蒙特卡洛算法
蒙特卡洛算法
蒙特卡洛算法1. 蒙特卡洛⽅法的基本思想蒙特卡罗⽅法⼜叫统计模拟⽅法，它使⽤随机数（或伪随机数）来解决计算的问题，是⼀类重要的数值计算⽅法。
该⽅法的名字来源于世界著名的赌城蒙特卡罗，⽽蒙特卡罗⽅法正是以概率为基础的⽅法。
⼀个简单的例⼦可以解释蒙特卡罗⽅法，假设我们需要计算⼀个不规则图形的⾯积，那么图形的不规则程度和分析性计算（⽐如积分）的复杂程度是成正⽐的。
⽽采⽤蒙特卡罗⽅法是怎么计算的呢？⾸先你把图形放到⼀个已知⾯积的⽅框内，然后假想你有⼀些⾖⼦，把⾖⼦均匀地朝这个⽅框内撒，散好后数这个图形之中有多少颗⾖⼦，再根据图形内外⾖⼦的⽐例来计算⾯积。
当你的⾖⼦越⼩，撒的越多的时候，结果就越精确。
2.例⼦蒙特卡洛算法显然可⽤于近似计算圆周率：让计算机每次随机⽣成两个0到1之间的数，看这两个实数是否在单位圆内。
⽣成⼀系列随机点，统计单位圆内的点数与圆外的点数，内接圆⾯积和正⽅形⾯积之⽐为PI:4，PI为圆周率。
，当随机点取得越多时，其结果越接近于圆周率。
下⾯给出c++版本的实现：#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cmath>using namespace std;double in,out,ans;double x,y,dis;double getrand(){double ran=0;int t=rand()%10000;ran=(double)t/10000;return ran;}int main(){int time=0;scanf("%d",&time);for(int i=1;i<=time;i++){x=getrand()*2;y=getrand()*2;dis=sqrt((1-x)*(1-x)+(1-y)*(1-y));if(dis>1) out++;else in++;}ans=4*in/(in+out);printf("%lf",ans);return0;}如图，当time的值取1*10^9时，PI的值表⽰为3.040527，这个值和真实值仍有较⼤区别，主要原因在cstdlib库中的rand_max，即随机数值的最⼤范围仅为32767。
蒙特卡洛算法应用
蒙特卡洛算法应用蒙特卡洛算法是一种基于随机数模拟技术的数值计算方法，最初是应用在核物理领域中模拟中子扩散等问题。
近年来，随着计算机技术的发展，蒙特卡洛算法在各个领域得到了广泛的应用，例如计量经济学、金融风险评估、生命科学、气象学等领域。
下面，我们将具体介绍蒙特卡洛算法的应用及其优势。
一、基本原理蒙特卡洛算法的基本原理是利用随机抽样的方法，按照一定的概率分布来模拟某个系统或过程的随机性行为，通过数量统计和概率估计来得到该系统或过程的性质或规律。
例如，我们可以通过蒙特卡洛算法来求解复杂的多维积分问题，或者通过模拟股票价格走势来估计期权的价格等。
二、应用领域1. 计量经济学计量经济学是将数学和统计学方法应用于经济学研究的一门学科。
蒙特卡洛算法被广泛应用于计量经济学中的参数估计问题，例如通过蒙特卡洛模拟来得到回归系数的置信区间、方差的估计、非线性模型的参数估计等。
2. 金融风险评估在金融风险评估中，蒙特卡洛算法常常被用来模拟某个金融工具的价格变化，例如股票、期权、债券等，在此基础上计算预期收益率、波动率、价值-at-风险等指标，为投资决策提供支持。
3. 生命科学在生物学、药理学等领域中，蒙特卡洛算法被广泛应用于药物分子的建模与仿真，通过模拟分子的随机运动来计算其对蛋白质的亲和性、药效等指标，为新药发现提供重要的支持。
4. 气象学在气象学中，蒙特卡洛模拟被用来模拟气象变化、大气环流等复杂的自然现象，得到风险评估、预测和规划等方面的应用。
三、优势1. 灵活性蒙特卡洛算法不需要预先设定函数解析形式，具有很大的灵活性，适用于各种非线性、高维、复杂的数学问题。
2. 精度高蒙特卡洛算法基于大量的随机抽样，能够得到非常精确的数值解。
3. 方便性蒙特卡洛算法的实现相对简单，只需要模拟随机变量的抽取和计算即可，不需要对解析解进行处理和推导。
四、结论在众多的数值计算方法中，蒙特卡洛算法因其灵活、精确和方便而被广泛应用于各个领域。
蒙特卡罗算法
