用蒙特卡洛方法计算定积分
蒙特卡罗方法计算定积分
蒙特卡罗方法计算定积分作者：黄婧涵来源：《科学家》2017年第07期摘要数学领域中，定积分计算问题应用广泛，经典的定积分数学定义方法可直接用于求解定积分，但是，对于函数解析式未知的情况下，传统的数学定义方法无法进行定积分计算，而蒙特卡罗方法对函数解析式不进行限制，其以概率方法进行近似计算从而逐渐逼近定积分理论值。
本文针对函数解析式已知与未知的两种情况，分别以定积分数学定义方法和蒙特卡罗方法进行定积分计算，并从算法收敛速度以及计算结果精确度两方面对算法进行评测。
实验结果表明，定积分数学定义法收敛速度快，计算精度高，但是普适性低，对于函数解析式未知情况下无法进行计算；而蒙特卡罗方法尽管收敛速度较慢，但是普适性极高，且函数解析式未知情况下，效果更优。
关键词微积分；定积分；蒙特卡罗方法；收敛速度中图分类号 O1 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2017）07-0003-021 概述微积分[ 1 ]是数学领域的一个基础学科，是高等数学中研究函数微分、积分以及有关概念与应用的数学分支，其研究范畴包含3个方面：微分、积分以及微分与积分两者之间的关系。
若（）f x是[a，b]上的连续函数，并且有’（）（）F xf x=，则（）（）（）baf x dxF bF a∫=？。
也就是说，一个定积分的值就是原函数积分上限的值与原函数在积分下限的值的差值，即牛顿-莱布尼兹公式计算定积分。
其表明对于图形无限细分再累加成为可能，并可将其转化为对积分的计算，揭示了积分与微分本质的关系，因此牛顿-莱布尼兹公式又称微积分基本定理。
然而计算定积分[ 2 ]的数学定义方法以及牛顿-莱布尼兹公式方法都仅限于函数（）f x解析式已知的情况，对于（）f x未知解析式的情况下，无法进行定积分求解。
蒙特卡罗（Monte-Carlo）[3]方法是20世纪40年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，被提出的一种以概率理论[4]为指导的一类极其重要的数值计算方法，是以随机抽样为主要手段，使用随机数（或伪随机数）解决数值计算问题的方法，又称统计模拟方法。
蒙特卡洛模拟法求积分
蒙特卡洛模拟法求积分1. 引言蒙特卡洛模拟法是一种基于随机采样的数值计算方法，被广泛应用于求解各种数学问题。
其中之一便是利用蒙特卡洛模拟法求解积分。
本文将介绍蒙特卡洛模拟法的基本原理、步骤以及在求解积分中的应用。
2. 蒙特卡洛模拟法基本原理蒙特卡洛模拟法以概率统计为基础，通过生成大量的随机样本来近似计算一个问题的解。
其基本原理可以概括为以下几个步骤：•随机生成样本：根据问题的要求，生成符合一定概率分布的随机样本。
•计算函数值：将每个随机样本代入目标函数中进行计算，得到对应的函数值。
•统计平均：对所有函数值进行求和并取平均，得到近似解。
3. 求解积分的蒙特卡洛模拟法步骤在使用蒙特卡洛模拟法求解积分时，需要按照以下步骤进行操作：步骤1：确定积分范围需要明确要求解的积分范围。
假设要求解的积分为∫f(x)dx，其中x的范围从a到b。
步骤2：确定随机样本生成规则根据积分范围确定随机样本生成规则。
可以使用均匀分布或其他概率分布来生成随机样本，确保样本覆盖整个积分区间。
步骤3：生成随机样本使用确定的随机样本生成规则，生成足够数量的随机样本。
通常情况下，生成的样本数越多，计算结果越接近真实值。
步骤4：计算函数值将每个随机样本代入目标函数f(x)中进行计算，得到对应的函数值。
这相当于在积分区间上进行采样，并计算采样点处的函数值。
步骤5：统计平均对所有函数值进行求和并取平均，得到近似解。
根据大数定律，当样本数量充足时，平均值将趋近于真实解。
4. 蒙特卡洛模拟法求解积分示例以下是一个使用蒙特卡洛模拟法求解积分的示例：假设要求解的积分为∫x^2dx，积分范围为0到1。
步骤1：确定积分范围。
积分范围为0到1。
步骤2：确定随机样本生成规则。
使用均匀分布生成随机样本。
步骤3：生成随机样本。
生成足够数量的随机样本，例如10000个。
步骤4：计算函数值。
将每个随机样本代入目标函数f(x)=x^2中进行计算，得到对应的函数值。
步骤5：统计平均。
matlab蒙特卡洛法求定积分
文章标题：探索matlab中的蒙特卡洛法求定积分在数学和计算科学中，求解定积分是一个常见的问题。
