HMM-前向-后向算法 举例
HMM-简介
P(O | λ) = ∑ β1 (i) i =1
解码问题—Viterbi算法
Viterbi算法采用动态规划算法。复杂度为O(K 2L) 。其中 K和 L分别为状态个数和序列长
度。
定义δ t (i )
=
max
q1,q2 ,...qt−1
P[q1 q2 ...qt−1 , qt
=
i, O1,O2,…Ot ,
3） 终止：
N
P(O | λ ) = ∑α T (i) i=1
其中递推是整个算法的核心。 后向算法和前向算法性质上是一样的，只是递推方向不同。定义后向变量：
β t (i) = P(Ot +1Ot +1...OT | qt = Si ,λ )
也就是给定模型参数，当时刻 t的状态是Si 的时候，从时刻 t＋1到序列结束的输出观察序
对于 HMM 模型，其的状态转换过程是不可观察的，因而称之为“隐”马尔可夫模型。
HMM定义
1) X代表一组状态的集合,其中 X = {S1, S2,..., SN } ，状态数为 N,并用qt 来表示 t时刻的 状态。虽然状态是隐藏的，但对于很多应用来说，有一些物理的意义都和状态或者状态 集相关。状态内部的联系就是从一个状态可以到其它状态。
集合的元素作为混合高斯模型的分量，实现的是带隐变量的
最大似然估计。
的 HMM，可能有aij ＝0（对于一对或多对 i，j）。
4) 状态 j的观察概率分布 B = {b j (k)} ，表示状态 j输出相应观察值的概率，其中
bj (k )
=
P{O t
= Vk
|q t
=
S },1 ≤ j
j
≤
N
1≤k ≤ M 。
HMM的三个应用详细描述
HMM学习最佳范例
介绍
寻找一个事物在一段时间里的变化模式（规律）； 这些模式发生在很多领域... 事实上任何领域中的一系列事件都有可能产生有用的模式 。
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前向算法代码分析
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谢谢
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前向算法代码分析
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前向算法代码分析
首先，需要定义HMM的数据结构，也就是HMM的五个基本要素，在 UMDHMM中是如下定义的（在hmm.h中）：
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前向算法代码分析
前向算法程序示例如下（在forward.c中）： /* 函数参数说明： *phmm：已知的HMM模型；T：观察符号序列长度； *O：观察序列；**alpha：局部概率；*pprob：最终的观察概率 */
例子： 有人试图通过一片海藻推断天气——民间传说告诉我们 ‘湿透的’海藻意味着潮湿阴雨，而‘干燥的’海藻则意 味着阳光灿烂。如果它处于一个中间状态（‘有湿气’） ，我们就无法确定天气如何。然而，天气的状态并没有受 限于海藻的状态，所以我们可以在观察的基础上预测天气 是雨天或晴天的可能性。另一个有用的线索是前一天的天 气状态（或者，至少是它的可能状态）——通过综合昨天的 天气及相应观察到的海藻状态，我们有可能更好的预测今 天的天气。
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生成模式总结
使用了离散时间点、离散状态以及做了马尔科夫假设； 马尔科夫过程的模式：它包含了一个 向量（初始概率）和 一个状态转移矩阵； 关于假设，重要的一点是状态转移矩阵并不随时间的改变 而改变—这个矩阵在整个系统的生命周期中是固定不变的 。
带驻留时间HMM2的Forward-Backward算法
作者简介 ：ｔ ｉ世平 （９０ ， ， １７ 一）男 四川渠县人 ， 副教授 ， 事随机信号处理 和生 物信 息研究． 从
