2015年秋高二数学北师大版必修4课件：第二章 平面向量 章末归纳总结2
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北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》平面向量小结与复习
规定：零向量与任一向量的数量积为0
几何意义： 数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
16
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
15
B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b
(1) a
b , 则四边形是什么图形
? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律
几何意义： 数量积 a · 等于 a 的长度 |a|与 b 在 b
a 的方向上的投影 |b| cosθ的乘积。
B b B b
B
b
O θ
a
B1 A B1
θ
O a
θ
A O (B1)
a
16
A
5、数量积的运算律： ⑴交换律： a b b a ⑵对数乘的结合律： ( a ) b ( a b ) a ( b ) ⑶分配律： ( a b ) c a c b c
= (λ x , λ y)
14
1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角：
a θ b
共同的起点
[00 ，1800] •（2）向量夹角的范围：
• （3）向量垂直：
B B A A O B A O A O B
15
B A
a O θ
O
b
（4）两个非零向量的数量积：
a · = |a| |b| cosθ b
3)向量的表示 4)向量的模（长度）
4
二、向量的运算
1）加法：①两个法则 ②坐标表示
减法: ①法则 ②坐标表示
运算律
注:
AB a , AD b
(1) a
b , 则四边形是什么图形
? ?
( 2) a b
a b , 则四边形是什么图形
5
2)实数λ与向量 a 的积
3)平面向量的数量积：
(1)两向量的交角定义 (2)平面向量数量积的定义 (3)a在b上的投影 (4)平面向量数量积的几何意义 (5)平面向量数量积的运算律
高中数学 第二章 平面向量章末整合课件 北师大版必修4
①求向量 a 与 b 的夹角;
②求|3a+b|的值.
K12课件
9
专题一
专题二
专三题三
(1)解析:方法一:由已知可得 PO=������2������=3,OM=ON=2.
������������ ·������������=(������������ + ������������)·(������������ + ������������)
K12课件
8
专题一
专题二
专三题三
例 (1)如图,AB 是圆 O 的直径,点 P 是圆弧������������上的点,M,N 是直 径 AB 上关于 O 对称的两点,且 AB=6,MN=4,则������������ ·������������等于( )
A.13
B.7
C.5
D.3
(2)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|= 7.
∴在△ADN 中,������������ = ������������ − ������������ = 12a-b,
在△DMN 中,������������ = ������������ − ������������ = 1a-b-1a=1a-b,
2 44
在△MNC 中,������������ = ������������ − ������������ = 14a-14a+b=b,
本章整合
K12课件
2
专题一
专题二
专题三
专题一 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性 运算. 2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、 运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面. 3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定 理等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性 运算的基础.
高中数学必修四北师大版 平面向量 章末复习ppt课件(27张)
题型二
向量的夹角及垂直问题
1．求两个向量的夹角主要利用两个公式： a· b (1)cos θ＝|a||b|，求解的前提是：求出这两个向量的数量积和 模． x1x2＋y1y2 (2)cos θ＝ 2 2 2 2，求解的前提是：可以求出两个向 x1＋y1 x2＋y2 量的坐标．
2 ．解决垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积 为零，与求夹角一样，若向量能用坐标表示，将它转化为 “x1x2＋y1y2＝0”较为简单．
跟踪演练 1 如图所示，在△ABC 中， → 1→ → AN＝ NC，P 是 BN 上的一点，若AP＝ 3 → 2→ mAB＋11AC，则实数 m 的值为________． 3 答案 11 → → 解析 设BP＝λBN， → → → → → 2→ 则BP＝BA＋AP＝－AB＋mAB＋11AC
→ 2→ ＝(m－1)AB＋11AC. → → → → 1→ BN＝BA＋AN＝－AB＋4AC. 1 2 3 → → ∵BP与BN共线，∴4(m－1)＋11＝0，∴m＝11.
