浙江省金华市东阳中学2020-2021学年高三上学期10月阶段考试数学试题
浙江省2020-2021学年高三上学期10月测试数学试题含解析
浙江省2020-2021学年高三上学期10月测试数学试题含解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共10题）1、函数的定义域是（）A ．B ．C ．D ．2、若，则A ． 1B ．-1C ．iD ．-i3、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“ 堑堵”. 已知某“ 堑堵” 的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“ 堑堵” 的体积为A ．B ． 1C ． 2D ． 44、设x ，y 满足约束条件，则z ＝ 2 x ＋y 的最小值是（）A ．－15B ．－9C ． 1D ．95、已知，则“ ” 是“ ” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知等比数列中，若，则A ． 4B ． 5C ．16D ．257、函数的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．8、已知，不等式在上恒成立，则（）A ．B ．C ．D ．9、将 6 个数 2 ，0 ，1 ，9 ，20 ，19 将任意次序排成一行，拼成一个8 位数（首位不为0 ），则产生的不同的8 位数的个数是（）A ．546B ．498C ．516D ．53410、如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共7题）1、在中，，且，则____________2、已知F 为抛物线C ：的焦点，点A 在抛物线上，点B 在抛物线的准线上，且A ，B 两点都在x 轴的上方，若，，则直线FA 的斜率为______ ．3、已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为 __________.4、若，则________ ；________.5、设等差数列的前项和为，若，，则__________ ，___________.6、二项展开式 (1+2 x ) 5 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 ，则a 4 =___________ ，a+ a 3 + a 5 =___________.17、已知函数，则_______ ﹔若实数满足，则的取值范围是 _______.三、解答题（共5题）1、已知函数．（ 1 ）求的值；（ 2 ）若，求的值 .2、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°． E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A’DE ，使平面A’DE⊥平面BCD ，F 为线段A’C 的中点．（Ⅰ ）求证：BF∥平面A’DE ；（Ⅱ ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A’DE 所成角的余弦值．3、如图所示，在的图像下有一系列正三角形，记的边长为，.（ 1 ）求数列，的通项公式；（ 2 ）若数列满足，证明：. 4、已知椭圆与直线有且只有一个交点，点为椭圆上任意一点，，，且的最小值为.（ 1 ）求椭圆的标准方程；（ 2 ）设直线与椭圆交于不同两点，，点为坐标原点，且，当的面积最大时，判断是否为定值，若是求出其值并证明，若不是请说明理由 .5、已知实数，设函数．（ 1 ）求函数的单调区间；（ 2 ）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．============参考答案============一、选择题1、 A【分析】由解析式的性质即可求定义域；【详解】由解析式，知：中，中，∴ 综上，有：；故选： A【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法，属于简单题；2、 C【详解】试题分析：，故选 C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ ” 的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1. 复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．3、 C【分析】由三视图中的数据，根据棱柱的体积公式求出该“ 堑堵” 的体积．【详解】解：由图可知，底面是一个等腰直角三角形，直角边为，斜边为 2 ，又该“ 堑堵” 的高为 2 ，∴ 该“ 堑堵” 的体积，故选： C ．【点睛】本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱柱的体积公式，属于基础题．4、 A【分析】作出可行域，z 表示直线的纵截距，数形结合知z 在点B ( － 6 ，－3) 处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数，z 表示直线的纵截距，，数形结合知函数在点B ( － 6 ，－3) 处纵截距取得最小值，所以z 的最小值为－ 12 － 3 ＝－15.故选： A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题 .5、 D【分析】化简得，结合充分与必要条件的判断方法即可求解【详解】由，显然由，比如，又，比如，故“ ” 是“ ” 的既不充分也不必要条件，故选： D【点睛】结论点睛：本题考查既不充分也不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（ 1 ）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（ 2 ）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（ 3 ）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（ 4 ）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．6、 B【分析】根据已知化简，由此求得表达式的值 .【详解】依题意得，即，而.【点睛】本小题主要考查等比数列通项的基本量计算，属于基础题 .7、 B【分析】根据、分类讨论的图象，利用导函数研究它在各个区间上的单调性，分别判断两个区间某一部份的单调性即可得到它的大致图象；【详解】1 、当时，，即，令，则，∴ 时，即单调递增，故，∴ 此时，，即在单调递增，故排除D 选项；2 、当时，，令，则，∴ ，，故有即，所以，∴ 在上，而，故在上一定有正有负，则有B 正确；故选： B【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，并确定函数的大致图象，注意按区间分类讨论，以及零点、极值点的讨论8、 D【分析】由题意，原不等式转化为，两边同时平方并化简得，由此分析出，进而得到，由此可解出答案．【详解】解：∵ ，且，∴ ，∴ ，∴ ，∵ 上述不等式恒成立，∴ ，即（否则取，则左边，矛盾），此时不等式转化为，∴ ，解得，∴ ，故选： D ．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查转化与化归思想，属于难题．9、 B【分析】根据题意，由排除法分析：先求出将 2 ，0 ，1 ，9 ，20 ，19 的首位不为0 的排列数，排除 2 的后一项是0 ，且 1 的后一项是9 的排列，2 的后一项是0 ，但1 的后一项不是9 的排列， 1 的后一项是9 ，但 2 的后一项不是0 的排列，分析可得答案【详解】解：将 2 ，0 ，1 ，9 ，20 ，19 的首位不为0 的排列的全体记为，记为为的元素全数，则，将中的 2 的后一项是0 ，且1 的后一项是9 的排列的全体记为，中 2 的后一项是0 ，但1 的后一项不是9 的排列的全体记为，中 1 的后一项是9 ，但 2 的后一项不是0 的排列的全体记为，则，可得，由 B 中排列产生的每一个8 位数，恰对应 B 中的个排列（这样的排列中， 20 可与“2 ，0” 互换，19 可与“1 ，9” 互换），类似地，由 C 或 D 中排列产生的每个8 位数，恰对应 C 或 D 中的 2 个排列，因此满足条件的8 位数的个数为：，故选： B【点睛】方法点睛：此题考查排列组合的应用问题，解决排列组合问题应注意：（ 1 ）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可采用间接法（ 2 ）对于相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法10、 B【分析】由题意知，作辅助线找到，及二面角，四边形为正方形进而得到为等腰三角形，利用所得直角三角形用边表示、，即有它们的等量关系，利用结合二面角，即可求的最大值；【详解】直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，而，，又，可知：，若令二面角为，作于，于；过作，过作与交于点；∴ 面，又，，故面，面，即；过作，过作与交于点；∴ 面，又，，故面，面，即；作于，于，连接、，即有，且；∵ ，即，作有四边形为正方形，即，∴ ，有，故为等腰三角形且，令，，则，有，而，∴ ，，又，∴ 当时等号成立故选： B【点睛】本题考查了应用辅助线，根据已知条件以及线面角、线线角、面面角的性质，得到它们的三角函数间等量关系，并化简目标三角函数式，结合二面角的范围求目标式的最值；二、填空题1、【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题 .2、【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A 的坐标，由斜率公式计算可得所求值．【详解】解：的焦点，准线方程为，如图，设A 在x 轴上的射影为N ，准线与x 轴的交点为M ，由，，可设，，可得，，即有，，则直线AF 的斜率为．故答案为．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3、 5【分析】建直角坐标系，设，由条件可得点在两圆弧或上，求出，设其为，代入圆弧方程，由可求得结果【详解】解：如图，设，因为与的夹角是，所以，所以点所在的圆中，弧所对的圆心角为，所以点在两圆弧或上，因为，设，把代入中化简得，因为此方程有解，所以即，化简得，解得；把代入中化简得，因为此方程有解，所以即，化简得，解得；所以的最大值为 5【点睛】关键点点睛：此题平面向量的综合应用，属于中档题，解题的关键是建立平面直角坐标系，将向量坐标化，由与的夹角是，利用数形结合和平面几何的知识得点在两圆弧或上，是解此题的突破口4、 9 6【分析】利用对数的运算可得，再利用对数的运算性质即可求解 .【详解】若，则，.故答案为： 9 ； 6【点睛】本题考查对数的运算，需熟记对数的运算性质，属于基础题 .5、28【分析】由，，可得，从而可求出和，进而可求出，再利用等差数列的性质和前项和公式可求出【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，故答案为：， 286、 80 122【分析】直接利用二项式展开式通项公式求解即可【详解】解：因为 (1+2 x ) 5 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 ，且其展开式的通项公式为所以a 4 80.a+ a 3 + a 5 122.1故答案为： 80 ；122.【点睛】此题考查二项式定理的应用，属于基础题7、【分析】根据的解析式可直接求出，然后分、两种情况解不等式即可 .【详解】因为，所以当时，，所以，解得，所以当时，，所以，此不等式对恒成立所以的取值范围是故答案为：；.【点睛】本题考查的是分段函数，考查了分类讨论的思想，属于基础题 .三、解答题1、 (1)1 ；(2)【分析】（ 1 ）利用倍角公式、辅助角公式化简，再把代入求值；（ 2 ）由，，利用角的配凑法得：，再利用两角差的余弦公式得.【详解】解 : （1 ）因为，所以.（ 2 ）由得，【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力 .2、 1/2【详解】(1) 证明: 如图所示, 取A′D 的中点G, 连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG= CD,BE∥CD,BE= CD,所以FG∥BE,FG=BE,故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以BF∥EG.因为 EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,所以BF∥ 平面A′DE.(2) 解: 在平行四边形ABCD 中, 设BC=a,则 AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接 CE, 因为∠ABC=120°,在△BCE 中, 可得CE= a.在△ADE 中, 可得DE=a.在△CDE 中, 因为CD 2 =CE 2 +DE 2 , 所以CE⊥DE.在正三角形A′DE 中,M 为DE 的中点, 所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥ 平面BCD,可知A′M⊥ 平面BCD,所以A′M⊥CE.取A′E 的中点N, 连接NM,NF,则NF∥CE. 则NF⊥DE,NF⊥A′M.因为 DE 交A′M 于点M, 所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN 为直线FM 与平面A′DE 所成的角.在Rt△FMN 中,NF= a,MN= a,FM=a,则cos∠FMN= ,所以直线 FM 与平面A′DE 所成角的余弦值为.3、（ 1 ），；（ 2 ）证明见解析.【分析】先建立等量关系得到，再判断数列是以为首项，为公差的等差数列，最后求和；（ 2 ）先化简，再用裂项相消法求和证明结论 .【详解】（ 1 ）解：设，则.由题意可知：，.两式相减：.易知，故数列是以为首项，为公差的等差数列 .故，.（ 2 ）证明：由题意可知：.故.故命题得证 .【点睛】本题考查函数与数列的关系、等差数列的判断、裂项相消法求和，是中档题 .4、（ 1 ）；（ 2 ）定值为，证明见解析【分析】（ 1 ）设点，根据题意，得到，根据向量数量积的坐标表示，得到，根据其最小值，求出，即可得出椭圆方程；（ 2 ）设，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出的面积的最值，得到；得出点的轨迹为椭圆，即可得出为定值 .【详解】（ 1 ）设点，由题意知，，则，当时，取得最小值，即，，故椭圆的标准方程为；（ 2 ）设，，，由，得，，，则点到直线的距离，，取得最大值，当且仅当即，① 此时，，即，代入① 式整理得，即点的轨迹为椭圆，且点为椭圆的左、右焦点，即，故为定值.【点睛】关键点睛：本题主要考查求椭圆的方程，考查求椭圆中的定值问题，对于第一问，解题的关键是得出，知道当时，取得最小值；对于第二问，直线与曲线的相交问题，常用步骤是设点设方程，联立方程求解，利用韦达定理求出相关量，本题可用来表示出三角形的面积，求出最值，解题的关键是得出点的轨迹为椭圆 .5、（ 1 ）在内单调递减，在内单调递增；（ 2 ）【分析】(1) 求导后取出极值点, 再分, 两种情况进行讨论即可 .(2) 当时得出的一个取值范围 , 再讨论时的情况 , 再对时构造函数两边取对数进行分析论证时恒成立 .【详解】(1) 由, 解得．① 若, 则当时 , , 故在内单调递增；当时 , , 故在内单调递减．② 若, 则当时 , , 故在内单调递增；当时 , , 故在内单调递减．综上所述 , 在内单调递减 , 在内单调递增．(2) , 即．令, 得, 则．当时 , 不等式显然成立 ,当时 , 两边取对数, 即恒成立．令函数, 即在内恒成立．由, 得．故当时 , , 单调递增；当时 , , 单调递减 .因此．令函数, 其中,则, 得,故当时 , , 单调递减；当时 , , 单调递增．又, ,故当时 , 恒成立 , 因此恒成立 ,即当时 , 对任意的, 均有成立．【点睛】本题主要考查了利用求导解决含参的函数的单调性问题以及在区间上恒成立求参数的范围的问题 , 需要构造函数讨论函数的单调性进行求解, 属于难题.。
浙江省金华市东阳中学2020┄2021届高三上学期月考10月份化学试题Word版 含解析
2020┄2021学年浙江省金华市东阳中学高三（上）月考化学试卷（10月份）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列叙述正确的是（）A．200mL 1mol/L的Al2（SO4）3溶液中，Al3+和SO42﹣离子总数为6.02×1023B．在标准状况下，22.4L Cl2和HCl的混合气体中含有的分子总数为2×6.02×1023 C．0.1mol Br原子中含有的中子数为3.5×6.02×1023D．30g甲醛中含共用电子对总数为4×6.02×10232．下列说法不正确的是（）A．6.02×1023是阿伏加德罗常数的近似值B．阿伏加德常数个微粒的物质的量是1 molC．1 mol 12C原子的质量为12 gD．硫酸的摩尔质量是98 g3．同温同压下，甲容器充满35Cl2，乙容器中充满37Cl2，下列叙述不正确的是（）A．若两种气体体积相等，甲、乙两容器中气体的密度之比为35：37B．若两种气体体积相等，甲、乙两容器中气体分子数之比为35：37C．若两种气体质量相等，甲、乙两容器中气体所含质子数之比为37：35D．若两种气体体积相等，甲、乙两容器中气体所含中子数之比为9：104．实验室里用一氧化碳还原由FeO、Fe2O3、Fe3O4组成的混合物，并将生成的气体通入足量的澄清石灰水中，最后测得生成的铁和碳酸钙的质量比为21：50，则这种混合物中FeO、Fe2O3、Fe3O4的物质的量之比不可能的是（）A．1：2：1 B．3：3：1 C．7：7：9 D．1：1：15．有混合气体X，它是由NO、H2、CO2组成，通入足量的Na2O2后，变成混合气体Y，将Y用电火花引燃使其充分反应，只得到质量百分数为70%的HNO3溶液，无其他任何气体，则X中各气体的体积之比为（）A．2：4：7 B．4：2：7 C．7：4：2 D．3：5：86．下列反应的离子方程式正确的是（）A．碳酸氢镁溶液与足量的烧碱溶液反应2OH﹣+Mg2++2HCO3﹣=MgCO3↓+CO32﹣+2H2O fB．氯化铵溶液与澄清石灰水反应 NH4++OH﹣=NH3↑+H2O7C．碘化亚铁与溴水反应 2I﹣+Br2=I2+2Br﹣D．向偏铝酸钠溶液中加入少量的NaHSO4溶液 AlO2﹣+H++H2O═Al（OH）3↓7．设N A表示阿伏加德罗常数的值，下列有关N A的叙述中不正确的有（）A．标准状况下，20 g重水（D2O）中含有的电子数为10N AB．乙烯和环丙烷组成的42 g混合气体中氢原子的个数为6N AC．22.4 L的N2的共用电子对数为3N AD．78gNa2O2固体中含有的阴离子数为N A8．若N A为阿伏伽德罗常数的值，下列说法不正确的是（）A．1molCl2与足量的铁反应，转移电子数为3N AB．常温常压下，1mol氦气含有的原子数为N AC．标准状况下，2.24L丁烷分子所含的C﹣H 键数为N AD．1molNa2O2所含的阴离子数目为N A9．已知14.2g X气体在标准状况下的体积是4.48L，则X气体的摩尔质量是（）A．71g B．71 C．71g/mol D．142g/mol10．设N A为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是（）A．1mol/L氯化铜溶液中的Cu2+数小于N AB．标准状况下，22.4L Cl2参加任何化学反应转移的电子数都是2N AC．28 g聚乙烯含有的碳原子数为2N AD．1mol CH5+所含电子数为8N A11．将溶液（或气体）X逐渐加入（或通入）到一定量的Y溶液中，产生沉淀的质量与加入X的物质的量关系如图所示，符合图中情况的一组物质是（）X Y溶液A Ba（HCO3）2溶液 NaOH溶液B KOH溶液 Mg（HSO4）2溶液C Na2CO3溶液 CaCl2溶液D CO2气体石灰水A．A B．B C．C D．D12．Cu2S与一定浓度的HNO3反应，生成Cu（NO3）2、CuSO4、NO2、NO和H2O．当产物n（NO2）：n（NO）=1：1时，下列说法正确的是（）A．产物n[Cu（NO3）2]：n[CuSO4]=1：1B．参加反应的n（Cu2S）：n（HNO3）=1：5C．反应中Cu2S既做氧化剂，又做还原剂D．1 molCu2S参加反应时有8 mol电子转移二、解答题（共9小题，满分4分）13．为测定Na2CO3与Na2SO3混合物中各组分的含量，设计如下实验方案：（1）方案一：称取一定质量的样品（10g），置于坩埚中加热至恒重，冷却，称取剩余固体质量为10.8g，计算：①实验中加热至恒重的目的是．②样品中Na2CO3的质量分数为；（2）方案二：如图所示装置进行实验：（铁架台、铁夹等仪器未在图中画出）①已知仪器C中装有品红溶液，其作用是检验SO2是否除尽，有人提出该溶液可能引起Na2CO3含量的测量结果比实际值偏低，理由是．②实验室中备有以下常用试剂：a．浓硫酸 b．品红溶液 c．酸性高锰酸钾溶液 d．氢氧化钠溶液 e．无水硫酸铜 f．碱石灰 g．五氧化二磷 h．无水氯化钙．请将下列容器中应盛放的试剂序号填入相应空格：B中，E中．③实验过程中，当仪器A内的固体反应完全后，需打开活塞K，向A中通入大量的氮气，这样做的目的是．14．现有A、B、C、D、E五种强电解质，它们在水中可电离产生下列离子（各种离子不重复）．阳离子H+、Na+、A13+、Ag+、Ba2+阴离子OH﹣、C1﹣、CO32﹣、NO3﹣、SO42﹣已知：①A、B两溶液呈碱性；C、D、E溶液呈酸性．②A溶液与E溶液反应既有气体又有沉淀产生；A溶液与C溶液反应只有气体产生（沉淀包括微溶物，下同）．③D溶液与另外四种溶液反应都能产生沉淀； C只能与D反应产生沉淀．试回答下列问题：（1）写出化学式：A B D（2）E溶液呈酸性的原因是：（用离子方程式表示）（3 ）将C溶液逐滴加入等体积、等物质量的浓度的A溶液中，反应后溶液中各种离子浓度由大到小的顺序为：．（4 ）在100mL0.1mol•L﹣1E溶液中，逐滴加入35mL 2mol•L﹣1NaOH溶液，最终得到沉淀物质的量为 mol．15．某研究性学习小组为证明在同温同压下，相同浓度相同体积的不同强度的一元酸与足量镁带反应时，生成氢气的体积相同而反应速率不同，同时测定实验室条件下的气体摩尔体积设计的简易实验装置图．