江苏省泰兴中学高中数学第2章推理与证明7数学归纳法(二)教学案(无答案)苏教版选修22
高中数学第2章推理与证明第7课时数学归纳法(2)导学案(无答案)苏教版选修2-2(2021学年)
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第7课时 数学归纳法(２)【教学目标】会用数学归纳法证明有关正整数n 的整除、不等式、数列等问题。
【自主学习】一般地,证明一个与自然数n 有关的命题P(n)，有如下步骤:（1）证明当ｎ取第一个值0n 时命题成立;（2）假设当n=ｋ( ）时命题成立,证明当 时命题也成立 ，综合（1)（2）,对一切自然数n （n≥0n ）,命题P(n ）都成立。
【合作探究】例1 设*N n ∈,1325)(1+⨯+=-n n n f ．(１）当4,3,2,1=n ，计算)(n f 的值;(２)你对)(n f 的值有何猜想?用数学归纳法证明你的猜想。
例2 在平面上画n 条直线,且任何两条直线都相交，其中任何3条直线不共点,问：这n 条直线将平面分成多少个部分?例3 数列{ａn}满足S n＝2n-a n（n∈N＊).(1）计算a１，ａ2，ａ3,a4,并由此猜想通项公式a n；(2）用数学归纳法证明（1)中的猜想．【回顾反思】１。
用数学归纳法证明不等式的关键是由ｎ=k时成立得n＝k+1时成立，主要方法有:①放缩法；②利用基本不等式；③作差比较法等。
2．解决数列问题“归纳—猜想-证明”题的关键环节：（1）准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础.(2)通过观察、分析、比较、联想,猜想出一般结论.(3)用数学归纳法证明之．【学以致用】1。
高中数学第二章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测教学案苏教版选修2_2
高中数学第二章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测教学案苏教版选修2_2对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“⇐”．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：＝＝·＝×＝.答案：1∶86．(陕西高考)观察分析下表中的数据：．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x＋y＝1.解析：要使x＋y＝1，只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y，即2y＝1－x2＋y2.只需使(－y)2＝0，即＝y，∴x2＋y2＝1.答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1；③则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，则当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N*，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r＞0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若＝m＋n (m，n∈R)，则是m2，n2的等差中项；现有一椭圆＋＝1(a＞b＞0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若＝m＋n (m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为________解析：如图，设P(x，y)，由＋＝1知A(a，b)，B(－a，b)，由＝m＋n可得代入＋＝1可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，所以＝，即m2，n2的等差中项为答案：1411．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×6＝.法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.答案：1412．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x ＋≥n＋1，则a的值为________．解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，x＋＝x＋≥4，…，可推广为x ＋≥n＋1，故a＝nn.答案：nn13．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中共有________个顶点．解析：设第n个图形中有an个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，an－2＝n＋n·n，an＝(n＋2)2＋n＋2＝n2＋5n＋6.答案：n2＋5n＋614．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n 个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.解析：N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以为首项，为公差的等差数列；数列{bk}是以为首项，－为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1.∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4，又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.∴＋＋≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝n(n∈N*)，若Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，bn＝6Tn－5nan，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求数列{bn}的通项公式．解：因为Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，①所以5Tn＝a1·5＋a2·52＋a3·53＋…＋an－1·5n－1＋an·5n，②由①＋②得：6Tn＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·52＋…＋(an－1＋an)·5n－1＋an·5n＝1＋×5＋2×52＋…＋n－1×5n－1＋an·5n＝n＋an·5n，所以6Tn－5nan＝n，所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.17．(本小题满分14分)观察①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝.证明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin 2α＝＋＋sin 2α＝＋＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α＝.18．(本小题满分16分)已知实数a、b、c满足0<a，b，c<2，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不可能同时大于1.证明：假设(2－a)b>1，(2－b)c>1，(2－c)a>1，则三式相乘：(2－a)b(2－b)c(2－c)a>1①而(2－a)a≤2＝1，同理，(2－b)b≤1，(2－c)c≤1，即(2－a)b(2－b)c(2－c)a≤1，显然与①矛盾，所以原结论成立．19．(本小题满分16分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由Sn＝2n－an，得，a1＝2－a1，即a1＝1.S2＝a1＋a2＝4－a2，解得a2＝.S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，解得a3＝.S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，解得a4＝.由此猜想an＝(n∈N*)．(2)①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，则ak＋1＝＝＝＝，这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n∈N*都成立，即an＝(n∈N*)．20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，(1)证明：an≥2n－1(n∈N*)．(2)试比较＋＋…＋与1的大小，并说明理由．解：(1)证明：∵f′(x)＝x2－1，∴an＋1≥(an＋1)2－1＝a＋2an.①当n＝1时，a1≥1＝21－1，命题成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即ak≥2k－1；那么当n＝k＋1时，ak＋1≥a＋2ak＝ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1≥2k＋1－1.即当n＝k＋1时，命题成立，综上所述，命题成立．(2)∵an≥2n－1，∴1＋an≥2n，∴≤.∴＋＋…＋≤＋＋…＋＝1－<1.11 / 11。
苏教版高二数学选修2-2 推理与证明.数学归纳法 学案
