基于蒙特卡洛方法求数值积分与R
蒙特卡洛模拟法求积分
蒙特卡洛模拟法求积分1. 引言蒙特卡洛模拟法是一种基于随机采样的数值计算方法，被广泛应用于求解各种数学问题。
其中之一便是利用蒙特卡洛模拟法求解积分。
本文将介绍蒙特卡洛模拟法的基本原理、步骤以及在求解积分中的应用。
2. 蒙特卡洛模拟法基本原理蒙特卡洛模拟法以概率统计为基础，通过生成大量的随机样本来近似计算一个问题的解。
其基本原理可以概括为以下几个步骤：•随机生成样本：根据问题的要求，生成符合一定概率分布的随机样本。
•计算函数值：将每个随机样本代入目标函数中进行计算，得到对应的函数值。
•统计平均：对所有函数值进行求和并取平均，得到近似解。
3. 求解积分的蒙特卡洛模拟法步骤在使用蒙特卡洛模拟法求解积分时，需要按照以下步骤进行操作：步骤1：确定积分范围需要明确要求解的积分范围。
假设要求解的积分为∫f(x)dx，其中x的范围从a到b。
步骤2：确定随机样本生成规则根据积分范围确定随机样本生成规则。
可以使用均匀分布或其他概率分布来生成随机样本，确保样本覆盖整个积分区间。
步骤3：生成随机样本使用确定的随机样本生成规则，生成足够数量的随机样本。
通常情况下，生成的样本数越多，计算结果越接近真实值。
步骤4：计算函数值将每个随机样本代入目标函数f(x)中进行计算，得到对应的函数值。
这相当于在积分区间上进行采样，并计算采样点处的函数值。
步骤5：统计平均对所有函数值进行求和并取平均，得到近似解。
根据大数定律，当样本数量充足时，平均值将趋近于真实解。
4. 蒙特卡洛模拟法求解积分示例以下是一个使用蒙特卡洛模拟法求解积分的示例：假设要求解的积分为∫x^2dx，积分范围为0到1。
步骤1：确定积分范围。
积分范围为0到1。
步骤2：确定随机样本生成规则。
使用均匀分布生成随机样本。
步骤3：生成随机样本。
生成足够数量的随机样本，例如10000个。
步骤4：计算函数值。
将每个随机样本代入目标函数f(x)=x^2中进行计算，得到对应的函数值。
步骤5：统计平均。
数值分析21求积分的蒙特卡罗方法
) I 1(
h 2
) 2(
2
h
) k(
4
h
)
2k
2k 2
所以
[ 4T (
h 2
) T ( h )] / 3 I O ( h )
4
记
4T ( ) T ( h ) 2 T1 ( h ) 41
4 6 2k
h
T1 ( h ) I 2 h 3 h k h
m
0
1
2
3
4
5
h 3
[ f ( x 2 k 2 ) 4 f ( x 2 k 1 ) f ( x 2 k )]
k 1
复合Simpson公式
Sm
S1
h 3
h1 3
[ f (a ) f (b ) 2 f ( x 2 k ) 4 f ( x 2 k 1 )]
3/16
R[ f ]
f
(4)
( )
4!
