2018年高考理科数学通用版复习专题检测：(六) 复数、算法、推理与证明含解析

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2018年高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书第十二章推理与证明、算法、复数 12.5 复数 Word版

§复数考纲展示►.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．．了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则运算．．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．考点复数的有关概念复数的有关概念()复数的定义形如＋(，∈)的数叫做复数，其中实部是，虚部是．()复数的分类错误!()复数相等＋＝＋⇔(，，，∈)．()共轭复数＋与＋共轭⇔(，，，∈)．()复数的模向量的模叫做复数＝＋的模，记作或，即＝＋＝(，∈)．答案：() ()＝≠＝≠()＝且＝()＝且＝－() ＋[教材习题改编]若复数＝＋＋(－)为虚数，则实数的取值范围是．答案：(－∞，)∪(，＋∞)解析：当虚部不等于，即≠时，复数为虚数.复数有关概念的误区：纯虚数；虚部；共轭复数．()已知复数＝－＋(－)是纯虚数，则实数＝.()复数－的虚部为．()复数＋的共轭复数是．答案：()－()－()－解析：()由－＝且－≠，得＝－.()实部为，虚部为－.()复数＋的共轭复数是－.[典题] ()[·江西九江模拟]设复数＝，则的共轭复数为( )－＋．－．＋[答案][解析]∵＝＝＝－，∴＝＋.()设是虚数单位．若复数－(∈)是纯虚数，则的值为( )．－．－．．[答案][解析] 复数－＝－＝(－)－为纯虚数，∴－＝，∴＝.()若复数满足(－)＝－，则的虚部为( )．－．－．[答案][解析] (－)＝－＝，∴＝＝，∴的虚部为.()[·江苏卷]复数＝(＋)(－)，其中为虚数单位，则的实部是．[答案][解析] (＋)(－)＝＋－＝＋，所以的实部为.[点石成金] 求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即＋(，∈)的形式，再根据题意求解．考点复数的几何意义。

