蒙特卡罗方法计算定积分
蒙特卡洛积分公式推导
蒙特卡洛积分公式推导蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）是一种用于计算定积分的数值方法，它基于随机抽样和概率的思想。
咱们先来说说为啥会有蒙特卡洛积分这玩意儿。
想象一下，你面对一个超级复杂的函数，传统的积分方法比如牛顿-莱布尼茨公式根本搞不定，这时候蒙特卡洛积分就像个救星一样出现啦！那它到底是咋推导出来的呢？假设咱们要计算一个函数 f(x) 在区间[a, b] 上的定积分。
按照传统的想法，就是把这个区间分成很多小份，然后对每个小份进行计算，最后加起来。
但蒙特卡洛积分不这么干，它另辟蹊径。
咱们在区间 [a, b] 里随机地抽取很多个点 x_i ，然后计算这些点对应的函数值 f(x_i) 。
接下来，咱们计算这些函数值的平均值，乘以区间的长度（b - a），神奇的事情就发生了，这个结果就会逐渐接近真正的积分值。
举个例子哈，比如说咱们要计算函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分。
按照蒙特卡洛积分的思路，咱们随机在这个区间里选比如说 1000 个点，像 0.123、0.789 等等。
然后算出这些点对应的函数值，比如说f(0.123) = 0.015129 。
把这 1000 个函数值加起来求个平均值，假设是0.33 吧。
然后乘以区间长度 1 - 0 ，也就是 1 ，得到的结果就会很接近真正的积分值 1/3 。
再从数学的角度来推导一下。
设 I 为我们要求的积分值，即I = ∫(ato b) f(x) dx 。
我们在区间 [a, b] 中随机抽取 N 个点 x_i ，对应的函数值为 f(x_i) 。
那么这 N 个函数值的平均值就是 (1/N) * ∑(i = 1 to N) f(x_i) 。
当 N 趋向于无穷大时，这个平均值就趋向于在区间 [a, b] 上 f(x) 的期望值 E[f(x)] 。
而期望值 E[f(x)] 可以表示为∫(a to b) f(x) * p(x) dx ，其中 p(x) 是 x 在区间 [a, b] 上的概率密度函数。
基于蒙特卡罗算法计算圆周率和定积分数
基于蒙特卡罗算法计算圆周率和定积分数摘要：文章描述了如何用蒙特卡罗算法计算圆周率π和不规则函数定积分的值，蒙特·卡罗方法，也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
关键词：蒙特卡罗算法；随机；圆周率,积分；•The monte Carlo method is used to calculate the value of PI and definite integralYE Chuhan Guan Mengyu Luo Yudong(Software College, Shenyang Normal University, Shenyang 110034,China)Abstract: Article describes how to use a monte carlo algorithm calculating the value of PI and irregular function of definite integral, monte carlo method, also known as statistical simulation method, in the mid - 1940 due to the development of science and technology and the invention of the computer, and proposed a kind of probability and statistics theory as the guidance of a class of important numerical method.Random Numbers (or, more commonly, pseudorandom Numbers) are used to solve many computational problems.Keywords: Monte Carlo method; Pi; random; Definite integral;引言综述目前研究现状，人们很早就发现了圆周率，中国古代数学家刘徽在三国时期，就利用割圆术计算了圆周率小数点后3位。
matlab蒙特卡洛法求定积分
文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。
传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。
而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。
1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。
具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。
2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。