中图分类 号 ： １ ． ０２２ ７
一
文献 标 识码 ： Ａ
个隐马尔可夫模型是指一个不可观测 的马尔可夫链 （ 称为状态过程） 和它 的一个可观测 的随机过 程（ 称为观测过程） 的整体． 隐马尔可夫模型是பைடு நூலகம்种应用非常广泛的统计模型 ， 最早是从语音识别问题 中 发展起 来 的． 在传统 的隐马尔可夫模型（ ａｉｏａ ｈｄｅ ａ ｏ ｏｅ， ｔ ｄ ｉ ｌ ｉ ｎＭ ｒ ｖｍ ｄｌ简称 Ｔ Ｍ 中， ｒ ｔｎ ｄ ｋ Ｈ Ｍ） 模型在某 状态停 留一定
定 义 １ 前 向变 量 ：
（ ，， ） ＝Ｐ（ １０ ， ， ｇ＿ ｉ ｄ ｊ ０ ，２ … ０，｜ ｌ＝ｓ， ＝ ， ｓ）＝ ｄｌ ｉ ｇ ｆ （， ｄ Ａ） （） ３
前 向变量 （， ｄ 是指在给定模型 Ａ的条件下 ， ｉ ，） ｊ 产生 ｔ 以前的部分观测序列 ｏ ， ， ｏ； 。ｏ …， 且在 ｔ ： 一１ 时刻 状态 为 ： ，时 刻状 态为 ： ， ｓｔ ｓ 以及 在 ｔ 刻状 态所 驻 留 的时间 的概率 ． ， 时
时 间的概率 随着 时 间 的增 长呈 指数 下 降趋 势 ， 得 Ｔ 使 ＨＭＭ 不 能合 适 地 表 征 信号 的时 域 结 构 ， 为通 常各 因 状态都应该在平均驻 留附近的概率最高ｌ ３． 了弥补 Ｔ Ｍ 的这一缺点 ， １ 为 －Ｊ Ｈ Ｍ 人们提出了许多种方法试 图
隐马尔可夫链解码问题使用的经典算法
隐马尔可夫链解码问题使用的经典算法1. 引言隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）是一种用于描述时序数据的统计模型，广泛应用于语音识别、自然语言处理、生物信息学等领域。
在HMM中，我们经常面临的一个重要问题是解码问题，即根据观测序列推断隐藏状态序列的问题。
为了解决这一问题，经典算法中有几种常用的方法，本文将对其中的经典算法进行深入探讨。
2. 维特比算法（Viterbi Algorithm）维特比算法是解决HMM解码问题的经典算法之一。
它基于动态规划的思想，通过递归地计算最优路径来推断隐藏状态序列。
在该算法中，我们需要利用马尔可夫假设和观测状态的概率分布，使用动态规划的方法找到最有可能的隐藏状态序列。
维特比算法的时间复杂度为O(N^2T)，其中N为隐藏状态的个数，T为观测序列的长度。
3. 前向后向算法（Forward-Backward Algorithm）前向后向算法是另一种常用的HMM解码算法。
该算法利用前向概率和后向概率来计算在每个时刻t处于状态i的概率，从而得到最优的隐藏状态序列。
与维特比算法相比，前向后向算法更侧重于计算整条观测序列的似然度，而不是单个最优路径。
该算法的时间复杂度为O(NT^2)，其中N为隐藏状态的个数，T为观测序列的长度。
4. Baum-Welch算法除了维特比算法和前向后向算法，Baum-Welch算法也是解决HMM解码问题的一种重要算法。
该算法是一种无监督学习算法，用于估计HMM的参数，包括隐藏状态转移概率和观测状态概率。
通过不断迭代E步和M步，Baum-Welch算法可以得到最优的HMM参数估计。
这些参数可以用于后续的解码问题，从而得到最优的隐藏状态序列。
5. 总结与展望在本文中，我们对解决HMM解码问题的经典算法进行了深入探讨。
维特比算法、前向后向算法和Baum-Welch算法都是解决HMM解码问题的重要工具，它们在不同应用领域都有着广泛的应用。
隐马尔可夫过程
隐马尔可夫过程1. 引言隐马尔可夫过程（Hidden Markov Model, HMM）是一种用于建模时序数据的概率图模型。
它在自然语言处理、语音识别、生物信息学等领域得到广泛应用。
隐马尔可夫过程以两个基本假设为前提：1）当前状态只与前一个状态有关；2）当前观察结果只与当前状态有关。
本文将介绍隐马尔可夫过程的基本概念、数学模型、算法推导以及应用案例。
2. 隐马尔可夫过程的基本概念隐马尔可夫过程由状态序列和观察序列两部分组成。
