专题三 中考数学压轴题函数面积问题

中考数学压轴题函数面积问题1、如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x =(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和my x=-(x ＜0)于M 、N 两点． （1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S △AMN ＝4S △AMP 转化为MN ＝4MP ，按照点M 与线段NP 的位置关系分两种情况讨论．具体解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-．（2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p =②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p = 2 、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ，OC ＝4，BC ＝3，OA ＝5，点D 在边OC 上，CD ＝3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ．（1）求点E 的坐标；（2）二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点B 和点E ． ①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M 在它的对称轴上且位于x 轴上方，满足S △CEM ＝2S △ABM ，求点M 的坐标．图1思路点拨1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．2．点M 在抛物线的对称轴上且位于x 轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M 在线段FB 和FB 的延长线上．因为用点M 的纵坐标表示△ABM 的底边长，因点M 的位置不同而不同．具体解答（1）因为BC ∥OA ，所以BC ⊥CD ．因为CD ＝CB ＝3，所以△BCD 是等腰直角三角形．因此∠BCD ＝45°．又因为BC ⊥CD ，所以∠ODE ＝45°．所以△ODE 是等腰直角三角形，OE ＝OD ＝1．所以点E 的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B （3，4）和点E （1，0），所以934,10.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩ 解得6,5.b c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －5，抛物线的对称轴为直线x ＝3．②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ）．CEM MEF COE OFMC S S S S ∆∆∆=--梯形111(4)321442222tt t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯=+． （ⅰ）如图2，当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(21．解方程)4(242t t -=+，得58=t ．此时点M 的坐标为（3，58）．（ⅱ）如图3，当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(21-=⨯-=∆t t S ABM ．解方程)4(242-=+t t，得8=t ．此时点M 的坐标为（3，8）．图2 图33 、如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1思路点拨1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．具体解答(1)①如图2，当E在OA上时，由12y x b=-+可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝112122OE OC b b⋅=⨯⨯=．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入12y x b=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入12y x b=-+可知，点E的坐标为3(3,)2b-，AE＝32b-，BE＝52b-．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝1315133()()(52)1(22) 22222b b b b-⨯-----⨯⨯-252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图44 、如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图思路点拨1．第（1）题求得的AD 的长，就是第（2）题分类讨论x 的临界点． 2．第（2）题要按照点F 的位置分两种情况讨论．3．第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断．具体解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=．(2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=．如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ==-．所以21315288y AE EF x x =⋅=-+． ②当905x <<时，223y x =的最大值为5425； 当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532． 因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得3x =±因为3x =+3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．5 、如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP 与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1 图2思路点拨1．过点B、C、P向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是解题的基础．2．求点C的坐标，为求直线BC、CD的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离公式作准备．3．不论点P在AB、BC还是CD上，点P所在的直角三角形的三边比总是3∶4∶5，灵活运用方便解题．4．根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系．具体解答（1）Q(1,0)，点P每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作x轴的垂线交直线BE于F，交x轴于H．在Rt △ABE 中，BE ＝8，AE ＝10－4＝6，所以AB ＝10．由△ABE ≌△BCF ，知BF ＝AE ＝4，CF ＝BE ＝6．所以EF ＝8＋6＝14，CH ＝8＋4＝12．因此点C 的坐标为（14，12）．（3）过点P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥x 轴于N ．因为PM //BE ，所以AP AM MPAB AF BF==，即1068t AM MP ==．因此34,55AM t PM t ==．于是3410,55PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S (平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010S OQ PN t t t t =⋅⋅=+-=-++，定义域为0≤t ≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t =，所以当476t =时，△OPQ 的面积最大．此时P 的坐标为(9415，5310)． （4）当53t =或29513t =时, OP 与PQ 相等．图3 图46 、在直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=2经过点（0，10）和点（4，2）．（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图1，在边长一定的矩形ABCD 中，CD ＝1，点C 在y 轴右侧沿抛物线c bx x y ++=2 滑动，在滑动过程中CD ∥x 轴，AB 在CD 的下方.当点D 在y 轴上时，AB 落在x 轴上.①求边BC 的长.②当矩形ABCD 在滑动过程中被x 轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C 的坐标.图1思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式．2．数形结合，把x ＝1代入抛物线的解析式，求得的y 的值就是边BC 的长．3．分类讨论两部分的面积比为1:4，分为上下之比为1:4和4:1两种情况．4．矩形在移动过程中形状不变，把面积比转化为高度比，由于BC ＝5，因此点C 的纵坐标为1或4，进而解方程求得点C 的横坐标．具体解答（1）因为抛物线c bx x y ++=2经过点（0，10）和点（4，2），所以10,164 2.c b c =⎧⎨++=⎩解得6b =-，10c =．因此抛物线的解析式为y ＝x 2－6x ＋10．（2）①因为CD ＝1，点D 在y 轴上，所以点C 的横坐标为1．在y ＝x 2－6x ＋10中，当x ＝1时，y ＝5．所以边BC 的长为5．②因为矩形边长一定，所以BC ＝5．如图2，当矩形ABCD 在x 轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为1:5时，点C 的纵坐标为1．解方程x 2－6x ＋10＝1，得123x x ==．此时点C 的坐标为(3，1)．如图3，当矩形ABCD 在x 轴上方部分的面积与这个矩形面积的比为5:1时，点C的纵坐标为4．解方程x 2－6x ＋10＝4，得13x =，23x =C 的坐标为(34)或(34)．图2图3。