初三第一学期期中考试数学试题含答案

2018-2019学年九年级（上学期）期中考试数学试卷一、精心选一选，相信自己的判断（本大题共10个小题每题3分，共30分在每小题给出的四个选项中只有一个答案是正确的，请将正确答案的序号直接填入下表中）1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2＝9 B．（x+4）2＝21 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣2）2＝93．已知x＝2是方程（3x﹣m）（x+3）＝0的一个根，则m的值为（）A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣24．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位5．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A．60°B．90°C．120°D．150°6．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长7．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数是57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2＝57 B．1+x+x2＝57 C．（1+x）x＝57 D．1+x+2x＝578．若t是一元二次方程x2+bx+c＝0的根，则判别式△＝b2﹣4c和完全平方式M＝（2t+b）2的关系是（）A．△＝M B．△＞MC．△＜M D．大小关系不能确定9．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A．B．BC2＝AB•BC C．D．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分11．若x2＝2，则x＝．12．已知一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两根之和为﹣6，两根之积为﹣8，则此方程为．13．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数．14．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为．16．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是．三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分74分解答写在答题卡上）17．解方程：（1）2x2﹣3x+1＝0；（2）x（x+1）﹣2（x+1）＝0．18．如图所示，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标；（2）将△A1B1C1绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）观察图形发现，△A2B2C2是由△ABC绕点顺时针旋转度得到的．19．下表给出了代数式ax2+bx+c与x的一些对应值：x…0 1 2 3 4 …ax2+bx+c… 3 ﹣1 3 …（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y＝ax2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；（3）当0＜x＜3，求x的取值范围．20．阅读下列材料：有这样一个问题：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：①设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）对应的二次函数为y＝ax2+bx+c（a＞0）；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下：方程根的几何意义：请将（2）补充完整方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a，b，c满足的条件方程有两个不相等的负实根方程有两个不相等的正实根（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．21．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？22．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．23．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动．若EF，EG分别与AB，BC 相交于点M，N，若AB＝2．（如图2）①求证：四边形EMBN的面积为定值；②设BM＝x，△EMN面积为S，求S最小值．24．如图，抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于点A、B与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M，P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．（1）写出点A，B的坐标，并证明△MDE是等腰三角形；（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x 轴上方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．2．用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2＝9 B．（x+4）2＝21 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣2）2＝9【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上4，如何把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2﹣4x＝5，x2﹣4x+4＝9，（x﹣2）2＝9．故选：D．3．已知x＝2是方程（3x﹣m）（x+3）＝0的一个根，则m的值为（）A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2【分析】将x的值代入已知的方程即可求得未知数m的值．【解答】解：∵x＝2是方程（3x﹣m）（x+3）＝0的一个根，∴（3×2﹣m）（2+3）＝0，解得：m＝6，故选：A．4．将抛物线y＝﹣3x2平移，得到抛物线y＝﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（）A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2），∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2．故选：D．5．