状态序列表示系统内部的状态演化过程，观察序列表示在各个状态下的可见观察结果。
隐马尔可夫过程包括以下几个基本概念：2.1 隐藏状态隐藏状态是指系统内部的未知状态，对外不可见。
隐马尔可夫过程假设隐藏状态满足马尔可夫性质，即当前状态只与前一个状态有关。
常见的例子包括天气的状态（晴、阴、雨）等。
2.2 观察结果观察结果是可以观测到的外部表现，反映了隐藏状态的一部分信息。
观察结果与隐藏状态之间存在关联关系，但观察结果并不能完全确定隐藏状态。
在天气的例子中，观察结果可以是人们对天空的直接观察，如晴朗的天空、阴沉的天空等。
2.3 转移概率转移概率是指在给定隐藏状态的条件下，从一个隐藏状态转移到另一个隐藏状态的概率。
转移概率表示了隐藏状态之间的演化关系。
在天气的例子中，转移概率可以表示为从晴天到阴天、从阴天到雨天等的概率。
2.4 发射概率发射概率是指在给定隐藏状态的条件下，产生某个观察结果的概率。
发射概率表示了隐藏状态与观察结果之间的关联关系。
在天气的例子中，发射概率可以表示为在不同天气状态下，观察到某种天空情况的概率。
3. 隐马尔可夫过程的数学模型隐马尔可夫过程可以用数学模型来描述。
其数学模型包括隐藏状态、观察结果、转移概率和发射概率四个要素。
3.1 隐藏状态集合隐藏状态集合表示所有可能的隐藏状态，用S表示。
在天气的例子中，S可以表示为{晴天，阴天，雨天}。
3.2 观察结果集合观察结果集合表示所有可能的观察结果，用O表示。
隐马尔科夫(HMM)模型详解及代码实现
机器学习之隐马尔科夫模型（HMM）机器学习之隐马尔科夫模型（HMM）1、隐马尔科夫模型介绍2、隐马尔科夫数学原理3、Python代码实现隐马尔科夫模型4、总结隐马尔可夫模型介绍马尔科夫模型（hidden Markov model，HMM）是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔科夫随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测从而产生观测随机序列的过程，属于一个生成模型。
下面我们来从概率学角度定义马尔科夫模型，从一个典型例子开始：假设有4个盒子，每个盒子里面有不同数量的红、白两种颜色的球，具体如下表：盒子编号1234红球数5368白球数5742现在从这些盒子中取出T个球，取样规则为每次选择一个盒子取出一个球，记录其颜色，放回。
在这个过程中，我们只能观测到球的颜色的序列，观测不到球是从哪个盒子中取出来的，即观测不到盒子的序列，这里有两个随机序列，一个是盒子的序列（状态序列），一个是球的颜色的观测序列（观测序列），前者是隐藏的，只有后者是可观测的。
这里就构成了一个马尔科夫的例子。
定义是所有的可能的状态集合，V是所有的可能的观测的集合：其中，Ｎ是可能的状态数，Ｍ是可能的观测数，例如上例中Ｎ＝４，Ｍ＝２。
是长度为T的状态序列，是对应的观测序列：A是状态转移概率矩阵：其中， 是指在时刻处于状态的条件下在时刻转移到状态的概率。
B是观测概率矩阵：其中， 是指在时刻处于状态的条件下生成观测的概率。
是初始状态概率向量：其中， 是指在时刻=1处于状态的概率。
由此可得到，隐马尔可夫模型的三元符号表示，即称为隐马尔可夫模型的三要素。
由定义可知隐马尔可夫模型做了两个基本假设：(1)齐次马尔科夫性假设，即假设隐藏的马尔科夫链在任意时刻的状态只和-1状态有关；(2)观测独立性假设，观测只和当前时刻状态有关；仍以上面的盒子取球为例，假设我们定义盒子和球模型：状态集合： = {盒子1，盒子2，盒子3，盒子4}， N=4观测集合： = {红球，白球} M=2初始化概率分布：状态转移矩阵：观测矩阵:（1）转移概率的估计：假设样本中时刻t处于状态i，时刻t+1转移到状态j 的频数为那么转台转移概率的估计是：（2）观测概率的估计：设样本中状态为j并观测为k的频数是那么状态j观测为k的概率， （3）初始状态概率的估计为S个样本中初始状态为的频率。
hmm算法例题