x2 x0
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x 2 ) dx
2
令 h =(b – a)/2, x = x0+ t h ,则
x2 x0
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x 2 ) dx h
2
5
2 0
《数值分析》 21
Simpson公式的误差
格林公式中曲线积分处理 右矩形公式应用 求积分的蒙特卡罗方法
龙贝格外推计算公式
I[ f ]
S[ f ]
b
R[ f ]=I[ f ] – S[ f ]
f ( x ) dx
matlab蒙特卡洛法求定积分
文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。
传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。
而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。
1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。
具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。
2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。
通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。
matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。
3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。
在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。
4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。
蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。
蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
用分裂显技然巧，，这而种对抽样x∈估R计2时技，巧利，用就俄是国对轮x盘∈赌R1，时而，使利 估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重 要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。
4. 半解析（数值）方法
考虑二重积分
g(x, y) f (x, y)dxdy
V2
R
Q g(x, y) f2 ( y
1
N
( x )2 f1(x)dx
6. 分层抽样
考虑积分
1
0 g(x) f (x)dx
在（0，1）间插入J－1个点
0＝α0＜ α1＜ …＜ αJ-1＜ αJ＝1
令
p j
j j1
f (x)dx
f (x) f j (x) 0
pj
j1 x j
其它
j
j j1
g
(
x)
f
j
(
x)dx
则有
从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，然后用
gˆ N
1 N
N
g(xi , yi )
i 1
作为θ的一个无偏估计。
现在，改变抽样方案如下：
(1) 当x∈R1时，定义一个整数n(xi)≥1，对一个xi，抽取 (2) n(xi)个yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值
J
p j j j 1
现的n在j 个，样用本蒙x特ij ，卡那罗么方有法计算θj ，对每个θj 利用 fj(x)中
gˆ
c N
J j 1
p
j
1 nj
nj
g
(
xij
)
i 1
g1(P) Vs g1(P) f1(P)dP
不管那种情况，我们称从最优分布 抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。
用蒙特卡洛方法估计积分值
用蒙特卡洛方法估计积分值一.实验目的：1.初步了解蒙特卡洛算法及其用途2.利用蒙特卡洛算法计算积分值并与其真实之进行比较二.实验原理：做Monte Carlo 时，求解积分的一般形式是：X 为自变量，它应该是随机的，定义域为(x0, x1)，f(x)为被积函数，ψ(x)是x 的概率密度。
Monte Carlo 步骤：1．依据概率分布ψ(x)不断生成随机数x, 并计算f(x)由于随机数性质，每次生成的x 的值都是不确定的，为区分起见，我们可以给生成的x 赋予下标。
如x i 表示生成的第i 个x 。
生成了多少个x ，就可以计算出多少个f(x)的值2．误差分析Monte Carlo 方法得到的结果是随机变量，因此，在给出点估计后，还需要给出此估计值的波动程度及区间估计。
严格的误差分析首先要从证明收敛性出发，再计算理论方差，最后用样本方差来替代理论方差。
三．实验内容：第一题 估计积分，并将估计值与真值进行比较(1).∫322dx x将被积函数展开成[2,3]上的均匀分布，1)(=x f x 2)(x x h =真值为6.3333程序内容运算结果（2）xdx x sin 20∫π将被积函数展开为[0,2π]上的均匀分布，π2)(=x f x ，x x x h sin 2)(π=真值为1程序内容运算结果（3）∫+∞−02dxe x将被积函数展开为（0, ∞+）上参数为2的卡方分布，f(x)=,ℎ()=2程序内容运算结果：第二题估计积分，并对误差进行估计（1）.∫将被积函数展开为(0,1)均匀分布，f(x)=1,ℎ()=程序内容运算结果(2)∫√将被积函数展开为(0,10)上的均匀分布，f(x)=0.1,ℎ()=√ 程序内容四.实验总结：通过实验了解了概率论在值估计及生活中的运用。