该实验的主要操作步骤如下：a．配制浓度均为1mol•L﹣1盐酸和醋酸溶液；b．用量取10.00mL1mol•L﹣1盐酸和醋酸溶液分别加入两个锥形瓶中；c．分别称取除去表面氧化膜的镁带a g，并系于铜丝末端，a的数值至少为g；d．在广口瓶中装足量的水，按图连接好装置；检查装置的气密性；e．将铜丝向下移动，使足量镁带浸入酸中，至反应完全，记录；f．反应结束后待温度恢复到室温，若丙中液面高于乙中液面，读取量筒中水的体积前，应，读出量筒中水的体积为V mL．请将上述步骤补充完整并回答下列问题：（1）用文字表述d检查该装置气密性的操作与观察方法：．（2）本实验中应选用（填序号）的量筒．A．100mL B．200mL C．500mL（3）简述速率不等的原因，铜丝不与酸接触的原因是．16．49g H2SO4的物质的量是；1.5 mol H2SO4的质量是g，其中含有molH，含有g O．17．在下列条件下能否发生离子反应？请说明理由．（1）CH3COONa溶液与HCl溶液混合．（2）向澄清的Ca（OH）2溶液中通入少量CO2．（3）CuCl2溶液与H2SO4溶液混合．18．物质A是由A元素组成的单质，将其在酒精灯火焰上灼烧，火焰为黄色，B，C，D是含有A元素的三种不同化合物，A、B、C、D按如图关系进行转化：（1）写出化学式：A B C D（2）写出①②③④的化学方程式．①②③④．19．A、B、C、D、X均为中学化学常见的物质．它们之间存在如图所示转化关系（图中反应条件略去）填写下列空白：（1）若A为金属铝，B为氧化铁，写出反应A+B→C+D的一种用途（2）若A为两性氢氧化物，B为NaOH溶液，写出反应A+B→C+D的离子方程式．（3）若A为金属单质，B、C、D都是化合物，A与B发生的反应常用于刻制印刷电路板，该反应的离子方程式．（4）若A、B、C为化合物，D、X为单质，A、B、C中肯定含有X元素的是．20．下列叙述不正确的是（）A．在家用电热水器不锈钢内胆镶嵌镁棒，以防止内胆腐蚀B．草木灰（主要成分K2CO3）和铵态氮肥混合使用会降低肥效C．施用适量石灰乳可降低盐碱地（含较多NaCl、Na2CO3）的碱性D．除去废水中的Cu2+、Ag+等重金属离子可选用硫化钠溶液21．下列反应为放热反应的有，为吸热反应的有．①CaCO3分解②钠与水反应③硫在O2中燃烧④CO2+C2CO ⑤CaO+H2O=Ca（OH）2⑥C+H2O（g）CO+H2⑦N2与H2合成NH3⑧NaOH和CH3COOH的反应．2020┄2021学年浙江省金华市东阳中学高三（上）月考化学试卷（10月份）参考答案1．【分析】A、依据n=CV计算200mL 1mol/L的Al2（SO4）3溶液中溶质物质的量，铝离子水解减少；B、在标准状况下，22.4L Cl2和HCl的混合气体物质的量为1mol；C、依据质子数+中子数=质量数计算判断；D、依据n=计算物质的量，结合甲醛分子结构计算共用电子对数．【解答】解：A、依据n=CV计算200mL 1mol/L的Al2（SO4）3溶液中溶质物质的量=0.2L×1mol/L=0.2mol，铝离子水解减少，Al3+和SO42﹣离子总数小于6.02×1023，故A错误；B、在标准状况下，22.4L Cl2和HCl的混合气体物质的量为1mol，含有的分子总数为6.02×1023，故B错误；C、依据质子数+中子数=质量数计算，0.1mol Br原子中含有的中子数0.1mol×（81﹣35）×6.02×1023=4.6×6.02×1023，故C错误；D、依据n=计算物质的量==1mol，结合甲醛分子结构计算共用电子对数=1mol×4×6.02×1023，故D正确；故选D．2．【分析】A．阿伏加德罗常数的近似值为6.02×1023；Ｂ．1mol任何物质都含有阿伏伽德罗常数个微粒；C．12C原子的摩尔质量为12g/mol，则m=M×n；D．摩尔质量的单位是g/mol．【解答】解：A．阿伏加德罗常数的近似值为6.02×1023，精确值为12g12C所含的碳原子数，故A正确；B．阿伏加德常数个微粒的物质的量是1mol，故B正确；C．1mol 12C原子的质量m=M×n=12g/mol×1mol=12g，故C正确；D．硫酸的摩尔质量是98g/mol，故D错误；故选：D．3【分析】35Cl2的相对分子质量为70，37Cl2的相对分子质量为74，体积相等时，由n=可知物质的量相等，由n==可得ρ==，密度与摩尔质量呈正比，由n==可知体积与分子数呈正比，根据原子构成解答该题．【解答】解：35Cl2的相对分子质量为70，37Cl2的相对分子质量为74，A．若两种气体体积相等，n==可得ρ==，密度与摩尔质量呈正比，甲、乙两容器中气体的密度之比为35：37，故A正确；B．由n==可知体积与分子数呈正比，若两种气体体积相等，甲、乙两容器中气体分子数之比为1：1，故B错误；C．若两种气体质量相等，由n=可知，气体的物质的量与摩尔质量呈反比，则甲、乙两容器中气体的物质的量之比为37：35，因都由Cl元素组成，则所含质子数之比为37：35，故C正确；D．若两种气体体积相等，则两种容器的气体的物质的量相等，甲、乙两容器中气体所含中子数之比为（35﹣17）×2：（37﹣17）×2=9：10，故D正确．故选B．4．【分析】CO还原金属氧化物生成二氧化碳，二氧化碳与石灰水反应生成碳酸钙，由最后测得生成的铁和碳酸钙的质量比为21：50，则Fe与碳酸钙的物质的量比为：=3：4，可知原金属混合物中Fe、O的原子个数比为3：4，以此来解答．【解答】解：CO还原金属氧化物生成二氧化碳，二氧化碳与石灰水反应生成碳酸钙，由最后测得生成的铁和碳酸钙的质量比为21：50，则Fe与碳酸钙的物质的量比为： =3：4，可知原金属混合物中Fe、O的原子个数比为3：4，Fe3O4中Fe、O的原子个数比为3：4，可任意量存在，而FeO、Fe2O3的物质的量比为1：1时，满足Fe、O的原子个数比为3：4，则B、C、D均可能，故选A．5．【分析】涉及的反应有2Na2O2+2CO2=2Na2CO3+O2，2H2+O2=2H2O，4NO+3O2+2H2O=4HNO3，得到浓度为70%的硝酸溶液，设硝酸为70g，则水为30g，则：n（HNO3）==mol，n（H2O）==mol，结合方程式计算该题．【解答】解：设得到70%的硝酸100g，70%的硝酸中n（HNO3）==mol，n（H2O）==mol，其中n（H）：n（N）：n（O）=（2×mol+mol）： mol：（mol+3×mol）=4：1：4.5，通过足量Na2O2后，n（O2）=n（CO2），n（H2）：n（NO）：n（O2）=：1： =2：1：1.75，则n（H2）：n（NO）：n（CO2）=2：1：3.5，即：n（NO）：n（H2）：n（CO2）=2：4：7，故选A．6．【分析】A．氢氧化钠足量，反应生成氢氧化镁沉淀、碳酸钠和水，不会生成碳酸镁；B．二者在不加热时反应生成的是一水合氨按；C．若溴水足量时，亚铁离子也被氧化；D．硫酸氢钠少量，反应生成氢氧化铝沉淀．【解答】解：A．碳酸氢镁溶液与足量的烧碱溶液反应，氢氧化镁更难溶，反应生成的是氢氧化镁沉淀，正确的离子方程式为：4OH﹣+Mg2++2HCO3﹣=Mg（OH）2↓+2CO32﹣+2H2O，故A错误；B．氯化铵溶液与澄清石灰水反应生成氯化钙和一水合氨按，正确的离子方程式为：NH4++OH﹣=NH3↑•H2O，故B错误；C．碘化亚铁与溴水反应，若溴水少量时发生反应：2I﹣+Br2=I2+2Br﹣，但是溴水足量时亚铁离子也被氧化，发生反应为：2Fe2++4I﹣+3Br2=I2+2Fe3++6Br﹣，故C错误；D．向偏铝酸钠溶液中加入少量的NaHSO4溶液，反应生成硫酸钠和氢氧化铝沉淀，反应的离子方程式为：AlO2﹣+H++H2O═Al（OH）3↓，故D正确；故选D．7．【分析】A、D2O中含有10个电子，摩尔质量是20g/mol；B、乙烯和环丙烷最简式相同为CH2，计算42gCH2中氢原子数；C、氮气所处的状态不确定；D、Na2O2由2个Na+和1个O22﹣构成【解答】解：A、20g重水（D2O）的物质的量是1mol，D2O分子中含有10个电子，含有的电子数为10N A，故A正确；B、乙烯和环丙烷最简式相同为CH2，计算42gCH2中氢原子数=×2×N A=6N A，故B正确；C、氮气所处的状态不一定是标况，故22.4L氮气的物质的量不一定是1mol，故共用电子对数不一定是3N A，故C错误；D、78gNa2O2的物质的量n===1mol，Na2O2由2个Na+和1个O22﹣构成，故1molNa2O2中含1mol阴离子，即N A个，故D正确；故选C．8．【分析】A．氯气与铁反应生成氯化铁，1mol氯气最多得到2mol电子；B．稀有气体为单原子分子，1mol氦气中含有1mol氦原子；C．标况下2.24L丁烷的物质的量为0.1mol，丁烷分子中含有10个碳氢键；D．过氧化钠中阴离子为过氧根离子，1mol过氧化钠中含有1mol过氧根离子．【解答】解：Ａ．1mol氯气与足量铁反应，最多得到2mol电子，转移电子数为2N A，故A错误；Ｂ．1mol氦气中含有1mol氦原子，含有的原子数为N A，故B正确；C．标准状况下，2.24L丁烷的物质的量为0.1mol，0.1mol丁烷中含有1mol碳氢键，所含的C﹣H键数为N A，故C正确；Ｄ．1mol过氧化钠中含有1mol过氧根离子，所含的阴离子数目为N A，故D正确；故选A．9．【分析】根据n==计算．【解答】解：根据n==，可知M===71g/mol．故选：C．10．【分析】A．没有告诉氯化铜溶液的体积，无法计算溶液中铜离子数目；B．氯气与氢氧化钠溶液的反应中，1mol氯气转移了1mol电子；C．聚乙烯的最简式为CH2，28g聚乙烯中含有最简式2mol，含有2mol碳原子；D．CH5+中含有：6+5﹣1=10g电子，1mol CH5+中含有10mol电子．【解答】解：A．题中缺少氯化铜溶液的体积，无法计算溶液中铜离子的物质的量及数目，故A错误；B．标况下，22.4L氯气的物质的量为1mol，1mol氯气参加的反应，转移的电子的物质的量不一定为2mol，如氯气与氢氧化钠溶液的反应，1mol氯气转移了1mol电子，故B 错误；C．28g聚乙烯中含有2mol最简式CH2，所以28g混合物中含有2mol碳原子，含有的碳原子数为2N A，故C正确；D．1mol CH5+中含有10mol电子，所含电子数为10N A，故D错误；故选C．11．【分析】由图可知，加入X物质，开始不产生沉淀，加入一定量的X时开始产生沉淀，当沉淀达最大值时，再加入X沉淀不溶解．A、氢氧化钠溶液中加入碳酸氢钡溶液立即生成碳酸钡沉淀；B、Mg（HSO4）2溶液中加入KOH溶液，先发生中和反应，氢氧化钠中和完溶液中的氢离子后，再与镁离子反应生成氢氧化镁沉淀，且氢氧化镁不溶于氢氧化钠；C、氯化钙溶液中加入碳酸钠溶液立即产生碳酸钙沉淀；D、石灰水通入二氧化碳立即生成碳酸钙沉淀，最后沉淀完全溶解．【解答】解：由图可知，加入X物质，开始不产生沉淀，加入一定量的X时开始产生沉淀，当沉淀达最大值时，再加入X沉淀不溶解．A、氢氧化钠溶液中加入碳酸氢钡溶液立即生成碳酸钡沉淀，图象与实际不符合，故A错误；B、Mg（HSO4）2溶液中加入KOH溶液，先发生中和反应，氢氧化钠中和完溶液中的氢离子后，再与镁离子反应生成氢氧化镁沉淀，且氢氧化镁不溶于氢氧化钠，图象与实际符合，故B正确；C、氯化钙溶液中加入碳酸钠溶液反应生成碳酸钙与氯化钠，立即产生碳酸钙沉淀，图象与实际不符合，故C错误；D、石灰水通入二氧化碳立即生成碳酸钙沉淀，最后沉淀完全溶解，图象与实际不符合，故D错误；故选：B．12．【分析】分析氧化还原反应，依据电子守恒，原子守恒写出化学方程式：2Cu2S+14HNO3=2Cu（NO3）2+2CuSO4+5 NO2↑+5 N0↑+7 H2O；根据化学方程式的定量关系和氧化还原反应关系分析判断计算；【解答】解析：己知n（NO2）：n（NO）=1：1，假定生成1molNO2、1molNO；则HNO3被还原生成1molNO2、1molNO共得4mole﹣；Cu2S应失4mole﹣．而1molCu2S能失10mole﹣，故失4mole﹣说明反应的Cu2S的物质的量为0.4mol，0.4molCu2S生成0.4molCuSO4和0.4molCu（NO3）2；即起酸性作用的HNO3的物质的量为0.8mol，起氧化作用的HNO3为2mol．反应的HNO3共2.8mol，故n （Cu2S）：n（HNO3）=0.4mol：2.8mol=2：14；A、依据分析计算得到，产物n[Cu（NO3）2]：n[CuSO4]=1：1；故A正确；B、参加反应的n（Cu2S）：n（HNO3）=2：14，故B错误；C、反应中Cu2S铜元素化合价升高，硫元素化合价升高，所以只做还原剂，故C错误；D、依据元素化合价变化和电子守恒计算得到，1 molCu2S参加反应时有10mol电子转移，故D错误；故选A．13．【分析】（1）①加热恒重使亚硫酸钠完全被氧化；②依据质量减少计算亚硫酸钠的质量来计算碳酸钠质量分数；（2）①装置C中的品红是检验二氧化硫是否除尽；二氧化碳可能溶解于水；②分析实验过程稀硫酸和碳酸钠和亚硫酸钠反应生成二氧化碳二氧化硫气体，为测定含量需要测定二氧化碳的质量来计算得到，所以实验过程：装置B先用高锰酸钾溶液吸收二氧化硫气体，通过装置C中的品红试液检验二氧化硫是否除尽，利用装置D中浓硫酸除去水蒸气，通过装置E吸收生成的二氧化碳气体称量得到二氧化碳质量；③通入氮气的作用是板整套装置中生成的二氧化碳气体全部赶到装置E中被吸收．【解答】解：（1）①加热恒重使亚硫酸钠完全被氧化，便于测定固体质量来计算各成分的质量分数，故答案为：使亚硫酸钠氧化完全；②依据质量减少计算亚硫酸钠的质量来计算碳酸钠质量分数，称取一定质量的样品（10g），置于坩埚中加热至恒重，冷却，称取剩余固体质量为10.8g，固体质量增加是氧气的质量，则2Na2SO3+O2=2Na2SO42×126 32m（Na2SO3） 10.8g﹣10gm=6.3g则碳酸钠质量分数=×100%=37%，故答案为：37%；（2）①装置C中的品红是检验二氧化硫是否除尽；有人提出该溶液可能引起Na2CO3含量的测量结果比实际值偏低可能是二氧化碳溶解于水减少，故答案为：二氧化碳可溶于水；②分析实验过程稀硫酸和碳酸钠和亚硫酸钠反应生成二氧化碳二氧化硫气体，为测定含量需要测定二氧化碳的质量来计算得到，所以实验过程：装置B先用高锰酸钾溶液吸收二氧化硫气体，通过装置C中的品红试液检验二氧化硫是否除尽，利用装置D中浓硫酸除去水蒸气，通过装置E吸收生成的二氧化碳气体称量得到二氧化碳质量，最后的干燥管是避免空气中二氧化碳和水蒸气干扰二氧化碳质量的测定，故答案为：c；f；③通入氮气的作是把整套装置中生成的二氧化碳气体全部赶到装置E中被吸收，故答案为：使ABCD各装置中残留的二氧化碳进入E被充分吸收．14．【分析】①A、B两溶液呈碱性，结合离子的共存可知，应为Ba（OH）2、Na2CO3中的一种，C、D、E溶液呈酸性，应为AgNO3、硫酸铝、HCl中的一种；②A溶液与E溶液反应既有气体又有沉淀产生；A溶液与C溶液反应只有气体产生，则A 为Na2CO3，B为Ba（OH）2，E为Al2（SO4）3，C为HCl；③D溶液与另外四种溶液反应都能产生沉淀；C只能与D反应产生沉淀，则D为AgNO3，然后结合物质的性质及化学用语来解答．【解答】解：（1）由以上分析可知A为Na2CO3，B为Ba（OH）2，C为HCl，D为AgNO3，E为Al2（SO4）3，故答案为：Na2CO3；Ba（OH）2；AgNO3；（2）E为Al2（SO4）3，为强酸弱碱盐，铝离子水解导致溶液显示酸性，反应的离子方程式为Al3++3H2O⇌Al（OH）3+3H+，故答案为：Al3++3H2O⇌Al（OH）3+3H+；（3）C溶液逐滴加入等体积、等物质的量浓度的A溶液中，反应生成等量的NaCl、NaHCO3，水解显碱性，则离子浓度大小为c（Na+）＞c（Cl﹣）＞c（HCO3﹣）＞c （OH﹣）＞c（H+），故答案为：c（Na+）＞c（Cl﹣）＞c（HCO3﹣）＞c（OH﹣）＞c（H+）．（4）n（Al2（SO4）3）=0.1L×0.1mol/L=0.01mol，n（NaOH）=0.035L×2mol/L=0.07mol；则n（Al3+）=0.02mol，n（OH﹣）=0.07mol，发生：Al3++3OH﹣=Al（OH）3↓，0.02mol 0.06mol 0.02molAl（OH）3+OH﹣=AlO2﹣+2H2O，0.01mol 0.01mol所以反应后，生成0.01molAl（OH）3和0.01molAlO2﹣，得到沉淀物质的量为0.01mol，故答案为：0.01．15．【分析】b．根据酸式滴定管和碱式滴定管的使用要求以及精确度来选择；c．根据化学方程式进行计算；e．比较化学反应速率，必须是比较一定时间之内的反应物浓度的变化或其它量的变化；f．读数时要保持左右气体压强相等，以减少误差；（1）从检查装置的气密性的原理来考虑；（2）根据反应的化学方程式计算生成标况下氢气的体积，然后判断量筒规格；（3）从影响化学反应速率的因素来分析；根据镁与铜易形成原电池，加快反应速率，干扰实验测定．【解答】解：b．题中要求酸的体积10.00 mL较精确，应选酸式滴定管，如用碱式滴定管会腐蚀橡胶管，故答案为：酸式滴定管；c．Mg+2HCl（或HAc）═MgCl2+H2↑24g 2 mola 1mol/L×0.01La=0.12 g．故答案为：0.12；e．比较化学反应速率，必须是比较一定时间之内的反应物浓度的变化或其它量的变化，故答案为：反应所需时间；f．读数时要保持左右气体压强相等，以减少误差，操作方法为：将量筒缓缓向下移动，使乙、丙中液面相平，故答案为：将量筒缓缓向下移动，使乙、丙中液面相平；（1）如不漏气，加热时容器内压强增大，会有气泡冒出，所以检查该装置气密性的操作与观察方法为：往丙中加水没过导气管口下端，两手掌紧贴甲外壁一会儿，若观察到丙中导气管冒气泡，表明装置不漏气，故答案为：往丙中加水没过导气管口下端，两手掌紧贴甲外壁一会儿，若观察到丙中导气管冒气泡，表明装置不漏气；（2）Mg+2HCl（或HAc）═MgCl2+H2↑2 mol 1 mol1 mol/L×0.01 L n（H2）n（H2）=0.005 mol，V（H2）=0.005 mol×22.4L/mol=0.112L=112ml，应选200 mL 量筒，故答案为：B；（3）影响化学反应速率的因素有浓度、温度、压强等，本题为H+浓度不同；镁与铜易形成原电池，加快反应速率，干扰实验测定，所以铜丝不与酸接触，故答案为：酸的浓度相同时c（H+）不同；防止形成原电池，干扰实验现象的观察．16．【分析】结合n==结合分子构成计算相关物理量．【解答】解：n（H2SO4）==0.5mol，1.5mol H2SO4的质量是1.5mol×98g/mol=147g，含有H原子数目为1.5mol×2=3mol，含有氧原子质量为1.5mol×4×16g/mol=96g，故答案为：0.5mol；147；3；96．17．【分析】（1）醋酸根离子能与氢离子结合为醋酸；（2）钙离子和氢氧根离子可吸收二氧化碳生成难溶物碳酸钙和弱电解质水；（3）CuCl2、H2SO4、CuSO4、HCl均溶于水．【解答】解：（1）醋酸钠电离得到醋酸根离子和钠离子，醋酸根离子能与氢离子结合为醋酸，醋酸为弱电解质，符合离子反应发生的条件，答：能反应，醋酸根离子能与氢离子结合为弱电解质醋酸；（2）向澄清的Ca（OH）2溶液中通入少量CO2，Ca（OH）2电离出的钙离子和氢氧根离子可吸收二氧化碳生成难溶物碳酸钙和弱电解质水答：能反应，因为钙离子和氢氧根离子可吸收二氧化碳生成难溶物碳酸钙和弱电解质水；（3）CuCl2、H2SO4、CuSO4、HCl均溶于水，不符合离子反应发生的条件，答：不能反应，CuCl2、H2SO4、CuSO4、HCl均溶于水．18．【分析】A、B、C、D四种物质都含有同种元素，这些物质在酒精灯火焰上灼烧，火焰均为黄色，均含有Na元素，其中A为单质，则A为Na；钠与水反应生成B为NaOH，氢氧化钠与少量的二氧化碳反应生成C为碳酸钠，碳酸钠与足量的盐酸反应生成D，且钠与氯气反应也生成D，故D为NaCl，然后结合物质的性质及化学用语来解答．【解答】解：A、B、C、D四种物质都含有同种元素，这些物质在酒精灯火焰上灼烧，火焰均为黄色，均含有Na元素，其中A为单质，则A为Na；钠与水反应生成B为NaOH，氢氧化钠与少量的二氧化碳反应生成C为碳酸钠，碳酸钠与足量的盐酸反应生成D，且钠与氯气反应也生成D，故D为NaCl，（1）由上述分析可知，A为Na，B为NaOH，C为Na2CO3，D为NaCl，故答案为：Na；NaOH；Na2CO3；NaCl；（2）反应①是钠与水反应生成氢氧化钠与氢气，反应方程式为2Na+2H2O=2NaOH+H2↑；反应②是氢氧化钠与少量的二氧化碳反应生成碳酸钠与水，反应方程式为2NaOH+CO2=Na2CO3+H2O；反应③是碳酸钠与足量的盐酸反应生成氯化钠、二氧化碳与水，反应方程式为Na2CO3+2HCl=2NaCl+CO2↑+H2O；反应④是钠与氯气反应生成氯化钠，反应方程式为2Na+Cl22NaCl，故答案为：2Na+2H2O=2NaOH+H2↑；2NaOH+CO2=Na2CO3+H2O；Na2CO3+2HCl=2NaCl+CO2↑+H2O；2Na+Cl22NaCl．19．【分析】（1）A为金属铝，B为氧化铁，考虑铝热反应，反应可以生成氧化铝与铁，铁与氧气反应生成Fe3O4，符合转化；（2）A为两性氢氧化物，A为Al（OH）3，B为NaOH溶液，反应生成偏铝酸钠和水；（3）A为金属单质，B、C、D都是化合物，A与B发生的反应常用于制作印刷电路板，则A为Cu，B含有Fe3+，B为FeCl3，反应生成Cu2+与Fe2+，Fe2+与Cl2反应生成FeCl3，符合转化；（4）A、B、C为化合物，D、X为单质，由转化关系可知，单质D、X化合生成B，B中含有X元素，根据元素守恒可以，C中一定含有X元素．【解答】解：（1）A为金属铝，B为氧化铁，发生铝热反应，生成氧化铝与铁，可以用来焊接钢轨、炼铁等，故答案为：焊接钢轨、炼铁等；（2）A为两性氢氧化物，A为Al（OH）3，B为NaOH溶液，反应生成偏铝酸钠和水，反应离子方程式为Al（OH）3+OH﹣=AlO2﹣+2H2O，故答案为：Al（OH）3+OH﹣=AlO2﹣+2H2O；（3）A为金属单质，B、C、D都是化合物，A与B发生的反应常用于制作印刷电路板，则A为Cu，B含有Fe3+，B为FeCl3，反应生成Cu2+与Fe2+，离子方程式为：Cu+2Fe3+═Cu2++2Fe2+，故答案为：Cu+2Fe3+═Cu2++2Fe2+；（4）A、B、C为化合物，D、X为单质，由转化关系可知，单质D、X化合生成B，B中含有X元素，根据元素守恒可以，C中一定含有X元素，故答案为：B、C．20．【分析】A．作原电池正极的金属被保护；B．铵根离子和碳酸根离子能相互促进水解；C．石灰乳为氢氧化钙，氢氧化钙呈碱性；D．硫化铜、硫化银都是难溶物．【解答】解：A．镁、不锈钢和电解质溶液构成原电池，镁易失电子作负极，不锈钢为正极，正极金属被保护，故A正确；B．铵根离子和碳酸根离子相互促进水解而生成二氧化碳、氨气，所以降低肥效，故B正确；C．氢氧化钙为碱，盐碱地中碳酸钠溶液呈碱性，氢氧化钙和碳酸钠反应生成氢氧化钠，导致盐碱地碱性增强，故C错误；D．硫离子和铜离子、银离子生成难溶物硫化物，所以能除去废水中的铜离子和银离子，。
2020-2021学年浙江省金华市某校高一(上)段考数学试卷(10月份)