蒙特卡洛算法算法简介：蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。
背景知识：蒙特卡洛是摩纳哥公国第一大城市，与澳门、美国拉斯维加斯并称世界三大赌城。
位于地中海沿岸，首都摩纳哥之北，建于阿尔卑斯山脉突出地中海的悬崖之上。
景色优美，是地中海地区旅游胜地。
市内建有豪华的旅馆、俱乐部、歌剧院、商店、游泳池、温泉浴室、运动场等娱乐设施。
城内开设有蒙特卡洛大赌场。
赌场建于1865年，为双层楼建筑，上有钟楼、塔厅和拱形亭阁，还饰以若干人物雕塑，庭前棕榈树成行，还辟有花园，旁边有大酒店和酒吧间。
整个城市在旺季时，约有赌场70多个，约有赌室3500间左右。
蒙特卡罗赌场由国家经营。
当地的其他活动，许多也带有赌博色彩。
游客住的旅店房间，有抽奖的号码，中奖的免付部分房费。
早餐的牛奶麦片粥里，如遇上金属牌子，亦可领奖。
该城只有1万人口，但每天报纸销量可达100万份，因为报纸上都印有可能得奖的号码。
游客最后离境，购买的车票上也印有彩票号码，于离境前开彩。
经营赌业是摩纳哥的主要经济来源，每年都从赌业中收取高额外汇利润。
蒙特卡洛算法简单描述：以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
比如，给定x=a，和x=b，你要求某一曲线f和这两竖线，及x轴围成的面积，你可以起定y轴一横线y=c 其中c>=f(a) and c>=f(b)，很简单的，你可以求出y=c,x=a,x=b,及x轴围成的矩形面积，然后利用随机参生生大量在这个矩形范围之类的点，统计出现在曲线上部点数和出现在曲线下部点的数目，记为：doteUpCount,nodeDownCount,然后所要求的面积可以近似为doteDownCounts所占比例*矩形面积。
蒙特卡洛算法
蒙特卡洛的优缺点
优点 •蒙特卡洛方法直观易懂 •受几何条件限制小
•概率收敛与问题维数无关（解决高维问题）
•可同时处理类似问题
缺点
1. 较高精度的近似结果通常情况下很难获 得 2. 在解决处理较低维数的实际状况时,效果 可能不是很好,收敛速度较慢 3. 误差具有随机性（因为蒙特卡洛方法的 误差是在一定置信水平下估计的, 误差会 随着置信水平的不同而不同）
0
f
x dx
用常规的数值积分方法: 随着分段数量增加，误差将减小，近 似面积将逐渐逼近真实的面积 蒙特卡洛方法： 不需要将所有方柱的面积相加，而只 需要随机地抽取一些函数值，利用概 率论中所提到的几何概型可以算出函 数图像与x轴围成的面积，从而得到积 分的值。
圆周率求解
在平面上画一个半径r的圆 和边长为2r的正方形，让他 们的中心重合。随机的向正 方形内投点N次，观察投在 圆内的点的数目m。
•Normrnd(MU，SIGMA,m,n) 生成正态高斯分布的随机函数
其它函数
• Fix(x) : 截位取整，直接将小数部分舍去
（向零取整） • • • Floor(x) : 不超过x的最大整数（向下取整） Ceil(x) : 不小于x 的最小整数（向上取整） Round(x): 四舍五入取整
随机变量的抽样
3.1596
3.1553 3.1419 3.1415929
基本思想
由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解是 某个事件的概率，或者是某个随机变量的 数学期望，或者是与概率、数学期望有关 的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或者该随机变量若干个具 体观察值的算术平均值，通过它得到问题 的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
主元素问题蒙特卡洛算法
主元素问题蒙特卡洛算法1. 引言主元素问题是一个在计算机科学领域中常见的问题，涉及到数学和算法。
在一个包含n个元素的数组中，如果某个元素的出现次数超过n/2，那么这个元素就被称为主元素。
主元素问题的解决方法有很多，其中之一就是蒙特卡洛算法。
2. 蒙特卡洛算法概述蒙特卡洛算法是一种基于概率统计的算法，通过模拟重复实验来解决问题。
它通常使用随机数来进行模拟，通过大量的模拟实验来估计问题的概率或得到问题的近似解。