传统的数值积分方法中，蒙特卡洛法是一种非常有趣和强大的方法，能够对一些特殊的不易求解的定积分问题提供解决方案。
而在matlab这一强大的数学计算软件中，蒙特卡洛法同样有着广泛的应用。
1. 什么是蒙特卡洛法？蒙特卡洛法是一种基于随机采样的数值积分方法，其核心思想是利用随机抽样的方法逼近定积分的值。
具体来说，对于给定的函数$f(x)$以及区间$[a, b]$，蒙特卡洛法通过对函数在该区间上进行随机采样，并利用采样点的平均值来逼近定积分的值。
2. 在matlab中应用蒙特卡洛法在matlab中，可以利用蒙特卡洛法求解定积分问题。
通过生成服从均匀分布的随机数，并代入原函数，然后求解采样点的平均值，可以得到定积分的近似值。
matlab内置了丰富的数学计算和随机数生成函数，能够方便地实现蒙特卡洛法的计算。
3. 实例分析：使用matlab进行蒙特卡洛法求解定积分假设我们要求解函数$f(x)=x^2$在区间$[0, 1]$上的定积分，即$$\int_{0}^{1} x^2 \, dx$$我们可以在matlab中编写如下代码：```matlabN = 1000000; % 设定采样点的个数X = rand(1, N); % 生成均匀分布的随机数Y = X.^2; % 代入原函数integral_value = mean(Y); % 求解采样点的平均值```通过上述代码，我们得到了定积分的近似值integral_value。
在这个例子中，我们利用蒙特卡洛法求得了定积分的近似值。
4. 总结与展望通过本文的介绍，我们对matlab中蒙特卡洛法求解定积分的方法有了初步的了解。
蒙特卡洛法作为一种基于随机采样的数值积分方法，在matlab中有着广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据定积分的具体问题来灵活选择采样点的个数，并结合matlab强大的数学计算能力，在求解定积分问题中取得更加准确的结果。
26——matlab——用蒙特卡罗法估算定积分
用蒙特卡罗法估算定积分• 求解示例：程序是：clcn=10^6;maxfx=1;mimfx=0;a=0; b=1; m=0;d=1;c=[];for i=1:nx=a+rand*(b-a);y=rand*(maxfx-mimfx)+mimfx;if y<=x^2m=m+1;endendfprintf('积分值是：%f\n',m/n*(maxfx-mimfx)*(b-a))结果是： dx x 102积分值是：0.333116 积分值是：0.334410 积分值是：0.333132 积分值是：0.333022 积分值是：0.332899 积分值是：0.333604 积分值是：0.333535 积分值是：0.333117 积分值是：0.333312 积分值是：0.334002 积分值是：0.332966 积分值是：0.332274 积分值是：0.334320 积分值是：0.333143 积分值是：0.333144 积分值是：0.333840 积分值是：0.332857 积分值是：0.333487 积分值是：0.333332 积分值是：0.333501 积分值是：0.333358 积分值是：0.333129积分值是：0.333495 积分值是：0.334282 积分值是：0.333183 积分值是：0.333594 积分值是：0.333894 积分值是：0.333766 积分值是：0.333126 积分值是：0.332993 积分值是：0.333032 积分值是：0.333090 积分值是：0.332987 积分值是：0.333853 积分值是：0.333412 积分值是：0.332419 积分值是：0.333338 积分值是：0.333622 积分值是：0.334497 积分值是：0.333565 积分值是：0.333759 积分值是：0.332973 积分值是：0.332783 积分值是：0.332990积分值是：0.332452 积分值是：0.334463 积分值是：0.332927 积分值是：0.332749 积分值是：0.332269 积分值是：0.333389 积分值是：0.332691 积分值是：0.333038 积分值是：0.333918 积分值是：0.333517 积分值是：0.333182 积分值是：0.333919 积分值是：0.333463 积分值是：0.332823 积分值是：0.333679 积分值是：0.332826 >>Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