2020-2021学年浙江省金华市某校高一（上）段考数学试卷（10月份）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A＝{2, 3, 5, 6}，集合B＝{1, 3, 4, 6}，则集合A∩(∁U B)＝（）A.{2, 5}B.{3, 6}C.{2, 5, 6}D.{2, 3, 5, 6}【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集和交集的运算即可．【解答】∵U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，A＝{2, 3, 5, 6}，B＝{1, 3, 4, 6}，∴∁U B＝{2, 5}，A∩(∁U B)＝{2, 5}．2. 下列函数中，是同一函数的是（）A.y＝x2与y＝x|x|B.y=√x2与y=(√x)2C.y=x2+xx与y＝x+1 D.y＝2x+1与y＝2t+1【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】由题意利用函数的三要素得出结论．【解答】根据函数的三要素，函数y＝x2的值域为[0, +∞)，而函数y＝x|x|的值域为(−∞, +∞)，故它们不是同一个函数；函数y=√x2的定义域为(−∞, +∞)，而函数y=(√x)2的定义域为[0, +∞)，故它们不是同一个函数．函数y=x 2+xx=x+1(x≠0)的定义域为{x|x≠0}，而函数y＝x+1的定义域为(−∞, +∞)，故它们不是同一个函数．函数y＝2x+1与y＝2t+1具有相同的定义域为(−∞, +∞)，值域为(−∞, +∞)，对应关系都是乘以2再加上1，故它们为同一个函数．3. 已知函数f(x)={x2+1(x≥2)f(x+3)(x<2)，则f(1)＝（）A.2B.12C.7D.17【答案】 D【考点】 求函数的值 函数的求值【解析】由函数性质得f(1)＝f(4)，由此能求出结果． 【解答】∵ 函数f(x)={x 2+1(x ≥2)f(x +3)(x <2) ，∴ f(1)＝f(4)＝42+1＝17． 故选：D ．4. 下列函数中，值域是(0, +∞)的是( ) A.y =2x +1(x >0)B.y =x 2C.y =√x 2−1D.y =2x【答案】 C【考点】函数的值域及其求法 【解析】结合一次函数，二次函数，反比例函数的性质分别检验各选项即可判断． 【解答】解：A ，当x >0时，y =2x +1>1，即值域为(1, +∞)，不符合题意， B ，y =x 2≥0，即值域为[0, +∞)，不符合题意；C ，由√x 2−1>0，得y >0，即值域为(0, +∞)，符合题意；D ，由反比例函数的性质可知y =2x ≠0，即值域为(−∞,0)∪(0, +∞)，不符合题意.故选C .5. 若命题“存在x ∈R ，使得x 2+(a −1)x +1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.[−1, 3]B.(−1, 3)C.(−∞, −1]∪[3, +∞)D.(−∞, −1)∪(3, +∞)【答案】 A【考点】全称命题与特称命题 全称量词与存在量词【解析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x ∈R ，使得x 2+(a −1)x +1<0”，则相应二次方程有重根或没有实根． 【解答】∵ “∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0是假命题，∴x2+(a−1)x+1＝0没有实数根或有重根，∴△＝(a−1)2−4≤0∴−1≤a≤36. 设f(x)是奇函数且在(−∞, 0)上是减函数，f(−1)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−1, 0)∪(0, 1)C.(−1, 0)∪(1, +∞)D.(−∞, −1)∪(0, 1)【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】本题可以利用f(x)在(−∞, 0)上是减函数，f(−1)＝0，得到函数有y轴左侧的图象草图，得到f(x)的相应函数值的正负情况，再根据f(x)是奇函数，得到函数有y轴右侧的图象草图，得到f(x)的相应函数值的正负情况，通过分类讨论，将不等式xf(x)<0转化为不等式组，解不等式组，得到本题结论．【解答】∵f(x)在(−∞, 0)上是减函数，f(−1)＝0，∴当x<−1时，f(x)>0；当−1<x<0时，f(x)<0．又∵f(x)是奇函数，∴由图象的对称性知：当0<x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0．若f(0)有意义，则f(0)＝0．∵不等式xf(x)<0，∴{x>0f(x)<0或{x<0f(x)>0，∴x>1或x<−1．7. 已知m>0，xy>0，当x+y＝2时，不等式4x +my≥92恒成立，则m的取值范围是（）A.[12,+∞) B.[1, +∞) C.(0, 1] D.(0,12]【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】根据“乘1法”，可得4x +my=12(4x+my)(x+y)，展开后，结合基本不等式可推出4x+my≥1 2(4+m+2√4m)≥92，解此不等式即可．【解答】∵xy>0，且x+y＝2，∴x>0，y>0，∴4x +my=12(4x+my)(x+y)=12(4+m+4yx+mxy)≥12(4+m+2√4yx⋅mxy)=12(4+m+2√4m)，当且仅当4yx =mxy即√mx＝2y时，等号成立，∵不等式4x +my≥92恒成立，∴12(4+m+2√4m)≥92，化简得，m+4√m−5≥0，解得√m≥1，即m≥1，∴m的取值范围是[1, +∞)．8. 已知函数f(x)=2x2+(4−m)x+4−m，g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A.[−4, 4]B.(−4, 4)C.(−∞, 4)D.(−∞, −4)【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】对函数f(x)判断△=m2−16<0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和−4进行讨论可得答案．【解答】解：当△=m2−16<0时，即−4<m<4，显然成立，排除D当m=4，f(0)=g(0)=0时，显然不成立，排除A；当m=−4，f(x)=2(x+2)2，g(x)=−4x显然成立，排除B；故选C．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）设A={x|x2−8x+15=0}，B={x|ax−1=0}，若A∩B=B，则实数a的值可以为( )A.1 5B.0C.3D.13【答案】A,B,D【考点】集合关系中的参数取值问题交集及其运算【解析】推导出B ⊆A ，从而B ＝⌀或B ＝{3}或B ＝{5}，进而1a不存在，或1a=3，或1a=5．由此能求出实数a 的值． 【解答】解：∵ A ={x|x 2−8x +15=0}={3, 5}，B ={x|ax −1=0}={1a }，A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴ B =⌀或B ={3}或B ={5}， ∴ 1a不存在或1a=3或1a=5，解得a =0或a =13或a =15，∴ 实数a 的值可以为0，15，13． 故选ABD .设a >b ，c <0，则下列结论正确的是（ ） A.ca >cbB.ac <bcC.b a >b−ca−cD.ac 2>bc 2【答案】 B,D【考点】不等式的基本性质 【解析】根据特殊值法判断A ，C ，根据不等式的基本性质判断B ，D 即可． 【解答】对于A ：令a ＝1，b ＝−1，c ＝−1，显然错误；对于B ：∵ a >b ，c <0，∴ ac <bc ，故B 正确； 对于C ：令a ＝1，b ＝−1，c ＝−1，显然错误；对于D:a >b ，c <0，则c 2>0，故ac 2>bc 2，故D 正确；使不等式1+1x >0成立的一个充分不必要条件是( ) A.x >2B.x ≥0C.x <−1或x >1D.−1<x <0【答案】 A,C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】不等式1+1x >0，即x+1x>0，x(x +1)>0，解得x 范围，即可判断出结论．【解答】解：不等式1+1x >0，即x+1x>0，∴x(x+1)>0，解得x>0或x<−1．∴选项中满足不等式1+1x>0成立的充分不必要条件是：x>2，及x<−1或x>1，选项AC符合题意.故选AC.下列命题中是真命题的是（）A.y=√x2+2+√x2+2的最小值为2B.当a>0，b>0时，1a +1b+2√ab≥4C.若a2+b2＝2，则a+b的最大值为2D.若正数a，b满足a+b＝2，则14a+2+1b+2的最小值为12【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】可令t=√x2+2(t≥√2)，结合对勾函数的单调性可判断A；由基本不等式计算可得最小值，可判断B；运用不等式a+b≤2√a2+b22，计算可判断C；由(4a+2)+(4b+8)＝18，结合乘1法和基本不等式可判断D．【解答】对于A，令t=√x2+2(t≥√2)，y=√x2+2√x2+2=t+1t在[√2, +∞)递增，可得y min=√2√2=3√22，此时x＝0，故A错误；对于B，a>0，b>0时，1a +1b+2√ab≥2√1ab+2√ab≥2√2√1ab⋅2√ab=4，当且仅当a＝b＝1时取得等号，故B正确；对于C，若a2+b2＝2，则a+b≤2√a2+b22=2，当且仅当a＝b＝±1时，取得等号，故C正确；对于D，若正数a，b满足a+b＝2，即为(4a+2)+(4b+8)＝18，则14a+2+1b+2=118[(4a+2)+(4b+8)](14a+2+44b+8)=118(1+4+4b+84a+2+4a+2b+2)≥1 18×(5+4)=12，当且仅当a＝b＝1时，取得等号，故D正确．三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）已知f(√x−1)＝x+2√x，则f(x)________．【答案】x2+4x+3(x≥−1)【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】令t=√x−1，将已知等式中的x一律换为t，求出f(t)即得到f(x)．注意定义域．【解答】令t=√x−1(t≥−1)则x＝(t+1)2所以f(t)＝(t+1)2+2(t+1)＝t2+4t+3(t≥−1)所以f(x)＝x2+4x+3(x≥−1)已知−4≤a−c≤−1，−1≤4a−c≤5，则2a+c的取值范围________．【答案】[1, 13]【考点】简单线性规划【解析】设2a+c＝m(a−c)+n(4a−c)＝(m+4n)a−(m+n)c，解出m，n即可得出．【解答】设2a+c＝m(a−c)+n(4a−c)＝(m+4n)a−(m+n)c，∴{m+4n=2m+n=−1，解得m＝−2，n＝1，∵−4≤a−c≤−1，−1≤4a−c≤5，∴2≤−2(a−c)≤8，−1≤4a−c≤5，∴1≤2a+c≤13，∴2a+c的取值范围是[1, 13]．已知x，y∈R，x2−xy+9y2＝1，则x+3y的最大值为________2√155．【答案】2√155【考点】基本不等式及其应用【解析】由x2+9y2＝1+xy≥2⋅x⋅3y，可推出xy≤15，而(x+3y)2＝x2+6xy+9y2＝1+ 7xy，代入所得结论即可．【解答】∵x2−xy+9y2＝1，∴x2+9y2＝1+xy≥2√x2⋅9y2=6xy，即xy≤15，当且仅当x＝3y，即x=3√1511，y=√1515时，等号成立，∴(x+3y)2＝x2+6xy+9y2＝1+7xy≤1+7×15=125，∴ −2√155≤x +3y ≤2√155， ∴ x +3y 的最大值为2√155．若f(x)为偶函数，且当x ≤0时，f(x)＝2x −1，则不等式f(x)>f(2x −1)的解集________|________>1或________<13} ．【答案】 {x ,x ,x 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【解答】因为f(x)为偶函数，且当x ≤0时，f(x)＝2x −1单调递增，根据偶函数的对称性可知，当x >0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小， 则由不等式f(x)>f(2x −1)可得|x|<|2x −1|， 两边平方可得，x 2<4x 2−4x +1， 整理可得，(3x −1)(x −1)>0， 解可得，x >1或x <13．四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知集合A ＝{x|a <x <3a, a >0}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． （1）当a ＝1时，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若A ∩B ＝⌀，求实数a 的取值范围．【答案】当a ＝1时，集合A ＝{x|1<x <3}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． ∴ A ∩B ＝{x|2<x <3}， A ∪B ＝{x|1<x ≤3}．∵ 集合A ＝{x|a <x <3a, a >0}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． A ∩B ＝⌀，∴ 当A ＝⌀时，a ≥3a ，解得a ≤0，不合题意， 当A ≠⌀时，{a <3a a ≥3 或{a <3a3a ≤2 ，解得a ≥3或a ≤23．又∵ a >0，故实数a 的取值范围是(0, 23]∪[3, +∞)． 【考点】并集及其运算 交集及其运算【解析】（1）当a ＝1时，求出集合A ，由此能求出A ∩B ，A ∪B ．（2）当A ＝⌀时，a ≥3a ，当A ≠⌀时，{a <3a a ≥3 或{a <3a3a ≤2 ，由此能求出实数a 的取值范围．【解答】当a ＝1时，集合A ＝{x|1<x <3}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． ∴ A ∩B ＝{x|2<x <3}， A ∪B ＝{x|1<x ≤3}．∵ 集合A ＝{x|a <x <3a, a >0}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． A ∩B ＝⌀，∴ 当A ＝⌀时，a ≥3a ，解得a ≤0，不合题意， 当A ≠⌀时，{a <3a a ≥3 或{a <3a3a ≤2 ，解得a ≥3或a ≤23．又∵ a >0，故实数a 的取值范围是(0, 23]∪[3, +∞)．已知函数f(x)=x+a x−2，x ∈(2, +∞)．（1）若a ＝4，判断函数f(x)在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论．（2）若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，写出a 的取值范围（无需证明）． 【答案】根据题意，若a ＝4，则f(x)=x+4x−2=x−2+6x−2=1+6x−2，在定义域上为减函数，设2<x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝(1+6x 1−2)−(1+6x 2−2)=6(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2)，又由2<x 1<x 2，则(x 1−2)>0，(x 2−2)>0，(x 2−x 1)>0，则f(x 1)−f(x 2)>0，f(x)在定义域上为减函数， f(x)=x+a x−2=x−2+a+2x−2=1+a+2x−2，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有a +2>0，即a >−2， a 的取值范围是(−2, +∞)． 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】（1）根据题意，将函数的解析式变形为f(x)＝1+6x−2，设2<x 1<x 2，由作差法分析可得结论，（2）根据题意，由反比例函数的性质以及函数平移的性质可得结论． 【解答】根据题意，若a ＝4，则f(x)=x+4x−2=x−2+6x−2=1+6x−2，在定义域上为减函数，设2<x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝(1+6x1−2)−(1+6x 2−2)=6(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2)，又由2<x 1<x 2，则(x 1−2)>0，(x 2−2)>0，(x 2−x 1)>0， 则f(x 1)−f(x 2)>0，f(x)在定义域上为减函数， f(x)=x+ax−2=x−2+a+2x−2=1+a+2x−2，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有a +2>0，即a >−2， a 的取值范围是(−2, +∞)．（1）解关于x 的不等式ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0)；（2）若对任意a ∈[−1, 1]，ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0)， 即(ax −3)(x −2)>0，当a <0，(x −3a )(x −2)<0，即有3a <x <2； 当3a =2即a =32时，(x −2)2>0，即x ≠2；当3a >2即0<a <32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x <2或x >3a ； 当0<3a <2即a >32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x >2或x <3a ， 综上可得，当a <0，解集为{x|3a <x <2}；当a =32时，解集为{x|x ∈R 且x ≠2}；当0<a <32时，解集为{x|x <2或x >3a }； 当a >32时，解集为{x|x >2或x <3a}；对任意a ∈[−1, 1]，ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立， 可得a(x 2−2x)+6−3x >0，设f(a)＝a(x 2−2x)+6−3x ，a ∈[−1, 1]，可得{f(−1)>0f(1)>0 即{−(x 2−2x)+6−3x >0x 2−2x +6−3x >0 ，即有{−3<x <2x >3x <2 ，可得−3<x <2． 【考点】不等式恒成立的问题 其他不等式的解法 【解析】（1）对a 讨论，分当a <0时，当a =32时，当0<a <32时，当a >32时，运用二次不等式的解法，可得所求解集；（2）a(x 2−2x)+6−3x >0，设f(a)＝a(x 2−2x)+6−3x ，a ∈[−1, 1]，由恒成立思想可得f(−1)>0，且f(1)>0，解不等式可得所求范围． 【解答】ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0)， 即(ax −3)(x −2)>0，当a <0，(x −3a )(x −2)<0，即有3a <x <2； 当3a =2即a =32时，(x −2)2>0，即x ≠2；当3a>2即0<a <32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x <2或x >3a ；当0<3a <2即a >32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x >2或x <3a ， 综上可得，当a <0，解集为{x|3a <x <2}；当a =32时，解集为{x|x ∈R 且x ≠2}；当0<a <32时，解集为{x|x <2或x >3a }； 当a >32时，解集为{x|x >2或x <3a }；对任意a ∈[−1, 1]，ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立， 可得a(x 2−2x)+6−3x >0，设f(a)＝a(x 2−2x)+6−3x ，a ∈[−1, 1]，可得{f(−1)>0f(1)>0 即{−(x 2−2x)+6−3x >0x 2−2x +6−3x >0 ，即有{−3<x <2x >3x <2 ，可得−3<x <2．（1）作出f(x)＝x|x −4|的图象，并讨论方程f(x)＝m 的实根的个数；（2）已知函数f(x)＝x|x −a|−a(a ∈R)，若存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立，求实数a 的取值范围． 【答案】f(x)＝x|x −4|={x 2−4x,x ≥4−x 2+4x,x <4 ，其图象如图：由图可知，当m ∈(−∞, 0)∪(4, +∞)时，方程f(x)＝m 有1个实根， 当m ＝0或4时，方程f(x)＝m 有2个实根， 当m ∈(0, 4)时，方程f(x)＝m 有3个实根； 函数f(x)＝x|x −a|−a(a ∈R)，命题若存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的否定为∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立． 下面求使命题∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围．①若a <3，则x ＝3时，f(x)在[3, 5]上取得最小值，f(3)＝3(3−a)−a ＝9−4a ， ∴ 9−4a ≥0，即a ≤94；②若3≤a ≤5，则x ＝a 时，f(x)取得最小值为f(a)＝−a ，−a <0不满足f(x)≥0恒成立；③若a >5，f(x)min ＝min {f(3), f(5)}＝min {3(a −3)−a, 5(a −5)−a}≥0， 解得a ≥254．综上可得，∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围是(−∞, 94]∪[254,+∞)， 则存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的a 的取值范围为(94,254)．