2018版高考数学理人教大一轮复习讲义教师版文档第十三

1．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( × )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 A解析 ∵(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ， ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3，故选A.2．(2015·课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z 等于( ) A ．－2－i B ．－2＋i C ．2－i D ．2＋i 答案 C解析由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.3．(2016·黄山一模)设i 是虚数单位，若z ＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z ＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，sin θ>0，∴θ为第二象限角，故选B.4．(教材改编)在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i答案 D解析 CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 5．i 2 011＋i 2 012＋i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016＋i 2 017＝________. 答案 1解析原式＝i 3＋i 4＋i 1＋i 2＋i 3＋i 4＋i ＝1.题型一复数的概念例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3,2 C ．3，－3D ．－1,4(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(3)(2016·天津)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 (1)A (2)A (3)1解析 (1)∵(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i ＝a ＋b i ， ∴a ＝3，b ＝－2，故选A.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件． (3)∵(1＋i)z ＝2，∴z ＝21＋i ＝1－i ，∴其实部为1.引申探究1．将本例(1)中方程左边改为(1＋i)(2－3i)，求a ，b 的值．解 (1＋i)(2－3i) ＝2＋3－i ＝5－i ＝a ＋b i ，所以a ＝5，b ＝－1.2．将本例(3)中的条件“(1＋i)z ＝2”改为“(1＋i)3z ＝2”，求z 的实部．解 z ＝2(1＋i )3＝2－2＋2i＝－12－12i ，∴z 的实部为－12.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(1)已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．i C.25D ．0(2)已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝________. 答案 (1)A (2)2i解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b >0)，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝－4，因此a ＝0，－b 2＝－4，b ＝±2，又b >0，∴b ＝2，∴z ＝2i. 题型二复数的运算命题点1 复数的乘法运算例2 (1)(2016·四川)设i 为虚数单位，则复数(1＋i)2等于( ) A ．0 B ．2 C ．2i D ．2＋2i(2)(2016·全国乙卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2(3)(2015·课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 (1)C (2)B (3)B解析 (1)(1＋i)2＝12＋i 2＋2i ＝1－1＋2i ＝2i.(2)由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.(3)因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.命题点2 复数的除法运算例3 (1)(2016·全国丙卷)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i (2)(2016·北京)复数1＋2i2－i 等于( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i ＝________. 答案 (1)C (2)A (3)－1＋i 解析 (1)z ＝1＋2i ，z z ＝5，4iz z －1＝i.(2)1＋2i 2－i ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5i 5＝i. (3)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.命题点3 复数的综合运算例4 (1)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i (2)(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35iD ．45－35i(3)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45答案 (1)B (2)D (3)D解析 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B. (2)z ＝4＋3i ，|z |＝5，z|z |＝45－35i. (3)设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合相关定义解答．(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再结合复数的几何意义解答．(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的．(1)(2015·山东)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________. (3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 017＝________. 答案 (1)A (2)i (3)22＋(22＋1)i 解析 (1)z ＝i(1－i)＝1＋i ，∴z ＝1－i ，故选A. (2)(1＋i 1－i )2 017＝[(1＋i )2(1－i )(1＋i )]2 017＝i 2 017＝i. (3)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 017＝i (1＋23i )1＋23i＋(21－i )[(21－i )2]1 008＝i ＋i 1 008·22(1＋i)＝22＋(22＋1)i.题型三复数的几何意义例5 (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( ) A ．内心 B ．垂心 C ．重心 D ．外心答案 D解析由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．(2)如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO →、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数．解 ①AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i. ②CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．27．解决复数问题的实数化思想典例 (12分)已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .思想方法指导 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．(2)本题求解的关键是先把x 、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法．(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解．规范解答解设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2，[3分] 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，[5分]根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3(a 2＋b 2)＝－6，[7分] 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.[9分] 故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.[12分]1．(2016·佛山二检)已知a >0，b >0，且(1＋a i)(b ＋i)＝5i(i 是虚数单位)，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 D解析由题意得(1＋a i)(b ＋i)＝(b －a )＋(1＋ab )i ＝5i ，则⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，1＋ab ＝5，又a >0，b >0，所以a ＝b ＝2，则a ＋b ＝4. 2．(2017·天津质检)已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a 1－i 是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．4 答案 D解析 ∵2i －a1－i ＝2i －a (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i －a 2－a 2i ＝(2－a 2)i －a2，a ∈R ，∴2－a2＝0，∴a ＝4.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H 答案 D解析由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H .4．(2017·南昌月考)z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 D解析方法一设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i.方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.5．(2016·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．⎣⎡⎦⎤－916，1 C ．⎣⎡⎦⎤－916，7 D ．⎣⎡⎦⎤916，7 答案 C解析由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎡⎦⎤－916，7. 6．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3)答案 C解析由于复数z 的实部为a ，虚部为1，且0<a <2，所以由|z |＝1＋a 2，得1<|z |< 5.*7.若i 为虚数单位，已知a ＋b i ＝2＋i1－i (a ，b ∈R )，则点(a ，b )与圆x 2＋y 2＝2的位置关系为( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不能确定答案 A解析 ∵a ＋b i ＝2＋i 1－i＝(2＋i )(1＋i )2＝12＋32i ，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝32，则a 2＋b 2＝52>2，∴点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝2外．8．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，23) 解析 z ＝(3m －2)＋(m －1)i ，其对应点(3m －2，m －1)在第三象限内，故3m －2<0且m －1<0，∴m <23. 9．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．答案 3或6解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ，∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3，∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3，解得m ＝6或m ＝3，经检验符合题意．10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．答案 3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.11．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则b ＝________，c ＝________.答案－2 3解析 ∵实系数一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个虚根为1＋2i ，∴其共轭复数1－2i 也是方程的根．由根与系数的关系知，⎩⎨⎧(1＋2i )＋(1－2i )＝－b ，(1＋2i )(1－2i )＝c ，∴b ＝－2，c ＝3.12．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④若z ＝－i ，则z 3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)答案 ④解析由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a ＝－1，则(a ＋1)i ＝0，③错误；z 3＋1＝(－i)3＋1＝i ＋1，④正确．13．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3； (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i； (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解 (1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4 ＝－14－34i. 14．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.*15.若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数； ②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2 ＝⎝⎛⎭⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫b －5b a 2＋b 2i.∵z ＋5z 是实数，∴b －5b a 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，∴a ＋3＋b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。