高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导一、数学归纳法的概念与注意事项1.数学归纳法的概念(1)归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法.(2)数学归纳法：在证明某些与自然数有关的命题时，如果先证明当n 取第一个值n 0(例如n 0=1或n 0=2)时命题成立，然后假设当n=k(k ∈N *,k≥n 0)时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立.因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n 取第一个值n 0后面的所有正整数也都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.2.用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时结论成立;(2)假设当n=k(k ∈N *,k≥n 0)时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n 0开始的所有自然数n 都成立.3.数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题又称“归纳递推”.数学归纳法用框图表示如下:4.运用数学归纳法证明有关命题注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可.(2)在第一步中，n 的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n=n 0，n 0＋1等)，证明应视具体情况而定.(3)第二步中证明n=k+1时，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效.(4)证明n=k+1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n=k+1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性.(5)用数学归纳法可证明有关正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析.数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集A ，若(1)1∈A;(2)由k ∈A 可推出k+1∈A,则A 含有所有的正整数.二、运用数学归纳法时易犯的错误1.在证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n ，因此，n 不一定是1. 如证明凸n 边形的对角线的条数为f(n)=21n(n-3)，第一步要验证n=3.因为边数最少的凸n 边形是三角形.又如证明对于足够大的正整数n ，总有不等式2n ＞n 3.虽然n=1时，21＞13不等式成立，但是n=2,3,…8,9时，不等式均不成立，所以第一步要验证n=10时不等式成立.此外，即使第一步是验证n=1，但n=1时，所验证的式子不一定是一项.如证明1+2+3+…+n+(n+1)+(n+2)=2)3)(2(++n n ，n=1时，等式左边有三项，即1+2+3. 2.第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n=k+1时，一定要运用它，否则就不是数学归纳法.如在证明等式1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·32n +31时， 第二步假设n=k 时等式成立，即1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1=(-1)k-1·3132+k ， 则当n=k+1时，有1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k ·2k =31)2(1)2(11=----+k +(-1)k ·321+k 成立， 这种证明根本就没有用到归纳假设，而是利用等比数列求和公式直接算出来，因此是套用数学归纳法步骤的一种伪证，这是利用数学归纳法证题之大忌.又如有人用数学归纳法证明不等式12+<+n n n (n ∈N *)时，第二步如下： 假设n=k 时，不等式成立，即12+<+k k k ，则当n=k+1时，4423)1()1(222++<++=+++k k k k k k =(k+1)+1，所以n=k+1时不等式成立.由(1)、(2)知，不等式12+<+n n n (n ∈N +)成立. 以上证明过程是错误的.错在n=k+1时，直接用放缩法而没有使用归纳假设.3.注意由n=k 到n=k+1的证明过程中，待证式中的项数的变化.如在证明不等式11312111>++++++n n n (n ∈N *)时，第二步假设n=k 时，不等式成立，即 11312111>++++++k k k ， 则当n=k+1时，有123112311312111>++>++++++++k k k k k 成立，从而得证. 在这里，错以为由n=k 到n=k+1时，只增加一项.事实上，本题由n=k 到n=k+1时增加的项是431331231+=+++k k k ，而减少的项是11+k .象这种每一项都与n 有关的“和、差、积、商”式，由n=k 到n=k+1时一定要仔细计算其增加和减少的项数.4.注意不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，要明确在递推步骤中，两步相差的是否为1.例如有人证明当n 为正奇数时，7n +1能被8整除时是这样证的：(1)当n=1时，7+1=8能被8整除.命题成立.(2)假设n=k 时命题成立.即7k +1能被8整除.则当n=k+1时，7k+1+1=7(7k +1)-6不能被8整除.由(1)、(2)知n 为正偶数时，7n +1就不能被8整除.上述证法机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n 是正奇数的条件.事实上，第二步证明应如下：假设n=k 时命题成立，即7k +1能被8整除，则当n=k+2时，7k+2+1=72(7k +1)+1-72=49(7k +1)-48.因7k +1能被8整除，且48能被8整除.所以7k+2+1能被8整除，所以当n=k+2时命题成立.由(1)、(2)知当n 为正奇数时，7k +1能被8整除.数学归纳法应用广泛，可证明恒等式、不等式、整除问题、几何问题等.证整除问题时，要注意“添”项、“减”项技巧，同时还应注意数或式的整除性知识.证几何问题时，关键在于寻找由n=k 到n=k+1时的递推公式，同时应用到一些几何图形的性质.如一些几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、空间的个数与交点、交线间的关系等.活学巧用1.比较2n 与n 2的大小(n ∈N +).解析：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时，2n ＞n 2下面用数学归纳法证明：(1)当n=5时，25＞52成立，(2)假设n=k(k ∈N *，k≥5)时2k ＞k 2，那么2k+1=2·2k =2k +2k ＞k 2+(1+1)k ＞k 2+110-++k k k k C C C =k 2+2k+1=(k+1)2. ∴当n=k+1时，2n ＞n 2.由(1)(2)可知，对n≥5的一切自然数2n ＞n 2都成立.综上，得当n=1或n≥5时，2n ＞n 2；当n=2，4时，2n =n 2；当n=3时,2n ＜n 2.2.用数学归纳法证明： )1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯n n n n . 证明:(1)当n=1时，左边=81421=⨯，右边=81，等式成立. (2)假设n=k 时， )1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯k k k k 成立. 当n=k+1时,)42)(22(1)22(21861641421++=+++⨯+⨯+⨯k k k k =)2)(1(4)1()2)(1(41)2()2)(1(41)1(42+++=++++++++k k k k k k k k k k k =]1)1[(41)2(41+++=++k k k k . ∴n=k+1时，等式成立.由(1)(2)可得对一切正整数n ∈N *,等式成立.3.已知a n =n131211++++ (n ∈N *),是否存在n 的整式q(n),使得等式a 1+a 2+…+a n-1=q(n)(a n -1)对于大于1的一切自然数n 都成立？证明你的结论.解析：假设存在q(n)，去探索q(n)等于多少.当n=2时，由a 1=q(2)(a 2-1),即1=q(2)(1211-+)， 解得q(2)=2.当n=3时，由a 1+a 2=q(3)(a 3-1)，即1+(211+)=q(3)(31211++-1)， 解得q(3)=3.当n=4时,由a 1+a 2+a 3=q(4)(a 4-1),即1+(211+)+(31211++)=q(4)(14131211-+++), 解得q(4)=4.由此猜想q(n)=n(n≥2,n∈N *).下面用数学归纳法证明：当n≥2,n∈N *时,等式a 1+a 2+…+a n-1=n(a n -1)成立.①当n=2时，由以上验证可知等式成立.②假设当n=k(k≥2,k∈N *)时等式成立，即a 1+a 2+…+a k-1=k(a k -1)，则当n=k+1时，a 1+a 2+…+a k-1+a k=k(a k-1)+a k =(k+1)a k -k=(k+1)a k -(k+1)+1 =(k+1)(111-++k a k )=(k+1)(a k+1-1). ∴当n=k+1时,等式亦成立.