【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】（1）写出分段函数解析式，作出图象，数形结合得答案；（2）写出命题存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的否定，即∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立，分类求解a 的取值范围，再由补集思想得答案． 【解答】f(x)＝x|x −4|={x 2−4x,x ≥4−x 2+4x,x <4 ，其图象如图：由图可知，当m ∈(−∞, 0)∪(4, +∞)时，方程f(x)＝m 有1个实根， 当m ＝0或4时，方程f(x)＝m 有2个实根， 当m ∈(0, 4)时，方程f(x)＝m 有3个实根； 函数f(x)＝x|x −a|−a(a ∈R)，命题若存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的否定为∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立． 下面求使命题∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围．①若a <3，则x ＝3时，f(x)在[3, 5]上取得最小值，f(3)＝3(3−a)−a ＝9−4a ， ∴ 9−4a ≥0，即a ≤94；②若3≤a ≤5，则x ＝a 时，f(x)取得最小值为f(a)＝−a ，−a <0不满足f(x)≥0恒成立；③若a >5，f(x)min ＝min {f(3), f(5)}＝min {3(a −3)−a, 5(a −5)−a}≥0， 解得a ≥254．综上可得，∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围是(−∞, 94]∪[254,+∞)， 则存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的a 的取值范围为(94,254)．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m(1≤m ≤4且m ∈R)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为y ＝m ⋅f(x)，其中f(x)={104+x,0≤x <64−x2,6≤x ≤8．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值． 【答案】∵ m ＝3，∴ y ={304+x,0≤x <612−3x2,6≤x ≤8； 当0≤x <6时，304+x >304+6=3>2； 当6≤x ≤8时，12−32x ≥2得，x ≤203；故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达203小时． 当6≤x ≤8时，y ＝2(4−12x)+m[104+x−6] ＝8−x +10m x−2，∵ 8−x +10mx−2≥2对6≤x ≤8恒成立， 故m ≥x 2−8x+1210对6≤x ≤8恒成立， 令g(x)=x 2−8x+1210，则g(x)在[6, 8]上是增函数， 故g max (x)=65； 故m ≥65； 故m 的最小值为65． 【考点】分段函数的应用根据实际问题选择函数类型函数恒成立问题【解析】(1将m＝3代入得y={304+x,0≤x<612−3x2,6≤x≤8；从而解不等式即可．（2）当6≤x≤8时，y＝2(4−12x)+m[104+x−6]＝8−x+10mx−2，即8−x+10mx−2≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥x2−8x+1210对6≤x≤8恒成立，从而化为最值问题．【解答】∵m＝3，∴y={304+x,0≤x<612−3x2,6≤x≤8；当0≤x<6时，304+x >304+6=3>2；当6≤x≤8时，12−32x≥2得，x≤203；故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达203小时．当6≤x≤8时，y＝2(4−12x)+m[104+x−6]＝8−x+10mx−2，∵8−x+10mx−2≥2对6≤x≤8恒成立，故m≥x 2−8x+1210对6≤x≤8恒成立，令g(x)=x 2−8x+1210，则g(x)在[6, 8]上是增函数，故g max(x)=65；故m≥65；故m的最小值为65．已知函数y＝x+ax有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．（1）若函数ℎ(x)＝x+4x,x∈[1,3]，求ℎ(x)的最值；（2）已知f(x)=4x 2−12x−32x+1,x∈[0,1]，求函数f(x)的值域；（3）对于（2）中的函数f(x)和函数g(x)＝kx −2，若对任意x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[1, 2]，使得g(x 2)＝f(x 1)成立，求实数k 的值． 【答案】由题意知，函数ℎ(x)＝x +4x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增，而ℎ(1)＝1+4＝5，ℎ(3)＝3+43=133，∴ ℎ(x)min ＝ℎ(2)＝2+2＝4， ℎ(x)max ＝ℎ(1)＝5． f(x)=4x 2−12x−32x+1=(2x+1)2−8(2x+1)+42x+1=(2x +1)+42x+1−8，∵ x ∈[0, 1]，∴ 2x +1∈[1, 3]， 由（1）可知，f(x)min ＝f(12)＝4−8＝−4，f(x)max ＝f(0)＝5−8＝−3， ∴ 函数f(x)的值域为[−4, −3]．对于函数g(x 2)＝kx 2−2，x 2∈[1, 2]，①当k >0时，g(x 2)单调递增，其值域为[k −2, 2k −2]，∵ 对任意x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[1, 2]，使得g(x 2)＝f(x 1)成立， ∴ [−4, −3]⊆[k −2, 2k −2]，即{k −2≤−42k −2≥−3 ，无解；②当k <0时，g(x 2)单调递减，其值域为[2k −2, k −2]，同理可得，[−4, −3]⊆[2k −2, k −2]，即{2k −2≤−4k −2≥−3 ，解得k ＝−1；③当k ＝0时，g(x 2)＝−2恒成立，g(x 2)的值域为{−2}， 而[−4, −3]⊈{−2}，不符合题意，舍去， 综上，实数k 的值为−1． 【考点】函数与方程的综合运用 函数单调性的性质与判断 【解析】（1）由题意知，函数ℎ(x)＝x +4x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增，计算ℎ(1)，ℎ(2)，ℎ(3)的值，即可得解；（2）将f(x)化简成f(x)＝(2x +1)+42x+1−8，结合（1）的结论即可得解； （3）先将原问题转化为f(x)的值域是g(x)的值域的子集，再分k >0、k <0和k ＝0三种情况讨论函数g(x)的值域，然后针对每种情况列出关于k 的不等式组，解之即可． 【解答】由题意知，函数ℎ(x)＝x +4x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增， 而ℎ(1)＝1+4＝5，ℎ(3)＝3+43=133，∴ ℎ(x)min ＝ℎ(2)＝2+2＝4，ℎ(x)max ＝ℎ(1)＝5． f(x)=4x 2−12x−32x+1=(2x+1)2−8(2x+1)+42x+1=(2x +1)+42x+1−8，∵ x ∈[0, 1]，∴ 2x +1∈[1, 3]， 由（1）可知，f(x)min ＝f(12)＝4−8＝−4，f(x)max ＝f(0)＝5−8＝−3， ∴ 函数f(x)的值域为[−4, −3]．对于函数g(x 2)＝kx 2−2，x 2∈[1, 2]，①当k >0时，g(x 2)单调递增，其值域为[k −2, 2k −2]，∵ 对任意x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[1, 2]，使得g(x 2)＝f(x 1)成立， ∴ [−4, −3]⊆[k −2, 2k −2]，即{k −2≤−42k −2≥−3 ，无解；②当k <0时，g(x 2)单调递减，其值域为[2k −2, k −2]，同理可得，[−4, −3]⊆[2k −2, k −2]，即{2k −2≤−4k −2≥−3 ，解得k ＝−1；③当k ＝0时，g(x 2)＝−2恒成立，g(x 2)的值域为{−2}， 而[−4, −3]⊈{−2}，不符合题意，舍去， 综上，实数k 的值为−1．。
浙江省东阳中学2020届高三数学10月月考试题
浙江省东阳中学2020届高三数学10月月考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2}A =，{1,0,1}B =-，则A B =U （ ）A.{0,1}B. {1,0,1,2}-C. {0}D. {2}2 若(2)5i z +=,则z 的虚部为 （ ）A.1- B.1 C.i - D.i3. 已知双曲线:C )0(116222>=-a y ax 的一个焦点为)0,5(，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A.1234=±y x B.0414=±y x C.0916=±y x D.430x y ±=4.若实数,x y 满足约束条件2330233010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩ ，则2z x y =+的最大值是 （ ）A.5-B. 9-C. 5D. 9 5.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，且,m n α⊂ ，则“//m β 且//n β”是“//αβ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数()(33)lg ||x x f x x -=+的图象大致为 （ ）A B C D7. 随机变量X 的取值为0,1,2，若10)=4P X =（，()1E X =，则()D X = （ ）A. 32B. 12C. 14D. 18.在四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60o ，点P 为直线BC 上一动点，记直线PA 与平面BCD 所成的角为θ，则 （ ）A. θ的最大值为60oB. θ的最小值为60oC. θ的最大值为30oD. θ的最小值为30o9. 已知数列{}n a 满足：*113,2()n n na a a n N a +==+∈，则使20204n a >成立的最小正整数为（ ）A.10B.11C. 12D. 1310.已知函数()ln f x x ax b =--，对于任意的0,a b R <∈，都存在[]01,x m ∈使得()01f x ≥成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A.2[,)e +∞ B. [,)e +∞ C. 3[,]e e D. 2(1,]e 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱长中最长棱的长度为 ，体积为 .12. 6(2)(1)x x ++展开式中，3x 项的系数为_________；所有项系数的和为_________. 13. 已知()|22||1|f x x x =++-的最小值为t ，则t 的值为 ，若实数,a b 满足2222a b t +=，求22141a b ++的最小值为 . 14.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 种；其中学生甲被单独安排去金华的概率是 .15. 设椭圆C 的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点,P Q ，若212||||PF F F =，且113||4||PF QF =，则椭圆C 的离心率为 .16. 顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且4PA = ，C 是PA 的中点，则当三棱锥O HPC -的体积最大时，OB 的长为 .17.已知平面内非零向量,,a b c r r r ，满足||2,||3a b ==r r ，3a b ⋅=r r ，若2280c b c -⋅+=r r r ，则||c a -r r的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）已知函数()(3cos )cos f x x x x ωωω=+，x R ∈，0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.19.（本小题满分15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=o ，1AB BC CC ==，平面1ABC ⊥平面11BCC B . （1）证明AB ⊥平面11BCC B ；（2）若11120BB C ∠=o ，Q 是1AC 上的一点，且1CQ AC ⊥，求直线CQ 与平面1ABC 所成角的正弦值.20.（本小题满分15分）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足121,2b b ==，且1n n n n a b b nb ++=.（1）求{}n a ，{}n b 数列的通项公式；（2）设数列{}n c 满足11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.21. （本小题满分15分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>左右焦点分别为21F F 、，且其中一个焦点与抛物线x y C 4:22=的焦点重合，直线1-=my x 与椭圆交于B A 、两点，2ABF ∆的周长为8..（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线2AF 与抛物线交于D C 、两点，直线2BF 与抛物线交于F E 、两点（D C 、与F E 、分别在2F 的两侧求116CD EF ⋅的最大值.22.（本小题满分15分）设a R ∈，函数()ln f x x ax =-.（1）若()f x 无零点，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个相异零点12,x x ，且12ln ln x x m +>恒成立，求实数m 的最大值.参考答案 1~10 BADCB DBACA11. 313 12. 55 192 13. 2 92 14. 150 775 15. 57 16.26 17.[71,71]-+18.解：（1）1()(3sin cos )cos sin(2)62f x x x x x πωωωω=+=++242T ππω==Q ，即14ω= ， 11()sin()262f x x π∴=++又1222262k x k πππππ-+≤+≤+Q∴ 增区间为42[4,4],33k k k Z ππππ-++∈（2）由正弦定理化简得1cos 2B =，所以3B π=.又11()sin()262f A A π=++，203A π<<Q 6262A πππ∴<+< ，1sin()1226A π∴<+< 即函数()f A 的取值范围为3(1,)2.19.……………… 6分所以27sin CH HQC CQ ∠==； 所以直线CQ 与平面1ABC 所成角的正弦值为27720.（1）因为121,2b b ==，且1n n n n a b b nb ++=， 所以112a +=，得11a =， 所以21n a n =-. …………………………………………………………………3分 所以12n n nb nb +=，12n n b b += 所以数列{}n b 是等比数列，公比为2，所以12n n b -= . …………………………………………………………………6分（2）因为112nn n n a nc b -+== 所以21231222n n n T -=++++L 21112122222n n n n n T --=++++L 所以211111212222222n n n n n n T -+=++++-=-L所以1242n n n T -+=- ……………………………………………………………11分所以不等式可化为1(1)2n n n n T λ--<+可化为12(1)42n n λ--<-当n 为偶数时，1242n λ-<-，所以212432λ-<-=；当n 为奇数时，1242n λ->-+，所以112422λ->-+=-；综上所述，实数λ的取值范围为(2,3)- .21. （1）22143x y +=（2）设直线21:(1)AF y k x =-：，直线22:(1)BF y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y2213412x my x y =-⎧⎨+=⎩ 得22(34)690m y my +--=12122269,(34)(34)m y y y y m m -+==++ 又11111111(1)x y k x k y -=-⇒=，22222211(1)x y k x k y -=-⇒=12122112211212121211(1)(1)(2)(2)11x x x y x y my y my y k k y y y y y y ---+--+-∴+=+==21212122622()10(34)293(34)mmy y y y m m m y y m -++==-=-+ 22121212121212121211(2)(2)2()41169x x my my m y y m y y m k k y y y y y y -----++=⋅===-又||2C D CD x x =++，||2E F EF x x =++；122221112(1)(24)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩2142C D x x k ∴+=+同理2242E Fx x k +=+ 2222121212121111111||||112116CD EF k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥∴⋅=++=++-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦425062578498181m m ⎛⎫=++≤⎪⎝⎭ 22.。
浙江金华东阳中学2021高三上期中考试数学(解析版)
2021届浙江省金华市东阳中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}{}{}1,3,5,7,9,11,1,3,9,11U A B ===，则()UA B =A ．∅B ．{}1,3C ．{}9,11D ．{}5,7,9,11【答案】C【分析】可以先通过全集U 和集合A 得出UA 的值，在通过UA 和集合B 得出结果．【详解】因为{}{}1,3,5,7,9,111,3U A ==，， 所以{}5,7,9,11UA =，因为{}9,11B = 所以(){}9,11UA B ⋂=，故选C ．【点睛】补集是指全集中除去指定集合的其他部分，交集是指两个集合都有的部分．5 2．设,a b ∈R ，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式的性质，利用必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】根据不等式的性质由1a >且1b >能推出 21a b ab +>⎧⎨>⎩；当1=3a ， 3.3b =时，有1 3.3231.11a b ab ⎧+=+>⎪⎨⎪=>⎩ 而1=13a <， 则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的必要不充分条件. 故选：B ．【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理． 3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．40B ．403C ．48D ．16【答案】A【分析】根据三视图可画出原来几何体，可得答案.【详解】根据题意得到原图是如图所示的直棱柱1111ABCD A B C D -, 四边形1111A B C D 的面积为(42)31=211022S +⨯+⨯⨯=，所以体积40V S BC =⋅=. 故选：A ．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 4．函数cos x y x e =⋅ (其中e 为自然对数的底数)的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先通过函数的奇偶性排除部分选项，当0x >时，再利用导数法研究其单调性即可.【详解】函数()f x 的定义域为R ，又()()()cos cos x x f x x ex e f x ---=⋅=-=⋅， 所以()f x 是奇函数，排除AD ，当0x >时，()()cos 1sin xf x e x x '-=，令()1sin 0g x x x =-=，即1sin x x=， 在同一坐标系中，作出函数1sin ,y x y x==的图象，如图所示：由图象知：()g x 在()0,∞+上有多个不等零点， 所以()f x 在()0,∞+上有多个极值点， 所以()f x 在()0,∞+上不单调， 故选：B5．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ）（参考数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈） A ．0.0027% B ．99.9973%C ．0D ．91.2673%【答案】B【分析】先求出一个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率，再求出三个人在所有行业中都不能胜任孔圣人的概率，用1减去此概率即为所求.