第八章空间解析几何答案

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高等数学(同济第七版)第八章课后答案

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大学知识第八节空间解析几何

空间解析几何1. 在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos 042sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪⎛⎫=-+≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（）。

22220.20x y A y y z ⎧+=⎨++=⎩ 22220.20x y B y z z ⎧+=⎨++=⎩22220.20x y y C z y ⎧++=⎨+=⎩ 22220.20x y x C y z ⎧++=⎨+=⎩1.【答案】C【解析】联立x=sin θ,y=-1+cos θ消去θ得2220x y y ++=，可知选择C. 2. 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 为平面上不共线的三点，则三角形ABC 的面积为（） AB AC ⋅ B.12AB AC ⋅ D. AB AC ⋅ 2.【答案】B【解析】由行列式的定义展开计算可得。

3.直线L:12x -:2x y z τ++=A.平行 B.相交但不垂直 C 垂直 D.直线L 在平面上 3.【答案】B 。

【解析】由题意得:直线l 的方向向量为m =(2，-1，一3)，平面τ法向量n =(1，1，1)，易知m 与n 不共线，且mn ≠0，而直线l 上的点(1，-1，2)在平面τ上，故两者相交但不垂直。

故选择B 。

4.方程2221x y z -+=-所确定的二次曲面是（）A. 椭球面B.旋转双曲面C. 旋转抛物面D. 圆柱面4.【答案】B5.方程22211694x y z -+=所确定的二次曲面是（）A. 椭球面 B 。

旋转双曲面 C. 旋转抛物面 D. 圆柱面5.【答案】B6.已知抛物面方程222=x y z +（1）求抛物面上在点(1,1,3)M 处的切平面方程；（2）当k 为何值时，所求的切平面与平面340x ky z +-=相互垂直。

6.【解析】（1）令22(,,)2F x y z x y z =+- 则4,2,1F F F x y x y z∂∂∂===-∂∂∂。

高考数学一轮复习第八章解析几何答案 (2)