由①②知，对于大于1的自然数n ，存在整式q(n)=n,使得等式a 1+a 2+…+a n-1=q(n)(a n -1)总成立.4.已知数列{a n }的通项公式为a n =2)12(4-n ,数列{b n }的通项满足b n =(1-a 1)(1-a 2)…-a n ),用数学归纳法证明b n =nn 2112-+. 证明:(1)当n=1时，a 1=4,b 1=1-a 1=1-4=-3,b 1=21112-+⨯=-3成立. (2)假设当n=k 时等式成立，即b k =kk 2112-+, 那么b k +1=(1-a 1)(1-a 2)…-a k )(1-a k+1)=b k (1-a k+1) =)1(211)1(2])12(41[21122+-++=+--+k k k k k . 这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可以断定，对任何正整数n ，b n =n n 2112-+都成立. 5.试判断下面的证明过程是否正确：用数学归纳法证明：1+4+7+…3n-2)=n 21(3n-1) 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1∴当n=1时命题成立.(2)假设当n=k 时命题成立，即1+4+7+…(3k-2)=k 21(3k-1) 则当n=k+1时，需证 1+4+7+…3k-2)+［3(k+1)-2］=k 21(k+1)(3k+2)(*) 由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为k+1的等差数列的前n 项和，其和为21(k+1)(1+3k+1)=21(k+1)(3k+2) ∴(*)式成立，即n=k+1时，命题成立，根据(1)(2)可知，对一切n ∈N *，命题成立.解析：以上用数学归纳法证明的过程是错误的.在证明当n=k+1时等式成立时，没有用到当n=k 时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求.第二步正确的证明方法是：假设当n=k 时命题成立，即1+4+7+…3k-2)=k 21(3k-1)，则当 n=k+1时，1+4+7+…(3k-2)+［3(k+1)-2］=k 21 (3k-1)(3k+1)=21(3k 2+5k+2) =21(k+1)(3k+2)=21(k+1)［3(k+1)-1］ 即当n=k+1时，命题成立.6.证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n-1)，其中n∈N*.证明：(1)当n=1时，左边=1+1=2，右边=21·1=2，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3…(2k-1).则当n=k+1时，(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)=2k·1·3…(2k-1)·2(2k+1)=2k+1·1·3…(2k-1)(2k+1)即当n=k+1时，等式也成立.由(1)、(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.。
江苏省泰兴中学高中数学 第2章 推理与证明 2 类比推理教学案(无答案)苏教版选修2-2
类比推理【学习目标】1.认识类比推理这一合情推理的方法，并把它用于对问题的发现中去，明确类比推理的一般步骤，并会应用于解决实际问题中.2.学会寻找事件之间的共同性质进行类比，类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠 【预习导引】1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：2S ⨯=底高，可以推出扇形的面积公式S 扇＝___________________.2．“平面内不共线的三点确定一个圆”，类比可得立体几何的命题是___________________. 3．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两角相等或互补”，立体几何中，类比上述命题可以得到命题“____________________________________”，这个命题的真假性是___________________. 【典例剖析】例1.试根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a b a c b c =⇒+=+； (2) a b ac bc =⇒=； (3) 22a b a b =⇒=等等， 这样猜出的结论是否一定成立？例2.试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质等差数列的性质： 猜想等比数列的性质： (1) m n s t m n s t a a a a +=+⇒+=+； (2) ()m n a a m n d -=-；(3) 1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- (4)n n n n n S S S S S 232,,--构成等差数列.例3.平面上的三角形和空间四面体有着很多相类似的性质，例如在三角形中： ⑴三角形两边之和大于第三边; ⑵12S ∆=底⨯高; ⑶三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半;⑷,,a b c h h h 是三角形ABC 三边上的高，P 为三角形内一点，P 到相应三边的距离分别为,,a b c p p p ，则有1a b ca b cp p p h h h ++=; ⑸三角形内切圆的半径为2S r ∆=周长; 请将上述性质在空间四面体中进行类比.例4.如图，F 是定直线l 外的一个定点，C 是l 上的动点，有下列结论：若以C 为圆心，CF 为半径的圆与l 交于A .B 两点，过A .B 分别作l 的垂线与圆C 过F 的切线交于点P 和点Q ，则P .Q 必在以F 为焦点，l 为准线的同一条抛物线上. （1）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；（2）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：“若过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于P .Q 两点，则以PQ 为直径的圆一定与抛物线的准线l 相切.”请问：此命题是否正确？试证明你的判断；（3）请选择椭圆或双曲线之一类比（2）写出相应的命题并证明其真假.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（45） 班级: 姓名: 学号：1.平面上任意三角形都有内切圆，在空间可类比为2.在等差数列中，已知100a =，则121219n n a a a a a a -+++=+++K K ，类比推理得：在等比数列中，若91b =，则有________________ __________________3.“正方形的外接圆直径是正方形的对角线”，由此类推到正方体中的类似 结论是____________________________ _______________4.试通过圆与球队类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ”，猜测关于球的相应命题 . 5.通过圆点特征，类比球的相关特征：6.（1）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体的猜想；（2）在直角三角形ABC 中，若90C ∠=o，则22cos cos 1A B +=，试给出空间中四面体的猜想PaBCbAcCBA7.我们已经学习过了等差数列,你是否想过＂等和数列＂呢? （1）类比“等差数列”，完成“等和数列”的定义：从第二项开始，每一项与前一项的 都等于一个常数，这样的数列叫做“等和数列”． （2）探索“等和数列”}{n a 的奇数项与偶数项各有什么特点，并加以证明； （3）在“等和数列”}{n a 中，如果b a a a ==21,，那么它的前n 项的和n S 是多少.8.给出下列关于椭圆的真命题，试类比推理给出双曲线中类似的命题；并画出命题中的图.（1）椭圆中以焦半径为直径的圆与长轴为直径的圆相切（此圆与椭圆内切）（2）椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数epeCD AB 22||1||12-=+（3）设椭圆焦点弦AB的中垂线交长轴于点D，则∣DF∣与∣AB∣之比为离心率的一半（F 为焦点）。
(教师用书)高中数学 第二章 推理与证明教案 苏教版选修2-2