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【解答】解：旋转角是∠CAC′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．6．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，整理得：x2+ax＝b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．7．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数是57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2＝57 B．1+x+x2＝57 C．（1+x）x＝57 D．1+x+2x＝57【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目＝57，把相关数值代入即可．【解答】解：∵主干为1，每个主干长出x个小支干，每个支干又长出同样数目的小分支，∴小分支的个数为x×x＝x2，∴可列方程为1+x+x2＝57．故选：B．8．若t是一元二次方程x2+bx+c＝0的根，则判别式△＝b2﹣4c和完全平方式M＝（2t+b）2的关系是（）A．△＝M B．△＞MC．△＜M D．大小关系不能确定【分析】根据作差法以及完全平方差公式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：t2+bt+c＝0，△﹣M＝b2﹣4c﹣（4t2+4bt+b2）＝﹣4（c+t2+bt）＝0，故选：A．9．如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A．B．BC2＝AB•BC C．D．【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC＝AC：BC，故A正确，不符合题意；AC2＝AB•BC，故B错误，，故C正确，不符合题意；≈0.618，故D正确，不符合题意．故选：B．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】观察图象：开口向下得到a＜0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，所以abc＜0；当x＝﹣1时图象在x轴上得到y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b；对称轴为直线x＝1，可得x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0；利用对称轴x＝﹣＝1得到a＝﹣b，而a﹣b+c＜0，则﹣b﹣b+c＜0，所以2c＜3b；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c，得到a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1）．【解答】解：开口向下，a＜0；对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＞0；抛物线与y轴的交点在x 轴的上方，c＞0，则abc＜0，所以①不正确；当x＝﹣1时图象在x轴上，则y＝a﹣b+c＝0，即a+c＝b，所以②不正确；对称轴为直线x＝1，则x＝2时图象在x轴上方，则y＝4a+2b+c＞0，所以③正确；x＝﹣＝1，则a＝﹣b，而a﹣b+c＝0，则﹣b﹣b+c＝0，2c＝3b，所以④不正确；开口向下，当x＝1，y有最大值a+b+c；当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，则a+b+c＞am2+bm+c，即a+b ＞m（am+b）（m≠1），所以⑤正确．故选：A．二．填空题（共6小题）11．若x2＝2，则x＝±．【分析】直接开平方即可求解．【解答】解：直接开平方得：x＝±．故答案为：±．12．已知一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两根之和为﹣6，两根之积为﹣8，则此方程为x2+6x ﹣8＝0 ．【分析】根据两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除二次项系数，直接写出一个方程即可，答案不唯一．【解答】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为﹣6和﹣8，且二次项系数为1，∴这样的方程为x2+6x﹣8＝0．故答案为：x2+6x﹣8＝0．13．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数150°．【分析】首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，由△ABP≌CBQ可得QC＝PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC＝90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．【解答】解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ则QB＝PB＝4，PA＝QC＝3，∠ABP＝∠CBQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°，∴△BPQ为等边三角形，∴PQ＝PB＝BQ＝4，又∵PQ＝4，PC＝5，QC＝3，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP＝60°，∴∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝150°∴∠APB＝∠BQC＝150°14．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c≥mx+n的x的取值范围是﹣3≤x≤0 ．【分析】从图象可以看出，﹣3≤x≤0时，抛物线的函数值大于一次函数的值，即可求解．【解答】解：从图象可以看出，﹣3≤x≤0时，抛物线的函数值大于一次函数的值，故答案为：﹣3≤x≤0．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），则点B的对应点B′的坐标为（0，1）．【分析】根据旋转的性质即可得到结论．【解答】解：∵将线段AB绕点O顺时针旋转，若点A的对应点A′的坐标为（2，0），∴∠AOA′＝90°，∴∠BOB′＝∠AOA′＝90°，∴B′（0，1），故答案为：（0，1）．16．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是10≤t≤12 ．【分析】先解方程﹣x2+4＝0得A0（﹣2，0），A1（2，0），顶点D1的坐标为（0，4），再利用中心对称的性质得到D2的坐标为（4，﹣4），抛物线C2的对称轴为直线x＝4，然后利用对称性得到x2﹣4＝4﹣x1，即x1+x2＝8，加上2＜x3≤4，从而得到10＜x1+x2+x3≤12．