实验二-蒙特卡罗方法计算三维体积
实验二-蒙特卡罗方法计算三维体积
Do[m=0;
Do[x=2*Random[Real,{0,1}]-1;y=2*Random[Real,{0,1}]-1;z=Random[Real,{0,1}];
u=2*Random[Real,{0,1}];
R1=x^2+y^2;
R2=Sqrt[R1];
If[z1&& zR2 && uR1+z^2,m++],{k,1,n}];
R1=x^2+y^2;
R2=Sqrt[R1];
If[zR2&& (z-1)^21-R1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[8m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
{,,,,,,,,,}
(*1冰淇淋锥的体积*)
x=r*Sin[u]*Cos[v];
Show[t1,t2,DisplayFunction$DisplayFunction]
Graphics3D
(*1冰淇淋锥的体积*)
n=1000;
p=Complex{};
Do[m=0;
Do[x=2*Random[Real,{0,1}]-1;y=2*Random[Real,{0,1}]-1;z=2*Random[Real,{0,1}];
1、画出由锥面 上方与球面 内部区域围成的图形（简称冰淇淋锥），并计算也该冰淇淋锥的体积
2、画出积分区域并计算 ，其中积分区域是由 和 所围成。
3、画出积分区域并计算 ，其中D为y=x –2与y2=x所围，D的边界曲线交点为：(1，-1)，(4，2)。
机器人工作空间求解的蒙特卡洛法改进和体积求取
机器人工作空间求解的蒙特卡洛法改进和体积求取佚名【摘要】针对传统的蒙特卡洛法求解机器人工作空间时精确度不够的问题,提出了一种改进的蒙特卡洛法.用传统的蒙特卡洛法生成一个种子工作空间,基于标准差动态可调的正态分布对种子工作空间进行扩展.在扩展过程中设定一个精度阈值,确保得到的工作空间中每个位置都能被准确的描述.基于得到的工作空间,提出了一种体元化算法求取工作空间的体积,寻找到工作空间的边界部分和非边界部分,通过对边界部分的不断细化,降低了体积求取误差.为了验证算法的有效性和实用性,以九自由度的超冗余串联机械臂为例,对本文改进的蒙特卡洛法和提出的体积求取算法进行仿真分析.结果表明:采样点数量相同时,改进的蒙特卡洛法生成的工作空间边界光滑,“噪声小”;得到精确的工作空间时改进方法需要的采样点数仅是传统方法的4.67％;体积求取算法效率较高,相对误差小于1％;求得的工作空间体积可用于评估机械臂性能,为后续机械臂构型优化奠定了理论基础.【期刊名称】《光学精密工程》【年(卷),期】2018(026)011【总页数】11页(P2703-2713)【关键词】机器人;工作空间;蒙特卡洛法;正态分布;体元【正文语种】中文【中图分类】TP2421 引言机器人的工作空间是指操作器执行所有可能运动时末端参考点所能到达的位置的集合，是由操作器的几何形状和关节运动的限位决定的[1]。
机器人工作空间的大小代表了机器人的活动范围，它是衡量机器人工作能力的一个重要运动学指标[2-3]。
2008年，Dai[4]等人研制了一种仿壁虎机器人，通过对机器人足端工作空间的分析验证了机器人的越障能力。
2011年，Wang[5]等人研制了果蔬采摘机械臂，以工作空间为约束对机械臂的结构参数进行了优化设计。
2015年，Dong[6]等人提出一种以工作空间密度函数为基础的迭代算法来求解机器人的逆运动学问题，为冗余机械臂逆运动学求解提供了新方法。
2017年，Zhao[7]等人基于工作空间分析，提出了一种新的超冗余机器人运动规划方法。
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）又称几何表面积法，是用来解决统计及数值分析问题的一种算法。
