[数学]蒙特卡罗积分方法
蒙特卡洛模拟法求积分
蒙特卡洛模拟法求积分1. 引言蒙特卡洛模拟法是一种基于随机采样的数值计算方法，被广泛应用于求解各种数学问题。
其中之一便是利用蒙特卡洛模拟法求解积分。
本文将介绍蒙特卡洛模拟法的基本原理、步骤以及在求解积分中的应用。
2. 蒙特卡洛模拟法基本原理蒙特卡洛模拟法以概率统计为基础，通过生成大量的随机样本来近似计算一个问题的解。
其基本原理可以概括为以下几个步骤：•随机生成样本：根据问题的要求，生成符合一定概率分布的随机样本。
•计算函数值：将每个随机样本代入目标函数中进行计算，得到对应的函数值。
•统计平均：对所有函数值进行求和并取平均，得到近似解。
3. 求解积分的蒙特卡洛模拟法步骤在使用蒙特卡洛模拟法求解积分时，需要按照以下步骤进行操作：步骤1：确定积分范围需要明确要求解的积分范围。
假设要求解的积分为∫f(x)dx，其中x的范围从a到b。
步骤2：确定随机样本生成规则根据积分范围确定随机样本生成规则。
可以使用均匀分布或其他概率分布来生成随机样本，确保样本覆盖整个积分区间。
步骤3：生成随机样本使用确定的随机样本生成规则，生成足够数量的随机样本。
通常情况下，生成的样本数越多，计算结果越接近真实值。
步骤4：计算函数值将每个随机样本代入目标函数f(x)中进行计算，得到对应的函数值。
这相当于在积分区间上进行采样，并计算采样点处的函数值。
步骤5：统计平均对所有函数值进行求和并取平均，得到近似解。
根据大数定律，当样本数量充足时，平均值将趋近于真实解。
4. 蒙特卡洛模拟法求解积分示例以下是一个使用蒙特卡洛模拟法求解积分的示例：假设要求解的积分为∫x^2dx，积分范围为0到1。
步骤1：确定积分范围。
积分范围为0到1。
步骤2：确定随机样本生成规则。
使用均匀分布生成随机样本。
步骤3：生成随机样本。
生成足够数量的随机样本，例如10000个。
步骤4：计算函数值。
将每个随机样本代入目标函数f(x)=x^2中进行计算，得到对应的函数值。
步骤5：统计平均。
数值分析21求积分的蒙特卡罗方法
) I 1(
h 2
) 2(
2
h
) k(
4
h
)
2k
2k 2
所以
[ 4T (
h 2
) T ( h )] / 3 I O ( h )
4
记
4T ( ) T ( h ) 2 T1 ( h ) 41
4 6 2k
h
T1 ( h ) I 2 h 3 h k h
m
0
1
2
3
4
5
h 3
[ f ( x 2 k 2 ) 4 f ( x 2 k 1 ) f ( x 2 k )]
k 1
复合Simpson公式
Sm
S1
h 3
h1 3
[ f (a ) f (b ) 2 f ( x 2 k ) 4 f ( x 2 k 1 )]
3/16
R[ f ]
f
(4)
( )
4!