第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理第1课时归纳推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步骤，能利用归纳推理进行简单的推理应用．2．过程与方法通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义．让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论，培养学生归纳推理的思维方式．3．情感、态度与价值观正确认识合情推理在数学中的重要作用，并体会归纳推理在日常活动和科学发现中的作用．学生通过主动探究、合作学习，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，养成认真观察事物、发现探索新知识的良好思维品质．●重点难点重点：归纳推理的含义与特点，能进行简单的归纳推理．难点：运用归纳推理得到一般性的结论，做出猜想．归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，突出体现数学的人文价值和实际应用价值，因此，在高中数学的模块中，归纳推理就显得格外的举足轻重了．为了突破难点，引导学生合作交流，发现特殊实例的共性，抓住本质特征，作出合理猜想．(教师用书独具)●教学建议关于归纳推理的教学，建议以学生熟悉的实例为载体，创设问题情境．例如“猜职业”、“哥德巴赫猜想”等引导学生进行观察、分析、归纳推理，并借助例题具体说明在数学发现的过程中归纳猜想的作用、采取合作交流，培养学生合作学习的意识与数学思维能力．在课堂上渗透数学文化教育，让学生通过数学文化的学习，了解数学发展中起重大作用的历史事件和人物，激发学习数学的兴趣．●教学流程创设问题情境，引导学生得出归纳推理的意义和特点.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握数、式中归纳推理的一般规律.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握图形中归纳推理的特点与思路.⇒学习例3及其变式训练，求解简单实际问题的归纳推理并体会应用的广泛性.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.1．(1)若a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝2，…你能猜想出数列{a n}的通项公式吗？(2)直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】(1)a n＝n(n∈N*)；(2)三角形的内角和都是180°.2．在解决上述问题时，经历了怎样的思维过程？【提示】列出部分→归纳现象→得出结论．1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．2．归纳推理(1)归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3．归纳推理的特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．n1n＋1n(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列通项公式a n，并证明结论的正确性．【思路探究】由a1＝1求a2的值，进而求a3，a4→分析a1，a2，a3，a4的特征→猜想a n→数学证明【自主解答】(1)由a1＝1，且a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)，令n＝1，得a2＝3，令n＝2，n＝3，进而得a3＝7，a4＝15，(2)由a1＝21－1，a2＝22－1，a3＝23－1，a4＝24－1.可归纳猜想，得a n＝2n－1(n∈N*)．证明如下：由a n＋1＝2a n＋1，得a n＋1＋1＝2(a n＋1)．∴{a n＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴a n＋1＝2·2n－1＝2n，因此a n＝2n－1.1．在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式；要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数(序号n)之间的关系，这是解题的关键．2．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些共同的特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．已知：1＞12；1＋12＋13＞1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32；1＋12＋13＋…＋115＞2；…根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论． 【解】 1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…猜想不等式的左边共有2n －1项，最后一项的分母为2n－1，右边为n 2，由此可得一般性结论．1＋12＋13＋…＋12n －1＞ n 2(n∈N *)．理得出它们之间的关系．图2－1－1【思路探究】 先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论．【自主解答】 正方体：F ＝6 V ＝8 E ＝12； 三棱柱：F ＝5 V ＝6 E ＝9； 五棱柱：F ＝7 V ＝10 E ＝15； 四棱锥：F ＝5 V ＝5 E ＝8； 两个同底面的四棱锥组成的组合体：F ＝8 V ＝6 E ＝12；通过以上观察发现F ，V ，E 满足F ＋V －E ＝2.所以归纳得：在凸多面体中，面数F 、顶点数V 和棱数E 满足以下关系：F ＋V －E ＝2.1．在几何中随点、线、面等元素的增加，探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、区域部分图形等的增加情况常用归纳推理解决，通过比较，寻找规律是解决该类问题的关键．2．应用归纳推理，注意两点：(1)从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．有两种花色的正六边形地面砖，按如图2－1－2所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有条纹的正六边形的个数是多少？图2－1－2【解】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有条纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)．故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.边形．如图2－1－3所示，为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．图2－1－3试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式．(不要求证明)【思路探究】 根据前三个图形，找出正六边形增加的规律．【自主解答】 由图形可知：每个图形最外面有6×(n－1)个正六边形：f(4)＝f(3)＋18＝19＋18＝37，f(5)＝f(4)＋24＝37＋24＝61， 因为f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， … …所以当n≥2时，有f(n)－f(n －1)＝6(n －1)． 以上各式相加，当n≥2时，f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]， ∴f(n)＝f(1)＋6×（n －1）n 2＝3n 2－3n ＋1.1．在本例中，应注意两点：(1)图形的特点，每个图形从宏观上看均为一大正六边形，每一边上均有n 个小正六边形，(2)式的变化，通过式子，寻求f(n)与f(n －1)的关系，转化成数列问题．2．利用归纳推理，可以使我们对许多实际问题总结出一般性的结论，掌握事物的本质规律．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？ 我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，… 这就是斐波那契数列．此数列中，a 1＝a 2＝1，当n≥3时，请归纳出a n 与a n －1间的递推关系式．【解】 因为2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，8＝3＋5，…逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)．归纳不完整致误对任意的正整数n，猜想2n与n2的大小关系．【错解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32.归纳猜想：当n＝1时，2n＞n2；当n≥2时，2n≤n2.【错因分析】对于2n与n2，n仅取1，2，3来判断它们的大小关系，这不具有代表性，忽略了对n＞3时情形的归纳．【防范措施】进行归纳推理时，防止归纳的局限性，可多考查一些特殊情形，从中寻找规律，发现一般性的结论．【正解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52；当n＝6时，26＞62.归纳猜想：当n＝1或n≥5时，2n＞n2；当n＝2或4时，2n＝n2；当n＝3时，2n＜n2.1．归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理方法，应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，为学习研究提供方向．2．我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．1．由数列1，10，100，1 000，…，猜测该数列的第n项可能是________．【解析】该数列可整理为100，101，102，103….【答案】10n－12．如图2－1－4所示的是由火柴杆拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．图2－1－4【解析】设a n表示第n个图形中的火柴杆数，易知a1＝4，a2＝4＋3＝7，a3＝7＋3＝10，a4＝10＋3＝13….