2018届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题六第四讲算法、复数、推理与证明含解析精品

专题六概率与统计、算法、复数、推理与证明第四讲算法、复数、推理与证明高考导航1．对复数的考查主要是复数概念、复数四则运算和复数的几何意义．2．对程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为载体考查学生对算法的理解．3．对合情推理的考查主要以归纳推理为主，考查学生的观察、归纳和概括能力.1．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i[解析] 3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.故选D.[答案] D2．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R 成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z －2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z －＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.[答案] B3．(2017·天津卷)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为( )A．0 B．1C．2 D．3[解析]执行程序框图，输入N的值为24时，24能被3整除，执行是，N＝8,8≤3不成立，继续执行循环体；8不能被3整除，执行否，N＝7,7≤3不成立，继续执行循环体；7不能被3整除，执行否，N＝6,6≤3不成立，继续执行循环体；6能被3整除，执行是，N ＝2,2≤3成立，退出循环，输出N的值为2，故选C.[答案] C4．(2017·全国卷Ⅰ)下面程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2[解析]本题求解的是满足3n－2n>1000的最小偶数n，可判断出循环结构为当型循环结构，即满足条件要执行循环体，不满足条件要输出结果，所以判断语句应为A≤1000？，另外，所求为满足不等式的偶数解，因此中语句应为n＝n＋2，故选D.[答案] D5．(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在第一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．[解析] 设线段A i B i 的中点为C i (x i ，y i )．(1)由题意知Q i ＝2y i ，i ＝1,2,3，由题图知y 1最大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1.(2)由题意知p i ＝2y i 2x i ＝y ix i，i ＝1,2,3.y ix i 的几何意义为点C i (x i ，y i )与原点O 连线的斜率．比较OC 1，OC 2，OC 3的斜率，由题图可知OC 2的斜率最大，即p 2最大．[答案] (1)p 1 (2)p 2考点一复数的概念与运算1．复数的除法复数的除法一般是先将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ；(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ； (3)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2D ．2[解析] 解法一：∵(1＋i)z ＝2i ，∴z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1＋i )2＝1＋i.∴|z |＝12＋12＝ 2.解法二：∵(1＋i)z ＝2i ，∴|1＋i|·|z |＝|2i|，即12＋12·|z |＝2，∴|z |＝ 2.[答案] C2．(2017·北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，∴a <－1，故选B.[答案] B3．(2017·山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( )A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3[解析] ∵z ＝a ＋3i ，∴z －＝a －3i ，又∵z ·z －＝4，∴(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A.[答案] A4．(2017·西安模拟)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( ) A ．i B ．1 C ．－iD ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i3＝－i. [答案] C复数问题的解题思路以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．考点二程序框图1．当需要对研究的对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．2．注意直到型循环和当型循环的本质区别：直到型循环是先执行再判断，直到满足条件才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件，则进入循环体，否则结束循环．3．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等．[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝()A．2 B．3C．4 D．5[解析]由程序框图可得S＝0，a＝－1，K＝1≤6；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2≤6；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3≤6；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4≤6；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5≤6；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6≤6；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7>6，退出循环，输出S ＝3.故选B. [答案] B2．(2017·西安八校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12014＋12016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2014?B ．i ≤2016?C ．i ≤2018?D ．i ≤2020?[解析] 依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋12，i ＝4；…；S ＝0＋12＋14＋…＋12014＋12016，i ＝2018，输出的S ＝12＋14＋16＋…＋12014＋12016，所以题中的判断框内应填入的是“i ≤2016？”，选B.[答案] B3．(2017·江西南昌三模)263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为()(参考数据：3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)A．12 B．24C．36 D．48[解析]执行程序框图，可得n＝6，S＝3sin60°＝332≈2.598，不满足条件S≥3.10，继续循环；n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，继续循环；n＝24，S＝12×sin15°≈3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24.故选B.[答案] B求解程序框图2类常考问题的解题技巧(1)程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值．然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件．(2)程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n？”或“i<n？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可．考点三推理与证明1．归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论2．类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推―→猜测新的结论[对点训练]1．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则() A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由题意可知，“甲看乙、丙的成绩，不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.[答案] D2．(2017·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5[解析] 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B. [答案] B3．(2017·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n ＝ 99n 具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80[解析] 由223＝ 223，3 38＝ 338，4 415＝ 4415，5524＝5524，…，可得若99n＝99n具有“穿墙术”，则n＝92－1＝80，故选D.[答案] D合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．热点课题24数学归纳法[感悟体验]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－4a n ＋3，数列{b n }满足b n ＝1a n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)证明：1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n<7.[解] (1)由a 1＝1，得b 1＝12；由a 1＝1，得a 2＝0，b 2＝1；由a 2＝0，得a 3＝－13，b 3＝32；由a 3＝－13，得a 4＝－12，b 4＝2，由此猜想b n ＝n2.下面用数学归纳法加以证明： ①当n ＝1时，b 1＝12符合通项公式b n ＝n 2； ②假设当n ＝k 时猜想成立，即b k ＝1a k ＋1＝k 2，a k ＝2k －1，那么当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k －1a k ＋3＝2k －1－12k －1＋3＝1－k 1＋k，b k ＋1＝1a k ＋1＋1＝11－k1＋k＋1＝k ＋12，即n ＝k ＋1时猜想也能成立，综合①②可知，对任意的n ∈N *都有b n ＝n2.(2)证明：当n ＝1时，左边＝1b 21＝4<7不等式成立；当n ＝2时，左边＝1b 21＋1b 22＝4＋1＝5<7不等式成立；当n ≥3时，1b 2n ＝4n 2<4n (n －1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，左边＝1b 21＋1b 22＋…＋1b 2n<4＋1＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝5＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝7－4n <7，不等式成立．。