hmm算法例题HMM（隐马尔可夫模型）算法是一种常用的统计模型，用于描述时间序列数据的内在结构和规律。
以下是一个简单的HMM算法的例子：假设我们有一个简单的语言模型，其中有两个状态：“a”和“b”，以及两个观测值：“0”和“1”。
状态转移概率矩阵如下：```cssA = [ ; ]```其中，第一行表示从状态“a”转移到状态“a”和状态“b”的概率，第二行表示从状态“b”转移到状态“a”和状态“b”的概率。
同时，我们也有一个观测概率矩阵如下：```cssB = [ ; ]```其中，第一列表示在状态“a”下观测到“0”和“1”的概率，第二列表示在状态“b”下观测到“0”和“1”的概率。
现在，我们有一个观测序列[1, 0, 1, 1, 0, 1]，我们想知道这个序列对应的隐藏状态序列是什么。
根据HMM算法，我们可以使用前向算法或者后向算法来求解。
这里我们使用前向算法来求解。
首先，我们需要计算前向概率：初始时，所有的前向概率都是1，然后我们按照时间步逐个计算前向概率：时刻1的前向概率为：P(aO) = P(O1) P(a1) = =P(bO) = P(O1) P(b1) = =时刻2的前向概率为：P(aO) = P(O2a1) P(a2a) P(a1) + P(O2b1) P(a2b) P(b1) = + = + =P(bO) = P(O2b1) P(b2b) P(b1) = =时刻3的前向概率为：P(aO) = P(O3a2) P(a3a) P(a2a) + P(O3b2) P(a3b) P(b2b) = + = + =P(bO) = P(O3b2) P(b3b) P(b2b) = =时刻4的前向概率为：P(aO) = P(O4a3) P(a4a) P(a3a) + P(O4b3) P(a4b) P(b3b) = + = + =P(bO) = P(O4b3) P(b4b) P(b3b) = =时刻5的前向概率为：P(aO) = P(O5a4) P(a5a) P(a4a) + P(O5b4) P(a5b) P(b4b) = (1-P(O5a4)) P(O5b4) P(b5b) P(b4b)= () (1-0。
HMM(隐马尔可夫模型)及其应用
HMM(隐马尔可夫模型)及其应用摘要：隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）作为一种统计分析模型，创立于20世纪70年代。
80年代得到了传播和发展，成为信号处理的一个重要方向，现已成功地用于语音识别，行为识别，文字识别以及故障诊断等领域。
本文先是简要介绍了HMM的由来和概念，之后重点介绍了3个隐马尔科夫模型的核心问题。
关键词：HMM，三个核心问题HMM的由来1870年，俄国有机化学家Vladimir V. Markovnikov第一次提出马尔可夫模型。
马尔可夫在分析俄国文学家普希金的名著《叶夫盖尼•奥涅金》的文字的过程中，提出了后来被称为马尔可夫框架的思想。
而Baum及其同事则提出了隐马尔可夫模型，这一思想后来在语音识别领域得到了异常成功的应用。
同时，隐马尔可夫模型在“统计语言学习”以及“序列符号识别”（比如DNA序列）等领域也得到了应用。
人们还把隐马尔可夫模型扩展到二维领域，用于光学字符识别。
而其中的解码算法则是由Viterbi和他的同事们发展起来的。
马尔可夫性和马尔可夫链1. 马尔可夫性如果一个过程的“将来”仅依赖“现在”而不依赖“过去”，则此过程具有马尔可夫性，或称此过程为马尔可夫过程。
马尔可夫性可用如下式子形象地表示：X(t+1)=f(X(t))2. 马尔可夫链时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链。
记作{Xn=X(n), n=0,1,2,…}这是在时间集T1={0,1,2,…}上对离散状态的过程相继观察的结果。
链的状态空间记作I={a1, a2,…}, ai ∈R.条件概率Pij(m, m+n)=P{ Xm+n = aj | Xm = aj }为马氏链在时刻m处于状态ai条件下，在时刻m+n转移到状态aj的转移概率。