通过对上面五个问题的求解知道，由于随机数的任意性，虽然计算机每次的运行结果都是不一样的，但是结果往往与理论值偏差不大。
数值积分和MonteCarlo方法数值积分令则零阶近似
第二章 数值积分和Monte Carlo 方法 第一节 数值积分 ()ba S f x dx =⎰ 令 10,,k k n h x x x a x b +=-==， 则()()()110(),''()k kn k k k k k k k k x x S f x dxf x f x x f f f x f f x +-=='=+-+==∑⎰()x fa k xb x零阶近似()()h f x f k O +=()()()∑∑-=-=O +=O +=110n k k n k k h f h h f h S一阶近似()()()21h hf f x x f x f kk k k O +--+=+ ∵()()⎰+=---=-++1212212122k kx x k k k kk k h x x x x x dx x x∴()()∑-=+O +⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅=102121n k k k k h h f f h f S()()∑-=+O ++=102121n k k k h f f h 从直观看，用()112k k f f ++近似()f x 比只用k f 或1k f +好。
这方法也称Trapezoid 方法。
这样的数值积分方法的优点：● 简单直观，误差可以控制缺点：● “平均主义”，在()0≈x f 的区域，()k f x x ∆对S 贡献很小，但消耗同等的机时。
在多自由度系统这弱点尤为特出。
问题： 直观地看，零级近似和一级近似的差别在哪？ 习题： 编程序数值计算高斯积分。
第二节 Monte Carlo 方法 如何用随机方法求积分？例如，可用‘抛石子’方法。
但这方法不比简单的数值积分有效。
1．简单抽样的Monte Carlo 方法均匀地随机地选取[b a ,]中{}k M x 个点，显然，(11()Mkk S f x M==+O ∑当M 足够大，当然可以得到足够好的积分值。
问题：为什么误差是(1/O ？答 ：不妨把这看成一个M 次测量的实验，假设每次测量都是独立的，由涨落理论，误差应为(1/O 。
基于蒙特卡洛思想的定积分数值解法
海南大学《数理统计》课程设计题目：基于蒙特卡洛思想的定积分数值解法班级：信息与计算科学姓名：体贴的瑾色学号：指导教师：日期：2017.06目录基于蒙特卡洛方法的定积分数值解法 (3)摘要 (3)Abstract (3)一、前言 (4)二、蒙特卡洛求解定积分法 (4)2.1 随机投点法 (4)2.2平均值法 (6)2.3两种方法的比较 (7)三、蒙特卡洛计算二重积分 (8)四、结语 (10)参考文献: (10)附录：MATLAB程序 (10)基于蒙特卡洛方法的定积分数值解法摘要微积分是现代数学和现代物理的一个重要基础，而定积分在生活生产上也具有十分广泛的应用，然而，定积分的计算特别是涉及到较复杂的定积分的话便变的十分困难.本文介绍了蒙特卡洛方法解决定积分求解的两种思路：随机取点法和平均值法，并给出了用matlab实现两种方法的算法程序，最后用两种方法分别计算了几个实例.关键词：蒙特卡洛定积分 matlabAbstractCalculus is an important foundation of modern mathematics and modern physics, and definite integral are also widely used in life production. However, it is very difficult to calculate the definite integral, especially when it comes to more complex. This paper introduces two methods of Monte Carlo method to solve definite integral solution: random point method and mean method, and gives the algorithm to realize two methods by matlab. Finally, we use two methods to calculate several examples respectively.Keys:Monte Carlo definite integralmatlab一、前言蒙特卡洛方法（英语：Monte Carlo method ），也称统计模拟方法，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法.是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法.蒙特卡洛方法是属于统计实验的一种方法，主要通过统计抽样实验为各种各样的数学问题提供近似解，所以也被称为随机抽样技术.而正是因为蒙特卡洛方法的原理使得这种方法得到的结果基本上都会存在误差，不过可喜的是这种误差随着取的随机数的数量的增大而减小.所以，随着计算机的发展，蒙特卡洛算法的精确度一直在提高.定积分的求解是蒙特卡洛方法解决的最好的问题之一，特别是在涉及到重积分的情况下，这种方法往往是科研工作者比较喜欢的方法之一.二、蒙特卡洛求解定积分法 2.1 随机投点法伯努利大数定理说明：随着试验次数n 的增大，事件A 发生的频率nS n与其频率p 的偏差nS p n-大于预定给定的精度ε的可能性愈来愈小，要多小就多小，这就是说当试验次数足够多的话，频率稳定于概率.