第5章_数值积分和数值微分
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
大学精品课【工程计算基础】工程计算5数值积分和数值微分
Rtn
(b a)h2 12
f ()
(a,b)
2020/9/29
18
5.2 梯形公式和Simpson求积公式
如果采用Simpson公式，则须在区间[a，b]内有 2n +1个节点
a =x0< x1<…<x2n=b xk= a + kh k = 0，1，…，2n 其中，h = (ba)/2n
[a，b]分成n个子区间，每个子区间[x2n，x2n+2]
2020/9/29
4
5.2 梯形公式和Simpson求积公式
• 5.2.1 梯形公式和Simpson公式
采用插值原理构造数值求积公式。
对于两点插值{a，f(a)；b，f(b)}，其拉格朗日插值
公式和余项分别为
xb
xa
L1(x)
ab
f (a) ba
f (b)
R1 ( x)
1 2
f
( )(x a)(x b)
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5.2 梯形公式和Simpson求积公式
• 5.2.2牛顿-考特斯 (Newton-Cotes)公式
将区间[a，b]划分为n等分，步长h = (ba)/n，
选取等距节点xk=a+kh 构造出的插值性求积公式
n
In ( f ) (b a)
C(n) k
f
(
xk
)
k 0
称为牛顿-考特斯 (Newton-Cotes)公式。
12 其中，h =b a。
(a,b)
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5.2 梯形公式和Simpson求积公式
如果在[a，b]内取三个插值节点，{a，f(a)；(a +b)/2， f((a +b)/2)； b，f(b)}，则插值函数为
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
数值积分与微分方程数值解法
数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。
本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。
一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。
（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。
（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。
二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。
常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。
（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。
- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。
- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。
（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。
- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。
总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值积分与数值微分21599
b
a
f ( x)dx I n Ak f ( xk ) 至少具有n次代数精度，
k 0
n
所以用插值基函数lk(x)当作f(x)代入，上式精确成立，即：
b
a
lk ( x)dx I n Aj lk ( x j ) Ak
n
j 0
n
所以 I n Ak f ( xk ) 为插值型的求积．
b a 1i n
则称求积公式是收敛的． 中，由于计算 f(xk) 定义 在求积公式a f ( x)dx Ak f ( xk )
b n
可能产生误差，实际得到 fk 即： f ( xk ) fk k n n 记 I n ( f ) Ak f ( xk )，I n ( f ) Ak f k 如果对任
由书中表知，当 n 8 时柯特斯系数出了负值，所以
(n) (n) C C k k 1 k 0 k 0 n n
故 n 8 时Newton-Cotes 公式不适用。
2019/4/23
数计学院《数值计算》课程建设组QAB
二、偶数阶求积公式的代数精度
n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。 证明： 当n 为偶数时，由于有 f ( n1) ( x) ( xn1 )( n1) (n 1)!
余项
b
余项 R[ f ]
b a 4 (4) h f ( ) , 180
( a, b) , h
ba 2
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数计学院《数值计算》课程建设组QAB
n = 4: C
(4) 0
7 (4) 16 (4) 2 (4) 16 (4) 7 , C1 , C2 , C3 , C4 柯特斯公式 90 45 15 45 90
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
第五章 数值积分与微分1
b−a T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
b−a a+b S( f ) = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) 6
b−a C( f ) = [ 7 f (a ) + 32 f (a + h) + 12 f (a + 2h) 90
+32 f (a + 3h) + 7 f (b )]
( f ( x)dx ≈ (b − a)∑Ckn) f (a + kh) = In ( f ) k=0
n
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
a k =0
n
求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision */） 求积公式的代数精度（/* 代数精度
Def 1如果求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
次的多项式都恒成立 对一切不高于m次的多项式都恒成立， 对一切不高于 次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 次多项式不能精确成立 次多项式不能精确成立， m次代数精度。 次代数精度。 次代数精度
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1− 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1− 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
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上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为
S I2 ( f )
Simpson公式的余项为
R( S ) R( I 2 ) a R2 ( x )dx
b a b a 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
b
Simpson公式具有3次代数精度
Cotes公式及其余项
+ a1x + a0 (n = 0,1,2, )
其中，an 0 ，如果对于区间 [a, b]上非负权函数 ( x) ，多项式 Pm (x) 与 Pn (x) 满足
4 4 b a 3 ( a b)3 b a I3 ( f ) (a b3 ) 6 2 4
b a 4 ( a b) 4 I3 ( f ) (a b4 ) I ( f ) 6 4
例1. 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
I
h 0
h f ( x )dx [ f (0) f ( h)] ah 2 [ f (0) f ( h)] I 2 2
截断误差估计：
f
( 4)
24 ( 4) ( x) , m max f ( x ) 24 4 5 x[ 0 ,1] (1 x )
4 5 4
(b a )( h / 2) m4 (1 0) 0.1 24 R 1.3 105 180 180
§4.5 高斯型积分
为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用
复化方法
即将积分区间 [a , b]分成若干个子区间
然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式
最后将每个小区间上的积分的近似值相加
复化 Simpson 公式： h
x k 1 xk
h f ( x ) dx [ f ( x k ) 4 f ( x k 1 ) f ( x k 1 )] 2 6
4
(b a ) 2 h f ( ) I Tn 12
b a h ( 4) I Sn f ( ) 180 2
4
o(h2 ) o(h4 )
分别是h的2， 4阶无穷小量
0.5 4 0.5 0.5 4 1 | RS | h 10.7 ( ) 10.7 104 180 180 n 2
因此
I ( x j ) I2 ( x j )
I ( x4 ) I2 ( x4 )
j 0,1,2,3
所以该积分公式具有3次代数精确度
Simpson公式及其余项
1 4 1 I 2 ( f ) (b a )[ f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 )] 6 6 6 ba ab [ f (a) 4 f ( ) f (b )] 6 2
7 1 4 t (t 1)(t 2 )( t 3)dt 0 90 4 4!