python编程通过蒙特卡洛法计算定积分详解
python编程通过蒙特卡洛法计算定积分详解想当初，考研的时候要是知道有这么个好东西，计算定积分。
开玩笑，那时候计算定积分根本没有这么简单的。
但这确实给我打开了⼀种思路，⽤编程语⾔去解决更多更复杂的数学问题。
下⾯进⼊正题。
如上图所⽰，计算区间[a b]上f(x)的积分即求曲线与X轴围成红⾊区域的⾯积。
下⾯使⽤蒙特卡洛法计算区间[2 3]上的定积分：∫(x2+4*x*sin(x))dx# -*- coding: utf-8 -*-import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(x):return x**2 + 4*x*np.sin(x)def intf(x):return x**3/3.0+4.0*np.sin(x) - 4.0*x*np.cos(x)a = 2;b = 3;# use N drawsN= 10000X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)# 蒙特卡洛法计算定积分：⾯积=宽度*平均⾼度Imc= (b-a) * np.sum(Y)/ N;exactval=intf(b)-intf(a)print "Monte Carlo estimation=",Imc, "Exact number=", intf(b)-intf(a)# --How does the accuracy depends on the number of points(samples)? Lets try the same 1-D integral# The Monte Carlo methods yield approximate answers whose accuracy depends on the number of draws.Imc=np.zeros(1000)Na = np.linspace(0,1000,1000)exactval= intf(b)-intf(a)for N in np.arange(0,1000):X = np.random.uniform(low=a, high=b, size=N) # N values uniformly drawn from a to bY =f(X) # CALCULATE THE f(x)Imc[N]= (b-a) * np.sum(Y)/ N;plt.plot(Na[10:],np.sqrt((Imc[10:]-exactval)**2), alpha=0.7)plt.plot(Na[10:], 1/np.sqrt(Na[10:]), 'r')plt.xlabel("N")plt.ylabel("sqrt((Imc-ExactValue)$^2$)")plt.show()>>>Monte Carlo estimation= 11.8181144118 Exact number= 11.8113589251从上图可以看出，随着采样点数的增加，计算误差逐渐减⼩。
蒙特卡罗模拟及例
1）问题背景
返回 D 吸收
三种 状态
穿透
阐述中子的运动， 2）简化假设： 为模拟做理论准备 *1 假定屏蔽层平行板厚度为D=3d，其中d 为两次碰撞之间中子的平均游动距离；
*2 假设在第10 次碰撞以后，中子速度下降到 为某一很小数值而终止运动（被引收）. *3 假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间游 动的距离服从指数分布；
4
计算机上做n次掷点试验： 产生n 对二维随机点(xi，yi) ，i＝1 ,2, …, n .
其中，xi 和yi 是RND 随机数对. 检查每对数是否满足: 相当于第i 2 2 x i yi 1 个随机点落 在1/4圆内. 若有k 个点落在l／4圆内 随机事件“点落入1/4圆内”的 频率为 k/n
中子数(个) 穿透(%)
100 1000 3000 5000 30.0 26.0 26.5 26.3
吸收(%)
28.0 23.4 21.8 22.0
返回(%)
42.0 50.6 51.7 51.7
中子穿透屏蔽层的百分比超过了1/4，模拟结 果表明屏蔽层厚度D=3d不合适.