通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。
matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。
3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。
在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。
4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。
蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。
python编程通过蒙特卡洛法计算定积分详解
python编程通过蒙特卡洛法计算定积分详解想当初，考研的时候要是知道有这么个好东西，计算定积分。
开玩笑，那时候计算定积分根本没有这么简单的。
但这确实给我打开了⼀种思路，⽤编程语⾔去解决更多更复杂的数学问题。
下⾯进⼊正题。
如上图所⽰，计算区间[a b]上f(x)的积分即求曲线与X轴围成红⾊区域的⾯积。
下⾯使⽤蒙特卡洛法计算区间[2 3]上的定积分：∫(x2+4*x*sin(x))dx# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(x):return x**2 + 4*x*np.sin(x)def intf(x):return x**3/3.0+4.0*np.sin(x) - 4.0*x*np.cos(x)a = 2;b = 3;# use N drawsN= 10000X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)# 蒙特卡洛法计算定积分：⾯积=宽度*平均⾼度Imc= (b-a) * np.sum(Y)/ N;exactval=intf(b)-intf(a)print "Monte Carlo estimation=",Imc, "Exact number=", intf(b)-intf(a)# --How does the accuracy depends on the number of points(samples)? Lets try the same 1-D integral# The Monte Carlo methods yield approximate answers whose accuracy depends on the number of draws.Imc=np.zeros(1000)Na = np.linspace(0,1000,1000)exactval= intf(b)-intf(a)for N in np.arange(0,1000):X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)Imc[N]= (b-a) * np.sum(Y)/ N;plt.plot(Na[10:],np.sqrt((Imc[10:]-exactval)**2), alpha=0.7)plt.plot(Na[10:], 1/np.sqrt(Na[10:]), 'r')plt.xlabel("N")plt.ylabel("sqrt((Imc-ExactValue)$^2$)")plt.show()>>>Monte Carlo estimation= 11.8181144118 Exact number= 11.8113589251从上图可以看出，随着采样点数的增加，计算误差逐渐减⼩。
7.蒙特卡罗方法在积分计算中的应用——【数学建模 蒙特卡罗算法】
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂
•
设整数 n≥1，令
gi (P) g(P) n
•
则
i Vs gi (P) f (P)dP
n
•
gi(P)于为是原计来算θ的θ的估问计题Vgs，(gP)(可P的化) 1f为/(Pn计)，d算P这n就个i是1θ分i 的i 裂和技来巧得。到，而每个
2) 俄国轮盘赌
N
g(xi , yi )
i 1
•
其方差为
2 gˆ N
1 N
2 x
f1
(
x)dx
•
与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约
1
N
( x )2 f1(x)dx
6. 分层抽样
•
考虑积分
1
•
g(x) f (x)dx
•
特别地，当 g(P)≥0 时，有
g(P) f (P) g(P) f (P)
f1(P)
g(P) f (P)dP
Vs
•
这时
2 g1
0
•
即 g1的方差为零。实际上，这时有
g1(P) Vs g1(P) f1(P)dP
•
不管那种情况，我们称从最优分布 称函数 | g(P) | 为重要函数。
fl(P)的抽样为重要抽样，
•
我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：
•
从 fl(x) 中抽取 xi，
xi
f1 ( x)dx
1i
•
再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，
yi
f2(y
xi )dy 2i