在主元素问题中，蒙特卡洛算法可以用来判断一个给定的元素是否为主元素。
3. 蒙特卡洛算法解决主元素问题3.1 算法思想蒙特卡洛算法解决主元素问题的思想很简单，就是随机选择数组中的元素并判断其是否为主元素，通过多次重复实验来得到一个概率估计。
具体步骤如下：1.随机选择数组中的一个元素；2.在数组中计算该元素的出现次数；3.判断该元素的出现次数是否超过n/2；4.重复上述步骤多次，取所有实验中判断为主元素的元素中出现次数最多的作为最终的估计结果。
3.2 算法实现下面是蒙特卡洛算法解决主元素问题的实现代码（使用Python语言）：import randomdef monte_carlo_majority(arr):n = len(arr)experiments = 1000experiment_results = []for _ in range(experiments):random_index = random.randint(0, n-1)random_element = arr[random_index]count = arr.count(random_element)if count > n/2:experiment_results.append(random_element)if len(experiment_results) == 0:return Nonemax_count = 0majority_element = Nonefor element in experiment_results:count = arr.count(element)if count > max_count:max_count = countmajority_element = elementreturn majority_element4. 算法分析与复杂度4.1 算法正确性分析蒙特卡洛算法解决主元素问题的正确性可以通过概率统计的方法来进行分析。
蒙特卡洛算法的应用及原理
蒙特卡洛算法的应用及原理简介蒙特卡洛算法（Monte Carlo algorithm）起初是由数学家冯·诺依曼（John von Neumann）和斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）在20世纪40年代末引入的一种计算方法，利用随机数模拟求解问题。
蒙特卡洛算法在物理学、金融学、计算机科学等领域被广泛应用，尤其在复杂的计算问题上具有较高的效率和准确度。
原理蒙特卡洛算法的核心思想是通过随机采样和统计分析获得问题的近似解，而不是通过解析求解等传统计算方法。
其基本流程如下： 1. 确定问题的范围和目标。
2. 设计合适的模型并确定输入参数。
3. 生成符合模型要求的随机数，并进行实验或模拟。
4. 统计实验或模拟结果，得到问题的近似解。
5. 根据需要，调整模型和参数，并重复上述步骤，直到达到预期的结果。
应用领域蒙特卡洛算法在各个领域得到了广泛应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 物理学蒙特卡洛算法在物理学领域的应用非常广泛。
例如，在计算粒子物理学中，科学家利用蒙特卡洛算法模拟高能粒子在加速器中的相互作用，以研究粒子的行为和性质。
此外，蒙特卡洛算法还可以用于计算电磁场、热传导和量子力学等问题。
2. 金融学在金融学中，蒙特卡洛算法被用于评估金融产品的风险和收益。
例如，在期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟来估计期权的价值和价格。
此外，蒙特卡洛算法还可以应用于投资组合优化、风险管理和股票价格预测等方面。
3. 计算机科学蒙特卡洛算法在计算机科学中也有广泛的应用。
例如，在人工智能领域，蒙特卡洛树搜索算法被用于博弈论和决策树的建模。
此外，蒙特卡洛算法还可以应用于随机算法设计、优化问题求解和机器学习等方面。
4. 统计学蒙特卡洛算法在统计学中被用于参数估计和假设检验。
通过生成服从特定分布的随机样本，可以对未知参数进行统计推断。
此外，蒙特卡洛算法还可用于模拟数据、计算置信区间和进行统计模型的评估等。
蒙特卡洛算法及简单应用
蒙特卡洛算法及简单应用蒙特卡洛算法是一种随机模拟算法，起源于1950年代，在计算机模拟方面的应用非常广泛。