第八章解析几何第40讲直线的方程及位置关系1.B【解析】由于倾斜角为60°，故斜率k ＝3.又直线过点(－1，0)，所以直线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.2. C【解析】若直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3. C【解析】因为x ＜0时，a x＞1，所以0＜a ＜1，则直线y ＝ax ＋1a的斜率满足0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1，只有C 符合．4.D 【解析】因为直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，所以此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正常数a 的值是1，故选D.5. D【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b＝－1.又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4.6.C【解析】由题易知直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210.(第6题)7.ACD【解析】设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y2＝3x2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫66，＋∞.故选ACD. 8.ABD【解析】对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k∈R )，当k ＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A 正确；联立方程组⎩⎨⎧x －y －1＝0，(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0，对任意的k ，此方程有解，可得l 1与l 2有交点，故B 正确；因为当k ＝－12时，k ＋11＝k －1＝k －1成立，此时l 1与l 2重合，故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1，动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k≠－1，故对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故D 正确．9. AD 【解析】设点P 的坐标为(a ，b )．因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 所在直线的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，所以|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫277，－87. 10.2x －4y ＋3＝0【解析】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1,0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 11. 2910【解析】因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.12.6【解析】以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，(第12题)设B (a ，－2)，C (b,3)．因为AC ⊥AB ，所以ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. 所以Rt △ABC 的面积S ＝12a2＋4·b2＋9＝12a2＋4·36a2＋9＝1272＋9a2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．所以△ABC 的面积的最小值为6. 13.【解答】(1)由题知过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k2＋1＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(第13题)(2)作图可得过点P 且与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1kOP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(3) 由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．14. 【解答】 (1) 设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3313，413.(2) 在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为点P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 15. 【解答】如图，建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，所以直线EF 的方程为x30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R . 设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )．又m30＋n20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20－23m ，所以S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．所以当m ＝5时，S 有最大值，这时EPPF＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．(第15题) 第41讲圆的方程1. A2. B3. A4.B【解析】设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5. D 【解析】由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.6.D【解析】由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，因为圆x 2＋y 2＋2x －6y＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，所以该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，所以a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．所以1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D. 7.ABD【解析】对于A ，将圆化为标准方程，得(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(1,2)，半径为r ＝2，点(1，－2)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(－2－2)2＝4>r ，所以点在圆外．对于B ，由圆心(1,2)到直线的距离公式得d ＝|1－2＋2|12＋12＝22.对于C ，因为两圆的圆心坐标分别为O (0,0)和C (－2,2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.对于D ，设P (x ，y )是圆C 上一点．而y x的几何意义就是直线OP 的斜率(O 为坐标原点)．设yx＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx . 由图可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．(第7题)因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k2＋1，所以当|3k －3|k2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切，所以y x的最大值是3＋22，故选ABD.8. ACD【解析】由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆，如图，设3x ＋y ＝m ，当直线过点(－2,0)时，m ＝－23.设圆心O 到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m|2≤2，解得m ∈[－23，4]．故选ACD.(第8题)9.AC【解析】如图，由原点到直线l 的距离d ＝212＋12＝1，知直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，则四边形APOQ 为正方形，所以OA ＝2OP ＝2.设A (t ，2－t )，则由两点间的距离公式得OA ＝t2＋(2－t )2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或2.因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．(第9题)10.x 2＋y 2－2x ＝0【解析】方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(第10题)11.25【解析】因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于点Q ，由对称性可知PA ＋PQ ＝A ′P ＋PQ ≥A ′Q ＝A ′C －r ＝25. 12.22【解析】x2＋y2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为(x －1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≤0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≥0，y ≤0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22.综上可知，x2＋y2的最大值为22.13.【解答】(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a,2a )，则a2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫85，165.14. 【解答】 (1) 若选择条件①，则PM PN＝2，即(x －2)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝2，整理得x 2＋y 2－12x ＋32＝0，即(x －6)2＋y 2＝4. 若选择条件②，由A (4,0)，B (6,2)的中点为E (5,1)，k AB ＝2－06－4＝1，知AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －5)，即x ＋y －6＝0. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －6＝0，x ＋y －6＝0，解得圆心C (6,0)．半径r ＝CA ＝2，所以曲线C 的方程为(x －6)2＋y 2＝4. (2) 由直线x ＝ay ＋4被曲线C 截得的弦长为2，知圆心到直线的距离d ＝4－1＝3.由点到直线的距离公式得d ＝|6－a ·0－4|a2＋1＝3，解得a ＝±33.15. 【解答】 (1) 设圆C 的圆心为C (a ，b )，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以点O 在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝8，ba ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.因为点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2) 假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎨⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．第42讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.A【解析】方法一：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．方法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．方法三：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，Δ＝(－2m 2)2－4(1＋m 2)(m 2－5)＝4(4m 2＋5)>0，故直线l 与圆相交．2.C【解析】由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9.根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为94. 3.C【解析】当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得切线长的最小值，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.4.C【解析】因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．(第4题)5. C 【解析】将x ＝2y －y2化为x 2＋(y －1)2＝1，x ≥0，表示半圆，所以圆心(0,1)，半径r ＝1.因为圆心到直线x －y －2＝0的距离d ＝322，所以圆上的点到直线的最小距离b ＝322－1，最大距离为(0,2)到直线的距离，即a ＝42＝22，则a －b ＝22＋1. 6.D【解析】圆的标准方程为x 2＋(y －5)2＝3，圆心为(0，5)，半径r ＝3，由圆心到直线2x ·sinθ＋y ＝0的距离d ＝54sin2θ＋1＜3，解得sin 2θ＞16，所以弦长为2r2－d2＝23－54sin2θ＋1，因为53＜4sin 2θ＋1≤5，所以1≤54sin2θ＋1＜3，所以弦长2r2－d2＝23－54sin2θ＋1∈(0,22]，当4sin 2θ＋1＝5，即sin 2θ＝1时，弦长有最大值22.7. BC【解析】因为直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，故圆C 的圆心(－3,3)到直线y ＝kx －1的距离的最大值为(－3－0)2＋(3＋1)2＝5.又圆C 的半径为6，故弦长AB 的最小值为262－52＝211.又当直线y ＝kx －1过圆心时，弦长AB 取最大值为直径12，故AB∈[211，12]．故选BC.8.AD【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x2＋y2－2x －2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3，所以AB ＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，半径r ＝2，所以圆心C (1,1)到直线kx －y ＋3＝0的距离d ＝|k －1＋3|k2＋1＝|k ＋2|k2＋1.因为d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22，所以(k ＋2)2k 2＋1＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2322，即(k ＋2)2＝k 2＋1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，满足题意的直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选AD.9. ABD 【解析】如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋(－3)2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0,1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1，设O 2(a ，b )，则由题意知⎩⎨⎧b ＋1＝a2＋(b －1)2，b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋(－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，则O 2(2,1)，所以O 1O 2＝22＋12＝5.O 2到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝2.由于O 1，O 2的位置不确定，故ABD 错误．(第9题)10.10【解析】由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5.又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋(－1)2＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22＝r 2－d 2，得AB 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－52＝10，即AB ＝10.11. y ＝－12【解析】由题意知，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，易求得这个圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将此圆的方程与圆C 的方程作差可得AB 所在直线的方程为y ＝－12.12. 