∴a n＝3n＋1.【答案】13 3n＋13．(2013·陕西高考)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n个等式可为________【解析】12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2. 【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）24．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1，2，3，…)，试用归纳法归纳出这个数列的通项公式．【解】 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；a 3＝a 21＋a 2＝13；a 4＝a 31＋a 3＝14.归纳可得，数列{a n }的前四项都等于相应序号的倒数，由此可以猜测，这个数列的通项公式为a n ＝1n(n ＝1，2，3，…)．一、填空题图2－1－51．如图2－1－5所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．【解析】 通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1.得第36颗珠子一定为白色的．【答案】 白2．(2013·无锡高二检测)如图2－1－6所示，第n 个图形中，小正六边形的个数为________．图2－1－6【解析】 a 1＝7，a 2＝7＋5＝12，a 3＝12＋5＝17，∴a n＝7＋5(n－1)＝5n＋2.【答案】5n＋23．正整数按下表的规律排列，则上起第2 005行，左起第2 006列的数应为________．【解析】第2 006行的第一个数为2 0062，第2 005行的第2 006列的数是以2 0062为首项，－1为公差的等差数列的第2 007项，∴该数为2 0062＋(－1)×2 006＝2 005×2 006.【答案】 2 005×2 0064．(2012·江西高考改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________．【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】1235．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于________．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111【解析】等号右边应为n＋1个“1”．【答案】 1 111 1116．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形图2－1－7那么下列图形中，图2－1－8可以表示A*D ，A*C 的分别是________． 【解析】 由已知图形，抓共性不难总结出： A “|”，B “□”(大)，C “—”，D “□”(小)． 故A*D 为(2)，A*C 为(4)． 【答案】 (2)，(4)7．经计算发现下列不等式：2＋18＜210， 4.5＋15.5＜210，3＋2＋17－2＜210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________．【解析】 ∵2＋182＝10，4.5＋15.52＝10，3＋2＋17－22＝10， ∴不难得出，若a ＋b ＝20，a ＋b ＜210. 【答案】 若a ＋b ＝20，则a ＋b ＜2108．(2013·镇江高二检测)设函数f(x)＝x x ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝xx ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．【解析】 函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.分母中常数项依次为2，4，8，16，…，其通项为2n. 又函数中，分子都是x .∴当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2n－1）x ＋2n.【答案】x（2n－1）x ＋2n二、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中的不等式，为什么？【解】 不等式左边和式个数分别为3，4，5，…时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，…，其分子依次为32，42，52，…，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，…. 故当不等式左边和式个数为n 个时，归纳猜想右边应为n 2（n －2）π(n≥3，n ∈N *)，故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2（n －2）π(n ≥3，n ∈N *)．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n∈N *)．11．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 求m －n ＋p 的值．【解】 观察等式可知，cos α的最高次项的系数：2，8，32，128构成了公式比为4的等式数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350.(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m(12)10－1 280×(12)8＋1 120×(12)6＋n ×(12)4＋p×(12)2－1，即n ＋4p ＝－200.(2) 联立(1)(2)， 得n ＝－400，p ＝50.故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962.(教师用书独具)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图1 图2他们研究过图1中所示的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中所示的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．则289，1 024，1 225，1 378中既是三角形数又是正方形数的是________．【自主解答】 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.同理可得正方形数构成的数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2. 将289，1 024，1 225，1 378分别代入上述两个通项公 式，可得使n 都为正整数的只有1 225. 【答案】 1 225设n≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________．【解析】 由T 2＝0，T 4＝0，…猜想T n ＝0(n 为偶数)．T 3＝123－133，T 5＝125－135，…猜想T n ＝12n －13n (n 为奇数)，因此可得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数【答案】 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数第2课时 类比推理(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去．2．过程与方法正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识．3．情感、态度与价值观认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识．●重点难点重点：了解合情推理的含义，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理． 难点：类比时寻求合适的类比对象；培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力．(教师用书独具)●教学建议本节教材内容要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理——类比推理进行了概括和总结，让学生在学习过程中体会类比推理在数学结论的发现、证明与数学体系构建中的作用．(1)创设恰当的教学问题情境，如鲁班锯的发现、物理学家惠更斯提出了光波这一科学概念，从而提炼出类比推理的一般过程，概括出类比推理的含义．(2)分组交流，合作学习，讲练结合，将班上同学分成六个小组，分组讨论．从具体问题出发——观察、分析比较、联想——归纳，类比——提出猜想，让学生充分感受和体验类比推理的过程．●教学流程创设问题情境，引导学生提炼类比推理的一般过程和含义.⇒借助例1及其变式训练，使学生掌握数列中定义、性质公式的类比.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面图形和空间图形的类比规律.⇒通过例3及其变式训练，理解合情推理的应用广泛性并体会其作用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识与思想方法.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行学后反馈、矫正.已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质． 