【解答】解：当﹣x2+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝2，则A0（﹣2，0），A1（2，0），抛物线y＝﹣x2+4的顶点为D1的坐标为（0，4），∵将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；∴D2的坐标为（4，﹣4），抛物线C2的对称轴为直线x＝4，∵x2﹣4＝4﹣x1，∴x1+x2＝8，∵点P3（x3，y3）在线段A1D2上，x1，x2，x3均为正数，∴2＜x3≤4，∴10＜x1+x2+x3≤12，即10＜t≤12．故答案为10＜t≤12．三．解答题（共8小题）17．解方程：（1）2x2﹣3x+1＝0；（2）x（x+1）﹣2（x+1）＝0．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）2x2﹣3x+1＝0，（2x﹣1）（x﹣1）＝0，2x﹣1＝0，x﹣1＝0，x1＝，x2＝1；（2）x（x+1）﹣2（x+1）＝0，（x+1）（x﹣2）＝0，x+1＝0，x﹣2＝0，x1＝﹣1，x2＝2．18．如图所示，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题：（1）将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移1个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出A1的坐标（﹣3，4）；（2）将△A1B1C1绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）观察图形发现，△A2B2C2是由△ABC绕点（2，﹣4）顺时针旋转90 度得到的．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标；（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点（0，﹣1）顺时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（3）作对应点A、A2、B、B2的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，再根据图形确定出旋转角度数即可．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，A1（﹣3，4）；（2）△A2B2C2如图所示；（3）如图，△A2B2C2是由△ABC绕点（2，﹣4）顺时针旋转90度得到的．故答案为：（1）（﹣3，4）；（3）（2，﹣4），90．19．下表给出了代数式ax2+bx+c与x的一些对应值：x…0 1 2 3 4 …ax2+bx+c… 3 0 ﹣1 0 3 …（1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y＝ax2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；（3）当0＜x＜3，求x的取值范围．【分析】（1）根据表格中的数据知，抛物线的顶点坐标是（2，﹣1），故设该抛物线解析式为：y＝a（x ﹣2）2﹣1，然后将点（0，3）代入求得a的值；再将抛物线解析式的变形为两点式，直接得到答案；（2）根据抛物线的性质解答；（3）根据函数图象的增减性解答．【解答】解：（1）设该抛物线解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，把（0，3）代入，得a（0﹣2）2﹣1＝3．解得a＝1．故该抛物线解析式是：y＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣3）（x﹣1）．则该抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）和（1，0）．观察表格，应该填入数字0、0．故答案是：0，0；（2）由列表可知，抛物线开口向上，与x轴两交点为（1，0），（3，0）所以，当x＜1或x＞3时，y＞0；（3）由图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，此时﹣1≤y＜3．当2＜x＜3时，y随x的增大而增大，此时﹣1≤y＜0．由此，当0＜x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y＜3．20．阅读下列材料：有这样一个问题：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：①设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）对应的二次函数为y＝ax2+bx+c（a＞0）；②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下：方程根的几何意义：请将（2）补充完整方程两根的情况对应的二次函数的大致图象a，b，c满足的条件方程有两个不相等的负实根方程有一个负实根，一个正实根方程有两个不相等的正实根（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．【分析】（1）由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案；（2）根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）补全表格如下：方程两根的情况二次函数的大致图象得出的结论方程有一个负实根，一个正实根故答案为：方程有一个负实根，一个正实根，，；（2）解：设一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0对应的二次函数为：y＝mx2﹣（2m+3）x﹣4m，∵一元二次方程mx2+（2m﹣3）x﹣4＝0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，①当m＞0时，x＝﹣1时，y＞0，解得m＜2，∴0＜m＜2．②当m＜0时，x＝﹣1时，y＜0，解得m＞2（舍弃）∴m的取值范围是0＜m＜2．21．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价3元，则平均每天销售数量为26 件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3＝6件，即平均每天销售数量为20+6＝26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．故答案为：26；（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，∴x＝10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．22．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b 值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，解得：a＝﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，解得：x1＝﹣1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x＝0时，y＝﹣（x﹣3）2+5＝．