第7章 微分方程

(1 x ) 2 u ( x) 2(1 x)u ( x ) 2(1 x )u ( x) = (1 x ) 3 ，
u ( x) 1 x ，
(1 x )dx = x2 xC 2
( C 为任意常数)即为所求。
积分得 ： u ( x)
★★ 7
曲线上点 P ( x, y ) 处的法线与 x 轴的交点为 Q ，且线段 PQ 被 y 轴平分，试写出该曲线满足的微
§12.1 微分方程的基本概念 内容概要
名称 微分方程 定义 表示未知函数，未知函数的导数或微分与自变量的关系的方程。未知函数是一元函数 的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。
n
阶微分方程形如
F ( x, y , y , , y ( n ) ) 0 ，其中 x, y, y , , y ( n1) 可以不出现， y ( n ) 必须出现。
f ( x ) 使它满足 f (tx)dt f ( x ) x sin x 。
0
思路：利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条
件。
解：令 u tx ，则 du xdt ，且有 t 0, u 0 ， t 1, u x ，
，
解： 分离变量得
解 法： 令 u
y ux ， 则
dy du ux dx dx
， 代入 原方 程得
ux
du (u ) dx
，
分离变量得
du dx (u) u x y x
，
两端积分
(u) u
du
dx ， x
求出积分后 再用
代替 u 便得所给齐次方程的
通解。 可化 为齐 次的 微分 方程 形 如
dy 6 y 7 x dx x y
， 出现的未知函数 y 的最高阶导数的阶数为 1，∴方程的阶数为 1。
2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
知识点：微分方程的解的定义 。 思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。
★（1）
xy 2 y ， y 5 x 2 ；
x0
2 ，代入通解得 2 2
所以所求特解为 y
★ 5.

1 x2。 2
y (C1 C 2 x)e x （ C1 , C 2 为任意常数）是方程 y 2 y y 0 的通解，求满足初始条件
y x 0 4, y x 0 2 的特解。
微分方程的解 代入微分方程使微分方程成为恒等式的函数。确切的说，设函数 y 上有 n 阶连续导数，如果在区间 I 上， F ( x, ( x), ( x), 函数 y 通解
( x) 在区间 I
, ( n ) ( x)) 0 ，则称
( x) 是微分方程 F ( x, y , y , , y ( n ) ) 0 的解。
n 阶微分方程的含有 n 个相互独立的任意常数的解。
特解 初始条件 所有解 积分曲线
不含任意常数的方程的解为特解。 确定微分方程通解中任意常数的条件。 通解以及不能包含在通解中的解。 微分方程解的图形。
课后习题全解
1． 指出下列微分方程的阶数：
知识点：微分方程阶的定义
★（1）
x( y ) 2 4 yy 3 xy 0 ；
f ( x) 2 sin x x cos x ，
f ( x) (2 sin x x cos x)dx cos x x sin x C
§12.2 可分离变量的微分方程 内容概要
即为所求函数。
两边积分得
名称
标准形式 形如
解法或通解公式
可分 离变
dy f ( x) g ( y ) dx
0 右边
，
所以 y C1e1 x C2e2 x 是所给微分方程的解。
★★
3. 验证由方程 y
ln xy 所确定的函数为微分方程 ( xy x ) y xy 2 yy 2 y 0
1 1 y y ，即 y 。 x y xy x
即得原方程通
a1 x b1 y ，则
du dy a1 b1 ，原 dx dx
方程化为可分离变量方程，求得通解再回代即可。
课后习题全解
2． 指出下列微分方程的通解：
知识点：可分离变量微分方程的解法。
★
（1）
xy y ln y 0 ；
1 dy 1 dx ， y ln y x 1 1 y ln y dy x dx ，
解法：联立
a1x b1 y c1 dy f a x b y c dx 2 2 2
a1 x b1 y c1 0 a 2 x b2 y c 2 0
，
1.方程组有解， 求得交点 ( x0 , y0 ) ，作平移变换
X x x0 ， 即 Y y y 0
2C1 4C 2 x 2(C1 x C 2 x 2 ) 2 2y 左边= y y 2 2C 2 0 右边 x x x x2
所以 y
★（4）
C1 x C 2 x 2 是所给微分方程的解。
；
y (1 2 ) y 12 y 0 y C1e 1 x C 2 e 2 x
注意到由 y

1 1 y x y
，可得
x y xy 1 ， y
所以
y
1 1 [( xy 1) y yy y ] ( xy 2 yy 2 y ) ， xy x xy x
，
从而
( xy x ) y xy 2 yy 2 y 0
解法:设 g ( y )
0 ，整理为
1 dy f ( x )dx g ( y)
，两边积分得
方程通解为 量型 若 g ( y0 ) 齐次 微分 方程

1 dy f ( x)dx g ( y)
（通常为隐函数形式） ；
0 得 y y 0 也为原方程的解。 y x
， 即
dy y 形如 dx x
的解；
解： 将 y ln xy 的两边对 x 求导得： y
再次求导得：
y
y ( xy x) y ( y xy 1) xy y 2 y 1 x ( y 2 yy y ) 。 2 2 xy x y ( xy x) ( xy x)
★（3）
xy 5 y 2 xy 0 ；
解： 出现的未知函数 y 的最高阶导数的阶数为 3，∴方程的阶数为 3。
★（4）
(7 x 6 y )dx ( x y )dy 0 。
思路：先化成形如 F ( x, y , y , , y ( n ) ) 0 的形式，可根据题意选 x 或 y 作为因变量。 解：化简得
2
解：将 y 10 x ， y 5 x 代入原方程得
左边 所以 y
x 10 x 2 5 x 2 2 y 右边， 5 x 2 是所给微分方程的解。
★（2）
y 2 y 0, y C1 cos x C 2 sin x ；
解： y C1 sin x C 2 cos x ，
原方程化简为 即

x
0
1 f (u ) du f ( x) x sin x ， x

x
0
f (u )du xf ( x) x 2 sin x ，
两边关于 x 求导得 化简得
f ( x) f ( x ) xf ( x ) 2 x sin x x 2 cos x ，
y (1 x ) 2 u ( x) 是方程 y
解： 由题意得
2 y (1 x) 3 的通解，求 u ( x) 。 1 x y y (1 x) 2 u ( x ) 2(1 x )u ( x) ，即 (1 x)u ( x ) ， 1 x
代入所给微分方程得 即
解：将 y x 0 4 ，代入通解得 C1 4 ， 所以 y C 2 e x ( 4 C 2 x )e x ，
将 y
x 0
2 ，代入上式得 2 C 2 4 ，所以 C 2 2 ，
所以所求特解为
★★6.设函数
y ( 4 2 x )e x 。
将 y
2 C1 cos x 2 C 2 sin x ， y C1 cos x C2 sin x ，
代入原方程得 ： 左边 所以 y
★
y 2 y 2C1 cos x 2C2 sin x 2 (C1 cos x C2 sin x) 右边，
即由 y
ln xy 所确定的函数是所给微分方程的解。
注：在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。
★
4. y
Cx
1 C
（ C 是任意常数）是方程 xy
yy 1 0 的通解，求满足初始条件 y x 0 2 的
特解。
解：将初始条件 y
C1 cos x C 2 sin x 是所给微分方程的解。
2 2y y 2 0, y C1 x C 2 x 2 ； x x
2
（3） y
解：将 y C1 x C2 x ， y C1 2C 2 x ， y 2C 2 ，
代入原方程得：
x X x0 dY dy ， 则 有 ，原方程就化为齐次方程 dX dx y Y y0