经济优化方法

2、 经济优化方法的原理
经济优化方法原理在于从现实经济问题中分析出可以控制的变 量，希望达到的目标和现实的约束条件，在这一基础上建立适当的模 型，尽可能运用运筹学已有的模型和解法，解得在现有约束下达到目标 的可控变量取值。
经济优化中最常用的数学模型的一般数学形式可用下列表达式描 述：
目标： 约束条件： 其中，为可控变量，也称决策变量，为已知参数，为随机因素，U 为某种效用获成本，用户的目标一般要求U达到最佳、适中、满意等， 而是约束条件。 目标和约束条件可以是一个，也可以是多个，通过对上述模型联 合求解得到，即为该决策变量的最优解、优化解或满意解。从理论上 讲，按照此解进行决策，会达到特定约束下经济运行的优化，提高经济
播种面积 （亩）
…
…..
….
…..
…………..
…..
销量（吨等）
…..
表中：表示农作物的播种面积（i=1,2,…,m），表示土地的亩数 (j=1,2…n)，表示在土地上种植农作物的单产数(i=1,2…m;j=1,2…n)。
问如何规划，才使总产量最高？
解：假设（表示在土地上种植农作物的亩数）(i=1,2…m;j=1,2… n)。农作物布局的数学模型为
第2节 线性规划
1、 线性规划问题的概念
在现实社会活动中常遇到两类问题：
一是在统筹安排下，使资源消耗最少而完成任务（求消耗资源的
极小值）。或一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到用最小的人力
物力资源去完成这一任务。
二是在给定的资源下，使任务完成最多或经济收益最大（求收益
的极大值）。或已有一定数量的人力物力资源，如何安排使用他们，使
企业
B1
B2
B3
铁矿企业 运价
A1
50
60
70
A2
60
110
160
解：设表示表示由铁矿石企业运往中国钢铁企业的数量（单位：百万吨）
（），根据条件约束，列表如下：
中国企业
B1
铁矿企业
B2
B3
发货量
A1
23
A2
27
收货量
17
18
15
50
因此，调运方案满足下面的约束条件的一组变量的值，约束条件为：
约束条件
经济优化方法
第1节 经济优化方法原理
1、 经济优化方法的概念
在经济生活中，人们的精神和物质方面的需要是多种多样的，而 用于满足这些需要的各种资源又是有限的。那么，如何分配这有限的资 源，以最大限度满足人们多样化的需求是一个重要的课题。人们不仅需 要从理论上定性研究资源配置的优化问题，更需要针对具体的环境和目 标做定量分析以支持特定的决策，经济优化方法应运而生。
（六）分派问题
（N个工作N人做，合理分派，使总工时最
少）
2、 线性规划问题的数学模型
（一）运输问题 例：假设澳洲和巴西的两家铁矿石企业，产量分别为23（百万吨）与 27（百万吨）.他们的铁矿石供应中国B1、B2、B3三个钢铁企业。其需 要量分别为17百万吨、18百万吨和15百万吨。而且各产地运到各企业的 运价（美元/吨）如下：
（2） 基本概念 1.可行解：满足线性规划问题中所有约束条件的一组值，称为该 线性规划问题的可行解。 2.可行域：由全部可行解组成的n维区域，称可行域。 3.最优解：使目标函数达到极值（max,min）的可行解，为最优 解。
4.基（基本矩阵）：给定线性规划问题，其标准型为， 约束方程组的系数约束矩阵A是m×n矩阵，秩为m，若B是A 中的m×m非奇异子矩阵（行列式），则称B是该问题的一 个基（基本矩阵）。
调运方案很多，从中找一个使总运费最少的方案，即总运费S（目 标函数）最小：即.
一般的，设某种物质有m个产地，A1、A2…Am联合供应n个销地B1,B2….Bn（单位：吨 等），各销地销量（单位：吨等），各产地至各销地单位运价如下表：
பைடு நூலகம்
销地 单位运价 产地
B1 B2 ….. Bn
产量（吨 等）
…
…..