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0＝﹣×162+16b+，解得：b＝3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+3x+＝﹣（x﹣）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．23．如图1，矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动．若EF，EG分别与AB，BC 相交于点M，N，若AB＝2．（如图2）①求证：四边形EMBN的面积为定值；②设BM＝x，△EMN面积为S，求S最小值．【分析】（1）由矩形的性质得出AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，由E是AD中点得出AE＝DE，由SAS证得△BAE≌△CDE，即可得出结论；（2）①由（1）可知△EBC是等腰直角三角形，易证△ABE是等腰直角三角形，得出∠EBC＝∠ECN＝∠EBM＝45°，证明∠MEB＝∠NEC，由ASA证得△BEM≌△CEN，得出S四边形EMBN＝S△EBC，求出BE＝CE＝，则S四边形EMBN＝S△EBC＝BE•CE＝4，即可得出结论；②由①知△BEM≌△CEN，BE＝CE＝，则BM＝CN＝x，BC＝BE＝4，BN＝4﹣x，S＝S四边形EMBN﹣S△BMN＝4﹣BM•BN＝（x﹣2）2+2，由＞0，则当x＝2时，S有最小值为2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，在△BAE和△CDE中，，∴△BAE≌△CDE（SAS），∴BE＝CE；（2）①证明：由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝45°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECN＝∠EBM＝45°，∵∠MEB+∠BEN＝90°，∠NEC+∠BEN＝90°，∴∠MEB＝∠NEC，在△BEM和△CEN中，，∴△BEM≌△CEN（ASA），∴S四边形EMBN＝S△EBC，∵AB＝2，∴BE＝CE＝，∴S四边形EMBN＝S△EBC＝BE•CE＝×2×2＝4，∴四边形EMBN的面积为定值；②解：由①知，△BEM≌△CEN，BE＝CE＝，∴BM＝CN＝x，BC＝BE＝×2＝4，∴BN＝4﹣x，∴S＝S四边形EMBN﹣S△BMN＝4﹣BM•BN＝4﹣×x×（4﹣x）＝x2﹣2x+4＝（x﹣2）2+2，∵＞0，∴当x＝2时，S有最小值为2．24．如图，抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于点A、B与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M，P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）．分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME．（1）写出点A，B的坐标，A（﹣5，0），B（﹣1，0）．并证明△MDE是等腰三角形；（2）△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P是抛物线在x轴下方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x 轴上方的一个动点”，其他条件不变，△MDE能否为等腰直角三角形？若能求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由．【分析】（1）在抛物线解析式中，令y＝0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；如图1所示，延长EM交AD于点F，证明△AMF≌△BME，得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点，从而得到MD＝ME，问题得证；（2）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN＝AM，从而求得点N坐标为（﹣3，﹣2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标．（3）当点P是抛物线在x轴上方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+x+4与x轴相交于点A、B两点，∴令y＝0，，解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）．故答案为：A（﹣5，0），B（﹣1，0）．如答图1所示，延长EM与AD交于点F．∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE，∴∠MAF＝∠MBE．在△AMF与△BME中，∴△AMF≌△BME（ASA），∴ME＝MF，即点M为Rt△EDF斜边EF的中点，∴MD＝ME，即△MDE是等腰三角形．（2）答：能．抛物线解析式为＝，∴对称轴是直线x＝﹣3，M（﹣3，0）；令x＝0，得y＝4，∴C（0，4）．△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：①若DE⊥EM，由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，不符合题意，故此种情况不存在；②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；③若EM⊥DM，如答图2所示：设直线PC与对称轴交于点N，∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN＝∠DMA．在△ADM与△NEM中，∴△ADM≌△NEM（ASA），∴MN＝MA．∵M（﹣3，0），MN＝MA＝2，∴N（﹣3，﹣2）．设直线PC解析式为y＝kx+b，∵点N（﹣3，﹣2），C（0，4）在直线上，∴，解得k＝2，b＝4，∴y＝2x+4．将y＝2x+4代入抛物线解析式得：，解得：x＝0或，当x＝0时，交点为点C；当时，y＝2x+4＝﹣3．∴P（，﹣3）．综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）．（3）答：能．与（2）同理，可知若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN＝∠EMB．在△DMN与△EMB中，，∴△DMN≌△EMB（ASA），∴MN＝MB．∴N（﹣3，2）．设直线PC解析式为y＝kx+b，∵点N（﹣3，2），C（0，4）在直线上，∴，解得k＝，b＝﹣4，∴y＝x+4．将y＝x+4代入抛物线解析式得：x+4＝x2+x+4，解得：x＝0或x＝﹣，当x＝0时，交点为点C；当x＝﹣时，y＝x+4＝．∴P（﹣，）．综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（﹣，）．。