蒙特卡洛方法利用了随机数，其特点是算法简单，可以解决复杂的统计问题，并得到较好的结果。
蒙特卡洛方法可以被认为是统计学中一种具体的模拟技术，可以通过模拟仿真的方式来估算一个问题的可能解。
它首先利用穷举或随机的方法获得随机变量的统计数据，然后针对该统计数据利用数理统计学的方法获得解决问题的推断性结果，例如积分、概率等。
蒙特卡洛方法在计算机科学中的应用非常广泛，可以用来模拟统计物理、金融工程、统计数据反演、运行时参数优化以及系统可靠性计算等问题，因此广泛被用于许多不同的领域。
蒙特卡洛方法的基本思想是：将一个难以解决的复杂问题，通过把它分解成多个简单的子问题，再用数学方法求解这些子问题，最后综合这些简单问题的结果得到整个问题的解。
蒙特卡洛方法的这种思路，也称作“积分”，即将一个复杂的问题，分解成若干小问题，求解它们的结果，再综合起来，得到整体的结果。
蒙特卡洛方法以蒙特卡罗游戏为基础，用统计学的方法对游戏进行建模。
三维几何中的体积计算
三维几何中的体积计算三维几何是研究立体空间中的各种几何图形以及其属性和关系的学科。
在三维几何中，计算图形的体积是十分重要的。
本文将介绍三维几何中的体积计算方法，并通过实例进行说明。
1. 直角三棱柱的体积计算直角三棱柱是指底面为直角三角形的立体图形。
其体积计算的公式为：V = 底面积 ×高。
底面积可以通过底边长和高求解，公式为：底面积 = 1/2 ×底边长 ×高边长。
以一个具体的直角三棱柱为例，假设底边长为4cm，高边长为3cm，高为5cm。
则可以按照上述公式进行计算：底面积 = 1/2 × 4cm × 3cm = 6cm²，体积 = 6cm² × 5cm = 30cm³。
2. 球体的体积计算球体是指所有离球心的距离相等的点构成的图形。
在三维几何中，球体的体积计算公式为：V = 4/3 × π × 半径³。
其中，π取近似值3.14。
假设一个球体的半径为7cm，可以进行如下计算：V = 4/3 × 3.14 ×7cm³ ≈ 1436.29cm³。
3. 圆柱体的体积计算圆柱体是指底面为圆形的立体图形。
圆柱体的体积计算公式为：V= 底面积 ×高。
底面积即为圆的面积，公式为：底面积= π ×半径²。
假设一个圆柱体的半径为5cm，高为10cm，可以进行如下计算：底面积= 3.14 × 5cm² = 78.5cm²，体积 = 78.5cm² × 10cm = 785cm³。
4. 锥体的体积计算锥体是指底面为圆形且侧面全部由一个顶点连接而成的立体图形。
锥体的体积计算公式为：V = 1/3 ×底面积 ×高。
假设一个锥体的底面半径为6cm，高为12cm，可以进行如下计算：底面积 = 3.14 × 6cm² = 113.04cm²，体积 = 1/3 × 113.04cm² × 12cm = 452.16cm³。
数学建模蒙特卡罗方法
• 求积分
b
f(x)dx 〔2.1〕 a
蒙特卡罗方法步骤如下：
• 1、在区间【a,b】上利用计算机均匀产生n个随 机数x1，x2·····xn，这个可以在MATLAB软件中 用unifrnd命令实现。
• 2、计算每一个随机数相应的被积函数值f〔x1〕，
z=16*data(:,3);
II=find(x>=y.^2&x<=y+2&z<=x.*(y.^2));
M=length(II);
V=192*M/10000
例5.15 用蒙特卡罗方法计算 (x2y2z2)dxdydz
其中,积分区域是由 z x2 y和2 z = 1 所围成。
被积函数在求积区域上的最大 值为2。所以有四维超立方体
蒙特卡洛计算方法具有随机性、不确定性.
N=10000; 递推公式和初始值确定后，整个随机数序列便被唯一确定。
V=8*M/10000
实验参考程序 蒙特卡罗方法计算体积
for k=1:L y=-1+3*data(:,2);
实验参考程序 蒙特卡罗方法计算体积
P=rand(N,3); 第二条语句实现了在积分区间上均匀产生N个随机数.
