用蒙特卡罗方法计算国土面积问题
关于蒙特卡罗方法的直观理解
关于蒙特卡罗的理解1.从不规则图形面积说起1.1趣闻曾听到过如下一个有趣的故事：当年某革命根据地欲算出其面积，因为根据地的边界极不规则，办事员犯了难，一个木匠用如下办法算得结果：把根据地图贴在一块厚度均匀且重量为W0的矩形木板上，由地图所标的比例尺不难算出该矩形木板所代表的实际面积（记为S）。
然后用锯子沿不规则的界线锯出根据地，并秤得其重量（W1）。
最后，根据地的实际面积是S×W1/W0。
1.2用统计模拟方法计算不规则图形的面积——蒙特卡罗方法的基本思路下面我们介绍如何使用统计模拟方法来计算上述公式中的比值W1/W0，这时应把它理解为地图中根据地的图形面积与整张矩形图纸面积之比。
首先在地图上建立二维坐标系统，原点放在左下角上，并记地图的x轴方向长度为a，而y方向长为b。
设(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(x1，y1)是依次落在图上的n个服从均匀分布的随机点，其中有，几个落在根据地内.只要n足够大，则我们所需的比值可以通过m/n来估算。
历史上，有人编制了长长的随机数表供需要者使用，每个随机数可看作是区间(0，1)上的均匀分布随机变量的一个抽样，各随机数之间被认为是相互独立的。
设r1，r2，r3，r4…是这样的随机序列，可用如下公式把随机数列转换成我们所需的二维坐标序列:上面描述的便是古典蒙特卡罗方法求解问题的基本思路。
如果真要从一本随机数表中逐个查出所需的随机数，必然很费时间，使解题规模和精度大受限制，从而防碍了方法的实际应用。
电脑的出现，使MC方法的应用改观，电脑上可以通过调用一个专门的子程序(亦称随机数发生器)来产生区间(0,1)上均匀分布随机变量的抽样，称之为伪随机数(pseudo–random number)，因为所得的数列虽然看起来随机，甚至能通过真正的随机数列应该通过的许多统计检验，毕竟它是由确定(而非随机)性的数学公式递推产生的。
由于电脑上使用的几乎全是这类伪随机数，所以“伪”字常被略去。
蒙特卡罗算法举例
蒙特卡罗算法举例
蒙特卡罗算法（Monte Carlo algorithm）是一种基于随机样本的计算方法，它通过模拟大量的随机数据来获得问题的概率性结果。
这种算法可以用于估计数学问题、物理问题、金融问题以及其他实际应用中的复杂问题的解。
下面将以几个实际例子来说明蒙特卡罗算法的应用。
例1：估计圆周率π的值
具体步骤：
1.在正方形内生成大量均匀分布的随机点。
2.统计落入圆形内的点的数量。
3.通过落入圆形的点的数量与总点数的比例来估计π的值。
例2：绘制希腊国旗
具体步骤：
1.建立一个正方形区域。
2.在正方形区域内随机生成大量的点。
3.统计每个小正方形内的点的数量。
4.将每个小正方形的点的数量转化为绘制像素点的比例。
例3：计算投资回报率的概率分布
具体步骤：
1.建立资产的收益率分布模型，可使用历史数据进行参数估计。
2.随机生成资产的未来收益率。
3.根据资产的权重计算投资组合的回报率。
4.迭代多次，统计投资组合回报率的概率分布。
例4：模拟森林火灾蔓延的概率
具体步骤：
1.建立一个森林地区的模型，包括地形、植被分布等信息。
2.随机生成火源的起始位置。
3.模拟火势的蔓延规律，考虑风向、植被密度等因素。
4.统计火灾烧毁的面积。
以上是几个蒙特卡罗算法的应用示例。
蒙特卡罗算法的优点是可以解决复杂问题，并提供概率性结果。
但需要注意的是，结果的准确性受到样本数量的影响，样本数量越大，结果越接近真值。
此外，算法的运行效率也是一个需要考虑的因素。
蒙特卡洛方法及应用
蒙特卡洛方法及应用蒙特卡洛方法是一种基于随机采样的数值计算方法，它在各种科学和工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍蒙特卡洛方法的基本原理、算法和在各个领域中的应用，以帮助读者更好地理解和应用这种方法。
蒙特卡洛方法是一种基于概率的统计方法，它通过随机采样来模拟复杂系统的行为。
这种方法最早起源于20世纪中叶，当时科学家们在使用计算机进行数值计算时遇到了很多困难，而蒙特卡洛方法提供了一种有效的解决方案。
蒙特卡洛方法的基本原理是，通过随机采样来模拟系统的行为，并通过对采样结果进行统计分析来得到系统的近似结果。
这种方法的关键在于，采样越充分，结果越接近真实值。
蒙特卡洛方法的算法主要包括以下步骤：1、定义系统的概率模型；2、使用随机数生成器进行随机采样；3、对采样结果进行统计分析，得到系统的近似结果。