x2 x0
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x 2 ) dx
2
令 h =(b – a)/2, x = x0+ t h ,则
x2 x0
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x 2 ) dx h
2
5
2 0
《数值分析》 21
Simpson公式的误差
格林公式中曲线积分处理 右矩形公式应用 求积分的蒙特卡罗方法
龙贝格外推计算公式
I[ f ]
S[ f ]
b
R[ f ]=I[ f ] – S[ f ]
f ( x ) dx
蒙特卡洛类方法
蒙特卡洛类方法
蒙特卡洛方法是一类随机化的计算方法，主要应用于求出高维度空间中的定积分或概率分布的特性。
该方法以随机样本为基础，通过大量生成且符合某种分布律的随机数，从中抽取样本，利用样本的统计性质来计算近似解。
常见的蒙特卡洛方法包括：
1.随机模拟法
在数学建模、广告投放、经济预测等领域，随机模拟（也称蒙特卡罗方法）已经成为了一个重要的工具。
其基本思想是，系统表现出的某些规律和性质可以用随机过程进行模拟和预测。
2.随机游走算法
随机游走是一种基于随机过程的数值计算算法，通过简单的偏随机移动来解决复杂问题，被广泛应用于物理、化学、生物学、金融等领域。
随机游走算法的核心思想是通过随机漫步遍历所有可能的状态，找到最终解。
3.马尔可夫链蒙特卡罗方法
马尔可夫链蒙特卡罗方法（MCMC）是一种近似随机模拟算法，用于计算高维空间中的积分和概率分布。
这种方法通过构造一个马尔可夫链来模拟复杂的概率
分布，并通过观察链的过程来获得所求的统计量。
4.重要性采样
重要性采样是一种通过迭代抽样来估算积分值或概率分布的方法。
它的基本思想是利用不同的概率分布来采样目标分布中的样本，从而增加目标分布中采样到重要样本的概率，从而提高采样的效率。
总之，蒙特卡洛方法在物理学、统计学、金融学、计算机科学、生物科学等众多领域都有广泛的应用，是一种很实用的工具。
蒙特卡罗方法教学课件第七章蒙特卡罗方法在积分计算中的应用两份文件
2. 重要抽样
1) 偏倚抽样和权重因子 取Vs上任一联合概率密度函数 f1(P)，令
则有 现从 f1(P) 中抽样 N 个点：Pi，i＝1，2，…，N， 则
就是θ的又一个无偏估计。
2) 重要抽样和零方差技巧
要使 最小，就是使泛函I[f1] 极小。 利用变分原理，可以得到最优的 f1(P) 为
舍弃圆外的点，余下的就是所要求的点。 抽样方法为：
>
抽样效率 E=π/4≈0.785
为实现散射方位角余弦分布抽样，最重要的是在 上半个单位圆内产生均匀分布点。下面这种方法，首 先在单位圆的半个外切正六边形内产生均匀分布点， 如图所示。
于是便有了抽样效率更高的抽样方法：
≤
>
抽样效率
例12. 正态分布的抽样
标准正态分布密度函数为：
引入一个与标准正态随机变量X独立同分布的随机变 量Y，则（X,Y）的联合分布密度为：
作变换
则（ρ,φ）的联合分布密度函数为： 由此可知，ρ与φ相互独立，其分布密度函数分别为 分别抽取ρ，φ ：
从而得到一对服从标准正态分布的随机变量X和Y：
对于一般的正态分布密度函数 N(μ,σ2) 的抽样，其 抽样结果为：
特别地，当 g(P)≥0 时，有
这时 即 g1的方差为零。实际上，这时有 不管那种情况，我们称从最优分布 fl(P)的抽样为重要 抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂 设整数 n≥1，令
则 于是计算θ的问题，可化为计算 n 个θi 的和来得到，而 每个 gi(P) 为原来θ的估计 g(P) 的 1/ n ，这就是分裂技 巧。
其中，ξ1，ξ2，…，ξN为随机数序列。为方便起见， 将上式简化为：
蒙特卡洛法的基本原理
蒙特卡洛法的基本原理蒙特卡洛法（Monte Carlo method）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于解决难以通过解析方法或传统数学模型求解的问题。
它在物理学、化学、工程学、计算机科学、金融学、生物学等领域都有广泛应用。
本文将介绍蒙特卡洛法的基本原理，包括随机数生成、统计抽样、蒙特卡洛积分、随机漫步等方面。
一、随机数生成随机数是蒙特卡洛法中的基本元素，其质量直接影响着计算结果的准确性。
随机数的生成必须具有一定的随机性和均匀性。
常见的随机数生成方法有：线性同余法、拉斯维加斯法、梅森旋转算法、反序列化等。
梅森旋转算法是一种广泛使用的准随机数生成方法，其随机数序列的周期性长、随机性好，可以满足大多数应用的需要。
二、统计抽样蒙特卡洛法利用抽样的思想，通过对输入参数进行随机取样，来模拟整个系统的行为，并推断出某个问题的答案。
统计抽样是蒙特卡洛方法中最核心的部分，是通过对概率分布进行样本抽取来模拟随机事件的发生，从而得到数值计算的结果。
常用的统计抽样方法有：均匀分布抽样、正态分布抽样、指数分布抽样、泊松分布抽样等。
通过对这些概率分布进行抽样，可以在大量随机取样后得到一个概率分布近似于输入分布的“抽样分布”，进而求出所需的数值计算结果。
三、蒙特卡洛积分蒙特卡洛积分是蒙特卡洛法的重要应用之一。
它利用统计抽样的思想，通过对输入函数进行随机抽样，计算其随机取样后的平均值，来估算积分的值。
蒙特卡洛积分的计算精度与随机取样的数量、抽样分布的质量等因素有关。
蒙特卡洛积分的计算公式如下：$I=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(X_{i})\frac{V}{p(X_{i})}$$N$为随机取样的数量，$f(X_{i})$为输入函数在点$X_{i}$的取值，$V$为积分区域的体积，$p(X_{i})$为在点$X_{i}$出现的抽样分布的概率密度函数。