C
(4) 3
C
(4) 4
求积公式为
( 4) I 4 ( f ) (b a ) Ck f ( xk ) k 0 4
7 32 12 32 7 (b a )[ f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )] 90 90 90 90 90 ba [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90
0
解:
对于 f ( x) x
1
I x 0 dx h
0
h
I2 h
对于 f ( x) x 对于 f ( x) x2
I
h 0
I
h
0
h x dx 2
1
2
h2 I2 2
h x dx 3
2
3
h3 I2 ah2 [0 2 h] ( 1 2 a )h 3 2 2
I ( f ) f ( x)dx F (b) F (a)
a b
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式； ☞
f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题 ☎ f(x)没有解析表达式，只有数表形式
e.g. ☎
x f(x)
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g. 它们的原函数都不是初等函数.
1 a 12
令I I 2
对于 f ( x) x3
I
h 0
4 h x 3 dx 4 4 h4 h I2 ah2 [0 3h 2 ] 2 4
对于 f ( x) x4
I
h 0
5 h x 4 dx 5 5 h5 h I2 ah2 [0 4h 3 ] 2 6
A0 A1 A0 x0 A1 x1
2 A0 x0 A1 x12 3 A0 x0 A1 x13
x0 0.8212 x1 0.2899 A0 0.3891 A1 0.2776
正交多项式
设 n 次多项式
n n- 1 P + n (x) = an x + an- 1x
由于
min{ f ( x)}
a x b k 0
n 1
f (k ) max f ( x) a x b n
由介值定理, [a , b],使得
k 0
n 1
f (k ) f ( ) n
即有 (b a ) 2 nh3 n 1 f (k ) nh3 h f ( ) I Tn f ( ) 12 12 k 0 n 12
ba 取n 4 , 则 xk a kh , k 0 ,1, , 4 , h 4 7 1 4 (4) (t 1)( t 2 )(t 3)( t 4)dt Cotes系数为 C0 90 4 4! 0
C
(4) 1
( 4) C2
1 4 32 t (t 2 )(t 3)( t 4)dt 4 3! 0 90 4 12 1 t (t 1)(t 3)( t 4)dt 0 90 4 2!2! 1 4 32 t (t 1)(t 2 )( t 4)dt 4 3! 0 90
上式称为Cotes求积公式，也称五点公式
记为 C I 4 ( f )
Cotes公式具有5次代数精度
4.3
复化求积公式
当积分区间 [a, b]的长度较大 , 而节点个数 n 1固定时
直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大
而如果增加节点个数 ,即n 1增加时
公式的舍入误差又很难得到控制
第5章 数值积分
Newton-Cotes公式
微积分学--- “人类精神的卓越胜利”
微积分就是微分运算和积分运算这两种互逆运算方法 的合称，就像加法与减法，乘法与除法是互逆运算一 样，但微积分的运算法则要比加减乘除，乘方，开方 等运算复杂得多，现在已成为高等数学的核心内容。
为什么要数值积分？ Why do we do numerical integral? 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
n 2.46
n3
dx 例 用复化Simpson公式计算积分 I 的近似值， 0 1 x
1
并估计误差。（取n=5）
解：n=5，h=(1-0)/n=0.2，节点列为
xi 0.1 i , i 0,1,
则复化Simpson公式为
,10
1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0.2 1 0.4 1 0.6 1 0.8 0.2 I 6 4 4 4 4 4 4 1 0.1 1 0.3 1 0.5 1 0.7 1 0.9
b
3 3 b a f ( x) x 2时，I ( f ) 3
3 3 ba 2 b a I3 ( f ) ( a ( a b) 2 b 2 ) 6 3
4 4 b a f ( x) x3时，I ( f ) 4
5 5 b a f ( x) x 4时，I ( f ) 5
/* Gaussian Quadrature */
构造具有2n+1次代数精度的求积公式
( x) f ( x)dx A f ( x )
b a k 0 k k
n
将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。 令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入可求解，得到的公式 具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点， 公式称为Gauss 型求积公式。
h h ( 4) f (k ) 180 2 2h h ( 6 ) f (k ) 945 4
6
4
1. 设被积函数 f ( x) C 2 [a, b], 则复合梯形公式的余项为
3 n 1 h h I Tn [ f (k )] f (k ) 12 k 0 12 k 0 n 1 3
ba , xk a k h n
( k 0, ... , n)
xk
xk 1
2
x k 1
4
4
4
4
4
b
a
n 1 n 1 h f ( x )dx [ f (a ) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk 1 ) f (b)] 2 6 k 0 k 0
= Sn
2. 若被积函数 f ( x) C 4[a, b]