蒙特卡洛方法在各个领域中都有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，蒙特卡洛方法被用来模拟股票价格的变化，从而帮助投资者进行风险评估和投资策略的制定。
在物理领域中，蒙特卡洛方法被用来模拟物质的性质和行为，例如固体的密度、液体的表面张力等。
在工程领域中，蒙特卡洛方法被用来进行结构分析和优化设计等。
总之，蒙特卡洛方法是一种非常有用的数值计算方法，它通过随机采样和统计分析来得到系统的近似结果。
这种方法在各个领域中都有着广泛的应用，并为很多实际问题的解决提供了一种有效的解决方案。
随着金融市场的不断发展，期权作为一种重要的金融衍生品，其定价问题越来越受到。
而蒙特卡洛方法和拟蒙特卡洛方法作为两种广泛应用的定价方法，具有各自的特点和优势。
本文将对这两种方法在期权定价中的应用进行比较研究，旨在为实际操作提供理论支持和指导。
一、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机模拟的数学方法，其基本原理是通过重复抽样模拟金融市场的各种可能情况，从而得到期权的预期收益。
该方法具有以下优点：1、可以处理复杂的金融市场情况，包括非线性、随机性和不确定性的问题。
蒙特卡罗模拟方法-计算统计
6
6
在等概率X的F 情 n况下，可使用如下更简单的 方法：
X F [6 ] 1
其中［］表示取整数。
连续型分布的直接抽样方法
对于连续型分布，如果分布函数F(x) 的反
函数 F－1(x)存在，则直接抽样方法是 ：
X F F 1( )
例3. 在［A，B］上均匀分布的抽样
在［a，b］上均匀分布的分布函数为：
Matlab常用的随机数产生函数
函数名
调用形式
函数注释
betarnd
R=betarnd(A,B)
分布随机数产生函数
binornd R=binornd(N,P,MM,NN) 二项分布随机数产生函数
chi2rnd
R=chi2rnd(v)
卡方分布随机数产生函数
frnd
R= frnd(v1,v2)
F分布随机数产生函数
计算统计 Monte Carlo
MONTE CARLO方法的发展历史
早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来 决定事件的“概率”。从方法特征的角度来说可以 一直追溯到18世纪后半叶的蒲丰（Buffon）随机投 针试验，即著名的蒲丰问题。
1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来好 些客人玩投针游戏（针长是线距之半）， 他事先没有给客人讲与π有关的事。客 人们虽然不知道主人的用意，但是都参 加了游戏。他们共投针2212次，其中 704次相交。蒲丰说，2212/704=3.142， 这就是π值。这着实让人们惊喜不已。
①能够比较逼真地描述具有随机性质的 事物的特点及物理实验过程
从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可 以部分代替物理实验，甚至可以得 到物理实验难以得到的结果。用蒙 特卡罗方法解决实际问题，可以直 接从实际问题本身出发，而不从方 程或数学表达式出发。它有直观、 形象的特点。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法求助编辑百科名片蒙特卡罗模拟是一种计算机化的数学方法，允许人们评估定量分析和决策制定过程中的风险。
此方法首先被科学家用于研究原子弹；它以因赌场而闻名遐迩的摩纳哥旅游城市蒙特卡罗命名。
自从在二战中推出以来，蒙特卡罗模拟一直用于为不同的物理和概念系统建立模型。
专业人员将此方法广泛应用于不同领域，如金融、项目管理、能源、制造、工程、研发、保险、运输和环境。
蒙特卡罗模拟向决策者提供了采取任何措施可能产生的一系列可能结果和概率。
它说明了最大可能性，即全力以赴和最保守决策的结果，以及折衷决策的所有可能后果。
目录梗概基本思想工作原理工作过程优势分子领域数学领域1.积分2.圆周率3.应用题电脑领域展开梗概基本思想工作原理工作过程优势分子领域数学领域1.积分2.圆周率3.应用题电脑领域展开编辑本段梗概蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
蒙特卡罗模拟是一种计算机化的数学方法，允许人们评估定量分析和决策制定过程中的风险。
[1]20世纪40年代，在John von Neumann，Stanislaw Ulam和Nicholas Metropolis在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡洛方法。