所以，随机投点法的方法的原理就是重复进行大量实验，然后用观测到的频率代替概率作为所求结果.比如求定积分1()J f x dx =⎰，其中0()1f x ≤≤，可设二维随机变量(,)X Y 服从正方形{}01,01x y ≤≤≤≤上的均匀分布，则可知X 服从[0,1]上的均匀分布，Y 也服从[0,1]上的均匀分布且X 和Y 相互独立，又记事件{()},A Y f X =≤则A 的概率为1()100(())()f x p P Y f X dydx f x dx J =≤===⎰⎰⎰我们只需要找到A 事件出现的频率即可，即将(,)X Y 看成是向正方形{}01,01x y ≤≤≤≤内的随机投的点，用随机点在区域{y (x)}f ≤中的频率作为定积分的值.算法流程是：(1).先用计算机产生(0,1)上均匀分布的2n 个随机数，组成n 对随机数(,),1,2,...,i i x y i n =其中n 应该足够大.(2).对这n 对随机数(,),1,2,...,i i x y i n =记录满足()i i y f x ≤的次数，由此可得到事件A 发生的频率nS n，则n S J n =.注意对于一般区间[,]a b 上的定积分'()baJ g x dx =⎰，其中()g x 为可积函数，文献[1]给出一种解法是做线性变换将'J 转换成J 的形式.本文给出另外一种算法来计算'J ，我们知道一重定积分的几何意义是求曲线和坐标轴所包围的面积，但是这里面临一个问题就是包围的面积可负可正，另外此时的总区域面积也不再是1，所以如果按照上述流程(2)显然会出现问题，所以，本文对(2)进行改良后的新的第二步是：(2)’记max(()),min(())c f x d f x ==，记录满足0()i i y f x ≤≤出现的次数1k ，和满足()0i i f x y ≤≤的次数2k ，算得新的频率为12k k n-.若00c d ><且，则()*()S c d b a =--，或者0d >则*()S c b a =-或者0c <，则*()S d b a =--.最后得到12*k k J S n-=.譬如计算2/221/x J e--=⎰,其精确值由matlab 函数integral 给出（下同），取510n =，运行100次后得到的结果为模拟后得到的值的分析为（误差计算公式为10021(-)t =∑模拟值精确值,下同）：当1000n =时的投点图为2.2平均值法计算定积分1()J f x dx =⎰，其中()f x 可积.设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，则()Y f x =的数学期望为1(())().E f x f x dx J ==⎰所以估计期望就是估计所求值，由辛钦大数定理，可以用()f X 观察值的平均去估计()f X 的期望值.具体做法如下：先用计算机产生n 个在(0,1)上均匀分布的随机数,1,2,...,i x i n =，然后对每个i x 计算()i f x ，最后得到J 的估计值为11()ni i J f x n ==∑.至于一般区间(,)a b 上定积分()b a J f x dx =⎰的计算，按照上述流程因为11(())()baE f x f x dx J b a b a ==--⎰,所以1()ni i b a J f x n =-=∑. 譬如计算2321/xxJ e -+-=⎰取610n =，运行100次后得到的结果为模拟后得到的值的分析为2.3两种方法的比较本为将通过计算几个例子来比较两种方法的优劣性. 比如计算3322/x x J e -+=⎰综合的的比较为：又比如计算322J x xdx -=-⎰结果为：综合比较结果为：显然在一重定积分的计算上，虽然两种方法平均值都接近于精确解，但是不管是平均值法方差还是误差都较之随机投点法更小，所以平均值法性能更好一些.三、蒙特卡洛计算二重积分计算二重积分其实和计算一重积分差距并不是很大。
用蒙特卡洛方法计算积分
用蒙特卡洛方法计算积分简介蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样来计算数学问题的方法。
在计算积分时，蒙特卡洛方法可以提供一种简单而有效的解决方案。
方法步骤1. 确定积分范围：首先确定要计算的积分范围，并将其表示为一个多维的定积分。
2. 创建随机点：生成一组随机点，这些随机点需要在积分范围内均匀分布。
3. 判断点的位置：对于每个随机点，判断它是否在被积函数的曲线下方。
4. 计算积分值：计算在被积函数下方的点数与总随机点数的比例，并乘以积分范围的体积，得到积分的近似值。
优势和注意事项蒙特卡洛方法的优势在于其简单性和适用性广泛性。
然而，在使用蒙特卡洛方法进行积分计算时，需要注意以下几点：- 随机点的数量：随机点的数量越多，计算结果越精确，但计算时间也会增加。
- 积分范围的选择：选择合适的积分范围可以提高计算效率和准确性。
- 随机点的生成：生成随机点需要遵循均匀分布原则，以确保计算结果的准确性。
示例以下是使用蒙特卡洛方法计算积分的示例代码：import randomdef monte_carlo_integration(f, a, b, n):count = 0for _ in range(n):x = random.uniform(a, b)y = random.uniform(min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b)))if 0 < y <= f(x):count += 1return count / n * (b - a) * (max(f(a), f(b)) - min(f(a), f(b)))def f(x):被积函数定义，根据实际情况修改return x**2a = 0 # 积分下限b = 1 # 积分上限n = # 随机点数量result = monte_carlo_integration(f, a, b, n)print("Approximate integral value:", result)注意：上述代码仅为示例，实际运行时请根据需要修改被积函数和参数。