3 【解析】方法一：设A (a,2a )，a >0，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋52，a ，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧xD ＝1，yD ＝2，所以AB→·CD→＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a －32，2－a ＝a2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1.又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.方法二：因为AB→·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tanθ＝2，k ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎨⎧y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3.13. 【解答】 (1) 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况． (2) 由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x22，12，则BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y －12＝x2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22，x22＋mx2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m2＋92.故该圆在y 轴上截得的弦长为2·r2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 14.【解答】(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍去)，所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2) 存在，当点N 为(4,0)时，x 轴平分∠ANB . 理由如下：当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k2k2＋1，x 1x 2＝k2－4k2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y1x1－t ＋y2x2－t＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，使得∠ANM ＝∠BNM 总成立． 15.【解答】(1)将圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0)，且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5，解得b ＝1，所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(第15题)(2)因为k OA ＝2，所以可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC 22＝25，即|2×6－7＋m|22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3) 由TA→＋TP →＝TQ →，知四边形AQPT 为平行四边形，又因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以PQ ≤2r ＝10. 所以TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221，故实数t 的取值范围为[2－221，2＋221]．第43讲椭圆第1练1.C【解析】设椭圆C 的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．因为短轴长为2，所以2b ＝2，解得b ＝1.因为离心率e ＝c a＝255，又a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，所以a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为y25＋x 2＝1.故选C.2. A 【解析】当m ＝4时，a 2＝5，b 2＝4,2c ＝25－4＝2，即m ＝4时，椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2.当m ＝6时，a 2＝6，b 2＝5,2c ＝26－5＝2，即“m ＝4”是“椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2”的充分不必要条件，故选A.3. A【解析】由题意知y21m＋x 2＝1，所以a 2＝1m，b 2＝1，所以2×1m＝2×1×2＝4，所以m ＝14.故选A.4. A【解析】过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△AF 1F 2∽△CDF 2，由AF2→＝2F2C →，知F 1F 2＝2F 2D ，AF 1＝2CD ，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，b22a ，因为点C 在椭圆上，所以(2c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b22a 2b2＝1，即5c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝55.5. A 【解析】设PF 1＝m ，PF 2＝n ，因为OP ＝OF 2，所以OP ＝OF 2＝OF 1，所以△PF 1F 2为直角三角形，即∠F 1PF 2＝90°.因为tan ∠PF 2F 1＝2，所以m ＝2n .因为△PF 1F 2的面积为4，所以12mn ＝4，即mn ＝8.因为∠F 1PF 2＝90°，所以m 2＋n 2＝F 1F 22＝4c 2.由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，所以m 2＋n 2＋2mn ＝4a 2，解得b 2＝4，m ＝4，n ＝2，所以a ＝3，所以所求椭圆方程为x29＋y24＝1，故选A.6. A 【解析】如图，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′为矩形，因此AB ＝FF ′＝2c ，AF ＋BF ＝2a ，AF ＝2c sin α，BF ＝2c cosα，所以2c sinα＋2c cosα＝2a ，所以e ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4，因为α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，π6，所以α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，5π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，2＋64，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤62，1＋32，所以e ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1，63.(第6题)7.AB【解析】由题意知m >0，当m ＜5时，a ＝5，b ＝m ，c ＝5－m ，所以e ＝c a ＝5－m 5＝105，解得m ＝3；当m ＞5时，a ＝m ，b ＝5，c ＝m －5，所以e ＝c a＝m －5m＝105，解得m ＝253.故选AB.8.BD【解析】观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即A 选项不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝PF ，即B 选项正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a1－c1c1<a2－c2c2，即0＜a1c1<a2c2，从而c 1a 2>a 1c 2，c1a1>c2a2，即D 选项正确，C 选项不正确．故选BD 9.ACD【解析】对于A ，因为F 1F 2＝2，所以F 2(1,0)，PF 2＝1，所以QF 1＋QP ＝2a －QF 2＋QP ≥2a －PF 2＝2a －1，当Q ，F 2，P 三点共线时取等号，故A 正确；对于B ，假设椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为x22＋y21＝1，代入点P 的坐标得12＋11>1，则点P 在椭圆外，假设不成立，故B 错误；对于C ，因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a＋1b <1，又a －b ＝1，所以b ＝a －1，所以1a＋1a －1<1，即a 2－3a ＋1>0，解得a >3＋52＝6＋254＝(1＋5)24，所以a >1＋52，所以e ＝1a<5－12，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，5－12，故C 正确；对于D ，若PF1→＝F1Q →，则F 1为线段PQ 的中点，所以Q (－3，－1)，所以9a ＋1b ＝1，又a －b ＝1，即a 2－11a ＋9＝0，解得a ＝11＋852＝22＋2854＝(5＋17)24，所以a ＝5＋172，所以椭圆C 的长轴长为5＋17，故D 正确．10.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12 【解析】由方程x2m＋y21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得1－m >m >0，解得0<m <12，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12. 11. 24【解析】在椭圆x249＋y224＝1中，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，由PF 1⊥PF 2，得m 2＋n 2＝(2c )2＝100，又m ＋n ＝2a ＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧m2＋n2＝4c2＝100，m ＋n ＝2a ＝14，所以mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)2＝142－1002＝48，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝24.12.33【解析】由于AF 2的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点F 1且AB⊥F 1F 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，－b2a .因为P 是AF 2的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，b22a .又F 2(c,0)，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，3b22a ，AF2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，－b2a .因为BP →·AF2→＝0，则2c 2－3b42a2＝0，即2c ＝3b2a .又b 2＝a 2－c 2，则2ac ＝3(a 2－c 2)，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．13. 【解答】 (1) 由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a2－b2. 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b2a，－b2a，C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故AB ＝2b2a，CD ＝4c . 由CD ＝43AB ，得4c ＝8b23a，即3×c a＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 2，解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝12.所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x24c2＋y23c2＝1，所以C 1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，3c )，(0，－3c )，C 2的准线方程为x ＝－c .由已知得3c ＋c ＋c ＋c ＝12，即c ＝2.所以C 1的标准方程为x216＋y212＝1，C 2的标准方程为y 2＝8x .14.【解答】(1)由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (a,0)，上顶点为B (0，b )，可得直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0,则点O 到直线AB 的距离d ＝ab a2＋b2＝255，即4a 2＋4b 2＝5a 2b 2，①因为△OAB 的面积为1，所以12ab ＝1，即ab ＝2，②由①②，可解得a ＝2，b ＝1, 所以椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.(2) 由(1)可得x ＋2y －2＝0，所以直线AB 的斜率为－12，设直线l 的方程为y ＝－12x ＋t ，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋t ，x24＋y2＝1，整理得2y 2－2ty ＋t 2－1＝0，则y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝t2－12，所以k 1·k 2＝y1x1－2·y2－1x2＝y1y2－y1x1x2－2x2，所以x 1x 2－2x 2＝4(t －y 1)(t －y 2)－4(t －y 2)＝4[t 2－t (y 1＋y 2)＋y 1y 2－t ＋y 2]＝4[(y 1＋y 2)2－(y 1＋y 2)(y 1＋y 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋y 2]＝4(y 1y 2－y 1)，所以k 1·k 2＝y1y2－y14(y 1y 2－y 1)＝14，即k 1k 2＝14为定值．第2练1.D【解析】由于方程x2m＋y2m2－1＝1为椭圆，且焦点(0,1)在y 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m2－1>0，m2－1>m ，m2－1－m ＝1，解得m ＝2，所以a ＝22－1＝3，长轴长为2a ＝23.2. B 【解析】因为椭圆E 的离心率为22，所以c a ＝22，因为椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，32，所以12a2＋34b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，所以焦距为2c ＝2. 故选B.3. D 【解析】依题意，8π＝ab ·π，故ab ＝8①. 不妨设直线l ：xa ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，则椭圆的中心到直线l 的距离为ab a2＋b2＝43417，解得a 2＋b 2＝34②，联立①②，又a ＞b ＞0，解得a ＝42，b ＝2，故椭圆C 的方程为x232＋y22＝1. 4.B【解析】由题意可知，以AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也过左焦点，如图所示，OA ＝OB ＝OF 1＝OF 2，故这两个焦点F 1，F 2和A ，B 两点为顶点得一矩形．直线y ＝－3x 的倾斜角为120°，所以矩形宽为c ，长为3c .由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a ，即c ＋3c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1，故选B.(第4题)5. A 【解析】联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x2a2＋y2b2＝1⇒(b 2＋a 2k 2)x 2＝a 2b 2，则x ＝±ab b2＋a2k2，由题意知ab b2＋a2k2＝c ①，因为e ＝c a＝12，所以a ＝2c ，b ＝a2－c2＝3c ，代入①可得12c43c2＋4c2k2＝c 2⇒k ＝±32.故选A. 6. C 【解析】如图，由椭圆的定义可知QF 1＋QF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，因为PF 2＝F 1F 2，所以PF 2＝2c ，则PF 1＝2(a －c )．因为2PF 1＝3QF 1，所以QF 1＝23PF 1，所以QF 1＝4(a －c )3，则QF 2＝2a ＋4c3.