2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习教师用书：第十二章推理与证明、算法、复数含解析

第十二章错误!推理与证明、算法、复数第一节合情推理与演绎推理突破点（一) 合情推理基础联通抓主干知识的“源”与“流”类型定义特点归纳推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊考点贯通抓高考命题的“形"与“神”本节主要包括2个知识点： 1.合情推理; 2.演绎推理。

归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1）通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；（2）把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题（猜想）;(3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一) 与数字有关的推理例1] 给出以下数对序列:(1，1）（1，2）（2,1）（1,3）(2，2)（3，1）(1,4）(2,3)(3，2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( )A．（m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1,n－m＋1) D．(m，n－m)解析] 由前4行的特点，归纳可得:若a nm＝（a,b）,则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．答案］A易错提醒］解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等．类型(二) 与式子有关的推理例2］(1）(2016·山东高考)观察下列等式：－2＋错误!－2＝错误!×1×2；错误!－2＋错误!－2＋错误!－2＋错误!－2＝错误!×2×3；错误!－2＋错误!－2＋错误!－2＋…＋错误!－2＝错误!×3×4;错误!－2＋错误!－2＋错误!－2＋…＋错误!－2＝错误!×4×5；错误!……照此规律，－2＋错误!－2＋…＋错误!－2＝________。

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习习题：第六章不等式、推理与证明课时提升作业四十 6.6 含答案

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课时提升作业四十数学归纳法(20分钟35分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·郑州模拟)用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=错误！未找到引用源。

,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )A.k2+1B.(k+1)2C.错误！未找到引用源。

D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2【解析】选D.当n=k时,左边=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左边=1+2+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.【加固训练】1.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-错误！未找到引用源。

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=2错误！未找到引用源。

时,若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( )A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.因为n为偶数,故假设n=k成立后,再证n=k+2时等式成立.2.(2016·南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+…+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是( )A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+…+(2k)2+(2k+1)2+2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.2.(2016·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+错误！未找到引用源。

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专题10推理与证明、算法复数(2018年4月版)2018届高考高三数学(理)全国各地优质模拟试卷分类汇编解析版