•
现在改变 xi 的抽样方法如下：
xi
f1(x)dx i
蒙特卡洛方法求定积分一
蒙特·卡罗（Monte Carlo）法是一种统计模拟方法，通常是利用随机数来解决一些数值计算问题，本文要讲的就是利用蒙特·卡罗方法来求解数值积分。
基本思路首先我们知道定积分其实就是一个面积，将其设为I，现在我们就是要求出这个I。
我们的想法是通过在包含定积分的面积为S的区域（通常为矩形）内随机产生一些随机数，其数量为N，再统计在积分区域内的随机数，其数量为i，则产生的随机数在积分区域内的概率为iN，这与积分区域与总区域面积的比值IS应该是近似相等的，我们利用的就是这个关系，即IS≈iN最后即得所求定积分算式为：I=iNS代码部分有了上面的铺垫，我们就可以来写MATLAB代码了。
我们要求的定积分为∫0πsinxdx.对于上述积分我们很容易可以得到其解析解为2，下面我们来看用蒙特·卡罗方法得到的结果，输入代码% Monte Carlo% 蒙特卡洛法求定积分clearN = 1e4;x_min = 0; x_max = pi;f = @(x) sin(x);xx =x_min:0.01:x_max;x = x_min + (x_max-x_min)*rand(N,1);y_min = min(f(xx)); y_max = max(f(xx));y = y_min +(y_max-y_min)*rand(N,1);i = y < f(x);I = sum(i)/N*(x_max-x_min)*(y_max-y_min);% 画图plot(x,y,'go',x(i),y(i),'bo')axis([x_min x_max y_min y_max])hold onplot(xx,f(xx),'r-','LineWidth',2)。
python蒙特卡洛方法求积分
python蒙特卡洛方法求积分蒙特卡洛方法是一种利用随机数和概率统计的方法来求解数学问题的技术。
在求解积分的问题中，蒙特卡洛方法可以用来估计函数在给定区间上的积分值。
下面我将从蒙特卡洛方法的原理、具体步骤以及Python代码实现等方面来全面回答你的问题。
首先，让我们来了解一下蒙特卡洛方法的原理。
蒙特卡洛方法的核心思想是利用随机抽样的结果来近似计算数学问题的解。
在求解积分的问题中，可以通过在给定区间上进行随机抽样，然后利用这些随机抽样点的函数值的平均数来估计积分值。
当抽样点数量足够大时，蒙特卡洛方法可以得到比较准确的积分估计值。
接下来，让我们来看一下蒙特卡洛方法求解积分的具体步骤。
首先，我们需要确定积分的区间和要求解的函数。
然后，在该区间上进行随机抽样，得到一系列的随机点。
接着，计算这些随机点对应函数值的平均数，并乘以积分区间的长度，即可得到积分的近似值。
最后，让我们来看一下如何用Python实现蒙特卡洛方法来求解积分。
我们可以利用Python中的随机数生成函数来进行随机抽样，然后计算函数值的平均数，并乘以积分区间的长度来得到积分的估计值。
下面是一个简单的示例代码：python.import random.def monte_carlo_integration(func, a, b, n):total = 0。
for _ in range(n):x = random.uniform(a, b)。
total += func(x)。
return (b a) total / n.# 示例，求解函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分。
def f(x):return x 2。
a = 0。
b = 1。
n = 1000000。
result = monte_carlo_integration(f, a, b, n)。
print("积分的估计值为，", result)。
在这个示例中，我们定义了一个名为monte_carlo_integration的函数来实现蒙特卡洛积分的方法。
用蒙特卡罗方法计算定积分
19.
20.
sum/4000
结果如图
由图可知，结果稳定在0.46附近。 有牛顿-莱布尼茨公式可知
5.
xlabel('x轴'),ylabel('y轴')
6.
7.
for n=1:4000
8.
sumset(n)=0;
9.
end
10.
11.
sum=0;
12.
13.
for n=1:4000
14.ห้องสมุดไป่ตู้
sum=sum+sin(random(n));
15.
sumset(n)=sum/n;
16.
end
17.
18.
subplot(2,1,2),plot(x,sumset);
其中，
是计算机上生成的伪随机数。
用蒙特卡罗方法积分
首先选定一个区间
，然后抽取4000个随机点的坐标
服从区间 上的均匀分布。
，他们
利用MATLAB生成区间随机掷点效果图
1.
random = unifrnd(0,1,1,4000);%生成4000个区间[0,1]上服从均匀分布的随机数
2.
x=0.00025:0.00025:1;
服从区间 上的均匀分布。
利用MATLAB生成区间随机掷点效果图
，他们
1. random = unifrnd(0,1,1,4000);%生成4000个区间[0,1]上服从均匀分布的随机数
2.
x=0.00025:0.00025:1;
3.
y=sin(x);
4.