【详解】一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为3600.990.03≈，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为30.030.000027=，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为10.0000270.99997399.9973%-==． 故选：B ．【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查至多至少问题用对立事件解决的方法，属于中档题. 6．已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．35C ．310D ．310-【答案】B【分析】利用换元法结合诱导公式、二倍角的余弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】令3x πα=+，则3x πα=-且tan 2x =，因此，2sin 2sin 2sin 2cos 22sin 16362x x x x ππππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22222222sin 2tan 223111sin cos tan 1215x x x x x ⨯=-=-=-=+++. 故选：B.【点睛】在利用二倍角公式求值时，若一些角的关系不易观察时，可利用换元法将所求角进行化简.7．实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、2a b+ ） A ．可能是等差数列，也可能是等比数列 B ．可能是等差数列，但不可能是等比数列 C ．不可能是等差数列，但可能是等比数列 D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【答案】B【分析】由实数a ，b 满足a•b ＞0且a≠b ，分a ，b ＞0和a ，b ＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a 、b 、2a b+按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a ，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】（1）若a ＞b ＞0则有a ＞2a b+ b若能构成等差数列，则a+b=2a b +2a b+， 解得a=b （舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=2a b +，得2a b += 解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列 （2）若b ＜a ＜0，则有2a bab a b +>>> 若能构成等差数列，则2a bab b a ++=+，得2ab =3a-b 于是b ＜3a 4ab=9a 2-6ab+b 2 得b=9a ，或b=a （舍）当b=9a 时这四个数为-3a ，a ，5a ，9a ，成等差数列． 于是b=9a ＜0，满足题意 但此时ab •b ＜0，a•2a b+＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列 故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>【答案】D【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA =222AB AC BC +=，即AB AC ⊥过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，022，1(2O ，12，0)，(0E ，02)，1(1B ，12)，111(,,2)22OB =，112(,,)22OE =--，1122(,,)22OF =-，12(1,1,)EB =，2(1,0,)EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--， 平面OEF 的法向量272(,,3)p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==．γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．9．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a ≤成立.若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是（ ） A ．2B ∈ B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉【答案】A【分析】根据函数的特征，要对t 进行分类讨论，求出t 的最大值，再根据a 是正实数，求出()g a 的值域即可判断答案．【详解】解：2()2f x x x a =-+∴函数()f x 的图象开口向上，对称轴为1x =①01t <时，()f x 在[0，]t 上为减函数，()(0)max f x f a ==，2()()2min f x f t t t a ==-+ 对任意的[0x ∈，]t ，都有()[f x a ∈-，]a ． 22a t t a ∴-≤-+，即2220t t a -+≥，当()()22424120a a ∆=--⨯=-≤，即12a ≥时，01t <，当()()22424120a a ∆=--⨯=->，即102a <<时，11t ≤ ②1t >时，()f x 在[0，1]上为减函数，在[1，]t 上为增函数，则()()11min f x f a a ==-≥-，2(){(0),()}{,2}max f x max f f t max a t t a a ==-+≤，12a ∴≥，且22t t a a -+，即12t < t 的最大值为()g a综上可得，当12a ≥时(]0,2t ∈ 当102a <<时，()0,1t ∈ ∴函数()g a 的值域为(]0,2故选：A ．【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．10．已知直线1y x =+上有两点()11,A a b ，()22,B a b ,且12a a >，已知若2AB =1122,,,a b a b ,满足12122a a b b += A 个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】设OA 和OB 的夹角为θ，由已知条件可得出 3πθ=或23πθ=，由正弦定理可得OAB 外接圆的半径C 到直线1y x =+的距离为d =，进而推出外接圆圆心所在直线的方程，由圆心到原点的距离也是半径，可以求出圆心的个数，一个圆心对应一个点A ，从而可以求出A 点的个数. 【详解】因为直线1y x =+上有两点()11,A a b ，()22,B a b ，且12a a >，设OA 和OB 的夹角为θ，则()11,OA a b =，()22,OB a b =，1212OA OB a a bb ⋅=+， 1a A O =，2a B O =所以12122a a b b +=即转化为2OA OB OA OB ⋅=⨯， 因为22cos OA OB OA OB θ⋅=⨯，所以2cos OA OB OA OB θ⨯=⨯，解得：1cos 2θ=±， 因为0θπ≤≤，所以3πθ=或23πθ=， 若2AB =OAB 外接圆的半径为2sinAB AOB =∠ 设OAB外接圆的圆心为C ，则C 到直线1y x =+的距离为d ==， 所以圆心在与直线1y x =+的两条平行直线1yx =+，1y x =+上，且C 到原点O原点O到直线1y x=+的距离为d ==>， 所以直线1y x =上面不存在这样的点C ， 原点O 到直线1y x =+的距离为d==<， 所以直线1y x =+C 一个点C 对应一个点A ，所以这样的点A 有2个，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是12122a a b b +=2OA OB OA OB ⋅=⨯，利用数量积的定义求出OA 和OB 的夹角3πθ=或23πθ=，弦长2AB =OAB 有确定的外接圆，每一个外接圆对应一个点A ，利用弦心距、弦长的一半、半径满足勾股定理，求出圆心C 到直线1y x =+的距离为d =线1y x =+的两条平行直线，利用圆心到两条平行线的距离与OA =比较即可确定点C 的个数，进而得点A 的个数，属于难题.二、填空题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若16cos 1611b C a c =-，3b =，c ＝2，则cos B =________，ABCS=________.【答案】1116 4【分析】利用正弦定理边化角，然后利用诱导公式以及和角公式化简可得16cos sin 11sin 0B C C -=，求出cos B 的值，再正弦定理求出sin 8C =sin A 的值，由三角形面积公式得答案, 【详解】因为16cos 1611b C a c =-， 所以由正弦定理得()16sin cos 16sin 11sin 16sin 11sin B C A C B C C =-=+- 16sin cos 16cos sin 11sin B C B C C =+-所以16cos sin 11sin 0B C C -=， 又sin 0C ≠，所以11cos ,sin 16B B ==由正弦定理得sin sin C Bc b=，得sin 8C =，因为c b <，所以7cos 8C =，所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+7111681684=+⨯=，11sin 322244ABCSbc A ==⨯⨯=⨯故答案为：1116. 【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.12．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线12,l l 与直线1x =围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(,)x y ，若23y x x --+的最大值小于0，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________.【答案】【分析】求得双曲线的渐近线方程，画出区域Ω，由21133y x y x x --+=-++的几何意义是点(,)x y 与点(3,1)P --的斜率与1的差，结合图象，连接PA ，可得斜率最大，再由双曲线的a ，b ，c 关系和离心率公式计算即可得到所求范围．【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，渐近线1l ，2l 与1x =围成区域Ω，如图，21133y x y x x --+=-++的几何意义是点(,)x y 与点(3,1)P --的斜率与1的差，求得(1,)b A a，(1,)bB a -，连接PA，可得斜率最大为14b a +，由题意可得1104b a +-<，可得3ba<，即3a b >，22229a b c a >=-， 即2210c a <，即有10c a <． 可得110e <<． 故答案为：(1,10)．【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解13．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”.若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为____________. 【答案】[35,2)【分析】首先根据定义，列出()()()0011f x f x f +=+的等式，转化为()()20202111x a x +=++，再根据分离常数和换元法，求a 的取值范围. 【详解】函数()22log 1af x x=+为“可分拆函数”，∴存在实数00x >，使得()2222200log log log 1211aa a x x =++++且0a >，()()222002111a a x x ∴=+++，()()()2220000002222000000021*********222222211x x x x x x a x x x x x x x +++--++∴====-++++++++， 设0422x t +=>，024t x -∴=， 2161622204204t a t t t t∴=-=-++++ ，20444t t ++≥=，当t =即32a ≤<. 故答案为：)32⎡⎣【点睛】思路点睛：本题是一道以新定义为背景的函数性质的综合应用题型，首先正确利用新定义，并正确表示()()20202111x a x +=++，利用01x >，转化为求函数的值域，即求a 的取值范围.14．已知()*1212,,,,,k a a b b b k ⋯∈N是平面内两两互不相等的向量，满足12||1-=a a且||{1,2}-∈i j a b （其中1,2,1,2,,i j k ==），则k 的最大值为________．【答案】6【分析】根据条件不妨设()10,0a =，()20,1a =，(),j b x y =，这样由模的几何意义可得满足||1i j a b -=的点(,)x y 所在曲线，满足||2i j a b -=的点(,)x y 所在曲线，两曲线的公共点即为所求，由此可得结论．【详解】根据条件不妨设()10,0a =，()20,1a =，(),j b x y =，{}1,2i j a b -∈，当22111j a b x y -=⇒+=，表示圆心为原点，半径为1的圆； 22124j a b x y -=⇒+=，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用实线表示；当()222111j a b x y -=⇒+-=，表示圆心为()1,0，半径为1的圆；()222214j a b x y -=⇒+-=，表示圆心为()1,0，半径为2的圆，如图这两个圆用虚线表示，由条件可知点(),x y 既要在实线曲线上，又要在虚线曲线上，由图象可知，共有6个交点，即k 是最大值是6． 故答案为：6．【点睛】本题考查向量模几何意义，解题关键是用坐标表示向量，通过向量终点所在曲线解决问题．考查了转化与化归思想，逻辑推理能力，属于难题．三、双空题15．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)21i z i +=-，则 z 的虚部为 _______ ，z =________ ．【答案】3210【分析】首先化简211i z i-=+，再求虚部和共轭复数的模. 【详解】由条件可知()()()()211211313111222i i i i z i i i i ---+====+++-，z 的虚部为32； 1322z i =-，所以221310222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：32；10216．在31()1x a x x ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+-的展开式中，若a ＝2，则x 项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，则实数a 的值为________. 【答案】4 －4【分析】先求3(1)x +的通项，根据通项和1x a x ⎛+-⎫ ⎪⎝⎭展开式的乘积可得答案.【详解】因为a =2，所以二项式为31()1x a x x ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+-，3(1)x +的展开式的通项为13r r r T C x +=，所以x 项的系数为01233324C C C +-=；令x =1，则所有项的系数之和为a ·23=8a =-32，所以a =4-.故答案为：①4；②4-.【点睛】本题考查二项式定理，解答本题时，利用二项展开式的通项求展开式中某一项的系数，利用x =1得到所有项的系数之和，建立方程求解a 的值.17．已知01p <<，随机变量X 的分布列如图.若13p =时，()E X =________；在p 的变化过程中，(21)D X +的最大值为______.【答案】562 【分析】由数学期望的公式运算即可得解；由方差的公式可得211()22D X p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，进而可得max ()D X ，结合方差的性质即可得解.【详解】当13p =时，1111533()0122226E X -=⨯+⨯+⨯=； 在p 的变化过程中，111()0122222p p E X p -=⨯+⨯+⨯=+， 则2222111111()0122222224p p D X p p p p p -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21122p ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当12p =时，max 1()2D X =， 所以max max (21)4()2D X D X +==.故答案为：56；2.四、解答题18．已知函数()sin f x x ω=，0>ω. （1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域.【答案】（1）12ω=，43x x k ππ⎧=+⎨⎩∣或543x k ππ=+，}k Z ∈；（2）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用正弦函数的性质求出ω的值，然后利用特殊角的三角函数值列出关于x 的等式，解出x 即可.（2）利用三角函数的辅助角公式化简()g x ，结合x 的范围和三角函数的性质，从而求出()g x 的值域. 【详解】（1）由于()f x 的周期是4π，所以2142ωπ==π，所以1()sin 2f x x =.令11sin22x =，故1226x k ππ=+或526k ππ+，整理得43x k ππ=+或543x k k Z ππ=+∈，. 故解集为43x x k ππ⎧=+⎨⎩∣或543x k ππ=+，}k Z ∈.（2）由于1ω=，所以()sin f x x =.所以21cos 2()sin )sin 2222xg x x x x x π-⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1112cos 2sin 222226x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 由于[0x ∈，4π⎤⎥⎦，所以22663x πππ+. 1sin 2126x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故11sin 262x π⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，故1()02g x -. 所以函数()g x 的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查正弦型函数已知值求角，考查三角函数辅助角公式的应用以及求正弦型函数的值域，考查学生的计算能力和转换能力，属于基础题.19．如图所示，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝23，△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.（1）证明：AC⊥BF；（2）求直线BC与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）7 7.【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，利用题中的垂直关系，易证明AC⊥平面ABEF；（2）由题中所给的长度，证明BP⊥平面PAC，即∠BCP为直线BC与平面P AC所成的角，在Rt△BCP中，求线面角的正切值.【详解】(1)证明：因为△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，所以AC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC＝AB，所以AC⊥平面ABEF.因为BF⊂平面ABEF，所以AC⊥BF.(2)在矩形ABEF中，AB＝2，AF＝3，则BF＝4，又PF＝3，所以F A2＝PF·BF，所以BF⊥AP，由(1)知AC⊥BF，又AC∩AP＝A，所以BF⊥平面P AC，则∠BCP为直线BC与平面P AC所成的角.如图，过点P作PM∥AB交BE于点M，过点P作PN⊥AB于点N，连接NC，因为BF ＝4，PF ＝3，所以PB ＝1，则14PM BM PB EF BE BF ===， 所以PM ＝BN ＝12，BM ＝PN ＝32，AN ＝AB －BN ＝2－12＝32， 所以CN 22AN AC +2235()222+=，PC 22PN NC +2235()()722+=在Rt △BCP 中，tan ∠BCP ＝7BP PC =故直线BC 与平面P AC 7. 【点睛】方法点睛：本题考查计算线面角，注意包含以下方法：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ=/斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解.20．已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和. （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =. i ）求{}n a 通项公式；ii ）求证：122421111n nb a b a b a +++<.【答案】（1）3131n n n b -=+；（2）i ）1n a n =+；ii ）证明见解析.【分析】（1）利用等比数列的通项公式及前n 项和公式可得答案；（2）由2(2)n n S a n =+的递推式可得12(1)2n n n a na n a -=--+，再由12(1)2n n n a na n a -=--+可得数列{}n a 是等差数列及通项公式，由22112(21)(21)(21)2121n c n n n n n n =<=-+-+-+可得答案.