专题推理与证明、算法、复数一、选择题1．【2018河南中原名校高三联考五】老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃A ，梅花A ，方片A 以及黑桃A ，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：小明说：第1个盒子里面放的是梅花A ，第3个盒子里面放的是方片A ；小红说：第2个盒子里面饭的是梅花A ，第3个盒子里放的是黑桃A ；小张说：第4个盒子里面放的是黑桃A ，第2个盒子里面放的是方片A ；小李说：第4个盒子里面放的是红桃A ，第3个盒子里面放的是方片A ；老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．”则可以推测，第4个盒子里装的是（） A. 红桃A 或黑桃A B. 红桃A 或梅花A C. 黑桃A 或方片A D. 黑桃A 或梅花A 【答案】A2．【2018四川广元高三第一次适应性统考】二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）“超球”的三维测度38V r π=,则其思维测度W=（） A. 42r π B. 43r π C. 44r π D. 46r π 【答案】A【解析】由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度．由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故42W r π=．选A ．3．【2018山东淄博12月摸底】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：“穿墙术”，则n= A. 35 B. 48 C. 63 D. 80【答案】C【解析】根据规律得313,824,1535,2446,n=⨯= ,选C.=⨯=⨯=⨯=⨯ ,所以79634．【2018河南安阳高三一模】执行下图所示的程序框图，若输入0.8p=，则输出的n=（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B5．【2018河南安阳高三一模】执行下图所示的程序框图，若输入0.99p=，则输出的n=（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C6．【2018湖南株洲高三统检一】已知[]x表示不超过x的最大整数，如[][][]===.执行如图所示0.50,11, 2.42的程序框图，则输出S的值为（）A. 450B. 460C. 495D. 550 【答案】B故选B.7．【2018贵州遵义高三上学期联考二】下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的a b 、分别为16、18，输出的结果为a ，则二项式开式中常数项是（）A. -20B. 52C. -192D. -160 【答案】D8．【2018吉林普通高中二调】《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。

2018年高考理科数学考前集训：算法、复数、推理与证明(解析版)