此方法首先被科学家用于研究原子弹；它以因赌场而闻名遐迩的摩纳哥旅游城市蒙特卡罗命名。
自从在二战中推出以来，蒙特卡罗模拟一直用于为不同的物理和概念系统建立模型。
[1]蒙特卡罗模拟向决策者提供了采取任何措施可能产生的一系列可能结果和概率。
它说明了最大可能性，即全力以赴和最保守决策的结果，以及折衷决策的所有可能后果。
[1]与它对应的是确定性算法。
蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。
蒙特卡洛计算方法
蒙特卡洛计算方法我折腾了好久蒙特卡洛计算方法，总算找到点门道。
说实话，蒙特卡洛计算方法这事儿，我一开始也是瞎摸索。
刚开始接触的时候，我就感觉这好像是一种特别玄乎的东西，就像在一个大雾弥漫的森林里，完全不知道路在哪儿。
我听人家说这个蒙特卡洛计算方法是一种随机模拟之类的东西。
我就想，随机？那岂不是就像抓阄？比如我要算一个不规则图形的面积，我最开始的想法可傻了，我想我就随便在一个已知面积的大矩形里扔好多小石子，然后看看落在那个不规则图形里的小石子占总小石子的比例，再用这个比例去乘那个大矩形的面积，感觉这样就能算出不规则图形的面积了。
后来我发现，这想法是有点对，但在实际操作里可难了。
比如说，怎么确保小石子扔得足够随机呢？我手动扔石子的时候，太难保证那种完全的随机性了。
而且数石子也是个大问题，要是形状特别复杂，想要数清楚落在不规则图形里的石子数，简直是噩梦。
后来我才知道，这蒙特卡洛方法在计算机里的运用可高明多了。
它是用大量的随机数来模拟某个过程。
就好像你想知道一个城市里平均每家的收入情况。
那你就不能真的一家一家去问对吧，那就好像我一颗一颗数石子那么蠢。
这时候蒙特卡洛方法呢，就像是从这个城市里随机抽取好多好多家庭，这个抽取得有技术，要确保是随机抽取，就像抽签得保证每个签被抽到的概率相等一样。
然后用这些抽取到的家庭的收入情况来估算整个城市的平均家庭收入。
我还犯过一个错，我在做一个关于概率分布的蒙特卡洛模拟的时候，生成的随机数范围搞错了。
我以为是从0到1，结果应该是1到100，这就导致我后面算出的结果完全是错的。
我当时还纳闷怎么数值这么奇怪呢，找了半天，才恍然大悟原来是随机数的范围出了问题。
这蒙特卡洛计算方法呀，重要的一点就是生成的随机数要足够随机，数量也要足够多。
就像是我们想通过抽样知道一锅汤的咸淡，如果只尝一口汤，可能不准，但多尝几口，而且每次尝的那一口都要是随机从锅里舀的，那这样得到的结果就靠谱多了。
还有一点就是，要清楚自己模拟的目的是什么。
蒙特卡罗方法及应用
蒙特卡罗方法及应用蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的数值计算方法，它在许多实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍如何在没有明确思路的情况下，使用蒙特卡罗方法来解决实际问题，并概述其基本原理、实现步骤、优缺点及应用实例。
当遇到一些复杂的问题，比如在无法列出方程求解的数学问题，或者在需要大量计算的概率统计问题中，我们可能会感到无从下手。
此时，蒙特卡罗方法提供了一种有效的解决方案。
通过使用随机数和概率模型，我们可以对问题进行模拟，并从模拟结果中得出结论。
蒙特卡罗方法的基本原理是利用随机数生成器，产生一组符合特定概率分布的随机数，然后通过这组随机数对问题进行模拟。
具体实现步骤包括：首先，确定问题的概率模型；其次，使用随机数生成器生成一组随机数；然后，通过模拟大量可能情况，得到问题的近似解；最后，对模拟结果进行统计分析，得出结论。
蒙特卡罗方法的优点在于，它可以在一定程度上解决难以列出方程的问题，提供一种可行的计算方法。
此外，蒙特卡罗方法可以处理多维度的问题，并且可以给出近似解，具有一定的鲁棒性。
然而，蒙特卡罗方法也存在一些缺点，比如模拟次数过多可能会导致计算效率低下，而且有时难以确定问题的概率模型。
蒙特卡罗方法在概率领域有广泛的应用，比如在期权定价、估计数学期望、计算积分等领域。
以估计数学期望为例，我们可以通过蒙特卡罗方法生成一组符合特定概率分布的随机数，并计算这些随机数的平均值来估计数学期望。
总之，蒙特卡罗方法为我们提供了一种有效的数值计算方法，可以在没有明确思路的情况下解决许多实际问题。