什么叫蒙特卡罗方法？
• 蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样 技术，是一种随机模拟方法，以概率和统 计理论方法为根底的一种计算方法，是使 用随机数〔或伪随机数〕来解决很多计算 问题的方法。将所求解的问题同一定的概 率模型相联系，用电子计算机实现统计模 拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征 性地说明这一方法的概率统计特征，故借 用赌城蒙特卡罗命名。
大小有关
• 所以在使用蒙特卡罗方法时，要 “扬长避短〞，只对问题中难以用解 析〔或数值〕方法处理的局部，使用
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理、编程及应用
数学建模算法之蒙特卡罗方法——原理、编程及应用一、前言1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam和Nick Metropolis共同发明了蒙特卡罗方法。
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
二、蒙特卡罗方法的基本原理以及思想1、蒲丰投针实验其基本思想源于法国数学家蒲丰提出著名的蒲丰投针实验，并以该方法求圆周率。
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为2a（l＜a）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：求出π值。
其中Ｎ为投针次数，n为针与平行线相交次数。
这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
2、射击问题设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，ｇ(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。
则该运动员的射击成绩为用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的数学期望，即当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
蒙特卡洛(Monte Carlo)算法
大数定律12.3蒙特卡洛（Monte Carlo）算法蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是计算机出现之后，利用概率模型近似计算的方法。
例如右图中单位圆的面积是π，在[][]1,11,1-⨯-区域内均匀地撒点，落在单位圆内的点标为红色，落在圆外的点标为蓝色。
如果共抛了n 个点，落在单位圆内的红色点有m 个，则S mS n ≈单位圆正方形，已知4S =正方形，则得到4m S nπ=≈⋅单位圆，其理论基础是大数定律。
**********************************************************设第k 次撒点落入单位圆内时，随机变量1k X =，落到单位圆外，则0k X =。
则01~144k X ππ⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，1,2,,k n = ，()4k E X π=。
而12n m X X X =+++ ，根据大数定律，对任意的0>ε，11lim ()lim P 044n n n m P X X n n ππεε→∞→∞⎛⎫⎛⎫++-≥=-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
Monte Carlo方法的基本想法是构造一个随机变量，使得所希望计算的量是这个随机变量的某个数字特征（通常这个数字特征是数学期望）。
然后通过随机模拟的方法得到这个数字特征的估计，从而得到所希望计算的量的估计。
可利用中心极限定理对Monte Carlo方法的精度作进一步的分析。
**********************************************************例12.3.1n X X X 221,,, 相互独立，且均服从(0,1)内的均匀分布⎩⎨⎧<+=-其他,01,422212k k k X X Y ，n k ,,2,1 =，(1)对任意给定的正整数n ，证明nY Y Y Y n +++= 21的期望为π；(2)用中心极限定理估计100n =时，()1.0<-πY P ；(3)用切比雪夫不等式估计，n 取多大时，可保证()9.01.0≥<-πY P 。
立体图形体积的计算方法
立体图形体积的计算方法
立体图形体积的计算方法
三维图形的体积是指图形中实际存在的立体空间，计算三维体积有多种方法，其中主要有以下几种：
一种是采用体积公式法，即利用三维图形的体积公式来求解，通常比较复杂的图形对应的体积公式将会更复杂，因此需要计算时需要谨慎考虑；
另一种是采用积分法，即利用积分定理来求解，其原理是将原有的三维图形分解成多个梯形的集合，然后再求出每一个梯形的面积乘上高度之和，从而得出最终的结果；
最后还有一种是采用分块法，即将三维图形分成数个小体积块，通过求出每一块体积之后相加，计算出最终的体积。
总之，计算三维图形体积是一门有趣又有挑战性的数学领域，我们可以根据自己的能力选择不同的方法来求解，只要我们善于专注、认真计算，就一定能得出满意的结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n=10000;(*3体积*)