数量积的定义、法则和公式进行相关运算，特别是向量的 模、夹角、平行与垂直等运算；能用向量数量积的坐标形 式求向量的模、夹角，证明向量平行或垂直，能解答有关 综合问题．
5．平面向量的应用 一是要掌握平面几何中的向量方法，能用向量证明一些平 面几何问题、能用向量求解一些解析几何问题；二是能用 向量解决一些物理问题，如力、位移、速度等问题．
λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 判断两向量所在的直线共线时，除满足定理的要求外，还 应说明此两直线有公共点．
例 1 设坐标平面上有三点 A、B、C，i、j 分别是坐标平面上 x → → 轴，y 轴正方向的单位向量，若向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj， 那么是否存在实数 m，使 A、B、C 三点共线． 解 法一 假设满足条件的 m 存在，由 A、B、C 三点共线， → → → → 即AB∥BC，∴存在实数 λ，使AB＝λBC ，i－2j ＝λ(i ＋mj)，
【优选整合】北师大版高中数学必修四第二章平面向量 2.8 小结与复习 课件 (共23张PPT)
课堂小结
作业
不渴望能够一跃千里，只 希望每天能够前进一步。
[探究] 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握两向 量共线的条件．
[解析] ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)，ka＋2b 与 2a－4b 平行， ∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得 k＝－1.
[解析] a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6e21＋4e1·e2－3e1·e2＋2e22＝－6＋e1·e2＋2 ＝－4＋|e1||e2|cos60°＝－72， |a|＝2e1＋e2＝ 2e1＋e2 2＝ 4e21＋e22＋4e1·e2 ＝ 5＋4cos60°＝ 7，
|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e2 2＝ 9e21＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角θ满足 cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量 a 与 b 的夹角为 120°.
3.实数与向量的积
a
定义： a a
坐标运算：
设 a (x, y) ，则 a (x, y) (x,y)
二.四种运算:
4、平面向量的数量积
平面向量 数量积 B
b o
aB A
定义式： a b a b cos
几何意义：
a
与(b为 在aa方与向b上的投夹影角的)乘积
运数算量律积：的分性配质律(重、点交):换12律.、.aa
例 3：已知 O 为平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三
个动点，点 P 满足O→P＝O→B＋2 O→C＋λ(|A→BA→|cBosB＋|A→CA→|cCosC)，
【高中课件】高中数学北师大版必修4第2章3.2平面向量基本定理课件ppt.ppt
解得e1＝13a－23b， e2＝13a＋13b.
∴e1＋e2＝23a－13b．
课堂典例讲练
对基底的理解
如下图，设点O是▱ABCD两对角线交点，下列 向量组：①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B.可 作为该平面其他向量基底的是( )
A．①② C．①④
B．①③ D．③④
基底
1．已知向量e1，e2不共线，则下列各对向量可以作为平面 内的一组基底的是( )
A．e1－e2与e2－e1
B．2e1－3e2与e1－32e2
C．－e1－2e2与2e1＋4e2 D．e1－2e2与2e1－e2
[答案] D [解析] 根据基底的定义，只要两向量不共线便可 作为基底，易知选D．
2．若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则 ()
中小学精编教育课件
第二章 平面向量
第二章 §3 从速度的倍数到数乘向量
3.2 平面向量基本定理
课前自主预习
如右图所示，一盏电灯，可以由 电线CO吊在天花板上，也可以由电线 AO和绳子BO拉住，所以拉力F起到的 效一果样应，与 这拉 应力 如何F1和解F释2共呢同？作用的效果
根据物理知识，力F可以分解为力F1和力F2，即F＝F1＋ F2.事实上力的分解与合成就是应用了平行四边形法则，所以其 他向量也可以用平行四边形法则来分解或合成．
平面上不共线的两个向量都可以作为一组基底，
用这个基底的线性运算可以表示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面上的任意向量， 这就是本节要学习的平面向量基本定理．
平面向量基本定理 量，定那理么：对如于果这e一1和平e面2是内同的一任平一面向内量的a两，个存不在共唯线一的一向 对ea2＝叫实λ作1数e1表＋λ1λ，示2e2λ这2使一_平__面__内__所__有__向__量__的．一不组共_线__的__向__量_．e1，
第二章 平面向量 章末归纳总结 课件 高中数学必修必修4(北师大)
段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线
上，甚至起点都可以相同．
2．向量的运算 (1)向量加法的三角形法则是两向量首尾相接，和向量是以 第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量 减法的三角形法则是将两个向的终点．
第二章
平面向量
第二章 章末归纳总结
1
知 识 结 构
2
知 识 梳 理
3
专 题 探 究
4
即 时 巩 固
知识结构
知识梳理
本章从位移、速度、力引出了向量的概念，从位移的合成、 速度的倍数引出了向量的加法、减法和数乘，定义了平面向量 的坐标、向量的数量积及运算性质．
1．向量的有关概念 (1)向量 既有大小又有方向的量叫向量，一般用 a，b，c，„来表 → 示，或用有向线段的起点和终点的大写字母表示，如：AB.向量 → 的大小，即向量的模(或称长度)，记作|AB|. (2)零向量 长度为零的向量，叫作零向量，其方向是任意的．我们规 定：零向量和任意向量平行．
a2e2.