【提示】 (1)四面体任意三个面的面积大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.2．上述两个推理是从特殊到一般的推理吗？【提示】 不是．是从三角形的特征推出四面体的特征，两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较猜测新的结论 2．类比推理的特征(1)类比推理是两类事物之间的特殊到特殊的推理； (2)类比推理的结果是猜测性的，不一定可靠．类比推理与归纳推理有何本质的不同？【提示】 类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．1．合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用．n n 4841281612 类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．【思路探究】 等差数列的性质结论多与和、差有关，等比数列的性质结论多与积、商有关，注意到类比结论中出现T 16T 12这一形式与S 16－S 12对应，易得答案．【自主解答】 等比数列类比等差数列，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】 T 8T 4 T 12T 81．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系．2．类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b(m≠n，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ，n ∈N *且m ≠n )．类比上述结论，求b m ＋n ，并说明理由．【解】 类比得b m ＋n ＝n －m b na m.理由如下：设等比数列{b n }的公比为q ， 则b m ＋n ＝b m q n.又b m b n ＝b 1q m －1b 1q n －1＝q m －n ＝a b . ∴q ＝(ab)1m －n .因此b m ＋n ＝b m q n＝a (a b )n m －n ＝(b na m )1n －m ＝n －mb na m.BC 2＋AC2＝AB 2.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出的正确结论是________．【思路探究】 三角形是由直线段围成的封闭图形，三棱锥(四面体)是由三角形围成的封闭图形，因此三角形的边长之间的关系类比到空间为三棱锥的面的面积之间的关系．【自主解答】 考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个侧面两两垂直的三棱锥，作为直角三角形的类比对象．1231．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中．2．类比与归纳推理虽然不一定正确，但都是经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出合理猜想的推理，为研究学习提供了一盏明灯．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程为xx 0＋yy 0＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.【答案】 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明． (3)在第(2)问中，若a 1＝2，公和为5，求a 18和S 21.【思路探究】 先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再根据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n 项的和．【自主解答】 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，所以a n ＋2＝a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)由“等和数列”的定义，知 a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 19＝a 21＝2. a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 18＝a 20＝3. 因此a 18＝3.S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21 ＝5×10＋2＝52.1．本题通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，考查学生的类比应用能力．2．从类比出新数列的定义出发，由特殊到一般，归纳出数列规律，类比是一个伟大的引路人，在探求知识的过程中，我们要充分运用类比的方法，由已知探究未知．设f(x)＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．【解析】 等差数列运用“倒序相加”求和．令t ＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)① 则t ＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．② ∵f(x)＝12x ＋2，∴f(1－x)＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x＝2x2（2x＋2），因此f(x)＋f(1－x)＝12x ＋2＋2x2（2x＋2）＝12＝22， 故①＋②，得2t ＝12×22＝62， ∴t ＝3 2. 【答案】 3 2误将类比所得结论作为推理依据致误已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＜0，a 2x 2＋b 2x＋c 2＜0的解集分别为M ，N ，则“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的________条件．【错解】 在方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0中，若“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”，则两个方程同解．由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2知两个不等式同解，故“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的充要条件．【答案】 充要【错因分析】 错解将方程的同解原理类比到不等式中，忽略了不等式与等式的本质区别．【防范措施】 类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误，因此要理解好类比对象的本质，忌盲目类比．【正解】 当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝b 2＝c 2＝－1，则M ＝∅，N ＝R ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2D /⇒M ＝N ；当M ＝N ＝∅时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，则a 1a 2≠b 1b 2≠c 1c 2， 即M ＝ND /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.综上知“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的既不充分也不必要条件． 【答案】 既不充分也不必要1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．3．要熟练掌握一些常见的类比推理，如等式与不等式、椭圆与双曲线的类比，特别是等差数列与等比数列的类比和平面几何与立体几何(包括三角形与四面体、矩形与长方体、圆与球)的类比，需掌握它们的类比特点与一些常用结论．1．若数列{a n }是等差数列，则通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 的数列{b n }(n∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)，则有通项为d n ＝________的数列{d n }(n ∈N *)也是等比数列．【解析】 “和”变“积”，“商”变“开方”． 【答案】nc 1·c 1·…c n2．下面使用类比推理恰当的序号是________．①“若a·3＝b·3，则a ＝b”类推出“a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ”； ②“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”类推出“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ③“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ④“(ab )n＝a n b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n”． 【解析】 ①②④均错． 【答案】 ③3．