p=Complex{};
Do[m=0;
Do[x=4*Random[Real,{0,1}];y=3*Random[Real,{0,1}]-1;z=16*Random[Real,{0,1}];
If[xy^2&& xy+2 &&zx*y^2,m++],{k,1,n}];
t1=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t],r^2},{t,0,2Pi},{r,0,1},DisplayFunctionIdentity];
t2=ParametricPlot3D[{Cos[u]*Sin[v],Sin[u]*Sin[v],1+Cos[v]},{u,0,2Pi},{v,0,Pi/2},DisplayFunctionIdentity];
数学与应用数学系2013～2014学年第二学期实验报告
班级： 学号： 姓名： 实验时间： 2014年 月 日
实验
项目
实验二 蒙特卡罗方法计算三维体积
所属
课程
数学实验
实
验
目
的
了解蒙特卡罗方法的原理，掌握随机数使用技术。
实
验
内
容
用两种不同的方法（蒙特卡罗法和重积分方法）计算下列三维体积和重积分，并比较计算分析结果。
AppendTo[p,N[8m/n]],{t,1,10}];
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPrint[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
{0.864,0.824,1.072,0.96,0.992,0.896,1.12,1.048,0.928,0.904}
0.9608
(*2体积*)
s=Integrate[x^2+y^2+z^2,{y,-1,1},{x,-Sqrt[1-y^2],Sqrt[1-y^2]},{z,Sqrt[x^2+y^2],1}];
R1=x^2+y^2;
R2=Sqrt[R1];
If[zR2&& (z-1)^21-R1,m++],{k,1,n}];
AppendTo[p,N[8m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
{3.352,3.216,3.232,3.4,3.176,3.336,2.936,3.504,3.232,3.184}
N[s]
0.942478
(*3体积*)
s=Plot[x-2,{x,1,4},DisplayFunctionIdentity];
t=Plot[Sqrt[x],{x,1,4},DisplayFunctionIdentity];
Show[s,t,DisplayFunction$DisplayFunction]
p=Complex{};
Do[m=0;
Do[x=2*Random[Real,{0,1}]-1;y=2*Random[Real,{0,1}]-1;z=Random[Real,{0,1}];
u=2*Random[Real,{0,1}];
R1=x^2+y^2;
R2=Sqrt[R1];
If[z1&& zR2 && uR1+z^2,m++],{k,1,n}];
3.2568
(*1冰淇淋锥的体积*)
x=r*Sin[u]*Cos[v];
y=r*Sin[u]*Sin[v];
z=r*Cos[u]+1;
s=Integrate[r^2*Sin[u],{v,0,2Pi},{u,0,Pi/4},{r,0,2Cos[u]}];
N[s]
3.14159
(*2体积*)
s1=ParametricPlot3D[{r*Sin[u],r*Cos[u],r},{u,0,2Pi},{r,0,1},DisplayFunctionIdentity];
1、画出由锥面 上方与球面 内部区域围成的图形（简称冰淇淋锥），并计算也该冰淇淋锥的体积
2、画出积分区域并计算 ，其中积分区域是由 和 所围成。
3、画出积分区域并计算 ，其中D为y=x –2与y2=x所围，D的边界曲线交点为：(1，-1)，(4，2)。
实
验
结
果
︵
不
够
可
另
附
纸
︶
(*1冰淇淋锥的体积*)
N[s]
7.39524
实
验
总
结
教师
评语
AppendTo[p,N[192*m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
{7.584,7.7568,7.7184,7.6416,7.2,7.5072,8.16,7.4304,7.296,7.3536}
7.5648
(*3体积*)
s=Integrate[x*y^2,{x,1,4},{y,x-2,Sqrt[x]}];
t1=ParametricPlot3D[{r*Sin[u],r*Cos[u],1},{u,0,2Pi},{r,0,1},DisplayFunctionIdentity];
Show[s1,t1,DisplayFunction$DisplayFunction]
Graphics3D
(*2体积*)
n=1000;
Show[t1,t2,DisplayFunction$DisplayFunction]
Graphics3D
(*1冰淇淋锥的体积*)
n=1000;
p=Complex{};
Do[m=0;
Do[x=2*Random[Real,{0,1}]-1;y=2*Random[Real,{0,1}]-1;z=2*Random[Real,{0,1}];