2018年高考理科数学考前集训：算法、复数、推理与证明（解析版）[考情分析]1．程序框图是每年高考的必考内容，主要考查循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填充，多为选择题或填空题，试题难度不大；2.对复数的考查，难度一般为容易，常在选择题或填空题的前两题的位置呈现．一般考查三个方面：一是复数的概念，如实部、虚部、模、共轭复数等；二是复数的四则运算；三是复数的几何意义；3.推理与证明考查频次较低.1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．答案：A2．(2016·高考全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i z z －1＝4i4＝i.故选C.答案：C3．(2017·高考全国卷Ⅱ))执行如图的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：运行程序框图，a ＝－1，S ＝0，K ＝1，K ≤6成立；S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，K ＝2，K ≤6成立；S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，K ＝3，K ≤6成立；S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，K ＝4，K ≤6成立；S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，K ＝5，K ≤6成立；S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，K ＝6，K ≤6成立；S ＝－3＋1×6＝3，a ＝－1，K ＝7，K ≤6不成立，输出S ＝3.选择B. 答案：B4．(2016·高考全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3. 答案：1和3算法与程序框图[方法结论]算法的两种基本逻辑结构(1)循环结构分为当型和直到型两种．(2)当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足时则停止． (3)直到型循环在执行了一次循环体后，对控制循环的条件进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止．[题组突破]1．(2017·合肥模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的n 为( )A ．9B ．11C ．13D ．15解析：由程序框图可知，S 是对1n 进行累乘，直到S ＜12 017时停止运算，即当S ＝1×13×15×17×19×111＜12 017时循环终止，此时输出的n ＝13，故选C. 答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x解析：输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2＋y 2≥36；运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2≥36；运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2≥36，输出x ＝32，y ＝6.由于点⎝⎛⎭⎫32，6在直线y ＝4x 上，故选C. 答案：C 复数[方法结论]1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类 (1)z 是实数⇔b ＝0； (2)z 是虚数⇔b ≠0； (3)z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. 2．共轭复数复数a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数是a －b i(a ，b ∈R )． 3．复数的四则运算法则(1)(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (2)(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(3)(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R )．提醒：记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ；(3)1－i 1＋i＝－i ；(4)a ＋b i i ＝b －a i ；(5)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．[题组突破]1．(2017·广西三市联考)复数z ＝(i －1)2＋4i ＋1的虚部为( )A ．－1B ．－3C ．1D ．2解析：z ＝(i －1)2＋4i ＋1＝4－2i i ＋1＝(4－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i ，故选B.答案：B2．(2017·长沙模拟)在复平面内，复数3i1－i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：3i1－i ＝3i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－3＋3i 2，故其对应的点在第二象限，选B.答案：B3．(2017·西安模拟)设(a ＋i)2＝b i ，其中a ，b 均为实数．若z ＝a ＋b i ，则|z |＝( ) A ．5 B. 5 C ．3D. 3解析：由(a ＋i)2＝b i 得a 2－1＋2a i ＝b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝02a ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2＝1＋4＝5，选B. 答案：B4．(2017·惠州模拟)若复数z 满足z ·i ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是________．解析：由z i ＝1＋i 可得z ＝1＋i i ＝(1＋i )(－i )i (－i )＝1－i ，所以z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i [误区警示]1．混淆复数的实部和虚部；2．计算(a ＋i)2，|z |时，错用运算法则．推理与证明[方法结论]1．推理(1)归纳是由特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确． (3)演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程．数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理．2．证明的两种方法(1)直接证明：①综合法；②分析法． (2)间接证明：反证法． 3．与反证法有关的命题题型(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)“至少”“至多”型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等．[典例] (1)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A ．假设a ，b ，c 都是偶数 B ．假设a ，b ，c 都不是偶数 C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数 D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数解析：“至少有一个”反面应为“没有一个”，也就是说本题应假设a ，b ，c 都不是偶数．答案：B(2)(2017·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，则1＋11＋11＋…＝( )A.－5－12B.5－12C.1＋52D.1－52解析：1＋11＋11＋…＝x ，即1＋1x ＝x ，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(x ＝1－52舍)，故1＋11＋11＋…＝1＋52，故选C. 答案：C(3)(2017·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”乙说：“我没有作案，是丙偷的．”丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷．”丁说：“乙说的是事实．”经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．答案：B [类题通法]推理问题多以选择题或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，而其他的主要是渗透到数学问题的求解之中；常涉及特殊、一般、部分、整体及归纳思想、类比思想等数学思想方法．[演练冲关]1．(2017·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁解析：根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：由表知，答案：D2．(2017·贵阳模拟)已知不等式1＋14＜32，1＋14＋19＜53，1＋14＋19＋116＜74，照此规律总结出第n 个不等式为________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122＜2×2－12，1＋122＋132＜2×3－13，1＋122＋132＋142＜2×4－14，所以照此规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2＜2(n ＋1)－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1. 答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋1 算法中的交汇问题算法是高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮点，这类问题常常背景新颖，并与函数、数列、不等式、统计等交汇，考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问题的能力．[典例]执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S属于()A．[－6，－2]B．[－5，－1]C．[－4,5]D．[－3,6]解析：由程序框图可知其值域为(－2，6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故选D.答案：D[类题通法]解决算法的交汇性问题的方法(1)读懂算法框图，明确交汇知识；(2)根据给出问题与算法框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断．[演练冲关]1．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()A．a n＝2n B．a n＝2(n－1)C．a n＝2n D．a n＝2n－1解析：由程序框图可知：a1＝2×1＝2，a2＝2×2＝4，a3＝2×4＝8，a4＝2×8＝16，归纳可得：a n＝2n，故选C. 答案：C2．已知函数f (x )＝x 2－ax 的图象在点A (1，f (1))处的切线与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k 值是________．解析：因为f (x )＝x 2－ax ，所以f ′(x )＝2x －a ，根据导数的几何意义，y ＝f (x )的图象在点A (1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝2－a ，因为函数f (x )＝x 2－ax 的图象在点A (1，f (1))处的切线与直线x ＋3y ＋2＝0垂直，所以(2－a )×(－13)＝－1，所以a ＝－1，所以f (x )＝x 2＋x ，所以1f (x )＝1x 2＋x ＝1x －1x ＋1，从而可知程序框图的功能是求S ＝12＋16＋112＋…＋1k 2＋k ＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1k －1k ＋1)＝1－1k ＋1＝k k ＋1＞1415时k 的最小值，故k＝ 15. 答案：15。