【详解】（1）由题意知，12133n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，21133111313nn n S ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-，所以11213231===23121+233n n n n n n n S b a -⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭++⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭. （2）i ）由题意知，2(2)n n S a n =+， ①， 当2n ≥时，112(2)(1)n n S a n --=+-，② 则①-②得 1122(1)2n n n n S S na n a ---=--+， 得12(1)2n n n a na n a -=--+， ③112(1)2n n n a n a na ++=+-+， ④④-③得11122(1)(1)n n n n n n a a n a na na n a ++--=+--+-化简得112n n n a a a -+=+， 所以数列{}n a 是等差数列，12a =，21321d a a =-=-=， 所以1n a n =+. ii ）令2112211(21)2(21)(21)(21)2121n n n c b a n n n n n n n n ===<=-++-+-+ 122421111111111+=11335212121n n n T b a b a b a n n n =+++<-+-+--<-++. 【点睛】本题考查了递推关系，等比数列的通项公式及前n 项和公式，如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，注意通项“分裂成两项差”的形式之后是不是还有系数.21．已知椭圆1C：22221(0)y xa ba b+=>>的右顶点为(1,0)A，过1C的焦点且垂直于长轴的弦长为1.（1）求椭圆1C的方程；（2）设点P在抛物线2C：2y x h=+上，抛物线2C在点P处的切线与椭圆1C交于点M，N，当线段AP的中点与MN的中点Q的横坐标相等时，求h的最小值.【答案】（1）2214yx+=；（2）1.【分析】（1）由题意列关于a，b的方程组，解得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设1(M x，1)y，2(N x，2)y，(P t，2)(0)t h t+≠，则抛物线2C在点P的切线斜率为|2x ty t='=．写出直线MN的方程，代入椭圆方程，由判别式大于0得到关于t的不等式①，利用根与系数的关系求得线段MN中点横坐标为3x，再求出线段PA的中点的纵坐标是4x．由34x x=，得42(3)0t h t h++-=，再由判别式大于等于0求得h范围．然后对h分类分析，求出使该方程有解且满足判别式①的h范围即可.【详解】（1）由题意得212,,121bab ba=⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩所求的椭圆方程为2214yx+=.（2）不妨设21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h+则抛物线2C在点P处的切线斜率为2x ty t='=，直线MN的方程为22y tx t h=-+，将上式代入椭圆1C的方程中，得2224(2)40x tx t h+-+-=，即()22222414()()40t x t t h x t h+--+--=，因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦，设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232()22(1)x x t t h x t +-==+， 设线段P A 的中点的横坐标是4x ，则412t x +=， 由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥或3h ≤-；当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦不成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦成立，因此h的最小值为1.【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 22．已知函数2()ln f x x ax x =-+.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，在(0,)+∞单调递增；当0a >时，在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减；（2）1k ≤或3221k e -+≥. 【分析】（1）首先求函数的导数2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>，分0a ≤和0a >两千情况讨论导数的正负，确定函数的单调性；（2）由方程()f x kx =，转化为2ln x ax x k x -+=，构造函数()2ln x ax x h x x-+=，利用二阶导数判断函数的单调性，并分情况讨论()h x '最小值的正负，并结合零点存在性定理，确定函数的性质，根据2ln x ax x k x-+=有唯一解，确定k 的取值范围. 【详解】（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x => ，20x =<（舍去），当x ∈时，'()0f x >，()f x在单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x在)+∞单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x在单调递增，()f x在)+∞单调递减. （2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+= 有且仅有一解， 即2ln x ax x k x-+=； 令ln ()1x h x ax x =-+ 则21ln '()x h x a x -=-，332(ln )2''()x h x x-=，令''()0h x =得32x e = 所以)'(h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e +∞上递增，3232min331ln 1'()'()2e h x h e a a e e -==-=-- 当312a e ≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增， 又当0x →时，ln ,0x ax x →-∞-→，所以()h x →-∞； 当x →+∞时，ln ,x ax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞. 所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k ∈R ； 当3102a e -<<时，32min '()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x-→+∞-→+∞， 所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,x a x -→-→+∞，所以'()h x →+∞. 所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--= 且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞，所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x 要使有方程2ln x ax x k x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <， 又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+， 又322(,)x e ∈+∞ ，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x x ϕ-=<，所以()ϕx 在32(,)e +∞递减， 且x →+∞时，2ln 1()11x x x ϕ-=+→，所以1k ≤； 同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增， 3322322()()121x e e e ϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥.【点睛】思路点睛：本题是一道利用导数研究函数性质，零点的综合应用题型，属于难题，一般利用导数研究函数零点或方程的实数根时，需根据题意构造函数()f x ，利用导数研究函数在该区间上的单调性，极值，端点值等性质，以及零点存在性定理等研究函数的零点.。
浙江省东阳中学2021届高三10月阶段考试数学试题 Word版含答案
东阳中学2020年下学期10月阶段考试卷（高三数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合 {1,0,1,4,5},{2,3,4},{02},A B C x x =-==∈<<R ∣则 ()A C B = （ ）A. {4}B. {23}，C. {1,2,3,5}-D. {1,2,3,4} 2. 已知复数z = 3+i （i 为虚数单位）, 则2z = （ ） A. 106i - B. 106i + C. 86i - D. 86i + 3. 已知x 是实数，则“45x x+>”是 “4x >”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.若实数x ,y 满足条件2000x y x y x +-⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≥，则2z x y =- （ ）A.有最小值，无最大值B. 有最小值，有最大值C.无最小值，有最大值D. 无最小值，无最大值 5. 设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭6. 在同一个直角坐标系中，函数a y x =，log a y x b =+（0a >且1a ≠）的图象如右图，则,a b 的取值可能是 （ ）A ．1,1a b >>B ．01,01a b <<<<C ．01,1a b <<>D ．1,01a b ><< 7. 已知函数()f x 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为11(,),x y 22(,),x y 1010,(,)x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为 （ ） A ．10 B ．10- C ．5 D ．208. 定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数，若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ）A. 12个B. 14个C. 16个D. 18个9. 已知x ∈R ，若函数2()||f x x x a =--有4个零点，则210ax x ++=的方程根个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与a 的取值有关10. 设函数2,11()2,11x k x x f x kx x ⎧+-=⎨-<<⎩≤或≥，2()g x kx bx c =++，,,k b c 为实数，则 （ ）A ．若[()]f g x 的值域为[0,)+∞，则13k -≤；B ．若[()]f g x 的值域为[1,)-+∞，则0k ≥；C ．若1k ≥，则[()]f g x 的值域可能为[0,)+∞；D ．若0k ≤，则[()]f g x 的值域可能为(,0]-∞．二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.已知函数2log ,0()21,0xx x f x x >⎧⎪=⎨-⎪⎩≤，则1(())2f f = ；若1()2f x = ，则x = ． 12. 在261(2)3x x-二项展开式的中，常数项是 ，其二项式系数之和为 ．13. 有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本，现随机拿出2本．两本书不同类的概率为 ；记拿出数学书的本数为X ，则()E X = ．14. 已知函数2()(3)1f x ax a x =+-+.若()f x 在区间上[1,)-+∞递减，则实数a 的取值范围是 ；若函数()f x 在[1,2]x ∈上的最小值为2，则a 的值为 ．15.把分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么不同的分法种数为 .（用数字作答) 16. 已知实数0,0a b >>，且11=12a b +，则89211a b a b +--的最小值为 ． 17.若函数()|e |e xxaf x =+在区间(0,1)上存在最小值，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数()sin (sin 3cos )f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在[0,]x ∈π上的单调增区间.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，122PA PB AD CD BC =====，//AD BC ，AD CD ⊥，E 是PA的中点，平面PAB ⊥平面ABCD . （1）证明：PB CE ⊥；（2）求直线CE 与平面PBC 所成的角的正弦值.20.等差数列{}n a 满足13a =，2591,1,5a a a +++成等比数列，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=+. （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）记数列1n n n a b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证1n T <．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程 ；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC ∆的重心，探求PAC ∆面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.22.已知函数2()ln ()2af x a x x ax a =+-+∈R .（1）当 a = 9时，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 存在极大值点1x 与极小值点2x ，当21x x -()()12f x f x + (3ln6)λ-≤恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案：1~10 DDBCA BABCC11. 12- 12.20,642713. 138,189 14. [3,0],2- 15. 36 16. 25 17.22(1,)(,1)e e --21.。
2021届浙江省东阳中学高三上学期期中考试数学试题
东阳中学2020年下学期期中考试卷（高三数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,3,5,7,9,11}U=，{1,3}A=，{9,11}B=，则()UA B=（）A．∅B．{1,3} C．{9,11} D．{5,7,9,11}2．设,a b R∈，则“21a bab+>⎧⎨>⎩”是“1a>且1b>”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．40 B．403C．48 D．164．函数cos e xy x=⋅ (其中e为自然对数的底数)的图象可能是（ ）A B CD5．孔子曰“三人行，必有我师焉”，从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔子的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔子的概率约为 （ ） 【参考数据：3600.990.03≈ ，3600.010≈，30.970.912673≈】A ．0B ．0.0027%C ．91.2673%D ．99.9973% 6．已知tan()23πα+=，则sin(2)6πα+=（ ）A ．35- B ．35 C ．310 D ．310- 7．实数a ,b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+列（ ）A ．可能是等差数列，但不可能是等比数列B ．不可能是筹差数列，但可能是等比数列C ．可能是等差数列，也可能是等比数列D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列8．如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，BC ＝AA 1＝2，点E ，O 分别是线段C 1C ，BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角F －OB 1－E ，F －OE －B 1，F －EB 1－O 的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ） A ．γβα>> B ．αβγ>> C ．γαβ>> D ．αγβ>> 9．已知,a t 为正实数，函数()22f x xx a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a≤成立．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B，则下列关系正确的是（ ）A ．2B ∈ B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉ 10．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >．已知1122,,,a b a b 满足12122||a a b b +22221122a b a b =+⋅+，若||22AB =+，则这样的点A 个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．已知i 为虚数单位，复数z 满足2( 11)i z i -＋＝，则z 的虚部为 ，|z|= ．12．在3()(11)x a x x+-+的展开式中，若a ＝2，则x 项的系数为________；若所有项的系数之和为－32，则实数a 的值为________． X 0 1 2P12p - 12 2p 13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若16cos 1611b C a c =-，3b =，c ＝2，则cos B =________，ABC S ∆=________．14．已知01p <<，随机变量X 的分布列如右图．若13p =时，()E X = ；在p 的变化过程中，(21)D X +的最大值为______．15．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线12,l l 与直线1x =围成区域Ω(包含边界)，对于区域Ω内任意一点(,)x y ，若23y x x --+的最大值小于0，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．16．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”．若函数22()log 1af x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为 ． 17．已知()1212,,,,,*k a a b b b k ∈N 是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈（其中1,2,1,2,,i j k ==）则k 的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．已知函数()sin (0)f x x =>ωω．（1）求()f x 的周期是4π，求ω，并求此时1()2f x =的解集； （2）若1=ω，2()()3()()2g x f x f x f x =+--π，[0,]4x ∈π，求()g x 的值域． 19．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3． （1）证明：AC ⊥BF ；（2）求直线BC 与平面PAC 所成角的正切值． 20．已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =．i)求{}n a 通项公式；ii)求证：122421111n nb a b a b a +++<． 21．已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直于长轴的弦长为1．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设点P 在抛物线2C ：2y x h =+上，抛物线2C 在点P 处的切线与椭圆1C 交于点M,N ，当线段AP 的中点与MN 的中点Q 的横坐标相等时，求h 的最小值．22．已知函数2()ln f x x ax x =-+． （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围．高三数学期中考试参考答案： 1~10 CBACD BACAD11. 32 12. 4 －4 13. 111614. 56，215.16. [3 17. 618.解：（1）12=ω， …………………………………………2分5{|44,}33x x k k k ππ=+π+π∈Z 或；………………………………6分（2）1()sin(2)26g x x π=-+， …………………………………………10分值域为1[,0]2-． …………………………………………14分19.