我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量 的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫作向量a关于基底{e1， e2}的分解式．
(2)①若 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)， λa＝(λa1，λa2)． → ②若 A(a1，a2)，B(b1，b2)，则AB＝(b1－a1，b2－a2)． (3)若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标 成比例，反之也成立．
(3)共线向量 平行向量基本定理 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定
存在唯一一个实数λ，使a＝λb.
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 第二章总结平面向量
专题一 向量的综合运算
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理
高中数学 第二章 平面向量章末优化总结课件 北师大版必修4
16
(2)a·b＝k24＋k 1＝14(k＋1k)． 由函数的单调性，可知 f(k)＝14(k＋1k)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当 k＝1 时，f(k)min＝f(1)＝14×(1＋1)＝12， 此时 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ＝|aa|·|bb|＝12，θ∈[0，π]， ∴a 与 b 的夹角 θ＝π3.
7
1．梯形 ABCD 中，AB∥CD，M、N 分别是D→A、B→C的中点，且DABC＝k，设A→D＝e1，A→B ＝e2，以 e1、e2 为基底表示向量D→C、B→C、M→N. 解析：如图所示， ∵A→B＝e2，且DABC＝k， ∴D→C＝kA→B＝k e2. ∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
17
3．已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a＝(1,2)． (1)若|b|＝2 5，且 a∥b，求 b 的坐标； (2)若|c|＝ 10，且 2a＋c 与 4a－3c 垂直，求 a 与 c 的夹角 θ.
18
解析：(1)设 b＝(x，y)， 因为 a∥b，所以 y＝2x.① 又|b|＝2 5，所以 x2＋y2＝20.② 由①②联立，解得 b＝(2,4)或 b＝(－2，－4)． (2)由(2a＋c)⊥(4a－3c)，得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，由|a|＝ 5，|c|＝ 10， 解得 a·c＝5， 所以 cos θ＝|aa|·|cc|＝ 22，θ∈[0，π]， 所以 a 与 c 的夹角 θ＝π4.
6
∴D→M＝M→C＝14a. ∴在△ADN 中，D→N＝A→N－A→D＝12a－b， 在△DMN 中，M→N＝D→N－D→M＝12a－b－14a＝14a－b， 在△MNC 中，N→C＝M→C－M→N＝14a－14a＋b＝b， 在△NBC 中，B→C＝N→C－N→B＝b－12a. ∴B→C＝－12a＋b，M→N＝14a－b.
(2)a·b＝k24＋k 1＝14(k＋1k)． 由函数的单调性，可知 f(k)＝14(k＋1k)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， ∴当 k＝1 时，f(k)min＝f(1)＝14×(1＋1)＝12， 此时 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值 cos θ＝|aa|·|bb|＝12，θ∈[0，π]， ∴a 与 b 的夹角 θ＝π3.
7
1．梯形 ABCD 中，AB∥CD，M、N 分别是D→A、B→C的中点，且DABC＝k，设A→D＝e1，A→B ＝e2，以 e1、e2 为基底表示向量D→C、B→C、M→N. 解析：如图所示， ∵A→B＝e2，且DABC＝k， ∴D→C＝kA→B＝k e2. ∵A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
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3．已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量，其中 a＝(1,2)． (1)若|b|＝2 5，且 a∥b，求 b 的坐标； (2)若|c|＝ 10，且 2a＋c 与 4a－3c 垂直，求 a 与 c 的夹角 θ.
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解析：(1)设 b＝(x，y)， 因为 a∥b，所以 y＝2x.① 又|b|＝2 5，所以 x2＋y2＝20.② 由①②联立，解得 b＝(2,4)或 b＝(－2，－4)． (2)由(2a＋c)⊥(4a－3c)，得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，由|a|＝ 5，|c|＝ 10， 解得 a·c＝5， 所以 cos θ＝|aa|·|cc|＝ 22，θ∈[0，π]， 所以 a 与 c 的夹角 θ＝π4.