约束条件
并且使目标函数的值最小（完成全部工作的总工时最小）。 分派问题是运输问题的特例，因为变量的值只有0，1，所以又称0 —1规划问题。
3、 线性规划数学模型的一般形式
（一）线性规划问题的数学模型 线性规划问题的数学模型通常如下：
(1)
s.t. (2) 其中，式(1)为目标函数；
式(2)为约束条件； Z为目标函数；
（二）布局问题 1.农作物布局 假设国家要在B1,B2….Bn等n块土地上种植A1、A2…Am种农作物。各块土地亩数、
各种农作物计划播种面积及各种作物在各块地上的单产（每亩的产量）如表，问如何安排种植 计划，才使总产量最多？
这里假定（即计划播种面积等于土地面积）
土地 单产（公斤/亩） 农作物
B1 B2 ….. Bn
更准确的说，如果企业资源成本的数据直接反应在线性规划模型 中，对偶解就是影子价格。如果企业资源成本的数据未直接反应在线性 规划模型中，对偶解与该资源成本之和才为影子价格。当影子价格大于 市场价格时，表明该资源有获利能力，买入该资源，可进一步优化系统 目标，因此，企业应买进该资源扩大生产。当影子价格小于市场价格 时，表明该资源在企业内部的获利能力低于市场价格，进一步减少该资 源反而能优化系统目标，故而企业应该卖掉已有的资源。影子价格与市 场价格一致时，该资源在系统内处于平衡状态，既不用买入也不用卖 出。
3.线性规划的矩阵表示 用矩阵表示线性规划问题，较为简洁，而且在理论讨论时较方 便。
s.t. 式中，
线性规划模型也可写成：
4、 线性规划的求解方法
（1） 图解法 图解法简单，直观，便于说明线性规划问题的基本原理及几何意 义。但它仅适用于两个（至多三个）决策变量的线性规划问题。 具体见教材P76页和图解法课件。
1947年由丹捷格用于设计美国空军各种活动的线性规划方法提供 了很好的解决全局最优方法。线性规划方法的优点在于：求得的最优值 是整体最优，不牵涉任何函数的导数，约束函数不一定要用方程表示， 约束的个数可能超过变量的个数。最后，进一步发展了非线性规划，动 态规划等。最常用的经济优化方法包括线性规划、对偶规划、多目标规 划和动态规划。
得完成的任务最多。
即寻求整个问题某个整体指标最优的问题。解决此类问题，首先
必须将实际问题简化为线性规划模型求解。
常见的线性规划问题如下：
（一）运输问题
（总运费或运输量最少）
（二）布局问题
（农作物种植、经济布局、工厂布局）
（三）生产的组织与计划问题
（四）合理下料问题 （所用原材料最少）
（五）配料问题
（决定调料方案、产品成本最低）
如果将线性规划原问题的约束看作是资源约束，右端常数为每种资 源的可用量，对偶解得经济含义是在其他条件不变的情况下，资源的单 位改变量引起目标函数最优值的变化。因此，对偶解是资源价值的一种 度量，称为的影子价格。
影子价格是一种虚拟的价格，它是在企业现有资源的成本、稀缺状 况和现有生产方案条件下，系统目标最优时对某种内部资源的客观评 价。各级管理者可利用影子价格辅助进行决策。
整理上式可得： 用非基变量描述目标函数，则： 接下来判断该基本可行解是否已经达到最优。具体见教材P80 页。
第三节 对偶分析 一、线性规划对偶问题
每一线性规划都有一个伴生的线性规划，前者称为原问题，
后者称为它的对偶问题。
对偶问题的原问题和对偶问题存在以下关系：
原问题（P）：
(1)
s.t.
则其对偶问题为：（D）：
且。 （二）线性规划的隐含假定 线性规划是解决规划中目标函数及约束方程均为线性函数的问 题，隐含了以下一些假定：
1. 比例性假定：目标函数与各决策变量分别成比例（即线性 或一次方）关系；同样各决策变量在约束方程中，仍以一 次方的关系出现。
2. 可叠加性假定：各决策变量对约束条件和目标函数方程的 影响而言，彼此独立，同时具有叠加性。
5.基向量：在基B中列向量 6.基变量：对应于基向量的变量，用来表示。 7.非基变量：在所有变量中，除去基变量的变量，用来表示。
8.基本解：令非基变量均为0，所得方程组的解，称为方 程组关于基B的基本解。
9.基本可行解：满足非负条件的基本解，称基本可行 解。
10.可行基：对应于基本可行解的基，称为基本可行基。 11.最优基：当对应基的基本可行解为最优解时，该基为 最优基。
变量数：m 第i个变量≥0 第i个变量≤0 第i个变量是自由变量
变量数：n 第j个变量≥0 第j个变量≤0” 第j个变量是自由变量
约束条件数：n 第j个约束条件类型为“≤” 第j个约束条件类型为“≥” 第j个约束条件类型为“=”
约束系数矩阵
约束系数矩阵
例：写出下列问题的对偶问题
s.t.
二、对偶问题经济含义——影子价格
对具有m个约束条件和n个决策变量的线性规划问题的标准型为： (1)
s.t. (2)
也可缩写为 s.t.
本课程建议可通过标准化过程将非标准化模型转化为标准型。
2.线性规划问题的标准化 线性规划问题的标准化是将一般的线性规划问题转化为标准型的 过程。
（1） 目标函数的标准化 如原问题中，目标函数是取最小值，即 由于， 令 则化为求最大化的标准型。求出的值后，乘以-1，则回到原问题的 求最小值了。
（3） 线性规划的几个基本定理 参见教材P78页。
（四型方法 基本思路： 首先把线性规划问题转换为标准型，找出一个初始基本 可行解，判断它是否已为最优，如不是，则寻找下一个基 本可行解，并使目标函数得到改善；如此迭代下去，直到 获得最优解或判定为无有限最优解为止。
1. 单纯型方法的矩阵描述及相关定理 设线性规划问题标准型为： s.t. 设为基（基本矩阵），为非基变量对应的矩阵，为对应于基 B的基变量，为对应于基N的非基变量，上式矩阵可变成分块形 式。