通过大量的样本拟合，可以估算出$I$的值接近于真实积分的值。
用蒙特卡洛方法计算积分
用蒙特卡洛方法计算积分简介蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样来计算数学问题的方法。
在计算积分时，蒙特卡洛方法可以提供一种简单而有效的解决方案。
方法步骤1. 确定积分范围：首先确定要计算的积分范围，并将其表示为一个多维的定积分。
2. 创建随机点：生成一组随机点，这些随机点需要在积分范围内均匀分布。
3. 判断点的位置：对于每个随机点，判断它是否在被积函数的曲线下方。
4. 计算积分值：计算在被积函数下方的点数与总随机点数的比例，并乘以积分范围的体积，得到积分的近似值。
优势和注意事项蒙特卡洛方法的优势在于其简单性和适用性广泛性。
然而，在使用蒙特卡洛方法进行积分计算时，需要注意以下几点：- 随机点的数量：随机点的数量越多，计算结果越精确，但计算时间也会增加。
- 积分范围的选择：选择合适的积分范围可以提高计算效率和准确性。
- 随机点的生成：生成随机点需要遵循均匀分布原则，以确保计算结果的准确性。
示例以下是使用蒙特卡洛方法计算积分的示例代码：import randomdef monte_carlo_integration(f, a, b, n):count = 0for _ in range(n):x = random.uniform(a, b)y = random.uniform(min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b)))if 0 < y <= f(x):count += 1return count / n * (b - a) * (max(f(a), f(b)) - min(f(a), f(b)))def f(x):被积函数定义，根据实际情况修改return x**2a = 0 # 积分下限b = 1 # 积分上限n = # 随机点数量result = monte_carlo_integration(f, a, b, n)print("Approximate integral value:", result)注意：上述代码仅为示例，实际运行时请根据需要修改被积函数和参数。
7.蒙特卡罗方法在积分计算中的应用——【数学建模 蒙特卡罗算法】
3. 俄国轮盘赌和分裂
1) 分裂
•
设整数 n≥1，令
gi (P) g(P) n
•
则
i Vs gi (P) f (P)dP
n
•
gi(P)于为是原计来算θ的θ的估问计题Vgs，(gP)(可P的化) 1f为/(Pn计)，d算P这n就个i是1θ分i 的i 裂和技来巧得。到，而每个
2) 俄国轮盘赌
N
g(xi , yi )
i 1
•
其方差为
2 gˆ N
1 N
2 x
f1
(
x)dx
•
与通常蒙特卡罗方法相比，方差减少了约
1
N
( x )2 f1(x)dx
6. 分层抽样
•
考虑积分
1
•
g(x) f (x)dx
•
特别地，当 g(P)≥0 时，有
g(P) f (P) g(P) f (P)
f1(P)
g(P) f (P)dP
Vs
•
这时
2 g1
0
•
即 g1的方差为零。实际上，这时有
g1(P) Vs g1(P) f1(P)dP
•
不管那种情况，我们称从最优分布 称函数 | g(P) | 为重要函数。
fl(P)的抽样为重要抽样，
•
我们知道，由f (x,y)抽样 (x,y)的步骤是：
•
从 fl(x) 中抽取 xi，
xi
f1 ( x)dx
1i
•
再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，
yi
f2(y
xi )dy 2i
•
现在改变 xi 的抽样方法如下：
xi
f1(x)dx i
蒙特卡洛方法求定积分一
蒙特·卡罗（Monte Carlo）法是一种统计模拟方法，通常是利用随机数来解决一些数值计算问题，本文要讲的就是利用蒙特·卡罗方法来求解数值积分。
基本思路首先我们知道定积分其实就是一个面积，将其设为I，现在我们就是要求出这个I。
我们的想法是通过在包含定积分的面积为S的区域（通常为矩形）内随机产生一些随机数，其数量为N，再统计在积分区域内的随机数，其数量为i，则产生的随机数在积分区域内的概率为iN，这与积分区域与总区域面积的比值IS应该是近似相等的，我们利用的就是这个关系，即IS≈iN最后即得所求定积分算式为：I=iNS代码部分有了上面的铺垫，我们就可以来写MATLAB代码了。
我们要求的定积分为∫0πsinxdx.对于上述积分我们很容易可以得到其解析解为2，下面我们来看用蒙特·卡罗方法得到的结果，输入代码% Monte Carlo% 蒙特卡洛法求定积分clearN = 1e4;x_min = 0; x_max = pi;f = @(x) sin(x);xx =x_min:0.01:x_max;x = x_min + (x_max-x_min)*rand(N,1);y_min = min(f(xx)); y_max = max(f(xx));y = y_min +(y_max-y_min)*rand(N,1);i = y < f(x);I = sum(i)/N*(x_max-x_min)*(y_max-y_min);% 画图plot(x,y,'go',x(i),y(i),'bo')axis([x_min x_max y_min y_max])hold onplot(xx,f(xx),'r-','LineWidth',2)。