2018年高考数学课标通用(理科)一轮复习真题演练第十二章推理与证明、算法、复数12-2 Word版含解析

真题演练集训．[·新课标全国卷Ⅱ]有三张卡片，分别写有和和和.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是”，则甲的卡片上的数字是．答案：和解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“和”，结合乙所言可知乙持有“和”，从而甲持有“和”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“和”，结合乙所言可知乙持有“和”，从而甲持有“和”，不符合甲所言情况．故甲持有“和”．．[·天津卷]已知和均为给定的大于的自然数．设集合＝{，…，－}，集合＝{＝＋＋…＋－，∈，＝，…，}．()当＝，＝时，用列举法表示集合；()设，∈，＝＋＋…＋－，＝＋＋…＋－，其中，∈，＝，…，.证明：若<，则<.()解：当＝，＝时，＝{}，＝{＝＋·＋·，可得，＝{}．()证明：由，∈，＝＋＋…＋－，＝＋＋…＋－，，∈，＝，…，及<，可得－＝(－)＋(－)＋…＋(－－－)－＋(－)－≤(－)＋(－)＋…＋(－)－－－＝－－＝－<，所以<.课外拓展阅读反证法应用举例反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题，考查方向主要有以下几个方面：一证明否定性命题[典例] 已知数列{}的前项和为，且满足＋＝.()求数列{}的通项公式；()求证：数列{}中不存在三项按原来顺序成等差数列．()[解]当＝时，＋＝＝，则＝.又＋＝，所以＋＋＋＝，两式相减得＋＝，所以{}是首项为，公比为的等比数列，所以＝. ()[证明]假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为＋，＋，＋(<<，且，，∈*)，则·＝＋，所以·－＝－＋.(*)又因为<<，所以－，－∈*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．[解题模板]用反证法证明问题的一般步骤二证明存在性问题[典例]若()的定义域为[，]，值域为[，](<)，则称函数()是[，]上的“四维光军”函数．。

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专题检测（六）复数、算法、推理与证明
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A ．i(1＋i)2
B ．i 2(1－i)
C ．(1＋i)2
D ．i(1＋i)
解析：选C A 项，i(1＋i)2＝i ·2i ＝－2，不是纯虚数；B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数；
C 项，(1＋i)2＝2i,2i 是纯虚数；
D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．
2．(2017·石家庄质检)在复平面内，复数
1(1＋i )2＋1＋i 4对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D 因为1(1＋i )2＋1＋i 4＝11＋2i ＋1＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＋1＝65－25
i ，所以其在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫65
，－25，位于第四象限． 3．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12
ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12
lr ； (2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则
(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A ．类比推理、归纳推理
B ．类比推理、演绎推理
C ．归纳推理、类比推理
D ．归纳推理、演绎推理
解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理．
4．(2017·成都一诊)执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x 为( )
A.19
B ．－1或1
C ．1
D ．－1
解析：选B 当x ≤0时，由－x 2＋1＝0，得x ＝－1；当x>0时，第一次对y 赋值为3x ＋2，第二次对y 赋值为－x 2＋1，最后y ＝－x 2＋1，于是由－x 2＋1＝0，得x ＝1，综上知输入的x 值为－1或1.
5．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.
6．(2017·石家庄一模)若z 是复数，z ＝
1－2i 1＋i
，则z ·z ＝( ) A.102 B.52 C ．1 D.52 解析：选D 因为z ＝1－2i 1＋i ＝(1－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－12－32i ，所以z ＝－12＋32i ，。

2018年高考理科数学通用版复习专题检测：(六) 复数、算法、推理与证明 含解析

2018年高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书第十二章 推理与证明、算法、复数 12.5 复数 Word版