通过了解蒙特卡罗方法的基本原理、实现步骤、优缺点及应用实例，我们可以更好地理解并应用这种方法。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的概率模型和随机数生成器，以得到更精确的结果。
我们也需要注意蒙特卡罗方法的局限性，例如在处理高维度问题时可能会出现计算效率低下的问题。
针对这些问题，我们可以尝试使用一些优化技巧或者和其他计算方法结合使用，以提高计算效率。
蒙特卡罗方法及应用实验讲义2016资料
蒙特卡罗方法及应用实验讲义东华理工大学核工系2016.8实验一 蒙特卡罗方法基本思想一、实验目的1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想；2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法；3、掌握由已知分布的随机抽样方法。
二、实验原理Monte Carlo 方法，又称统计模拟方法或计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”进行数值模拟的方法，一种采用统计抽样理论近似求解物理或数学问题的方法。
如待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。
在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。
例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。
由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。
具体方法很多，详见教材第三章。
三、实验内容1、安装所需计算工具（MATLAB 、fortran 、C++等）；2、学习使用rand(m,n)、unifrnd(a,b,m,n)函数3、求解下列问题：3.0、蒲丰氏投针求圆周率。
3.1、给定曲线y =2 – x 2 和曲线y 3 = x 2，曲线的交点为：P 1( – 1，1 )、P 2( 1，1 )。
曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积；3.2、计算1z z ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩所围体积其中{(,,)|11,11,02}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤。
4、对以下已知分布进行随机抽样：4.1、()()[]23321,0,12f x x x x =+-∈； 4.2、()()()[]11,1,21E f x f x x E k E =⋅∈+ 其中()()()()()2123221111211411ln 212221E x f x E x x x x E k E E E E E ⎧+-⎛⎫=+-+⎪ ⎪⋅⎝⎭⎪⎨+⎡⎤⎪=-⋅+++-⎢⎥⎪+⎣⎦⎩。
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年 月 日
二、实验报告
1、实验目的、设备与材料、理论依据、实验方法步骤见实验设计方案
2、实验现象、数据及结果
（1）实验现象：
取n=10000运行10次得到10个面积，数据如下：
44099 41913 42142 42636 41899
41355 42715 41799 41834 42250
5、实验总结
1）、本次实验成败之处及其原因分析：
（1）由于原地图无法形成完全的X型区域，即某些x值对应的y值超过两个，而测量数据时仅取其中的两个，造成地图模型与原地图存在一定差距。
（2）测量的数据不足，会造成一定误差。
2）、本实验的关键环节及改进措施：
做好本实验需要把握的关键环节：
（1）深刻理解蒙特卡罗方法的基本思想。
Y1=[58.6 59.0 63.5 61.0 59.5 63.2 65.0 67.0 73.6 68.0 66.3 71.1 69.0 75.4 75.2 80.5 82.8 79.8 84.8 84.9 78.0 60.8 54.0];
Y2=பைடு நூலகம்58.6 55.5 54.0 49.0 32.1 32.7 32.0 17.0 13.0 11.0 11.0 9.8 12.5 10.0 7.2 9.0 15.5 15.9 20.0 27.2 31.8 45.6 54.0];
L=max(X)-min(X);
H=max(Y2)-min(Y1);
newX=6:0.1:160;
L1=length(newX);