解：(1)证明：因为△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形， 所以AC ⊥AB ，又平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ， 所以AC ⊥平面ABEF. 因为BF⊂平面ABEF，所以AC⊥BF. ……………………………………… 6分 (2)在矩形ABEF 中，AB ＝2，AF ＝23， 则BF ＝4，又PF ＝3，所以FA 2＝PF ·BF ，所以BF ⊥AP ，由(1)知AC ⊥BF ，又AC ∩AP ＝A ，所以BF ⊥平面PAC ，则∠BCP 为直线BC 与平面PAC 所成的角．…………………10分如图，过点P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，过点P 作PN ⊥AB 于点N ， 连接NC ，因为BF ＝4，PF ＝3，所以PB ＝1，则14PMBM PB EFBE BF ===，所以PM ＝BN ＝12，BM ＝PN，AN ＝AB －BN ＝2－12＝32，所以CN52=，PC=在Rt △BCP 中，tan ∠BCP＝BPPC =故直线BC 与平面PAC所成角的正切值为. ………………………………………15分20.解：（1）由题意知，121()33n n a -=⋅，21(1())1331()1313n n n S -==--，所以3131n n n b -=+. …………………………5分（2）由题意知，2(2)n n S a n =+， ①， 当2n ≥时，112(2)(1)n n S a n --=+-，② 则①-②得 1122(1)2n n n n S S na n a ---=--+， 得12(1)2n n n a na n a -=--+， ③112(1)2n n n a n a na ++=+-+， ④④-③得11122(1)(1)n n n n n n a a n a na na n a ++--=+--+-化简得112n n n a a a -+=+， 所以数列{}n a 是等差数列，12a =，21321d a a =-=-=，所以1n a n =+. …………………………10分 ii ）令2112211(21)2(21)(21)(21)2121n n n c b a n n n n n n n n ===<=-++-+-+ (13)分122421111111111+=11335212121n n n T b a b a b a n n n =+++<-+-+--<-++…………………………15分21.解：（I ）由题意得212,,121b a b b a=⎧=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩所求的椭圆方程为2214y x +=.………4分（II ）不妨设21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x t y t ='=， 直线MN的方程为22y tx t h =-+， (6)分将上式代入椭圆1C 的方程中，得2224(2)40x tx t h +-+-=， 即()22222414()()40txt t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦，设线段MN的中点的横坐标是3x ，则21232()22(1)x x t t h x t +-==+， …………………8分 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412t x +=， …………………10分由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ∆=+-≥∴≥或3h ≤-； …………………12分当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦不成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式4221162(2)40t h t h ⎡⎤∆=-++-+>⎣⎦成立，因此h 的最小值为1．………… ………15分 22.解：（1）2121'()21(0)ax x f x ax x x x-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ∆=+>，则10x => ，20x =<（舍去），当x ∈时，'()0f x >，()f x 在单调递增；当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在)+∞单调递减． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在单调递增，()f x 在)+∞单调递减． ………………………………6分（2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+= 有且仅有一解， 即2ln x ax x k x-+=； 令ln ()1x h x ax x =-+ 则21ln '()x h x a x -=-，332(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得32x e = 所以'()h x 在32(0,)e 上递减，在32(,)e+∞上递增，3232min 331ln 1'()'()2e h x h e a a e e -==-=-- 当312a e ≤-时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增，又当0x →时，ln ,0x ax x →-∞-→，所以()h x →-∞； 当x →+∞时，ln ,x ax x→+∞-→+∞，所以()h x →+∞. 所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k R ∈； 当3102a e -<<时，32min '()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，21ln ,x a x -→+∞-→+∞， 所以'()h x →+∞；当x →+∞时，21ln 0,x a x -→-→+∞，所以'()h x →+∞. 所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--= 且332212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞， 所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()h x 要使有方程2ln x ax x k x-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <， 又2222222222ln ln 1ln 2ln 1()111x x x x h x ax x x x x --=-+=-+=+， 又322(,)x e ∈+∞ ，则2ln 1()1x x x ϕ-=+，232ln '()0x x x ϕ-=<，所以()x ϕ在32(,)e +∞递减， 且x →+∞时，2ln 1()11x x x ϕ-=+→，所以1k ≤； 同理1112ln 1()1x h x x -=+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ϕ-=+在32(0,)e 递增， 3322322()()121x e e e ϕϕ-<=+=+，所以3221k e -+≥.综上可得，1k ≤或3221k e -+≥. ………………………………15分。
2020-2021学年浙江省金华市东阳中学高一(上)段考数学试卷(10月份)
2020-2021学年浙江省金华市东阳中学高一（上）段考数学试卷（10月份）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ＝{2, 3, 5, 6}，集合B ＝{1, 3, 4, 6}，则集合A ∩(∁U B)＝（ ） A.{2, 5} B.{3, 6} C.{2, 5, 6} D.{2, 3, 5, 6}2. 下列函数中，是同一函数的是（ ） A.y ＝x 2与y ＝x|x| B.y =√x 2与y =(√x)2 C.y =x 2+x x与y ＝x +1D.y ＝2x +1与y ＝2t +13. 已知函数f(x)={x 2+1(x ≥2)f(x +3)(x <2) ，则f(1)＝（ ）A.2B.12C.7D.174. 下列函数中，值域是(0, +∞)的是( ) A.y =2x +1(x >0) B.y =x 2C.y =√x 2−1D.y =2x5. 若命题“存在x ∈R ，使得x 2+(a −1)x +1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.[−1, 3]B.(−1, 3)C.(−∞, −1]∪[3, +∞)D.(−∞, −1)∪(3, +∞)6. 设f(x)是奇函数且在(−∞, 0)上是减函数，f(−1)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为（ ） A.(−∞, −1)∪(1, +∞) B.(−1, 0)∪(0, 1) C.(−1, 0)∪(1, +∞) D.(−∞, −1)∪(0, 1)7. 已知m >0，xy >0，当x +y ＝2时，不等式4x +m y≥92恒成立，则m 的取值范围是（ ）A.[12,+∞) B.[1, +∞) C.(0, 1]D.(0,12]8. 已知函数f(x)=2x 2+(4−m)x +4−m ，g(x)=mx ，若对于任一实数x ，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A.[−4, 4]B.(−4, 4)C.(−∞, 4)D.(−∞, −4)二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）设A ={x|x 2−8x +15=0}，B ={x|ax −1=0}，若A ∩B =B ，则实数a 的值可以为( ) A.15B.0C.3D.13设a >b ，c <0，则下列结论正确的是（ ） A.ca>cbB.ac <bcC.b a>b−c a−cD.ac 2>bc 2使不等式1+1x >0成立的一个充分不必要条件是( )A.x >2B.x ≥0C.x <−1或x >1D.−1<x <0下列命题中是真命题的是（ ）A.y =√x 2+2+√x 2+2的最小值为2B.当a >0，b >0时，1a +1b +2√ab ≥4 C.若a 2+b 2＝2，则a +b 的最大值为2D.若正数a ，b 满足a +b ＝2，则14a+2+1b+2的最小值为12 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）已知f(√x −1)＝x +2√x ，则f(x)________．已知−4≤a −c ≤−1，−1≤4a −c ≤5，则2a +c 的取值范围________．已知x ，y ∈R ，x 2−xy +9y 2＝1，则x +3y 的最大值为________2√155．若f(x)为偶函数，且当x ≤0时，f(x)＝2x −1，则不等式f(x)>f(2x −1)的解集________|________>1或________<13} ．四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）已知集合A＝{x|a<x<3a, a>0}，集合B＝{x|2<x≤3}．（1）当a＝1时，求A∩B，A∪B；（2）若A∩B＝⌀，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=x+ax−2，x∈(2, +∞)．（1）若a＝4，判断函数f(x)在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论．（2）若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，写出a的取值范围（无需证明）．（1）解关于x的不等式ax2−(2a+3)x+6>0(a≠0)；（2）若对任意a∈[−1, 1]，ax2−(2a+3)x+6>0恒成立，求实数x的取值范围．（1）作出f(x)＝x|x−4|的图象，并讨论方程f(x)＝m的实根的个数；（2）已知函数f(x)＝x|x−a|−a(a∈R)，若存在x∈[3, 5]，使f(x)<0成立，求实数a的取值范围．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y＝m⋅f(x)，其中f(x)={104+x,0≤x<64−x2,6≤x≤8．（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．已知函数y＝x+ax有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．（1）若函数ℎ(x)＝x+4x ,x∈[1,3]，求ℎ(x)的最值；（2）已知f(x)=4x2−12x−32x+1,x∈[0,1]，求函数f(x)的值域；（3）对于（2）中的函数f(x)和函数g(x)＝kx−2，若对任意x1∈[0, 1]，总存在x2∈[1, 2]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数k的值．参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省金华市东阳中学高一（上）段考数学试卷（10月份）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集和交集的运算即可．【解答】∵U＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，A＝{2, 3, 5, 6}，B＝{1, 3, 4, 6}，∴∁U B＝{2, 5}，A∩(∁U B)＝{2, 5}．2.【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】由题意利用函数的三要素得出结论．【解答】根据函数的三要素，函数y＝x2的值域为[0, +∞)，而函数y＝x|x|的值域为(−∞, +∞)，故它们不是同一个函数；函数y=√x2的定义域为(−∞, +∞)，而函数y=(√x)2的定义域为[0, +∞)，故它们不是同一个函数．函数y=x 2+xx=x+1(x≠0)的定义域为{x|x≠0}，而函数y＝x+1的定义域为(−∞, +∞)，故它们不是同一个函数．函数y＝2x+1与y＝2t+1具有相同的定义域为(−∞, +∞)，值域为(−∞, +∞)，对应关系都是乘以2再加上1，故它们为同一个函数．3.【答案】D【考点】求函数的值函数的求值【解析】由函数性质得f(1)＝f(4)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)={x2+1(x≥2)f(x+3)(x<2)，∴f(1)＝f(4)＝42+1＝17．故选：D．4.【答案】C【考点】函数的值域及其求法【解析】结合一次函数，二次函数，反比例函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：A，当x>0时，y=2x+1>1，即值域为(1, +∞)，不符合题意，B，y=x2≥0，即值域为[0, +∞)，不符合题意；C，由√x2−1>0，得y>0，即值域为(0, +∞)，符合题意；D，由反比例函数的性质可知y=2x≠0，即值域为(−∞,0)∪(0, +∞)，不符合题意.故选C.5.【答案】A【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0”，则相应二次方程有重根或没有实根．【解答】∵ “∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1<0是假命题，∴x2+(a−1)x+1＝0没有实数根或有重根，∴△＝(a−1)2−4≤0∴−1≤a≤36.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】本题可以利用f(x)在(−∞, 0)上是减函数，f(−1)＝0，得到函数有y轴左侧的图象草图，得到f(x)的相应函数值的正负情况，再根据f(x)是奇函数，得到函数有y轴右侧的图象草图，得到f(x)的相应函数值的正负情况，通过分类讨论，将不等式xf(x)<0转化为不等式组，解不等式组，得到本题结论．【解答】∵f(x)在(−∞, 0)上是减函数，f(−1)＝0，∴当x<−1时，f(x)>0；当−1<x<0时，f(x)<0．又∵f(x)是奇函数，∴由图象的对称性知：当0<x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0．若f(0)有意义，则f(0)＝0．∵不等式xf(x)<0，∴{x>0f(x)<0或{x<0f(x)>0，∴x>1或x<−1．7.【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】根据“乘1法”，可得4x +my=12(4x+my)(x+y)，展开后，结合基本不等式可推出4x+my≥12(4+m+2√4m)≥92，解此不等式即可．【解答】∵xy>0，且x+y＝2，∴x>0，y>0，∴4x +my=12(4x+my)(x+y)=12(4+m+4yx+mxy)≥12(4+m+2√4yx⋅mxy)=12(4+m+2√4m)，当且仅当4yx =mxy即√mx＝2y时，等号成立，∵不等式4x +my≥92恒成立，∴12(4+m+2√4m)≥92，化简得，m+4√m−5≥0，解得√m≥1，即m≥1，∴m的取值范围是[1, +∞)．8.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】对函数f(x)判断△=m2−16<0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和−4进行讨论可得答案．【解答】解：当△=m2−16<0时，即−4<m<4，显然成立，排除D当m=4，f(0)=g(0)=0时，显然不成立，排除A；当m=−4，f(x)=2(x+2)2，g(x)=−4x显然成立，排除B；故选C．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）【答案】A,B,D【考点】集合关系中的参数取值问题交集及其运算【解析】推导出B⊆A，从而B＝⌀或B＝{3}或B＝{5}，进而1a不存在，或1a=3，或1a=5．由此能求出实数a的值．【解答】解：∵A={x|x2−8x+15=0}={3, 5}，B={x|ax−1=0}={1a}，A∩B=B，∴B⊆A，∴B=⌀或B={3}或B={5}，∴1a不存在或1a=3或1a=5，解得a=0或a=13或a=15，∴实数a的值可以为0，15，13．故选ABD.【答案】B,D【考点】不等式的基本性质【解析】根据特殊值法判断A，C，根据不等式的基本性质判断B，D即可．【解答】对于A：令a＝1，b＝−1，c＝−1，显然错误；对于B：∵a>b，c<0，∴ac<bc，故B正确；对于C：令a＝1，b＝−1，c＝−1，显然错误；对于D:a>b，c<0，则c2>0，故ac2>bc2，故D正确；【答案】A,C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】不等式1+1x>0，即x+1x>0，x(x+1)>0，解得x范围，即可判断出结论．【解答】解：不等式1+1x>0，即x+1x>0，∴x(x+1)>0，解得x>0或x<−1．∴选项中满足不等式1+1x>0成立的充分不必要条件是：x>2，及x<−1或x>1，选项AC符合题意.故选AC.【答案】B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】可令t=√x2+2(t≥√2)，结合对勾函数的单调性可判断A；由基本不等式计算可得最小值，可判断B；运用不等式a+b≤2√a2+b22，计算可判断C；由(4a+2)+(4b+8)＝18，结合乘1法和基本不等式可判断D．【解答】对于A，令t=√x2+2(t≥√2)，y=√x2+2√x2+2=t+1t在[√2, +∞)递增，可得y min=√2+2=3√22，此时x＝0，故A错误；对于B，a>0，b>0时，1a +1b+2√ab≥2√1ab+2√ab≥2√2√1ab⋅2√ab=4，当且仅当a＝b＝1时取得等号，故B正确；对于C，若a2+b2＝2，则a+b≤2√a2+b22=2，当且仅当a＝b＝±1时，取得等号，故C正确；对于D，若正数a，b满足a+b＝2，即为(4a+2)+(4b+8)＝18，则14a+2+1b+2=118[(4a+2)+(4b+8)](14a+2+44b+8)=118(1+4+4b+84a+2+4a+2b+2)≥118×(5+4)=12，当且仅当a＝b＝1时，取得等号，故D正确．三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）【答案】x2+4x+3(x≥−1)【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】令t=√x−1，将已知等式中的x一律换为t，求出f(t)即得到f(x)．注意定义域．【解答】令t=√x−1(t≥−1)则x＝(t+1)2所以f(t)＝(t+1)2+2(t+1)＝t2+4t+3(t≥−1)所以f(x)＝x2+4x+3(x≥−1)【答案】[1, 13]【考点】简单线性规划【解析】设2a+c＝m(a−c)+n(4a−c)＝(m+4n)a−(m+n)c，解出m，n即可得出．【解答】设2a+c＝m(a−c)+n(4a−c)＝(m+4n)a−(m+n)c，∴{m+4n=2m+n=−1，解得m＝−2，n＝1，∵−4≤a−c≤−1，−1≤4a−c≤5，∴2≤−2(a−c)≤8，−1≤4a−c≤5，∴1≤2a+c≤13，∴2a+c的取值范围是[1, 13]．【答案】2√155【考点】基本不等式及其应用【解析】由x2+9y2＝1+xy≥2⋅x⋅3y，可推出xy≤15，而(x+3y)2＝x2+6xy+9y2＝1+7xy，代入所得结论即可．【解答】∵x2−xy+9y2＝1，∴x2+9y2＝1+xy≥2√x2⋅9y2=6xy，即xy≤15，当且仅当x＝3y，即x=3√1511，y=√1515时，等号成立，∴(x+3y)2＝x2+6xy+9y2＝1+7xy≤1+7×15=125，∴−2√155≤x+3y≤2√155，∴x+3y的最大值为2√155．