蒙特卡洛算法采用概率的方法通过重复随机抽样来解决问题，因此具有很强的泛化能力和普适性，适用于不同领域中的各种问题。
蒙特卡洛算法的基本思想是利用随机数模拟真实情况，通过模拟实验来获取实验结果，从而得到问题的解。
一般而言，蒙特卡洛算法分为三个步骤：1. 构造模型：将问题抽象成一个数学模型；2. 随机化：对模型进行随机化，生成随机数，使结果具有随机性；3. 收集结果：重复多次实验，得到多组随机结果，进行统计分析，得到最终的结果。
蒙特卡洛算法的原理非常简单，但其应用却是非常广泛、复杂和深入的，几乎涵盖了所有数学、物理、化学、生物等科学领域。
下面我们将分别介绍几个蒙特卡洛算法的简单应用，以便更好地理解蒙特卡洛算法的奥妙。
一、蒙特卡洛方法在积分计算中的应用在数学中，积分是一种非常重要的运算方式，它可以求出曲线下面的面积、弧长甚至是体积等。
对于复杂的积分，解析解不一定存在，因此需要采用数值积分方法求解，而蒙特卡洛算法就是其中之一。
通过蒙特卡洛方法进行积分计算的基本思路是：将积分问题转换成随机抽样问题，然后通过采样得到一组随机数值，利用该样本进行统计分析和计算，得到最终结果。
这种方法的优点在于可以精确、有效地解决复杂积分计算问题，避免了解析解无法求得时出现的问题。
二、蒙特卡洛方法在股票估价中的应用金融领域是蒙特卡洛方法的主要应用领域之一，其中股票价格的预测是蒙特卡洛算法的主要应用之一。
在股票交易中，涨跌幅度的大小是多变的，而且具有不确定性，因此用蒙特卡洛模拟方法模拟股票变化时，必须加入随机性，来反应真实的情况。
过程如下：首先需要对股票的走势模型建模，模型可以是布朗运动模型、几何布朗运动模型等；接着，根据模型和实际数据生成随机变量；最后，根据这些随机变量得到一个随机路径，并且对一段时期的随机路径进行平均计算，从而得到股价的预测范围。
蒙特卡洛算法的原理和应用
蒙特卡洛算法的原理和应用1. 蒙特卡洛算法简介蒙特卡洛算法是一种基于统计学原理的随机模拟方法，其主要思想是通过生成大量的随机样本来近似求解问题，用统计的方式对问题进行分析和求解。
蒙特卡洛算法可以应用于多个领域，包括金融、物理、计算机科学等。
2. 蒙特卡洛算法的原理蒙特卡洛算法的原理可以概括为以下几个步骤：2.1 随机样本生成蒙特卡洛算法首先需要生成大量的随机样本。
样本的生成方法可以根据具体问题选择合适的分布，如均匀分布、正态分布等。
2.2 模拟实验通过定义问题的数学模型，利用生成的随机样本进行模拟实验。
通过模拟实验可以得到问题的近似解或概率分布。
2.3 统计分析根据模拟实验的结果进行统计分析，计算问题的期望值、方差、置信区间等统计量。
统计分析可以帮助我们评估问题的解的准确性和可靠性。
2.4 结果评估根据统计分析的结果，评估问题的解的准确性和可靠性。
如果结果的误差在可接受范围内，我们可以接受该结果作为问题的近似解。
3. 蒙特卡洛算法的应用蒙特卡洛算法可以应用于多个领域，以下是几个常见的应用：3.1 金融领域在金融领域，蒙特卡洛算法常用于风险评估、投资组合优化和衍生品定价等方面。
通过生成大量的随机样本，可以对各类金融产品的风险和回报进行模拟和分析，帮助投资者做出更明智的决策。
3.2 物理领域在物理领域，蒙特卡洛算法可以应用于粒子传输、量子力学和核物理等方面。
通过模拟实验和随机样本生成，可以近似求解复杂的物理问题，如粒子在介质中的传输过程、粒子的随机运动等。
3.3 计算机科学领域在计算机科学领域，蒙特卡洛算法可以应用于算法评估和优化、图像处理和模式识别等方面。
通过生成随机样本，并对样本进行模拟实验和统计分析，可以评估和优化算法的性能，解决图像处理和模式识别中的难题。
4. 蒙特卡洛算法的优缺点蒙特卡洛算法具有以下优点和缺点：4.1 优点•算法简单易懂，思路清晰。
•可以应用于各个领域的问题求解。
•通过生成大量的随机样本，可以较准确地近似求解复杂问题。
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取8个随机数
R1 0.0078, R2 0.9325，R3 0.1080，R4 0.0063
用蒙 特卡 洛计 算定 积分
R5 0.5490, R6 0.8556，R7 0.9771，R8 0.2783 Iˆ 0.9187