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠PF 1F 2＝PF21＋F2F21－PF222PF1·F2F1＝a －c2c ；在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2＝QF21＋F2F21－QF222QF1·F2F1＝a －3c4c .因为∠PF 1F 2＋∠QF 1F 2＝180°，所以cos ∠PF 1F 2＝－cos ∠QF 1F 2，所以a －c 2c＝－a－3c4c，化简得3a＝5c，所以e＝ca＝35. 所以椭圆的离心率为35.(第6题)7. BC 【解析】因为x26＋y2＝1，所以a＝6，b＝1，所以c＝a2－b2＝6－1＝5，则椭圆C的焦距为25，离心率为e＝ca＝56＝306.设P(x，y)(－6≤x≤6)，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－x26＝56⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋652＋45≥45>15，所以圆D在椭圆C的内部，且PQ的最小值为45－15＝55.故选BC. 8. ABC 【解析】由椭圆x225＋y216＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，故A正确；椭圆上的动点P满足a－c≤PF1≤a＋c，即有2≤PF1≤8，故FP1的最小值为2，B正确；设FP1，FP2，FP3，…组成的等差数列为{a n}，公差d>0，则a1≥2，a n≤8，又d＝an－a1n－1，所以d≤6n－1≤621－1＝310，所以0<d≤310，所以d的最大值是310，故C正确，D错误．故选ABC.9. ABD 【解析】设P (x 0，y 0)，则k PA ·k PB ＝y20－9x20＝y20－91－y209＝－9.设k PA ＝k (k ＞0)，则k PB ＝－9k，直线AP 的方程为y ＝kx －3，则点M 的坐标为(5,5k－3)．直线BP 的方程为y ＝－9k x ＋3，则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5，－45k ＋3，所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k －3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45k ＋3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋45k －6≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪25k ·45k －6＝24，当且仅当5k ＝45k，即k ＝3时等号成立．从而△DMN 面积的最小值为12×24×6＝72，故选ABD.10.2＋6－2【解析】如图，因为△ABF 为顶角是150°的等腰三角形，所以设AB ＝x ＝AF ，则由余弦定理得cos 150°＝AB2＋AF2－BF22AB ·AF，则BF ＝6＋22x .又OF ＝AB 2＋AF ·cos ∠AFO ＝3＋12x ＝2，解得x ＝6－2，BF ＝6＋22x ＝2，则2a ＝BF ＋BF 2＝BF ＋AF ＝2＋6－2.(第10题)11.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即点F 到点P 与点A 的距离相等，而FA ＝a2c －c ＝b2c，PF ∈(a －c ，a ＋c ]，于是b2c∈(a －c ，a ＋c ]，即ac －c 2<b 2≤ac ＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧ac －c2<a2－c2，a2－c2≤ac ＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ca <1，c a ≤－1或c a ≥12，又e ∈(0,1)，故e ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. 12.63【解析】如图，设点F (c,0)，因为直线AB ：y ＝33x ，所以tan ∠AOF ＝33，即∠AOF ＝30°.又AF ⊥BF ，O 为AB 中点，所以OA ＝OF ＝c ，所以点A (c cos ∠AOF ，c sin ∠AOF )，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2.因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2在椭圆上，所以3c24a2＋c24b2＝1，又b 2＝a 2－c 2，化简得3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即3e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝23或2(舍去)，故e ＝63.(第12题)13. 【解答】 (1) 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧94a2＋3b2＝1，c a ＝53，c2＋b2＝a2，解得a 2＝9，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x29＋y24＝1.(2)由(1)知A (0,2)，所以∠PAQ 的平分线方程为y ＝2x ＋2，在直线y ＝2x ＋2上取点B (－1,0)，则AB ＝5，因为直线AP ，AQ 互相垂直，所以∠PAQ ＝90°，所以点B 到AP ，AQ 的距离为102.设AP ：y ＝kx ＋2，则102＝|－k ＋2|1＋k2，解得k ＝－3或13.不妨取AP ：y ＝－3x ＋2，则AQ ：y ＝13x ＋2，分别与椭圆C 方程联立解得x P ＝10885，y P ＝－15485，x Q ＝－125，y Q ＝65，所以直线PQ 的斜率k PQ ＝－3239.14. 【解答】 (1) 由点P (2，3)在椭圆上可得2a2＋3b2＝1，整理得2b 2＋3a 2＝a 2b 2①.由S △PF 1F 2＝12×2c ×3＝23，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋4，代入①式整理得b 4－b 2－12＝0，解得b 2＝4，a 2＝8.所以椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.(2) 由(1)可得F 2(2,0)，所以设直线l 1：x ＝my ＋2，联立直线与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x28＋y24＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋4my －4＝0，所以直线l 1与椭圆两交点的中点M 的纵坐标y M ＝y1＋y22＝－2mm2＋2.同理直线l 2与椭圆两交点的中点N 的纵坐标y N ＝2m 1m2＋2＝2m2m2＋1，所以S △MNF 2＝12MF 2·NF 2＝121＋m2·1＋1m2·|y M ||y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2m 4＋5m 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2(m 2＋1)2＋m 2，将上式分子分母同除m (1＋m 2)可得， S △MNF 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22m2＋1m ＋m 1＋m2，不妨设m >0，令m2＋1m ＝t ，t ≥2，则S △MNF 2＝22t ＋1t ，令f (t )＝2t ＋1t ，f ′(t )＝2t2－1t2，因为t ≥2，所以f ′(t )>0，所以f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，△MNF 2的面积取得最大值，且S max ＝24＋12＝49. 第44讲双曲线1. C2. B3. B【解析】因为双曲线的右焦点为F (3,0)，即c ＝3，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，所以|3b|b2＋a2＝1，即3b c＝1，所以b ＝1，则a ＝c2－b2＝22，因此e ＝ca ＝324.故选B.4.B【解析】由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，a ＝b ，将点(3，2)代入双曲线方程得a ＝b ＝1，根据对称性，不妨设点P 在第一象限，点P 到x 轴的距离为h ，F 1F 2＝22，PF 1－PF 2＝2，由余弦定理得F 1F 22＝PF 12＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2，所以PF 1·PF 2＝4，由三角形面积公式得12PF 1·PF 2sin60°＝12F 1F 2·h ，解得h ＝62.故选B.5.A【解析】方法一：双曲线x24－y22＝1的右焦点F (6，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨设点P 在第一象限，由PO ＝PF ，得点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以△PFO 的面积为12×6×32＝324.方法二：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.6. D 【解析】如图，设△AMF 1的内切圆在边AF 1，AM 的切点分别为E ，G ，(第6题)则MF 1－MF 2＝2a ，得NF 1＋2－MF 2＝2a ，又NF 1＝EF 1＝GF 2，则GF 2＋2－MF 2＝2a ，得2＋MG ＝2a ，又MG ＝2，则2a ＝4, a ＝2，所以双曲线C 的离心率为22＋42＝2.故选D.7. BC 【解析】由双曲线方程x24－y212＝1，得a ＝2，b ＝23，c ＝a2＋b2＝4，所以实轴长2a ＝4，故选项A 错误；渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，故选项B 正确；离心率e ＝c a＝2，故选项C 正确；准线方程为x ＝±a2c ＝±1，取其中一条准线x ＝1，y ＝3x 与x ＝1的交点A (1，3), 点A 到直线y ＝－3x 的距离d ＝|3×1＋3|(3)2＋12＝3，故D 错误．故选BC.8.ACD【解析】对于A ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，正确；对于B ，由题意得F 2(2， 0)，F 1(－2， 0)，则以F 1F 2为直径的圆的方程不是x 2＋y 2＝1，错误；对于C ，F 1(－2， 0)到渐近线y ＝x 的距离为1，正确；对于D ，由题意得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x 0，y 0)，根据PF1→·PF2→＝0，解得x 0＝±62，y 0＝±22，则△PF 1F 2的面积为1，正确．9.AC【解析】设双曲线C 的左焦点为F ′，则QF －QF ′＝2a ，即QF ＝QF ′＋2a ，故QF ＋PQ ＝QF ′＋PQ ＋2a ≥PF ′＋2a .由题意可得PF ＝PF ′＝24＋1＝5，所以PQ ＋QF ＋PF ≥2PF ＋2a ≥14，所以a ≥2，则双曲线C 的离心率e ＝c a ＝26a≤6.因为e >1，所以双曲线C 的离心率的取值范围为(1，6]．10.x210－y25＝1【解析】由题意设所求双曲线方程为x212－y26＝k ，因为双曲线过点(23，－1)，所以1212－16＝k ，k ＝56，所以所求双曲线方程为x212－y26＝56，即x210－y25＝1. 11.10【解析】因为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，所以b a＝2，即b ＝2a .因为左焦点F (－3，0)，所以c ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2＝3，所以a 2＝1，b 2＝2，所以双曲线方程为x 2－y22＝1，直线l 的方程为y ＝2(x ＋3)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2(x ＋3)，x 2－y22＝1，消去y 可得x 2＋43x ＋7＝0，Δ＞0，所以x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝7，所以AB ＝1＋k2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4·48－28＝5×20＝10. 12. 75 【解析】由定义知PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＝6PF 2，所以PF 1＝125a ，PF 2＝25a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF21＋PF22－F1F222·PF1·PF2＝14425a2＋425a2－4c22·125a ·25a ＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2.因为cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，所以e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，75.当P ，F 1，F 2三点共线时，因为PF 1＝6PF 2，所以e ＝c a ＝75.综上，e 的最大值为75. 13. 【解答】(1) 设所求双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则 42－(－10)2＝λ，所以λ＝6.所以所求双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2) 将点M (3，m )代入双曲线方程，得326－m26＝1，所以m 2＝3，所以M (3，±3)．又由双曲线方程知F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝m2－3＝3－3＝－1，所以MF 1⊥MF 2.(3) 由MF 1⊥MF 2知∠F 1MF 2＝90°，所以MF 21＋MF 2＝F 1F 2.① 又因为MF 1－MF 2＝26，②①－②2得2MF 1·MF 2＝F 1F 2－24＝24，所以MF 1·MF 2＝12，所以S △F 1MF 2＝12MF 1·MF 2＝6.14. 【解答】 (1) 设双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x23－y 2＝1.(2) 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A＋x B＝62k 1－3k 2＜0，x A x B＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1.15. 【解答】 (1) 设点F 1，F 2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)(c >0)，由题知c a＝2，所以c ＝2a ，c 2＝4a 2，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32在双曲线C 上，所以1a2－94b2＝1，则b 2－94a 2＝a 2b 2，即3a 2－94a 2＝3a 4，解得a 2＝14，a ＝12.所以c ＝1.连接PQ ，因为OF 1＝OF 2，OP ＝OQ ，所以四边形PF 1QF 2为平行四边形．因为四边形PF 1QF 2的周长为42，所以PF 2＋PF 1＝22>F 1F 2＝2.所以动点P 的轨迹是以点F 1，F 2分别为左、右焦点，长轴长为22的椭圆(除去左右顶点)．可得动点P 的轨迹方程为x22＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 因为x 21＋x 2＝2，x212＋y 21＝1，x222＋y 2＝1，所以y 21＋y 2＝1，所以OG ·MN ＝MN ·OG ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y1＋y222＝12x21＋x22＋y21＋y22－2x1x2－2y1y2· x21＋x22＋y21＋y22＋2x1x2＋2y1y2 ＝123－2x1x2－2y1y23＋2x1x2＋2y1y2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x1x2－2y1y2＋3＋2x1x2＋2y1y22＝32. 当且仅当3－2x 1x 2－2y 1y 2＝3＋2x 1x 2＋2y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0时取等号，此时OM ⊥ON ，即△OMN 为直角三角形．第45讲抛物线1. D2. C 【解析】将x ＝4代入抛物线方程得P (4,4)，根据抛物线定义得PF ＝4＋p 2＝4＋1＝5.3.B【解析】设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，所以由定义知点P 到准线的距离为2,所以x P ＋1＝2，所以x P ＝1.代入抛物线方程得|y P |＝2，所以△OFP 的面积为S ＝12·OF ·|y P |＝12×1×2＝1.4.C【解析】抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，圆M ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2(r >0)的圆心为(3,4)，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到准线的距离为r ＝|4＋1|＝5.5.B【解析】因为CC 1的中点为M (1,4)，所以y A ＋y B ＝8，x C －p 2。