问
多厚的屏蔽层才能使穿透的概率 题： W＜10－6？
注：平均值法本质上是用样本平均值作为
总体教学期望的估计。
2. 蒙特卡罗模拟试验次数的确定
M－C 模拟是一种试验近似方法 , 试验次 数如何确定？
希望：模拟次数较少、 模拟精度较高
？
频率法的讨论 频率法是用事件A出现的频率作为概率p 的估计: kn ˆ p n 问题：试验次数 n 多大时，对给定的置信度 1－α（0<α<1），估计精度达到ε.
三、 蒙特卡罗模拟及例
蒙特卡罗(Monte－Carlo)模拟，又称蒙特卡 罗方法、统计试验法等. M－C模拟是静态模拟，描述特定时间点上的 系统行为. 模拟过程中 基本思想:把随机事件 不出现时间 （变量）的概率特征与 参数。 数学分析的解联系起来.
7.蒙特卡罗方法在积分计算中的应用——【数学建模 蒙特卡罗算法】
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂
•
设整数 n≥1，令
gi (P) g(P) n
•
则
i Vs gi (P) f (P)dP
n
•
gi(P)于为是原计来算θ的θ的估问计题Vgs，(gP)(可P的化) 1f为/(Pn计)，d算P这n就个i是1θ分i 的i 裂和技来巧得。到，而每个
2) 俄国轮盘赌
N
g(xi , yi )
i 1
•
其方差为
2 gˆ N
1 N
2 x
f1
(
x)dx
•
与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约
1
N
( x )2 f1(x)dx
6. 分层抽样
•
考虑积分
1
•
g(x) f (x)dx
•
特别地，当 g(P)≥0 时，有
g(P) f (P) g(P) f (P)
f1(P)
g(P) f (P)dP
Vs
•
这时
2 g1
0
•
即 g1的方差为零。实际上，这时有
g1(P) Vs g1(P) f1(P)dP
•
不管那种情况，我们称从最优分布 称函数 | g(P) | 为重要函数。
fl(P)的抽样为重要抽样，
•
我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：
•
从 fl(x) 中抽取 xi，
xi
f1 ( x)dx
1i
•
再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，
yi
f2(y
xi )dy 2i
•
现在改变 xi 的抽样方法如下：
xi
f1(x)dx i
蒙特卡洛方法求定积分一
蒙特·卡罗（Monte Carlo）法是一种统计模拟方法，通常是利用随机数来解决一些数值计算问题，本文要讲的就是利用蒙特·卡罗方法来求解数值积分。
基本思路首先我们知道定积分其实就是一个面积，将其设为I，现在我们就是要求出这个I。
我们的想法是通过在包含定积分的面积为S的区域（通常为矩形）内随机产生一些随机数，其数量为N，再统计在积分区域内的随机数，其数量为i，则产生的随机数在积分区域内的概率为iN，这与积分区域与总区域面积的比值IS应该是近似相等的，我们利用的就是这个关系，即IS≈iN最后即得所求定积分算式为：I=iNS代码部分有了上面的铺垫，我们就可以来写MATLAB代码了。
我们要求的定积分为∫0πsinxdx.对于上述积分我们很容易可以得到其解析解为2，下面我们来看用蒙特·卡罗方法得到的结果，输入代码% Monte Carlo% 蒙特卡洛法求定积分clearN = 1e4;x_min = 0; x_max = pi;f = @(x) sin(x);xx =x_min:0.01:x_max;x = x_min + (x_max-x_min)*rand(N,1);y_min = min(f(xx)); y_max = max(f(xx));y = y_min +(y_max-y_min)*rand(N,1);i = y < f(x);I = sum(i)/N*(x_max-x_min)*(y_max-y_min);% 画图plot(x,y,'go',x(i),y(i),'bo')axis([x_min x_max y_min y_max])hold onplot(xx,f(xx),'r-','LineWidth',2)。