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esterr[10^4],esterr[10^4]),ylab="") lines(estint+2*esterr,col="gold",lwd=2) lines(estint-2*esterr,col="gold",lwd=2)
a
Iˆˆ (ba) N f (i)
N
h
27
h
28
一个简单的例子
设有一个函数如下：
h (x ) [c o s(5 0 x ) sin (2 0 x )]2
对该函数在[0,1]上积分，下面利用蒙 特卡罗积分法估计其积分值。
h
29
根据上面所介绍的方法，我们可以令 f ( x ) 为
[0,1]上的均匀分布，则h(x) h(x)，故：
Monte Carlo Method
1.蒙特卡罗方法 2.蒙特卡罗方法的提出 3.蒙特卡罗方法的基本思想 4.蒙特卡罗方法的应用 5.蒙特卡罗积分
h
1
蒙特卡罗方法
蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也 称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由 于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被 提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常 重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更 常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法， 与它对应的是确定性算法。
h(i)1 0h(x)dx
下面利用R软件来模拟计算积分值， 程序如下：
h
30
h=function(x){(cos(50*x)+sin(20*x))^2} par(mar=c(2,2,2,1),mfrow=c(2,1)) curve(h,xlab="Function",ylab="",lwd=2) integrate(h,0,1) x=h(runif(10^4)) estint=cumsum(x)/(1:10^4) esterr=sqrt(cumsum((x-estint)^2))/(1:10^4) plot(estint, xlab="Mean and error
通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的 随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由 于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没 有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效 的求出数值解的方法。一般蒙特·卡罗方法在 数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分。
h
5
蒙特卡罗积分
h
6
Monte Carlo Integration
h
31
减小方差的技术
h
32
h
33
h
34
h
35
h
36
h
37
h
38
h
39
h
40
h
41
以上就是对蒙特卡罗积分的介绍
h
42
h
3
蒙特卡罗方法的基本思想
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或 者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实 验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一 随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某 些数字特征，并将其作为问题的解
h
4
蒙特卡罗方法的应用
蒙特卡罗方法在，金融工程学，宏观经济学， 生物医学，计算物理学等领域应用广泛 。
h
7
投点法(频率法)
h
8
h
9
h
10h11来自 h12h13
h
14
一个具体的例子
h
15
h
16
h
17
投点法（频率法）所需采样量的估计
h
18
h
19
h
20
h
21
h
22
平均值法（期望法）
h
23
h
24
h
25
h
26
我们还是利用上面所说的那个具体例子，
b
此时，I f ( x )d x 的平均值估计就是：
h
2
蒙特卡罗方法的提出
蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世 界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的 成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数 学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的 Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了 一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已 经存在。1777年，法国数学家浦丰提出用投针 实验的方法求圆周率∏。这被认为是蒙特卡罗 方法的起源。