张志让刘启宽线性代数与空间解析几何 (二版)第八章习题解答

−
1
2⎟ 1 ⎟⎟
⎝2 ⎠
正定
⎜⎛ 3 2 − 3 ⎟⎞
⎜
2⎟
⑵ ⎜ 2 −2 −1⎟
⎜
2⎟
⎜ ⎜ ⎝
−
3 2
−1 2
⎟ 2⎟
⎠
不定
2
2．
⑴
⎜⎛ 1 ⎜t
t −1⎟⎞ 1 2 ⎟=A
⎜⎝ −1 2 5 ⎟⎠
⎛1 t ⎞ A' = ⎜⎜⎝t 1⎟⎟⎠
| A |= −5t 2 − 4t , | A'|= 1− t 2
对于λ1=2 ，
求
（λI-A）x=0,
得
⎛1⎞ x= ⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
,
单位化为
⎜⎛1/ ⎜⎝1/
2 2
⎟⎞ ⎟⎠
；
对于λ1=4
，
求
（λI-
A）x=0,
得
x=
⎛ ⎜⎜⎝
1⎞ − 1⎟⎟⎠
,
单位化为
⎜⎜⎝⎛
1/ −1/
2 2
⎟⎟⎠⎞
，
⎛1 1 ⎞
故
⎛ ⎜⎜ ⎝
x y
⎞ ⎟⎟ ⎠
=
⎜
⎜
⎜ ⎜⎝
2 1
2
−
2 1
f
(x1 ,
x2 )
=
x12
−
x1 x2
+
x22 =
x12
−
x1 x2
+
1 4
x22
+
3 4
x
2 2
=(
x1
−
1 2
x2 )2
+
3 4
x
2 2