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统计计算课程设计题目基于蒙特卡洛方法求数值积分中文摘要蒙特卡洛方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在上世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
1利用随机投点法，平均值法，重要性采样法，分层抽样法，控制变量法，对偶变量法，运用R软件求1d xe xθ-=⎰，42d x e xθ-=⎰和12d1xexxθ-=+⎰数值积分。
计算以上各种估计的方差，给出精度与样本量的关系，比较各种方法的效率，关键字蒙特卡洛随机投点法平均值法 R软件21 绪论蒙特卡洛的基本思想是，当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
蒙特卡洛方法解题过程的三个主要步骤：（1）构造或描述概率过程对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。
即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
（2）实现从已知概率分布抽样构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡洛方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡洛方法被称为随机抽样的原因。
最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。
随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。
随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。
产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。
在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。
另一种方法是用数学递推公式产生。
这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。
不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。
由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。
由此可见，随机数是我们实现蒙特卡洛模拟的基本工具。
（3）建立各种估计量一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。
建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。
122方法介绍随机投点法随机投点法是进行n 次试验，当n 充分大的时候，以随机变量k/n 作为期望值E(X)的近似估计值，即n k p X E /)(=≈其中k 是n 次实验中成功的次数。
若一次投点试验的成功概率为p ，并以⎩⎨⎧=，表明试验失败表明试验成功0,1i X则一次试验成功的均值与方差为p p p X E i =-⋅+⋅=)1(01)()1()1(01)(222p p p p p X Var i -=--⋅+⋅=若进行n 次试验，其中k 次试验成功，则k 为具有参数为（n,p ）的二项分布，此时，随机变量k 的估计为n k p /=显然，随机变量的均值和方差满足()()p k E nn k E p E ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=1()()np p p Var -=1dd3设计算的定积分为()dx x f I ba⎰=，其中a,b 为有限数，被积函数f(x)是连续随机变量ξ的概率密度函数，因此f(x)满足如下条件:()⎰+∞∞=-1)(dx x f x f 非负，且显然I 是一个概率积分，其积分值等于概率)(b a P <≤ξ。
下面按给定分布f(x)随机投点的办法，给出如下Monte Carlo 近似求积算法：(1)产生服从给定分布的随机变量值,i=1,2,…,N;(2)检查i x 是否落入积分区间。
如果条件b x a i <≤满足，则记录i x 落入积分区间一次。
假设在N 次实验以后，落入积分区间的总次数为n ，那么用 Nn I = 作为概率积分的近似值，即 Nn I ≈ 平均值法任取一组相互独立、同分布的随机变量{}i ξ，i ξ在[a,b]内服从分布率p(x),令,则也是一组相互独立、同分布的随机变量，而且(){}()()()I dx x f dx x p x p p E bab ai ===⎰⎰**ξ由强大数定理()1*1lim 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∞→N i i N I p N p ξ4若记 ()I p N i Ni =∑=ξ1*1,则依概率1收敛到I ，平均值法就是用I 作为I 的近似值。