3. 转移概率矩阵如下图所示，这是一个转移概率矩阵的例子。
由于链在时刻m从任何一个状态ai出发，到另一时刻m+n，必然转移到a1，a2…，诸状态中的某一个，所以有当与m无关时，称马尔可夫链为齐次马尔可夫链，通常说的马尔可夫链都是指齐次马尔可夫链。
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Data Mining,NLP,Search Engine
EM算法
本文试图用最简单的例子、最浅显的方式说明EM（Expectation Maximization）算法的应用场景和使用方法，而略去公式的推导和收敛性的证明。
以下内容翻译自《Data-Intensive Text Processing with MapReduce》。
Maximum Likelihood Estimation
Maximum Likelihood Estimation(MLE)是要选择一个最佳参数θ*，使得从训练集中观察到和情况出现的概率最大。
即模型：
举例来说明。
如下图
一个小黑球沿着一个三角形的木桩滚入杯子a或b中，可建立一个概率模型，由于是二值的，设服从Bernoulli分布，概率密度函数为：
p是k=0的概率，也是我们要使用MLE方法要确定的参数。
在上面的滚球实验中，我们令Y是待确定的参数，X是观察到的结果。
连续10次实验，观察到的结果是X=
（b,b,b,a,b,b,b,b,b,a）。
小球进入a杯的概率为p，则满足10次实验的联合概率为：
为了使X发生的概率最大，令上式一阶求导函数为0，得p=0.2。
含有隐含变量的弹球实验
如上图，现在又多了两块三角形木桩，分别标记序号为0，1，2。
并且实验中我们只知道小球最终进入了哪个杯子，中间的路线轨迹无从得知。
X取值于{a,b,c}表示小球进入哪个杯子。
Y取值于{0,1,2,3}表示小球进入杯子前最后一步走的是哪条线路。
小球在3个木桩处走右边侧的概率分别是p=(p0,p1,p2)。
跟上例中一样，X表示训练集观测到的值，p是模型参数，而这里的Y就是"隐含变量"。
假如我们做了N次实验，小球经过路径0,1,2,3的次数依次是N0,N1,N2,N3，则：
带隐含变量的MLE
现在我们来考虑这个概率模型：Pr(X,Y;θ)。
只有X是可观察的，Y和θ都是未知的。
经过一组实验，我们观察到X的一组取值x=(x1,x2,...,x l)，则联合概率为：
MLE就是要求出最佳的参数θ*，使得：
这个时候要求θ*，”令一阶求函数等于0“的方法已经行不通了，因为有隐含变量Y的存在。
实现上上式很难找到一种解析求法，不过一种迭代的爬山算法可求解该问题。
Expectation Maximization
EM是一种迭代算法，它试图找到一系列的估计参数θ(0),θ(1),θ(2),....使得训练数据的marginal likelihood是不断增加的，即：
算法刚开始的时候θ(0)赋予随机的值，每次迭代经历一个E-Step和一个M-Step，迭代终止条件是θ(i+1)与θ(i)相等或十分相近。
E-Step是在θ(i)已知的情况下计算X=x时Y=y的后验概率：
f(x|X)是一个权值，它表示观测值x在所有观察结果X中出现的频率。
M-Step：
其中在E-Step已经求出来了。
这时候可以用“令一阶导数等于0”的方法求出θ'。
EM算法收敛性的证明需要用到Jensen不等式，这里略去不讲。
举例计算
就拿上文那个3个木桩的滚球实验来说，做了N次实验，滚进3个杯子的次数依次是Na,Nb,Nc。
先给赋予一个随机的值。
E-Step:
同时我们注意到
其它情况下Y的后验概率都为0。
M-Step:
我们只需要计算非0项就可以了
上面的每行第3列和第4列相乘，最后再按行相加，就得到关于θ(i+1)的函数，分别对p0,p1,p2求偏导，令导数为0，可求出p'0,p'1,p'2。
这里补充一个求导公式：
我们这个例子非常简单，计算θ(1)已经是最终的解了，当然你要计算出θ(2)才下此结论。