高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入章末检测(B)苏教版选修1-2

第3章 数系的扩充与复数的引入(B)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是________．
2．复数1＋2i 3＝__________. 3．如图，设向量OP →，PQ →，OQ →，OR →所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，那么z 2＋z 4－2z 3
＝______________.
4．已知z 是纯虚数，z ＋21－i
是实数，那么z ＝__________. 5．设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则z z ＋z ＋z ＝______. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪
⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 为________． 7．若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为________．
8．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值为________．
9．若－1－3i 2
是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p ＝________. 10．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为________．
11．在复平面内，复数2i 1－i
对应点的坐标为________． 12．下列命题，正确的是________．(填序号)
①复数的模总是正实数；
②虚轴上的点与纯虚数一一对应；
③相等的向量对应着相等的复数；
④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数．
13．设z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋2i ，复数z 1和z 2在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________．
14．若复数z ＝23＋2i 对应的点为Z ，则向量OZ →所在直线的倾斜角θ＝________.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)计算i －231＋23i
＋(5＋i 19)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 222.
16．(14分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i (x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x 的值．
17．(14分)实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
18．(16分)在复平面内，点P、Q对应的复数分别为z1、z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，求点Q的轨迹．
19．(16分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
20．(16分)已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
第3章 数系的扩充与复数的引入(B)
答案
1．1
解析 ∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，∴x ＝1. 2．1＋2i
解析 1＋2i 3＝1－2i
＝1＋2i. 3．0
解析 ∵z 2＋z 4－2z 3＝z 2－z 3＋(z 4－z 3)，而z 2－z 3对应的向量运算为：PQ →－OQ →＝PQ →－PR
→＝RQ →，z 4－z 3对应的向量运算为：OR →－OQ →＝QR →，又∵RQ →＋QR →＝0，∴z 2＋z 4－2z 3＝0.
4．－2i
解析 设z ＝b i (b ≠0)，则
z ＋21－i ＝2＋b i 1－i ＝＋b ＋2＝－b ＋＋b 2
. 因为z ＋21－i
是实数，所以2＋b ＝0， ∴b ＝－2，∴z ＝－2i.
5．4
解析 z z ＋z ＋z ＝(1＋i)(1－i)＋1＋i ＋1－i
＝2＋2＝4.
6．3－i
解析 ⎪⎪⎪
⎪1z －1z i ＝z i ＋z ＝z (1＋i)＝4＋2i ， ∴z ＝4＋2i 1＋i ＝4＋2i 1－i 2＝6－2i 2
＝3－i. 7．±33
解析 因为(m ＋i)3∈R ，(m ＋i)3＝m 3－3m ＋(3m 2－1)i ，所以3m 2－1＝0，解得m ＝±33
. 8．4
解析 复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．
从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4.
9．1
解析 已知－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则x ＝－1－3i 2
满足方程， 代入得⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1－3i 22＋p ·－1－3i 2＋1＝0，
整理得(1－p )3i 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－p 2＝0，解得p ＝1. 10．13
解析 BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，∵BD →＝BA →＋BC →，
∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.
∴BD 的长为13.
11．(－1,1)
解析 2i 1－i ＝＋－＋
＝i(1＋i)＝－1＋i. ∴复数对应点的坐标为(－1,1)．
12．③
13．2
解析 由题意知OA →＝(1,1)，OB →＝(－2,2)，
且|OA →|＝|z 1|＝2，|OB →|＝|z 2|＝8＝2 2.
∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →|·|OB →|
＝－＋1×22×22
＝0. ∴∠AOB ＝π2，∴S △AOB ＝12
|OA →|·|OB →| ＝12
×2×22＝2. 14．π6
解析 由题意OZ →＝(23，2)， ∴tan θ＝223＝33
，即θ＝π6. 15．解 原式＝＋231＋23i
＋(5＋i 3)－11211 ＝i ＋(5－i)－i 11＝5－i 3＝5＋i.
16．解 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得：x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i
＝4＋20i ，
根据复数相等的定义，得：
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2，
方程②的解为x ＝－3或x ＝6.
∴x ＝－3.
17．解 (1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)
＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.
(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，该复数为实数．
(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，该复数为虚数．
(3)当⎩⎪⎨⎪⎧
k 2－5k －6≠0，k 2－3k －4＝0， 即k ＝4时，该复数为纯虚数．
18．解 ∵z 2＝2z 1＋3－4i ，∴2z 1＝z 2－3＋4i.
又|2z 1|＝2，∴|z 2－3＋4i|＝2，
即|z 2－(3－4i)|＝2.
由模的几何意义知点Q 的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．
19．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，
∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，
即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b ＋
c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.
把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的
一个根．
20．解 方法一 (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)
＝2(1－i)，∴|z 1|＝22＋22＝2 2.
方法二 |z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3 ＝1×(2)3＝2 2.
(2)∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ，
|z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝θ－2＋θ＋2 ＝9＋42sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4. ∴当sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值 9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.。