高等数学(经济类)课后习题及答案第八章空间解析几何答案

习题8-1（A ）1．求空间两点(1,2,2)A 与(1,0,1)B -之间的距离．解：3AB ==．2．写出点()456A -，，的对称点坐标：（1）分别关于xOy 、yOz 、xOz 平面的对称点坐标；（2）分别关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）(4,5,6)--；(4,5,6)--；(4,5,6)．（2）(4,5,6)-；(4,5,6)---；(4,5,6)-．（3）(4,5,6)--．3．判断由()123A ，，，()315B ，，，()243C ，，三点构成的三角形的形状．解：因为3AB ==，AC ==BC ==，进一步，计算可得222AB AC BC +=，所以ABC ∆为直角三角形．4．求点(,,)M x y z 到各个坐标轴之间的距离．答案：M 点到x 轴的距离x d =M 点到y 轴的距离y d =，M 点到z 轴的距离z d =5．在x 轴上求一点M ，使它到点()321A -，，和()314B ，，的距离相等．解：由题意设点(,0,0)M x ，且满足MA MB ==，解得1x =，所以(1,0,0)M ．6．一动点(,,)M x y z 与定点0000(,,)M x y z 的距离为R (0)R >，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意0MM R =R =，即2222000()()()x x y y z z R -+-+-=． 7．一动点(,,)M x y z 与两定点(1,2,3)A 与(2,1,4)B -距离相等，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意MA MB == 整理得26270x y z -+-=．习题8-2（A ）1．设向量23u a b c =+-，32v a b c =-+，求2v u -．解：2(61)(22)(43)547v u a b c a b c -=-+--++=-+．2．已知点C 是线段AB 的中点，O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =，求OC ．解：由题意知AB b a =-，122b a AC AB -==，因此，22b a a b OC OA AC a -+=+=+=． 3．设点N M ,分别是四边形ABCD 两对角线BD 与AC 之中点，若AB a =， CDc =，求MN ．解：设BC 中点为E ，中位线1122EM CD c ==，中位线1122NE AB a ==，所以在MNE ∆中，1()2MN ME EN a c =+=-+． 4．已知向量(1,2,3)a =-，求2a -以及与a 平行的单位向量e ．解：22(1,2,3)(2,4,6)a -=--=--，与a 平行的单位向量1e 2,3)14a a =±=±-． 5．若2a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为π6，求：（1）a b ⋅；（2）(2)(3)a b ⋅-；（3）()(2)a b a b +⋅-；（4）a b ⨯；（5）(2)(3)a b ⨯-；（6）()(2)a b a b +⨯-．解：（1）cos 212a b a b θ⋅==⋅⋅= （2）(2)(3)663a b a b ⋅-=-⋅=-；（3）222222()(2)222212a b a b a ab b a ab b +⋅-=--=--=⋅=-；（4）1sin 2112a b a b θ⨯==⋅⋅=；（5）(2)(3)66a b a b ⨯-=⨯=；（6）()(2)22333a b a b a a a b b a b b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯=．6．已知向量(2,2,1)a =-、(1,2,3)b =，求a b ⋅ 、a b ⨯及Pr j a b ．解：21(2)2131a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=； 221856(8,5,6)123i j ka b i j k ⨯=-=--+=--；3a =，14b =，由a b ⋅1=可知cos θ=，所以1Pr j cos 3a b b θ==． 7．设()1,2,3M ，(2,1,3N ，求向量MN 的方向角和方向余弦．解：(1,MN =-，2MN =，方向余弦 1cos 2α=，1cos 2β=-，cos γ= 方向角 3πα=， 23πβ=，4πγ=． 8．一向量的终点为)7,1,2(-B 且它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标．解：由题意可知(4,4,7)AB =-，设A 点坐标为000(,,)x y z ，则024x -=，014y --=-，077z -=，解得02x =-，03y =，00z =，所有A 点坐标为(2,3,0)-．9．若向量(,2,1)a k =-与向量(,2,3)b k k =-垂直，求k 值．解：2430a b k k ⋅=--=，解得1k =-或4k =．10．求与向量(2,2,1)a =、(4,5,3)b =都垂直的单位向量．解：由题意22122(1,2,2)453i j kc a b i j k =⨯==-+=-，且3c =，故所求单位向量为1(1,2,2)3±-．11.已知点()1,1,1M ，()2,2,1A ，()2,1,2B ，求AMB ∠．解：因为()1,1,0MA =，()1,0,1MB =，所以111cos2MA MBAMB MA MB ⋅⋅∠===⋅，因此3AMB π∠=． 12．若a 与b 垂直且都是单位向量，求以u a b =+，v a b =-为邻边的平行四边形面积．答案：2．解析：由题意1a b ==，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为： ()()22S u v a b a b a a a b b a b b a b a b =⨯=+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯2sin 21112a b θ==⋅⋅⋅=．习题8-2（B ）1．证明向量()()b c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直．证：()()()()()()()()b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⎣⎦，因为()()()()b c a c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，故，所以()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦． 2．用向量证明三角不等式+AC BC AB <．证：设AB c =，AC b =，BC a =，则a c b +=，两边平方得22()a c b +=，即2222a c ac b ++=．又因22a a =，22c c =，22b b =，又2222cos b a c a c B =++，所以即2222b a c a c <++，故+AC BC AB <．3．已知向量,a b 满足5a =，6b =，15a b ⨯=，求a b ⋅．解：sin 30sin 15a b a b θθ⨯===，1sin 2θ=，cos 2θ=±，所以cos a b a b θ⋅==±． 4．已知向量,a b 满足a b ⊥，且3a =，4b =，求()()a b a b +⨯-．解：()()a b a b a a a b b a b b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯，因为0a a ⨯=，0b b ⨯=，a b b a ⨯=-⨯，则()()222sin a b a b a b a b a b θ+⨯-=-⨯=⨯=，又因a b ⊥，sin 1θ=，所以()()2sin 24a b a b a b θ+⨯-==． 5．已知向量a 、b 、c 两两垂直，且1a =、2b =、3c =，设s a b c =++，求s 以及s 与a 的夹角．解：22222()22214914s a b c a b c ab bc ac =++=+++++=++=，所以14s =.又因2()1s a a b c a a ⋅=++⋅==，所以=cos 1s a s a θθ⋅==，故 s 与a 的夹角θ=． 6．两个非零向量a 和b 满足如下条件：向量3a b +与75a b -垂直，并且向量4a b -与72a b -垂直，求向量a ，b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ，由(3)(75)a b a b +⊥-，有 220(3)(75)7151671516cos a b a b a a b b a b a b a b θ=+⋅-=⋅-⋅+⋅=-+；由(4)(72)a b a b -⊥-，有 220(4)(72)78307830cos a b a b a a b b a b a b a b θ=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-，上述两个方程联立，解得 21cos =θ，得π3θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．习题8-3（A ）1．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点(3,2,4)M --且垂直于x 轴；（2）过点(2,0,1)M -且平行于平面3753x y z -+=；（3）过点(2,9,6)M 且与线段OM 垂直，其中O 为坐标原点；（4）过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C ；（5）线段AB 的垂直平分面，其中(0,3,6)A ，(2,1,4)B -；（6）平行于xOz 平面且过点(2,4,3)M -；（7）过y 轴和点(1,4,1)M --；（8）过x 轴且垂直于平面03245=+-+z y x ；（9）过原点及点(6,3,2)M 且垂直平面8345=-+z y x ；（10）过点(2,1,1)M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1．解：（1）由于所求平面垂直于x 轴，故所求平面平行于yOz 平面，所以所求平面的方程为3x =；（2）设所求平面为375x y z k -+=，又因为其过点(2,0,1)M -，代入得1k =，所以所求平面方程为3751x y z -+=；（3）向量(2,9,6)OM =即为所求平面的法向量，又平面过点(2,9,6)M ，所以所求平面方程为2(2)9(9)6(6)0x y z -+-+-=，即296121x y z ++=；（4）所求平面的法向量为(3,4,6)(2,3,1)(14,9,1)n AB AC =⨯=--⨯--=-，代入点(2,1,4)A -，得到所求平面方程为14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即14915x y z +-=；（5）(2,4,2)AB =--即为所求平面的法向量，且过线段AB 的中点(1,1,5)，所以所求平面方程为2(1)4(1)2(5)0x y z -----=，即260x y z --+=；（6）由题意所求平面垂直于y 轴，且过点(2,4,3)M -，所以所求平面方程为4y =-；（7）设所求平面方程为0Ax Cz +=，代入点(1,4,1)M --得A C =，所以所求平面方程为0x z +=；（8）所求平面的法向量为1(1,0,0)(5,4,2)(0,2,4)n i n =⨯=⨯-=，且过原点，所以所求平面方程为20y z +=；（9）所求平面的法向量为1(6,3,2)(5,4,3)(17,28,9)n OM n =⨯=⨯-=-，所以所求平面方程为172890x y z -++=；（10）由题意设所求平面的截距式方程为121x y z c++=，其中c 为平面在z 轴上的截距，代入点(2,1,1)M -，解得1c =，所以所求平面为1211x y z ++=． 