排列与组合.版块一.加法原理.学生版

）
3 ，4 ， 5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ 【例4】 用数字 1 ，2 ，
）
A． 8
B． 24
C． 48
D． 120
1 2， 3， 4， 5 这 6 个数字，可以组成____个大于 3000 ，小于 5421 的数字不重 【例5】 用 0 ，，
复的四位数．
(n m 1) ， m ，n N ，并且 m ≤ n ． 排列数公式： A m n n( n 1)( n 2) 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由 1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 n ! 表示．规定： 0! 1 ．
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典例分析
加法原理 【例1】 高二年级一班有女生 18 人，男生 38 人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织 的调查团，问选取代表的方法有几种．
【例2】 若 a 、 b 是正整数，且 a b ≤ 6 ，则以 ( 】 用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ A． 324 B． 328 C． 360 D． 648
⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组，叫做从 n 个 元素中任取 m 个元素的一个组合． 组合数：从 n 个不同元素中，任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个 不同元素中，任意取出 m 个元素的组合数，用符号 C m n 表示．
⑶排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是 分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做 到分类明确，层次清楚，不重不漏． 3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元 素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列． 5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法： n 个相同元素，分成 m(m ≤ n) 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元
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加法原理
知识内容
1．基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第 二类办法中有 m2 种方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m1 种不同的方法， 做第二个步骤有 m2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法．那么完成这件事 共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类 计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法， 这两个原理十分重要必须认真学好， 并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列： 一般地， 从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素， 按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． （其中被取的对象叫做元素） 排列数：从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 A m n 表示．
1 素排成一排，从 n 1 个空中选 m 1 个空，各插一个隔板，有 Cnm 1 ．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一 般地平均分成 n 堆（组）， 必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！ 8．错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个 小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n 2 ，3，4，5 时的错位数各为 1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法 转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题． 1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途 径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题； 再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答． 2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排； ②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件， 采取捆绑法； 对于元素间隔排列的问题， 采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
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组合数公式： Cm n
n(n 1)(n 2) (n m 1) n! ， m, n N ，并且 m ≤ n ． m! m!(n m)!
m nm m 1 组合数的两个性质：性质 1： Cm ；性质 2： Cm ． （规定 C0 n 1 C n C n n Cn n 1）