在平面直角坐标系O —xy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O —xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．【解析】 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O —xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．【答案】 过原点的平面4．类比圆的下列特征，找出球的相关特征． (1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长和面积可求．【解】 (1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球面； (2)空间中不共面的4个点确定一个球； (3)球的表面积与体积可求．一、填空题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”． 【答案】 中心2．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】 乘积类比和，幂类比积． ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9. 【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×93．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．【答案】 1∶84．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．【解析】 平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．【答案】 在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面 5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： (1)“mn＝nm”类比得“a ·b ＝b ·a ”；(2)“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”，类比得“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； (3)“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得“|a ·b |＝|a |·|b |”； (4)“ac bc ＝a b ”类比得“a ·cb ·c ＝ab”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________． 【解析】 (1)(2)均正确，(3)(4)不正确． 【答案】 (1)(2)6．(2013·南通高二检测)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．【解析】 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h.类比，用等体积法，V ＝13Sh ＝4×13r ·S ⇒r ＝14h.【答案】 正四面体的内切球的半径是高的147．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图2－1－9所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________．图2－1－9【解析】 ，，∴a ＝21，b ＝9，则a ＋b ＝30. 【答案】 30图2－1－108．如图2－1－10所示，对于函数y ＝x 2(x ＞0)图象上任意两点A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，线段AB 必在曲线段AB 的上方，点C 分向量AB →的比为λ(λ＞0)，过C 作x 轴的垂线，交曲线段AB 于C′，则由图象中点C 在点C′的上方可得不等式a 2＋λb 21＋λ＞(a ＋λb 1＋λ)2.请分析函数y ＝ln x(x ＞0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是________．【解析】 y ＝x 2的图象在x ＞0时，图象下凹，且A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，所以点C 的纵坐标是a 2＋λb 21＋λ，点C 与点C′的横坐标都是a ＋λb 1＋λ，而点C′在曲线y ＝x 2上，点C 在点C′上方，所以y C ＝a 2＋λb 21＋λ＞y C ′＝(a ＋λb 1＋λ)2.。
江苏省泰兴中学高中数学 第2章 平面解析几何初步 3 直线的方程(2)教学案(无答案)苏教版必修2
江苏省泰兴中学高一数学教学案(100)必修2直线的方程（二）班级姓名目标要求：1、掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围2、了解直线方程截距式的形式特点及适用范围重点难点：重点：直线方程的两点式难点：对直线方程的两点式推导过程的理解典例剖析：例1、已知直线l经过两点A（a，0），为B（0，b），其中ab≠0,求直线l的方程.例2、已知三角形的顶点是A（—5，0），B（3，—3），C（0，2），试求这个三角形三边所在直线的方程.例3、已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点（6，—2），求直线l 的方程.例4、已知直线与两坐标轴相交，且被两轴截得线段的中点为P（２，４），求此直线方程.例5、（１）过点（４，－３）的直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程;（２）过点（４，－３）的直线l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l 的方程.学习反思1、直线的方程存在两点式的条件是______________________；已知直线经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，若12x x =，则直线的方程是___________________；若12y y =，则直线的方程是___________________.2、当直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同等于零.课堂练习1、已知直线经过两点A （６，４），B （－２，６），其两点式方程是____________________；其截距式方程是_____________________；斜截式方程是________________________；若点C （2，a ）在直线AB 上，则实数a = ____________.2、直线经过点A （４，３），且在x 轴和y 轴上的截距之比为１：２,则直线AB 的方程为_________________.3、若直线02)32()2(2=---++m y m m x m 在x 轴上的截距是３，则m 的值为_________.江苏省泰兴中学高一数学作业(100)班级 姓名 得分1、若ab <0，bc <0，则直线l ：0=++c by ax 通过______________象限.2、过点P （1，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 ____________条.3、下列四个命题中，是真命题的序号是________________.(1)、经过定点000(,)P x y 的直线方程都可以写成00()y y k x x -=-的形式(2)、经过任意两个不同的点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示(3)、不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 (4)、经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y kx b =+表示4、过点A （—5，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程是___________________.5、若直线l 在两坐标轴上的截距之和为２，且经过点（－２，３），则此直线的方程 是______________________ .6、ABC ∆的三个顶点坐标为A （0，3），B （3，3），C （2，0），若直线x a =将ABC ∆分割成面积相等的两部分，则实数a =__________________.7、菱形的两条对角线长分别等于８和６，以菱形的中心为坐标原点，较长对角线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，求出菱形各边所在直线的方程.8、直线l 经过点P （３，２）与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程.9、一个油槽储油20立方米，当油从管道等速流出，50分钟可以流完，用截距式写出关于油槽里剩余的油量Q （立方米）和流出的时间t （分钟）的方程，并画出图象.。
江苏省苏州市高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理教学设计 新人教A版选修2-2
2.1.1 合情推理
教学目标：
1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推理.