newY1=interp1(X,Y1,newX,'linear');
newY2=interp1(X,Y2,newX,'linear');
fill([newX newX(L1-1:-1:2)],[newY2 newY1(L1-1:-1:2)],'green');
（3）如果随机点产生在曲线所围成的区域内，则计数器m加1，否则对下一个随机点进行判断。
（4）最后根据公式Area S*m/N （其中S为矩形面积）
应用程序：
clearall
X=[3.0 8.0 13.0 18.0 23.0 28.0 33.0 38.0 43.0 48.0 53.0 58.0 63.0 68.0 73.0 78.0 83.0 88.0 93.0 98.0 103.0 108.0 113.0];
实验时间：2013年5月10日
小组合作：是●否○
小组成员：王彤旭 周宝岩邓少博
1、实验目的：
（1）熟练掌握利用蒙特卡罗方法求国土面积的基本思想。
（2）加强应用计算机模拟数学模型的能力。
（3）增强学生使用MATLAB编程的思维与能力。
（4）锻炼学生利用数学知识建立模型解决实际问题的能力。
（5）培养学生动手动脑能力与创新意识，增进对数学的兴趣。
（6）加强学生的合作意识。
2、实验设备与材料：
（1）硬件设备：微型计算机。
（2）软件设备：WindowsXP操作系统，数学软件MATLAB7.6.0(R2008a)。
3、实验方法步骤及注意事项
（1）人为设定一个矩形区域，矩形区域必须包含该曲线所围成的区域。
（2）在该矩形区域内产生随机点，并设产生的随机点个数为N。
（2）注意X，Y1，Y2（国土边界测量值）的区域选取。
（3）要利用for循环语句对其进行多次试验，在对其取平均值，以提高数据的精确性。并注意for循环语句的正确书写。
4、实验数据处理方法：
（1）通过for循环产生多次的随机点。
（2）每一次的循环都通过unifrnd语句生成该区间内的满足均匀分布的随机数。
然后取其平均值作为最终的面积。
（2）实验结果：
平均值42264作为最终的面积值，从计算得的结果来看，建立的这个模型是合理的。
3对实验现象、数据及观察结果的分析与讨论：
（1）取n=10000运行10次得到10个面积，并取其平均值42264作为最终的面积，与真实值误差2.08%。
4、结论：
（1）通过蒙特卡罗方法可近似计算出国土面积。
本科学生综合性、设计性
实验报告
姓名王彤旭学号
姓名邓少博学号
姓名周宝岩学号
专业数学与应用数学（师范）数学类
班级11级1班11级4班
实验课程名称数学建模
指导教师及职称＿＿崔利宏教授＿＿＿
开课学期2012至＿2013学年第二学期
上课时间2013年5月10日
辽宁师范大学教务处编印
一、实验方案
实验名称：用蒙特卡罗方法计算国土面积。
f2=interp(X,Y2,u(i),'cubic');
if(v(i)>=f1&v(i)<=f2)
m=m+1;
end
end
S=L*H*m/n/18^2*1600
注意事项:
（1）n取值越大，计算出来的面积越接近真实值,但n的值也不能过大,否则会减慢计算机的运行速度，甚至会造成死机。所以n的取值要适当。
（2）利用for循环产生随机点。
（3）利用if语句限定所围区域。
若重做本实验，为实现预期效果，仪器操作和实验步骤应如何改善：
（1）在对原地图进行测量时，可以选择一些更加专业的工具，使其模拟的地图与原地图的误差尽可能的缩小。
（2）边界测量越细，投点数越多，结论会越准确。
（3）多取些n的值，对不同的n值进行计算，将结果进行比对，从中发现规律。
（3）通过if语句判断随机点是否在曲线所围区域内。
（4）通过多次实验取平均的方法计算国土面积。
5、参考文献：
（1）数学建摸及典型案例分析 李志林 欧宜贵编著化学工业出版社
（2）数学模型与数学建模（第二版） 陈汝栋 于延荣编著 国防工业出版社
（3）《matlab宝典》陈杰编著 电子工业出版社
6、指导老师对实验设计方案的意见：
holdon
plot([X,X],[Y2,Y1],'r*')
n=10000;
m=0;
fori=1:n
u(i)=unifrnd(min(X),max(X));
v(i)=unifrnd(min(Y1),max(Y2));
plot(u(i),v(i),'.')
holdon
f1=interp(X,Y1,u(i),'cubic');
3）、对实验的自我评价：
（1）能较好的运用Matlab软件,对实验进行研究。
（2）可以很好的利用计算机模拟的思想进行实际操作。
指导老师评语及得分：
签名：年月日