设函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确的是A ．()f x 的图象过点()0,1；B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； D ．将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象.11．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是A ．棱锥的高与底边长的比为2B ．侧棱与底面所成的角为4πCD ．侧棱与底面所成的角为3π 12.设12n P P P ⋯，，，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点n P P P ，，，⋯⋯21的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋯，，，的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点. 则下列结论正确的是A ．若三个点,,ABC 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； B ．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； C ．若四个点,,,A B CD 共线，则它们的中位点存在且唯一； D ．梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线0x y a -+=与圆222O x y +=：相交于A B 、两点(O 为坐标原点),且AOB ∆为等腰直角三角形,则实数a 的值为__________；14. 已知O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =,则POF ∆的面积为．15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答） 16.3()31f x ax x =-+，对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．四、解答题：本题包括6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件：①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；②点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；③1121222n n n n a a a na -++++=在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T18．（12分）如图， ,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，D 为BC 边上的点, 23=BD DC 1,cos 37ABC ADC π∠=∠=， 8=c . （1）求a 的值；（2）求ADC ∆的外接圆的半径R .19．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为43的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23EF =． （1）求证：OE ⊥平面ABCD ；（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值．20．（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg(不足1kg 时按1kg 计算)需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：包裹重量 (单位：kg) (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] 包裹件数43301584公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：揽件数 [0,100) [100,200) [200,300) [300,400) [400,500] 天数6630126DCBA以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率．（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[100,400)的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他 费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）21．（12分）设函数()ln mf x x x=+， R m ∈． （1）当1m =时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()()3xg x f x -'=有两个零点，求实数m 取值范围； （3）若对任意的0b a >>， ()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，且满足1122F F AF =，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围；（3）已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)， AH ⊥MN ，垂足为H 且2AH MH HN =⋅，求证：直线l 恒过定点．山东省实验中学2021届高三第三次诊断性考试数学参考答案及评分标准选择题填空题13. ; 14. ; 15.36； 16. 4 四、解答题 17.解：（1）若选①，则22,2,2q q q +++成等比 ----------------2分2q = ----------------4分12n n a -= ----------------5分若选②，111,1(2)n n n n a S a S n +-=+=+≥，两式相减化简得 12(2)n n a a n +=≥ --------------2分 验证212a a = ----------------4分12n n a -= ----------------5分若选③，121111222n n n n n a a a a +-+++=，12121111(2)222n nn n n a a a a n ----+++=≥，两式相减化简得12(2)n nan a +=≥ ----------------2分验证212a a = ----------------4分12n n a -= ----------------5分以下选①②③相同． (2)由（1）知12n n a -=则1(2)n b n n =+=11122n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭----------------7分则121111111112324352n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-+-+- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ----------------10分18．解（1）∵1cos 7ADC ∠=,∴sin sin 7ADC ADB ∠=∠=1分∴()11sin sin 27BAD ADC ABC ∠=∠-∠=-=,----------------3分 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 3sin c BADBD ADB⋅∠==∠，----------------5分232=∴=BD DC DC∴325a =+=----------------6分（2）在ABC ∆中， 7b =.----------------9分在ADC ∆中， 12sin 24b R ADC =⋅=∠.----------------12分 19.（1）证明：如图，取BC 中点G ，连接FG ，OG ，因为FB FC =，所以FG BC ⊥， -----------------------------1分 又因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC ⋂平面ABCD BC =，FG ⊂平面FBC ， 所以FG ⊥平面ABCD ， --------------------------3分 O ，G 分别为BD ，BC 中点，所以//OG AB ，12OG AB =,因为12EF AB ==，//EF AB ， 所以四边形EFGO 为平行四边形，所以//OE FG ，所以OE ⊥平面ABCD ． -----------------------------------------6分（2）如图，以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴建立空间坐标系，----------------------------------------7分显然二面角Q BC A --为锐二面角，设该二面角为θ，向量(0n =，0，1)是平面ABC 的法向量，----------------------------------------8分 设平面QBC 的法向量(v x =，y ，1)， 由题意可知sin602FG OE BF ==︒=， 所以(2C -，0，0)，(0B ，233，0)，(0E ，0，2)，(1Q ，0，1) 所以(1BQ =，233-，1)，(3CQ =，0，1)， 则00v BQ vCQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即23103310x y x ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩， 所以1(3v =-，33，1)，----------------------------------------10分所以||1313cos ||||131313n v n v θ===⨯．--------------------------------12分 20.解：样本中包裹件数在内的天数为48，频率为，可估计概率为， -----------------------2分 未来3天中，包裹件数在间的天数X 服从二项分布，即，故所求概率为； -----------------------4分样本中快递费用频数分布如下表： 包裹重量单位：快递费单位：元 10 15 20 25 30 包裹件数43 30 15 84-----------------------6分故样本中每件快递收取的费用的平均值为元，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元； -----------------------8分 根据题意及，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加元，每天揽件数为随机变量，若不裁员，该公司每天时即揽件数可能取值为50，150，250，350，450， 其分布列为50 150 250 350 450 P 0.10.10.50.20.1则，故公司平均每日利润的期望值为元； -----------------------10分若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，实际揽件数为可能取值为50，150，250，300， 其分布列为50 150 250 300 P 0.10.10.50.3，故公司平均每日利润的期望值为元．因，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．----------------12分21．解：（1）因为()21'(0)-=>x f x x x所以当()0,1∈x 时， ()0f x '<， ()f x 在()0,1上单调递减；当()1,∈+∞x 时， ()0f x '>， ()f x 在()1,+∞上单调递增；-----------------------2分 所以当1=x 时， ()f x 取得极小值()1ln1111=+=f .-----------------------3分 无极大值-----------------------4分 （2）()()3x g x f x -'== 213m x x x -- (0)x >， 令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+>． 设()31(0)3x x x x ϕ=-+>，则()21x x φ-'=+= ()()11x x --+． 所以当()0,1x ∈时， ()0x φ'>， ()x φ在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时， ()0x φ'<， ()x φ在()1,+∞上单调递减；-----------------------6分 所以()x φ的最大值为()121133φ=-+=，又()00φ=，()360φ=-<，可知： 当203m <<时，函数()g x 有2个零点. -----------------------8分 （3）原命题等价于()()-<-f b b f a a 恒成立-----------------------9分()()ln (0)=-=+->m h x f x x x x x x 则等价于()h x 在()0,+∞上单调递减，()()21100,在恒成立'=--≤+∞m h x x x ……10分所以2m x x ≥-+= 21124x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ (0)x >恒成立，所以14m ≥． 即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． -----------------------12分22.解：(1)由已知32()2a c a c c+=⎧⎨-=⎩，解得2,1a c ==，椭圆方程为22143x y +=。