2．指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）0=z ；（2）012=-x ；（3）1=+y x ；（4）02=-z x ；（5）0=++z y x ；（6）1432=+-z y x ．答案：（1）xOy 平面；（2）垂直于x 轴的平面；（3）平行于z 轴的平面；（4）平行于y 轴的平面；（5）在x 轴、y 轴和z 轴上截距全为1的平面；（6）在x 轴、y 轴和z 轴上截距分别为2、3-和4的平面；3．求平面072=-+-z y x 与平面0112=-++z y x 的夹角．解：1(2,1,1)n =-，2(1,1,2)n =， 11111cos 24n n n n θ⋅===，所以两平面夹角π3θ=． 4．一平面过点(5,4,3)M 且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为1()1x y z a++=，代入(5,4,3)M 得12a =，所以所求平面为12x y z ++=．5．一平面过点(3,1,5)M --，且与平面3227x y z -+=-和5431x y z -+=-都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向12(3,2,2)(5,4,3)(2,1,2)n n n =⨯=-⨯-=-，又知其过点(3,1,5)M --，所以得到所求平面方程为2(3)(1)2(5)0x y z -++-+=，即2215x y z +-=．6．求点(4,2,3)M -到平面25x y z +-=的距离．解：由点到平面的距离公式可得d ===习题8-3（B ）1．一平面过两点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B ,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程．解：设所求平面方程为1x y z a b c++=，且0a b c ++=，将点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B 代入平面方程中，联立方程组解得3,6,9a b c ===-，或3,2,1a b c ==-=-，所以所求平面方程为1369x y z ++=-或1321x y z ++=--． 2．一动点(,,)M x y z 与平面1=+y x 的距离等于它到z 轴的距离，求动点M 的轨迹．解：由题意点M 到z轴的距离为，点M 到平面1=+y x，所以=，解得2222210x y xy x y +-++-=，即为动点M 的轨迹． 3．设平面π位于平面0221=-+-z y x ：π与平面0622=-+-z y x ：π之间，且将此两平面的距离分为1︰3，求平面π的方程．解：平面1π与2π之间的距离为641)2(126222=+-++-．设所求平面方程为02=++-D z y x ：π，则π与1π的距离应为611=d ，π与2π的距离应为632=d ，而666221+=+=D d D d 、，于是3612=+=+D D 、，得3-=D ，所以所求平面方程为032=-+-z y x ：π．4．一平面与平面632120x y z +++=平行，若点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为6320x y z D +++=，又点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，则=，即164D =+，得20D =-，12D =（舍），所以所求平面方程为632200x y z ++-=．5．求过x 轴且与点)5,0,2(M 的距离为5的平面方程．解：由π过x 轴，设所求平面方程为0=+Cz By ，由点)5,0,2(M 到π的距离为，有5522=+C B C，即2225C B C +=，得C B 2±= ，所求方程为02=+±Cz Cy ，即02=±z y ． 6．求平行于平面2250x y z +++=且与三坐标平面所构成的四面体的体积为1个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为220x y z D +++=，即122x y z D D D ++=---，由题意 11622D D V D =-⋅-⋅-=，解得D =±220x y z ++±=．习题8-4（A ）1．分别求满足下列各条件的直线方程：（1）过点)1,2,1(-M 且与直线43121zy x =--=+平行；（2）过原点垂直于平面03=-++z y x ；（3）过两点)1,2,3(-A ，)2,0,1(-B ；（4）过点)4,2,0(M 且与两平面12=+z x 及23=-z y 都平行；（5）过点)1,2,1(-M 且与直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩，平行．答案：（1）121234x y z --+==-；（2）x y z ==；（3）321421x y z -+-==-（或12421x y z +-==-）；（4）24231x y z --==-；（5）121311x y z +--==-． 2．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点)1,1,2(M 且垂直于直线20210x y z x y z +-=⎧⎨+-+=⎩，；（2）过点)2,1,3(-M 及直线12354zy x =+=-；（3）过z 轴，且平行于直线L ：102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩，；（4）过两平行直线13121-=+=-z y x 与 11322--=-=z y x ．答案：（1）36x y z ++=；（2）892259x y z --=；（3）40x y +=；（4）697x y z -+=．3．用对称式方程及参数方程表示直线123 4.x y z x y z -+=-⎧⎨-+=-⎩，解：先在直线上找一点，令1x =，解方程组236z y y z -=-⎧⎨-=⎩，得0,2y z ==-.故点(1,0,2)-在直线上．再求直线的方向向量s ，由题意可知12(2,1,1)s n n =⨯=--，所以对称式方程为12211x y z -+==--，从而参数式方程为122.x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，， 4．求两直线113:141x y z L -+==-与220:20x y L x z ++=⎧⎨+=⎩ 的夹角．解：由已知，有直线2L 的方向向量为(1,4,1)-，直线2L 的方向向量为(2,2,1)--，由夹角公式可得cos 2θ==，所以π4θ=． 5．求直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面02=+-z y x 的夹角ϕ．解：直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩的方向向量113(242)2(121)111ijks ==-=---，，，，，平面02=+-z y x 的法线向量(112)n =-，，，由直线与平面的夹角公式，有1πarcsinarcsin26s n s nϕ⋅====⋅． 6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）37423zy x =-+=-+和3224=--z y x ；（2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和3x y z ++=；（4）310220x y z x y +-+=⎧⎨--=⎩和253x y z ++=．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．7．求直线11321x y z+-==- 与平面010=-+-z y x 的交点．解：将直线11321x y z+-==-改写为参数方程t z t y t x =+-=-=、、1213，将其代入到平面方程010=-+-z y x 之中，有0101213=-+-+-t t t ，即0126=-t ，得2=t ，再将2=t 代到直线的参数方程之中，得235=-==z y x 、、，所以直线与平面的交点为(532)-，，．8．设直线1:112y L x z -==+，222:102x z L y +-=-=-，求同时平行于12,L L 且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量12(5,2,1)n l l =⨯=---，则其方程为520x y z D +++=，下面求D ．在1L 上取点1(1,0,1)M -，在2L 上取点2(2,1,2)M -，利用点到平面距离相等可得：=，解得1D =.因此，所求平面为5210x y z +++=． 9．求点(1,2,0)M -在平面点012=+-+z y x 上的投影．解：做过点(1,2,0)M -且垂直于平面012=+-+z y x 的直线方程为12121x y z+-==-，该直线与平面的交点522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭即为所求的投影点．习题8-4（B ）1．求点(2,1,3)A 关于直线11:321x y zL +-==-的对称点M 的坐标．解：设000(,,)M x y z ，过(2,1,3)A 做平面L ∏⊥，则的方程为∏325x y z +-=，求得直线L 与平面∏的交点为2133,,777B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则点B 是线段AM 的中点，因此由中点公式得101927,,777M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2．求原点关于平面6291210x y z +--=的对称点.解：过原点做该平面的垂线629x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入平面方程解得1t =，得直线与平面的交点为(6,2,9)-．设所求对称点为(,,)x y z ，则有0006,2,9222x y z +++===-，所以(,,)(12,4,18)x y z =-． 3．求点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离．解：过点()1,1,4M 作一个垂直于直线234112x y z ---==的平面，方程为(1)(1)2(4)0x y z -+-+-=，即2100x y z ++-=将直线234112x y z ---==的参数方程2324x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入到平面方程中，得12t =- 所以直线与平面的交点坐标为35,,322⎛⎫⎪⎝⎭，所以点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离为点()1,1,4M 与交点35,,322⎛⎫⎪⎝⎭的距离，即所求4．设直线L 在yOz 平面上的投影方程为231y z x -=⎧⎨=⎩，在zOx 平面上的投影方程为20x z y +=⎧⎨=⎩，求直线L 在xOy 平面上的投影方程．解：设过直线L 的平面束方程为231(2)0y z x z λ--++-=，即2(3)120x y z λλλ++---=，若该平面与z 轴平行，则有3λ=，所以L 在xOy 平面上的投影方程为327x y z +=⎧⎨=⎩．5．若直线131:23x y z L m --==-与2243:340x y z L +--==-相交，求m 的值及其交点的坐标．解：两直线相交即共面，有12120s s M M ⨯⋅=，12(12,9,83)s s m ⨯=----，12(5,3,3)M M =-，所以1m =．