subplot(2,1,1),plot(x,y,'k',x,random,'.');
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蒙特卡罗方法计算定积分
作者：黄婧涵
来源：《科学家》2017年第07期
摘要数学领域中，定积分计算问题应用广泛，经典的定积分数学定义方法可直接用于求解定积分，但是，对于函数解析式未知的情况下，传统的数学定义方法无法进行定积分计算，而蒙特卡罗方法对函数解析式不进行限制，其以概率方法进行近似计算从而逐渐逼近定积分理论值。
本文针对函数解析式已知与未知的两种情况，分别以定积分数学定义方法和蒙特卡罗方法进行定积分计算，并从算法收敛速度以及计算结果精确度两方面对算法进行评测。
实验结果表明，定积分数学定义法收敛速度快，计算精度高，但是普适性低，对于函数解析式未知情况下无法进行计算；而蒙特卡罗方法尽管收敛速度较慢，但是普适性极高，且函数解析式未知情况下，效果更优。
关键词微积分；定积分；蒙特卡罗方法；收敛速度
中图分类号 O1 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）07-0003-02
1 概述
微积分[ 1 ]是数学领域的一个基础学科，是高等数学中研究函数微分、积分以及有关概念与应用的数学分支，其研究范畴包含3个方面：微分、积分以及微分与积分两者之间的关系。
若（）f x是[a，b]上的连续函数，并且有’（）（）F xf x=，则（）（）（）baf x dxF bF a∫=？。
也就是说，一个定积分的值就是原函数积分上限的值与原函数在积分下限的值的差值，即牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。
其表明对于图形无限细分再累加成为可能，并可将其转化为对积分的计算，揭示了积分与微分本质的关系，因此牛顿-莱布尼兹公式又称微积分基本定理。
然而计算定积分[ 2 ]的数学定义方法以及牛顿-莱布尼兹公式方法都仅限于函数（）f x解析式已知的情况，对于（）f x未知解析式的情况下，无法进行定积分求解。
蒙特卡罗（Monte-Carlo）[3]方法是20世纪40年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，被提出的一种以概率理论[4]为指导的一类极其重要的数值计算方法，是以随机抽样为主要手段，使用随机数（或伪随机数）解决数值计算问题的方法，又称统计模拟方法。
蒙特卡罗方法是一种重要的利用计算机模拟的近似计算方法，主要用于解决确定性的数学问题（如计算定积分）和随机性问题（如扩散问题），广泛应用于各个领域。
对于定积分计算领域因函数（）f x解析式未知而无法运用定义方法进行定积分计算的难题，蒙特卡罗方法以统计模拟方法进行定积分计算。
2 蒙特卡罗方法计算定积分
定积分就是求解函数（）f x在区间[a，b]上图线下方包围的面积，即在Oxy坐标平面上，曲线（）f x与直线xa=、xb=以及x轴围成的曲边梯形的面积值（确定的实数值）。
其数学定义为：若函数（）f x在区间[a，b]上连续，以平行于y轴的直线分割图象为无数个矩形，而后累加区间[a，b]上的矩形。
具体方法如下：
对于定积分计算问题，若函数（）f x解析式已知，则可以传统的数学定义方法可直接求解定积分，亦可以蒙特卡罗方法以概率的近似计算方法求解定积分；但是对于函数（）f x解析式未知的情况，传统的数学定义方法无法进行定积分计算，而以概率论进行近似计算的蒙特卡罗方法对函数解析式无限定，依旧适用于定积分计算。
3 实验结果
针对函数（）f x解析式已知与未知的两种情况，分别以数学定义方法与蒙特卡罗方法进行定积分计算，实验结果如下。
4 结论
综上所述，两种方法在不同情况下收敛效果不同。
定积分数学定义方法适用于给定函数解析式的定积分求解，其收敛速度快，计算结果精度高，然而普适性较低，难以实现函数解析式未知的定积分求解问题；而蒙特卡罗方法尽管收敛速度较慢，精度较低，实验结果误差并非单调递减趋势，但是普适性强，对函数解析式未知的定积分计算依然适用。
参考文献
[1]同济大学数学编委组.微积分：上册[M].3版.北京：高等教育出版社，2009.
[2]马晓涛，马华.定积分计算中的几个常用方法[J].高等数学研究，2005，8（6）：36.
[3]尹增谦等.蒙特卡罗方法及其应用[J].物理与工程，2002，12（3）：45-49.
[4]马振华.现代应用数学手册：概率统计与随机过程卷[M].北京：清华大学出版社，2000：123-130.
[5]宫野.计算多重积分的蒙特卡罗方法与数论网络法[J].大连理工大学学报，2001，4（11）：20-23.。