6
∴D→M＝M→C＝14a. ∴在△ADN 中，D→N＝A→N－A→D＝12a－b， 在△DMN 中，M→N＝D→N－D→M＝12a－b－14a＝14a－b， 在△MNC 中，N→C＝M→C－M→N＝14a－14a＋b＝b， 在△NBC 中，B→C＝N→C－N→B＝b－12a. ∴B→C＝－12a＋b，M→N＝14a－b.
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当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.λa中的实数λ，叫作向量a 的系数．
第二章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
②数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义就是把向量 a沿着 a 的方向或 a 的反方 向放大或缩小．
③数乘向量运算满足的运算律
设λ，μ为实数，则 (λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a； λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
第二章 章末归纳总结
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(2)零向量
长度为零的向量，叫作零向量，其方向是任意的．我们规 定：零向量和任意向量平行． (3)单位向量 模为1个单位的向量．
(4)相等向量
具有方向的线段，叫作有向线段．同向且等长的有向线段 表示同一向量，或相等的向量． 相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b．
章末归纳总结
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2．向量的运算 (1)向量加法的三角形法则是两向量首尾相接，和向量是以 第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量 减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连
接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点．
第二章
章末归纳总结
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(5)相反向量 与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量． (6)向量共线 向量共线也叫向量平行，这里的“平行”与两直线 ( 或线
段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线
上，甚至起点都可以相同．
第二章
第二章
章末归纳总结
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④向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量 的线性运算． (3)共线向量 平行向量基本定理 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存 在唯一一个实数λ，使a＝λb．
第二章
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
平Байду номын сангаас向量
第二章
平面向量
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第二章
章末归纳总结
第二章
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第二章
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第二章
章末归纳总结
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知识梳理
第二章
章末归纳总结
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本章从位移、速度、力引出了向量的概念，从位移的合 成、速度的倍数引出了向量的加法、减法和数乘，定义了平面 向量的坐标、向量的数量积及运算性质． 1．向量的有关概念 (1)向量 既有大小又有方向的量叫向量，一般用a，b，c，„来表 → 示，或用有向线段的起点和终点的大写字母表示，如： AB .向 → 量的大小，即向量的模(或称长度)，记作|AB|.
1
知 识 结 构
3
专 题 探 究
2
知 识 梳 理
4
限 时 巩 固
第二章
章末归纳总结
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知识结构
第二章
章末归纳总结
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第二章
章末归纳总结
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第二章
章末归纳总结
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(4)已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a· b，即a· b＝|a||b|cosθ. (5)向量数量积的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a| 与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上 射影|a|cosθ的乘积． (6)向量数量积的性质： ①若e是单位向量，则e· a＝a· e＝|a|cosθ； ②若a⊥b，则a· b＝0；反之，若a· b＝0，则a⊥B．通常记 作a⊥b⇔a· b＝0；
第二章
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(2)①若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)， λa＝(λa1，λa2)． → ②若A(a1，a2)，B(b1，b2)，则AB＝(b1－a1，b2－a2)． (3)若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标 成比例，反之也成立．
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4．向量的数量积 → → (1)已知两个非零向量a和b，作 OA ＝a， OB ＝b，∠AOB＝ θ(0° ≤θ≤180° )叫作向量a与b的夹角． (2)当θ＝0° 时，a与b同向；当θ＝180° 时，a与b反向；当θ ＝90° 时，我们说a与b垂直，记作a⊥B．规定零向量可与任一 向量垂直． (3)已知两向量a和b，它们的夹角为θ，则|b|cosθ叫作向量b 在a方向上的射影．
向量加法的平行四边形法则，是两向量始点重合，在这一 点上与三角形法则是不同，但本质是相同的．
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(2)数乘向量 ①数乘向量的一般定义 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa| ＝|λ||a|.
当λ>0时，与a同方向； λa(a≠0)的方向 当λ<0时，与a反方向.
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3．向量的分解与向量的坐标运算
(1)平面向量基本定理 如果e1 和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面
内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
我们把不共线的向量 e1 ， e2 叫作表示这一平面内所有向量 的一组基底，记为 {e1 ， e2} ． a1e1 ＋ a2e2 叫作向量 a 关于基底 {e1，e2}的分解式．