2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.
3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.
重点与难点：
本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力.
教学方式：
本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式.
教学工具：
多媒体、圆纸片、硬币.
教学过程：
问题引入，激发兴趣
事先准备好两顶白帽子，
最后让学生睁开眼睛，
引导学生这种前提为真时，
而且
思考：在没有实物的情况下，如何简捷地表示移动过程，总结归纳推理的一般步骤：22223333n n =个2个3. *41,N n n ++∈，计算)10(,),f 的值，并归纳一般性结论
以问题的方式引导学生思考“推理”与“证明。
江苏省兴化市高中数学第二章推理与证明2.2.2归纳推理导学案(无答案)苏教版选修2-2
归纳推理班级姓名学号组别学习目标1。
结合已学过的数学实例，理解归纳推理的含义;2. 能利用归纳进行简单的推理,了解归纳推理在数学发现中的作用.学习重点理解归纳推理的含义，学会归纳推理的简单应用学习难点学会归纳推理的简单应用学习过程※预习检测I.阅读课本《选修2-2》P63—66内容（其中课本中的“阅读”、“链接"两部分只作一般性了解).II。
预习自测：1．什么是推理？什么是归纳推理？2．各举出一个日常生活和数学中运用归纳推理的例子（不要举课本中的例子）.3．完成课本《选修2—2》P66的练习2,3，4,5，并将答案写在《导学案》上(不必抄题）※问题提交（将你预习后的疑惑以及你还有的想法写在下面的“我思我疑"中）I。
解决“预习自测"和“我思我疑”中的问题.II。
思考：检查当11n时课本案例3中结论的正确性，由此你能得到什么结论？,10,9,8,7,6※点拨提炼I.归纳推理的思维过程:II.归纳推理的基本特点：※当堂巩固1。
下列关于归纳推理的说法正确的是。
（1）归纳推理是由一般到一般的一种推理过程；（2）归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程；（3)归纳推理得出的结论具有偶然性,不一定正确；（4)归纳推理具有由具体到抽象的认识功能。
2。
在数列1，1,2，3，5，8，13,x，34，55……中的x的值可以是。
3.观察下列等式： 1=11+8=9，1+8+27=36， 1+8+27+64=100， ……你能猜想到一个怎样一般性的结论？ .4。
一只盒子中装有n 只不同颜色的小球,现从中取出2只球，观察发现：若盒子中只有2只球，则只有1种取法；若盒子中有3只球，有3种取法；若盒子中有4只球，有6种取法;若盒子中有5只球，有10种取法,由此可以归纳出什么规律？。
归纳推理课后作业2015-3—31班级 学号 姓名 评价1。
猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .2. 已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥;121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 .3. 111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时,有 . 4。
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数学归纳法（二）
【教学目标】
1.了解数学归纳法在证明不等式、整除、几何等问题中的简单应用；
2.进一步体会“归纳－猜想－证明”在数学解题中的作用.
【预习导引】
1.用数学归纳法证明11113(2,)12224
n n N n n n *+++>≥∈++K 时，由k 到k+1，不等式左端变化是增加 两数，减少 一数.
2.用数学归纳法证明1111(,1)2321
n n n N n *++++<∈>-K 时，第一步即证不等式____ ___
3..用数学归纳法证明: 设*,1n N n ∈>,求证:1
+
+⋅⋅⋅+>【典型例题】
例1 已知1111(1,)23n S n n N n *=++++>∈K ，求证：),2(2
12*∈≥+>N n n n S n
例2 设1325)(,+⨯+=∈*n
n n f N n
（1）当n=1，2，3，4时，计算f （n ）的值；
（2）你对f （n ）的值有何猜想，用数学归纳法证明你的猜想.
例3 在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条都不共点，
问：这n条直线将平面分成多少个部分？
变：设n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在l的同侧，问：这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？
选讲
已知△ABC的三边长都是有理数.
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数.
江苏省泰兴中学高二数学课后作业（50）
班级: 姓名: 学号：
1.若21111()12f n n n n n
=
+++⋅⋅⋅+++则()f n 中共有 项,当2n =时(2)f = 2.利用数学归纳法证明不等式1111(2,)2321n n n n N ++++⋅⋅⋅+<≥∈-的过程中,由n k =变到1n k =+时,左边加上
3.已知数列{}n a ，用数学归纳法证明4n a 能被4整除，假设4k a 能被4整除，下面应证明：
4.用数学归纳法证明“412135n n +++能被14整除，当n ＝k+1时，4(1)12(1)135k k +++++可以
变形为：
5.证明：2221
11112(2,)23n n N n n *++++<-≥∈K
6.用数学归纳法证明:422135n n +++能被14整除
7.是否存在,,a b c 使等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⨯-+⨯-++⨯-=++K 对一切正整数n 都成立？若成立，求出,,a b c 的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
8.平面上有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不过同一点，求这n 个圆把平面分成的部分f （n ），并证明你的结论.。