1.9
大大改善了结果！
理论依据 贝努里（Bernoulli） 大数定律
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则
0 有
nA lim P p 0 n n
或
nA lim P p 1 n n
1 1 1 0 0.25 2 2 2
P(A1) = P(j=0)P(A1∣j=0) + P(j=1)P(A1∣j=1) =
1 1 1 1 0 2 2 3 6
P(A2) = P(j=0)P(A2∣j=0) + P(j=1)P(A2∣j=1)
1 1 1 1 = 0 2 2 6 12 1 1 1 2 0.33 E1 = 6 12
生成一个满足均匀分布的 m n 随机矩阵，矩
阵的每个元素都在 (0,1) 之间。 注：rand(n)=rand(n,n)
randn(m,n)
生成一个满足正态 m n 的随机矩阵
randperm(m)
生成一个由 1:m 组成的随机排列
perms(1:n)
生成由 1:n 组成的全排列，共 n! 个,称为 “群“
分析：这是一个概率问题，可以通过理论计算
得到相应的概率和期望值.但这样只能给出作战 行动的最终静态结果，而显示不出作战行动的动 态过程.
算 法 基 本 思 想
蒙特卡洛方法的基本思想虽然早已被人 们提出，却很少被使用。直到电子计算 机出现后，使得人们可以通过电子计算 机来模拟巨大数目的随机试验过程，使 得蒙特卡洛方法得以广泛地应用，在现 代化的科学技术中发挥应有的作用
nA 在概率的统计定义中，事件 A 发生的频率 n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是 指： nA nA 频率 与 p 有较大偏差 p 是 n n
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率 近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
贝努里（Bernoulli） 大数定律的意义：
Monte Carlo 方法处理的问题可 以分两类
确定性的数学问题
蒙特 卡洛 方法 处理 的问 题
多重积分、求 逆矩阵、解线性代数方程组、解 积分方程、解某些偏微分方程边 值问题和计算代数方程组、计算 微分算子的特征值等等 随机性问题
考虑积分
用 Mont e Carlo 计算 定积 分
蒙 特 卡 洛 算 法 概 述
蒙特卡洛算法（Monte Carlo method） 是以概率和统计的理论、方法为基础 的一种计算方法，将所求解的问题同 一定的概率模型相联系，用电子计算 机实现统计模拟或抽样，以获得问题 的近似解，故又称统计模拟法或统计 试验法。
设r表示射击运动员的弹着点到靶心 的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的得 分数（环数），f(r)为该运动员的弹 着点的分布密度函数，它反映运动 员的射击水平。该运动员的射击成 绩为
需要模拟出以下两件事：
[1]观察所对目标的指示正确与否
模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2。
问 题 分 析
因此，可用投掷一枚硬币的方式予以确定，当硬币出现 正面时为指示正确，反之为不正确．
[2]当指示正确时，我方火力单位的射击结果情况
模拟试验有三种结果：毁伤一门火炮的可能性为1/3(即 2/6)，毁伤两门的可能性为1/6，没能毁伤敌火炮的可能 性为1/2(即3/6)． 这时可用投掷骰子的方法来确定： 如果出现的是１、２、３三个点：则认为没能击中敌人； 如果出现的是４、５点：则认为毁伤敌人一门火炮； 若出现的是６点：则认为毁伤敌人两门火炮．
符 号 说 明
i：要模拟的打击次数； k1：没击中敌人火炮的射击总数； k2：击中敌人一门火炮的射击总数； k3：击中敌人两门火炮的射击总数； E：有效射击比率； E1：20次射击平均每次毁伤敌人的火炮数。
初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0
i=i+1
模 拟 框 图
Y 硬币正面?