假如所需计算积分为()dx x f I ba ⎰=，其中被积函数在[a,b]内可积，任意选择一个有简单办法可以进行抽样的概率密度函数p(x)，使其满足条件：● ()()()b x a x f x p <≤≠≠时当0,0●1)(=⎰badx x p记 ()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,*x p x p x p x f x p 则所求积分为()()dx x p x p I ba⎰=*因而Monte Carlo 近似求积算法为：(1) 产生服从分布率p(x)的随机数 N i x i ,...,2,1,=(2) 计算均值()∑==Ni i p N I 1*1ξ,即有I I ≈重要性采样法从数学角度上看定积分可以看成()()()dx x g x f x g I ⎰=10 其中g(x)是某个随机变量X 的密度函数，因此积分值I 可看成随机变量5Z=f(x)/g(x)的数学期望值()()()∑∑===≈=Ni i i Ni ix g x f N z NZ E I 1111为了减少模拟实验的方差应适当选取g(x),使Var （I ）尽可能小，如果被积函数f(x)>0,可取g(x)=cf(x),当c=1/I 时就有Var(I)=0.一般应选取和f(x)相似的密度函数g(x)，使f(x)/g(x)接近于常数，故而Var(I)接近于0，以达到降低模拟实验的方差，这种减少方差的模拟试验法为重要抽样法。
分层抽样法分层抽样法是利用贡献率大小来降低估计方差的方法。
它首先把样本空间D 分成一些不交的小区间mi U D 1==，然后在各个小区间内的抽样数由其贡献大小决定。
即，定义()dx x f p iD i ⎰=，则iD 内的抽样数in 应与ip 成正比。
考虑积分()dx x f ⎰=1θ将[0,1]分成m 个小区间：1...010=<<<=m a a a 则()()∑∑⎰⎰=====-mi imi a a Idx x f dx x f ii 1111θ记1--=i i i a a l 为第i 个小区间的长度，i=1,2,...,m ，在每个小区间上的积分值可用均值法估计出来，然后将其相加即可给出θ的一个估计。
具体步骤为：1）独立产生U(0，1)随机数{,...1,=j u ij 2）计算,...1,1=+=-j u l a x ij i i ij63）计算()∑==il j ijii x f n l I 1ˆ于是θ的估计为∑==mi iI 1ˆˆθ，其方差为()∑==mi i i i n l Var 122ˆσθ 其中，()2221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰-i i a a i i l I dx l x f ii σ对偶变量法控制变量法利用数学上积分运算的线性特性:()()()[]()dx x g dx x g x f dx x f ⎰⎰⎰+-=选择函数g(x)时要考虑到：g(x)在整个积分区间都是容易精确算出, 并且在上式右边第一项的运算中对(f-g)积分的方差应当要比第二项对f 积分的方差小。
在应用这种方法时，在重要抽样法中所遇到的，当g(x)趋于零时，被积函数(f-g)趋于无穷大的困难就不再存在，因而计算出的结果稳定性比较好。
该方法也不需要从分布密度函数g(x)， 解析求出分布函数G(x)。
由此我们可以看出选择g(x)所受到的限制比重要抽样法要小些。
模拟过程：1)独立产生U(0，1)随机数{,...1,=j u ij2)计算)(1ˆ15∑==n i i x f n θ ()∑=-=ni i x f n 1511~θ73)计算()()()∑=-+=+=ni iix f x f n1552112~ˆˆθθθ控制变量法通常在蒙特卡洛计算中采用互相独立的随机点来进行计算。
对偶变量法中却使用相关联的点来进行计算。
它利用相关点间的关系可以是正关联的，也可以是负关联的这个特点。
两个函数值1f 和2f 之和的方差为{}{}{}{}(){}(){}221121212f E f f E f E f V f V f f V --++=+如果我们选择一些点，它们使1f 和2f 是负关联的。
这样就可以使上 式所示的方差减小。
当然这需要对具体的函数1f 和2f 有充分的了解 1）独立产生U(0，1)随机数{,...1,=j u ij2）计算()∑==ni i x f n 121ˆθ，找g(x),f(x)是相关的，且E[g(x)]=μ 3）计算()∑=-+=ni i x g n 126)(1ˆˆμλθθ 3 程序及实现结果10d x e x θ-=⎰的求解随机投点法先利用R 软件产生服从[0,1]上均匀分布的随机数 X,Y, ，计算)(x f y <的个数，即事件发生的频数，求出频率，即为积分的近似值。
R程序s1<-function(n){f<-function(x) exp(-x)a<-0b<-1x<-runif(n)y<-runif(n)m<-sum(y<f(x))j=m/nvar<-1/n*var(y<f(x))lis<-list(j,var)return(lis)}s1(10^4)s1(10^5)s1(10^6)89s1(10^7)对模拟次数n 调试了4次，分别为7654,,,n n n n ，得到精确值和模拟值。
表 随机投点法的模拟次数和模拟值精确值为 平均值法先用R 软件产生n 个服从[0,1]上均匀分布的随机数i x ，计算)(i x f ,再计算)(i x f 的平均值，即为定积分的近似值 R 程序p1<-function(n) {f<-function(x) exp(-x) a<-0 b<-1 x<-runif(n) y<-mean(f(x))n 410 510 610 710模拟值 方差10var<-1/n*var(f(x)) lis<-list(y,var) return(lis) }p1(10^4) p1(10^5) p1(10^6) p1(10^7)对模拟次数n 调试了4次，分别为7654,,,n n n n ，得到精确值和模拟值。