【答案】{x,x,x【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】因为f(x)为偶函数，且当x≤0时，f(x)＝2x−1单调递增，根据偶函数的对称性可知，当x>0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，则由不等式f(x)>f(2x−1)可得|x|<|2x−1|，两边平方可得，x2<4x2−4x+1，整理可得，(3x−1)(x−1)>0，解可得，x>1或x<13．四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【答案】当a＝1时，集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2<x≤3}．∴A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x≤3}．∵集合A＝{x|a<x<3a, a>0}，集合B＝{x|2<x≤3}．A∩B＝⌀，∴当A＝⌀时，a≥3a，解得a≤0，不合题意，当A ≠⌀时，{a <3a a ≥3 或{a <3a3a ≤2 ，解得a ≥3或a ≤23．又∵ a >0，故实数a 的取值范围是(0, 23]∪[3, +∞)． 【考点】并集及其运算 交集及其运算【解析】（1）当a ＝1时，求出集合A ，由此能求出A ∩B ，A ∪B ．（2）当A ＝⌀时，a ≥3a ，当A ≠⌀时，{a <3a a ≥3 或{a <3a3a ≤2 ，由此能求出实数a 的取值范围．【解答】当a ＝1时，集合A ＝{x|1<x <3}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． ∴ A ∩B ＝{x|2<x <3}， A ∪B ＝{x|1<x ≤3}．∵ 集合A ＝{x|a <x <3a, a >0}，集合B ＝{x|2<x ≤3}． A ∩B ＝⌀，∴ 当A ＝⌀时，a ≥3a ，解得a ≤0，不合题意， 当A ≠⌀时，{a <3a a ≥3 或{a <3a3a ≤2 ，解得a ≥3或a ≤23．又∵ a >0，故实数a 的取值范围是(0, 23]∪[3, +∞)． 【答案】根据题意，若a ＝4，则f(x)=x+4x−2=x−2+6x−2=1+6x−2，在定义域上为减函数，设2<x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝(1+6x1−2)−(1+6x 2−2)=6(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2)， 又由2<x 1<x 2，则(x 1−2)>0，(x 2−2)>0，(x 2−x 1)>0，则f(x 1)−f(x 2)>0，f(x)在定义域上为减函数， f(x)=x+ax−2=x−2+a+2x−2=1+a+2x−2，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有a +2>0，即a >−2， a 的取值范围是(−2, +∞)． 【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】（1）根据题意，将函数的解析式变形为f(x)＝1+6x−2，设2<x 1<x 2，由作差法分析可得结论，（2）根据题意，由反比例函数的性质以及函数平移的性质可得结论．【解答】根据题意，若a ＝4，则f(x)=x+4x−2=x−2+6x−2=1+6x−2，在定义域上为减函数，设2<x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝(1+6x1−2)−(1+6x 2−2)=6(x 2−x 1)(x 1−2)(x 2−2)，又由2<x 1<x 2，则(x 1−2)>0，(x 2−2)>0，(x 2−x 1)>0， 则f(x 1)−f(x 2)>0，f(x)在定义域上为减函数， f(x)=x+a x−2=x−2+a+2x−2=1+a+2x−2，若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减，必有a +2>0，即a >−2， a 的取值范围是(−2, +∞)． 【答案】ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0)， 即(ax −3)(x −2)>0，当a <0，(x −3a )(x −2)<0，即有3a <x <2； 当3a =2即a =32时，(x −2)2>0，即x ≠2；当3a>2即0<a <32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x <2或x >3a ；当0<3a<2即a >32时，(x −3a)(x −2)>0，可得x >2或x <3a，综上可得，当a <0，解集为{x|3a <x <2}；当a =32时，解集为{x|x ∈R 且x ≠2}；当0<a <32时，解集为{x|x <2或x >3a}；当a >32时，解集为{x|x >2或x <3a }；对任意a ∈[−1, 1]，ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立， 可得a(x 2−2x)+6−3x >0，设f(a)＝a(x 2−2x)+6−3x ，a ∈[−1, 1]，可得{f(−1)>0f(1)>0 即{−(x 2−2x)+6−3x >0x 2−2x +6−3x >0 ，即有{−3<x <2x >3x <2 ，可得−3<x <2． 【考点】不等式恒成立的问题 其他不等式的解法 【解析】（1）对a 讨论，分当a <0时，当a =32时，当0<a <32时，当a >32时，运用二次不等式的解法，可得所求解集；（2）a(x 2−2x)+6−3x >0，设f(a)＝a(x 2−2x)+6−3x ，a ∈[−1, 1]，由恒成立思想可得f(−1)>0，且f(1)>0，解不等式可得所求范围． 【解答】ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0)， 即(ax −3)(x −2)>0，当a <0，(x −3a)(x −2)<0，即有3a<x <2；当3a =2即a =32时，(x −2)2>0，即x ≠2；当3a >2即0<a <32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x <2或x >3a ； 当0<3a <2即a >32时，(x −3a )(x −2)>0，可得x >2或x <3a ， 综上可得，当a <0，解集为{x|3a <x <2}；当a =32时，解集为{x|x ∈R 且x ≠2}；当0<a <32时，解集为{x|x <2或x >3a}；当a >32时，解集为{x|x >2或x <3a }；对任意a ∈[−1, 1]，ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立， 可得a(x 2−2x)+6−3x >0，设f(a)＝a(x 2−2x)+6−3x ，a ∈[−1, 1]，可得{f(−1)>0f(1)>0 即{−(x 2−2x)+6−3x >0x 2−2x +6−3x >0 ，即有{−3<x <2x >3x <2 ，可得−3<x <2． 【答案】f(x)＝x|x −4|={x 2−4x,x ≥4−x 2+4x,x <4 ，其图象如图：由图可知，当m ∈(−∞, 0)∪(4, +∞)时，方程f(x)＝m 有1个实根， 当m ＝0或4时，方程f(x)＝m 有2个实根， 当m ∈(0, 4)时，方程f(x)＝m 有3个实根； 函数f(x)＝x|x −a|−a(a ∈R)，命题若存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的否定为∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立． 下面求使命题∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围．①若a <3，则x ＝3时，f(x)在[3, 5]上取得最小值，f(3)＝3(3−a)−a ＝9−4a ，∴ 9−4a ≥0，即a ≤94；②若3≤a ≤5，则x ＝a 时，f(x)取得最小值为f(a)＝−a ，−a <0不满足f(x)≥0恒成立； ③若a >5，f(x)min ＝min {f(3), f(5)}＝min {3(a −3)−a, 5(a −5)−a}≥0， 解得a ≥254．综上可得，∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围是(−∞, 94]∪[254,+∞)， 则存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的a 的取值范围为(94,254)．【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】（1）写出分段函数解析式，作出图象，数形结合得答案；（2）写出命题存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的否定，即∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立，分类求解a 的取值范围，再由补集思想得答案． 【解答】f(x)＝x|x −4|={x 2−4x,x ≥4−x 2+4x,x <4 ，其图象如图：由图可知，当m ∈(−∞, 0)∪(4, +∞)时，方程f(x)＝m 有1个实根， 当m ＝0或4时，方程f(x)＝m 有2个实根， 当m ∈(0, 4)时，方程f(x)＝m 有3个实根； 函数f(x)＝x|x −a|−a(a ∈R)，命题若存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的否定为∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立． 下面求使命题∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围．①若a <3，则x ＝3时，f(x)在[3, 5]上取得最小值，f(3)＝3(3−a)−a ＝9−4a ， ∴ 9−4a ≥0，即a ≤94；②若3≤a ≤5，则x ＝a 时，f(x)取得最小值为f(a)＝−a ，−a <0不满足f(x)≥0恒成立； ③若a >5，f(x)min ＝min {f(3), f(5)}＝min {3(a −3)−a, 5(a −5)−a}≥0， 解得a ≥254．综上可得，∀x ∈[3, 5]，使f(x)≥0成立的a 的范围是(−∞, 94]∪[254,+∞)， 则存在x ∈[3, 5]，使f(x)<0成立的a 的取值范围为(94,254)．【答案】∵m＝3，∴y={304+x,0≤x<612−3x2,6≤x≤8；当0≤x<6时，304+x >304+6=3>2；当6≤x≤8时，12−32x≥2得，x≤203；故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达203小时．当6≤x≤8时，y＝2(4−12x)+m[104+x−6]＝8−x+10mx−2，∵8−x+10mx−2≥2对6≤x≤8恒成立，故m≥x 2−8x+1210对6≤x≤8恒成立，令g(x)=x 2−8x+1210，则g(x)在[6, 8]上是增函数，故g max(x)=65；故m≥65；故m的最小值为65．【考点】分段函数的应用根据实际问题选择函数类型函数恒成立问题【解析】(1将m＝3代入得y={304+x,0≤x<612−3x2,6≤x≤8；从而解不等式即可．（2）当6≤x≤8时，y＝2(4−12x)+m[104+x−6]＝8−x+10mx−2，即8−x+10mx−2≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥x2−8x+1210对6≤x≤8恒成立，从而化为最值问题．【解答】∵m＝3，∴y={304+x,0≤x<612−3x2,6≤x≤8；当0≤x<6时，304+x >304+6=3>2；当6≤x≤8时，12−32x≥2得，x≤203；故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达203小时．当6≤x≤8时，y＝2(4−12x)+m[104+x−6]＝8−x+10mx−2，∵8−x+10mx−2≥2对6≤x≤8恒成立，故m≥x2−8x+1210对6≤x≤8恒成立，令g(x)=x2−8x+1210，则g(x)在[6, 8]上是增函数，故g max(x)=65；故m≥65；故m的最小值为65．【答案】由题意知，函数ℎ(x)＝x+4x在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增，而ℎ(1)＝1+4＝5，ℎ(3)＝3+43=133，∴ℎ(x)min＝ℎ(2)＝2+2＝4，ℎ(x)max＝ℎ(1)＝5．f(x)=4x2−12x−32x+1=(2x+1)2−8(2x+1)+42x+1=(2x+1)+42x+1−8，∵x∈[0, 1]，∴2x+1∈[1, 3]，由（1）可知，f(x)min＝f(12)＝4−8＝−4，f(x)max＝f(0)＝5−8＝−3，∴函数f(x)的值域为[−4, −3]．对于函数g(x2)＝kx2−2，x2∈[1, 2]，①当k>0时，g(x2)单调递增，其值域为[k−2, 2k−2]，∵对任意x1∈[0, 1]，总存在x2∈[1, 2]，使得g(x2)＝f(x1)成立，∴[−4, −3]⊆[k−2, 2k−2]，即{k−2≤−42k−2≥−3，无解；②当k<0时，g(x2)单调递减，其值域为[2k−2, k−2]，同理可得，[−4, −3]⊆[2k−2, k−2]，即{2k−2≤−4k−2≥−3，解得k＝−1；③当k＝0时，g(x2)＝−2恒成立，g(x2)的值域为{−2}，而[−4, −3]⊈{−2}，不符合题意，舍去，综上，实数k 的值为−1． 【考点】函数与方程的综合运用 函数单调性的性质与判断 【解析】（1）由题意知，函数ℎ(x)＝x +4x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增，计算ℎ(1)，ℎ(2)，ℎ(3)的值，即可得解；（2）将f(x)化简成f(x)＝(2x +1)+42x+1−8，结合（1）的结论即可得解；（3）先将原问题转化为f(x)的值域是g(x)的值域的子集，再分k >0、k <0和k ＝0三种情况讨论函数g(x)的值域，然后针对每种情况列出关于k 的不等式组，解之即可． 【解答】由题意知，函数ℎ(x)＝x +4x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增， 而ℎ(1)＝1+4＝5，ℎ(3)＝3+43=133，∴ ℎ(x)min ＝ℎ(2)＝2+2＝4， ℎ(x)max ＝ℎ(1)＝5． f(x)=4x 2−12x−32x+1=(2x+1)2−8(2x+1)+42x+1=(2x +1)+42x+1−8，∵ x ∈[0, 1]，∴ 2x +1∈[1, 3]， 由（1）可知，f(x)min ＝f(12)＝4−8＝−4，f(x)max ＝f(0)＝5−8＝−3， ∴ 函数f(x)的值域为[−4, −3]．对于函数g(x 2)＝kx 2−2，x 2∈[1, 2]，①当k >0时，g(x 2)单调递增，其值域为[k −2, 2k −2]，∵ 对任意x 1∈[0, 1]，总存在x 2∈[1, 2]，使得g(x 2)＝f(x 1)成立， ∴ [−4, −3]⊆[k −2, 2k −2]，即{k −2≤−42k −2≥−3 ，无解；②当k <0时，g(x 2)单调递减，其值域为[2k −2, k −2]，同理可得，[−4, −3]⊆[2k −2, k −2]，即{2k −2≤−4k −2≥−3 ，解得k ＝−1；③当k ＝0时，g(x 2)＝−2恒成立，g(x 2)的值域为{−2}， 而[−4, −3]⊈{−2}，不符合题意，舍去， 综上，实数k 的值为−1．。
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浙江省金华市东阳中学2020-2021学年高三上学期10月阶段
考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{1,0,1,4,5}A =-，{2,3,4}B =，{02}C x R x =∈<<∣，则()A
C B =
（ ） A ．{4}
B ．{2,3}
C ．{1,2,3,5}-
D ．{1,2,3,4}
2．已知复数3i z =+（i 为虚数单位），则2z =（ ） A ．106i -
B ．106i +
C ．86i -
D ．86i +
3．已知x 是实数，则“4
5x x
+
>”是“4x >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不
必要条件
4．若实数x ，y 满足条件2000x y x y x +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-（ ）
A ．有最小值，无最大值
B ．有最小值，有最大值
C ．无最小值，有最大值
D ．无最小值，无最大值
5．设函数2
1
()ln(1||)1f x x x
=+-
+，则使得f (x )>f (2x -1)成立的x 的取值范围是（ ） A ．113⎛⎫ ⎪⎝⎭，
B ．1(,)(1,)3
-∞⋃+∞ C ．11(,)33-
D ．11
(,)
(,)33
-∞-+∞ 6．在同一个直角坐标系中，函数a y x =，log a y x b =+（0a >且1a ≠）的图象如图，则a ，b 的取值可能是（ ）
A ．1,1a b >>
B ．01,01a b <<<<
C ．01,1a b <<>
D ．1,01a b ><<
7．已知函数()f x 满足()2()f x f x -=-，若函数1
x y x
+=
与()y f x =图象的交点为()()()11221010,,,,,,x y x y x y ⋅⋅⋅则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A ．10
B ．10-
C ．5
D ．20
8．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意
2k m ≤，12,,
,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”
共有 A ．18个 B ．16个 C ．14个
D ．12个
9．已知x ∈R ，若函数()2
f x x x a =--有4个零点，则方程210ax x ++=的实数根个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．与a 的取值有
关
10．设函数2,11()2,11
x k x x f x kx x ⎧+≤-≥=⎨-<<⎩或，2
()g x kx bx c =++，,,k b c 为实数，则
（ ）
A ．若[()]f g x 的值域为[0,)+∞，则1
3
k ≤-；
B ．若[()]f g x 的值域为[1,)-+∞，则0k ≥；
C ．若1k
，则[()]f g x 的值域可能为[0,)+∞；
D ．若0k ≤，则[()]f g x 的值域可能为(,0]-∞.
二、双空题
11．已知函数2log ,0
()21,0x
x x f x x >⎧=⎨-≤⎩
，则12f f ⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
______；若1()2f x =，则x =
______.
12．在6
2123x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭二项展开式的中，
常数项是________，其二项式系数之和为________. 13．已知函数2()(3)1f x ax a x =+-+.若()f x 在区间上[1,)-+∞递减，则实数a 的取值范围是_________；若函数()f x 在[1,2]x ∈上的最小值为2，则a 的值为__________.
三、填空题
14．有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本，现随机拿出2本.两本书不同类的概率为__________.
15．把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______(用数字作答
)．
16．已知实数0,0a b >>，且1112a b
+=，则89211a b
a b +--的最小值为__________. 17．若函数()x
x a
f x e e
=+在区间
(0,1)上存在最小值，则实数a 的取值范围是___________.
四、解答题
18．已知函数
()sin (sin )f x x x x =+.
（1）求函数()f x 的最小正周期.
（2）求函数()f x 在[0,]x π∈上的单调增区间.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，1
22
PA PB AD CD BC ====
=，//AD BC ，AD CD ⊥，E 是PA 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD .
（1）证明：PB CE ⊥；
（2）求直线CE 与平面PBC 所成的角的正弦值.
20．等差数列{}n a 满足13a =，21a +，51a +，95a +成等比数列，数列{}n b 满足11b =，
1n n n b b a +=+.
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）数列1n n n a b b +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明1n T <.
21．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左焦点F
在直线30x y -+=
上，且
2a b +=（1）求椭圆的方程；
（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.
22．已知函数2
()ln ()2
a
f x a x x ax a R =+-+
∈. （Ⅰ）当9a =时，求函数()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数()f x 存在极大值点1x 与极小值点2x
，当21x x -≥时，有
()()12(3ln6)f x f x λ+≤-恒成立，求实数λ的取值范围.。