1，2，3
normrnd(MU,SIGMA,m,n)
生成正态（高斯）分布的随机数
exprnd 指数分布的随机数生成器
geornd 几何分布的随机数生成器 poissrnd 泊松分布的随机数生成器 unidrnd 离散均匀分布的随机数生成器 unifrnd 连续均匀分布的随机数生成器 betarnd 贝塔分布的随机数生成器 binornd 二项分布的随机数生成器
N
骰子点数?
4，5 6
k1=k1+1
k2=k2+1
k3=k3+1
k1=k1+1
i＜20? N
Y
E=(k2+k3)/20 E1=0*k1/20+1*k2/20+2*k3/20 停止
确 0 观察所对目标指示不正 设： j 1 观察所对目标指示正确
理 论 计 算
A0：射中敌方火炮的事件；A1：射中敌方一门火炮的事件； A2：射中敌方两门火炮的事件． 则0∣j=0) + P(j=1)P(A0∣j=1) =
I x 1e x dx, 0.
0
称为γ函 数，
假定随机变量具有密度函数
则
f X ( x) e x ,
I E( X 1 ).
用蒙 特卡 洛方 法计 算定 积分
抽取密度为e^{-x}的随机数 X_1,…X_n 构造统计数
n 1 1 ˆ I X i . n i 1
取 整 函 数
fix(x) floor(x) ceil(x) round(x)
: 截尾取整，直接将小数部分舍去 : 不超过 x 的最大整数
: 不小于 x 的最小整数
: 四舍五入取整
用蒙特卡罗投点法计算 的值
>>clear;clc; n=100000; a=2; m=0; for i=1:n x=rand*a/2;y=rand*a/2; if ( x^2 + y^2 <= (a/2)^2 ) m=m+1; end end fprintf('计算出来的pi为:%d',4*m/n);
方法一：将整个坐标轴看成一个边长为12的正方形，然后均匀的 这个正方形分成N（N的大小取决于划分的步长）个点，然后找出 N个点中有多少个点是属于阴影部分中， 假设这个值为k， 则阴影部分的面积为：k/N*12^2
方法二：将整个坐标轴看成一 个边长为12的正方形，然后在 （-6，6）中随机出N（N越大 越好，至少超过1000）个点， 然后找出这N个点中有多少个 点在阴影区域内，假设这个值 为k，则阴影部分的面积为： k/N*12^2。然后重复这个过程 100次，求出100次面积计算结 果的均值，这个均值为阴影部 分面积。
算 法 应 用 举 例
在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两 门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避 我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换 射击地点。
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指 示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正 确时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮， 有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮． 现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施的 20次打击结果显现出来，确定有效射击的比率及 毁伤敌方火炮的平均值。
则
n n 1 1 1 1 ˆ E ( I ) E X i E X i n i 1 n i 1
1 n n 1 1 E X E X I . n i 1 n
例如 α=1.9
用 Mont e Carlo 计算 定积 分---
I1.9 x e dx.
0.9 x 0
取 X i ln Ri , Ri U (0,1) :
R1 0.0587, R2 0.0961, R3 0.9019, R4 0.3095, Iˆ 1.497
Γ(1.9)=0.96176 – 模拟结果不好！
用蒙 特卡 洛计 算定 积分
例子说明分析和设计是重要的。 重写积分 x 1 I1.9 xe 0.1 dx. 密度函数为fY ( y ) ye y 0 x 取两个随机数
1 R1 , R2 U (0,1), 令Y R1 ln R2 , 算I1.9 E 0.1 Y
e
x
t2 2
dt
用蒙特卡洛方法进行计算机模拟的步骤：
计 算 机 模 拟
[1] 设计一个逻辑框图，即模拟模型． [2] 根据流程图编写程序，模拟随机现象．可通 过具有各种概率分布的模拟随机数来模拟随机现 象． [3] 分析模拟结果，计算所需要结果.
随 机 数 生 成 函 数
rand(m,n)
中心极限定理
设随机变量序列 X 1 , X 2 ,, X n , 相互 独立，服从同一分布，且有期望和方差：
E ( X k ) , D ( X k ) 2 0 , k 1,2,
则对于任意实数 x , n X n k 1 k 1 lim P x n 2 n
g
引 例
0
g (r ) f (r )dr
用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ (r)的数学期望，即