下面求交点：将直线方程改写为参数方程123:13x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，232:443x k L y k z =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，1L 与2L 相交时，下列方程组应有解：233214433t k t k t +=-⎧⎪+=-+⎨⎪-=⎩，解得1,1t k =-=，代入参数方程得到交点坐标为(1,0,3)．6．求过直线2821705810x y z x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩且与球面2221x y z ++=相切的平面方程．解：所求平面为28217(581)0x y z x y z λ+-+++-+=，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，球心为原点，到平面的距离等于半径1，所以1d ==，分子分母平方相等化简得2894285000λλ++=，即(2)(89250)0λλ++=，解得25089λ=-或2λ=-，代入方程，得所求平面为38716424421x y z --=或345x y -=． 7．求过原点，且经过点(1,1,0)P -到直线3:24x z L y x =-⎧⎨=-⎩的垂线的平面方程．解：由已知得L 的方向向量(1,2,1)s =，过点P 做直线L 的垂直平面，其方程为(1)2(1)0x y z -+++=，即210x y z +++=. 设交点0000(,,)P x y z 为直线L 与此平面的交点，解得0002811,,333x y z ==-=. 由于所求平面过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=,将P 、0P 坐标代入平面方程得：028110333A B A B C -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，解得116A B C ==. 故所求平面方程为111160x y z ++=．习题8-5（A ）1．分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点0(1,2,3)M -为球心，2R =为半径的球面方程；（2）以点(1,1,2)M -为球心，且过原点的球面方程；（3）与两定点(1,2,1)A -和(3,1,4)B 等距的动点轨迹；（4）与原点O 及定点)4,3,2(A 的距离之比为1﹕2的动点轨迹．答案：（1）222(1)(2)(3)4x y z -+-++=；（2）6)2()1()1(222=-+++-z y x ；（3）2510x y z -+=；（4）22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径：（1）222230x y z z ++--=；（2）2222420x y z x y z ++-++=．答案：（1）球心(0,0,1)，半径2；（2）球心(1,2,1)--． 3．写出满足下列条件的旋转曲面方程：（1）yOz 面上抛物线2y z =绕z 轴旋转一周；（2）yOz 面上直线z y 2=绕y 轴旋转一周；（3）xOy 面上椭圆1322=+y x 分别绕x 及y 轴旋转一周；（4）xOy 面上双曲线1222=-y x 分别绕x 及y 轴旋转一周．答案：（1）22z x y =+；（2）y =± （3）绕x 轴：2223()1x y z ++=，绕y 轴：22231x z y ++=；（4）绕x 轴：2222()1x y z -+=；绕y 轴：22221x z y +-=．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）3x =；（2）221x y -=；（3）2222=+y x .答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面；（2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面；（3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；． 5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）22(1)1x y -+=；（2）22194y x -= （3）22194x y +=；（4）22x z +=．答案：略．习题8-5（B ）1．一球面过原点和)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，求该球面的方程．解：设球面方程为222z 0x y z Dx Ey F +++++=，由于它过)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，因此164019301640D D E F +=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，，解得424.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，因此，该球面的方程为2224240x y z x y z ++--+=． 2．画出下列各曲面所围立体的图形:（1）0z =，3z =，x y =，x =，221x y +=（在第一卦限内）；（2）0x =，0y =，0z =，222x y R +=，222y z R +=（在第一卦限内）．答案：略．习题8-6（A ）1．说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）12x y =⎧⎨=⎩，；（2）221z x y z ⎧=+⎨=⎩，；（3）2228x y z z ⎧-=⎨=⎩，；（4）22282.x y z y ⎧-=⎨=-⎩，答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）5232;y x y x =+⎧⎨=-⎩，（2）22211.2x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.3．求曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影．解：由1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有221x y +=.因此，曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影为2210.x y z ⎧+=⎨=⎩，4．求曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影．解：由2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，，有223216x z +=. 因此，曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影为2232160.x z y ⎧+=⎨=⎩， 5．画出下列空间区域Ω的草图．（1）Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面围成；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及上半球面222y x z --=围成；（3）Ω由抛物面z x -=12，平面0=y ，0=z 及1=+y x 围成；（4）Ω是由不等式222R z x ≤+及222R z y ≤+确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在xOy 面及xOz 面上的投影区域．（1）介于球面22224a z y x =++内的圆柱体222)(a y a x ≤+-；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及抛物柱面x z 22=围成．答案：略．习题8-6（B ）1．分别求母线平行于x 轴与y 轴且都通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程．答案：平行于x 轴：22316y z -=；平行于y 轴：223216x z +=．2．求曲线22229x y z y z⎧++=⎨=⎩的参数方程．答案：3cos ,(02π)x y z θθθθ=⎧⎪=≤<⎨⎪=⎩．总习题八一、填空题1．设向量a m n =+，2b m n =-，且2m =，1n =，m 与n 的夹角π3θ=，则向量a 与b 的数量积a b ⋅= ；答案：1．解析：2222()(2)2cos 2a b m n m n m mn n m m n n θ⋅=+-=--=--142212=-⋅-=． 2．同时垂直于()1,2,1a =和()3,4,5b =的单位向量为；答案：)6,2,2--．解析：c a b =⨯=()1216,2,2345i j k=--，211c =所以)016,2,2211c c c==±--，即为所求单位向量． 3．设单位向量0a 的两个方向余弦为1cos 3α=，2cos 3β=，则向量0a 的坐标为；答案：0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭．解析：设第三个方向角为γ，由222cos cos cos 1αβγ++=，得2cos 3γ=± 所以0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 4．过点(3,1,2)M -且平行于直线121:2329x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩，和直线223:34x y z L x y z --=-⎧⎨++=⎩，的平面方程是；答案：32x y z ++=．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(2,3,2)(1,0,1)s =⨯=-，2(2,1,1)(1,3,1)(2,3,7)s =--⨯=-，所以所求平面的法向量为12(3,9,3)n s s =⨯=---，又因为所求平面过点(3,1,2)M -，由点法式得平面方程为3(3)9(1)3(2)0x y z ---+--=，化简得32x y z ++=．5．过点()0,2,3M -且与平面23x z +=垂直的直线方程为；答案：2302y z x -+==．解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为()1,0,2n =由对称式得所求直线方程为2302y z x -+==． 6．过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是；答案：247x y z -++=-．解析：点)3,1,3(-与题中的直线共面，所以点)3,1,3(-和直线通过的点(2,1,1)-所形成的向量1(1,0,2)s =--，直线的方向向量为2(3,1,2)s =，所求平面的法向量为12n s s =⨯(2,4,1)=-，所求平面方程为247x y z -++=-．7．xOz 平面上的抛物线22x z =+绕x 轴旋转所形成的旋转曲面方程是，绕z 轴旋转所形成的旋转曲面方程是；答案：绕x 轴的旋转曲面方程是222()x y z =++，绕z 轴的旋转曲面方程是2222(2)x y z +=+．8．曲线2221x y z y x⎧+-=⎨=⎩在xOz 平面上的投影是；答案：22210x z y ⎧-=⎨=⎩．解析：曲线在xOz 坐标平面上的投影是xOz 坐标平面上的柱面与xOz 坐标平面的交线，xOz 坐标平面上的柱面方程是2221x z -=，xOz 坐标平面的0y =，故投影方程是2221x z y ⎧-=⎨=⎩．二、选择题：1．设向量a 与b 满足a b a b +=-，则a 与b 一定（）； (A) 平行 (B) 同向 (C) 反向 (D) 垂直答案：C ．解析：当a 与b 反向时，a b a b +=-，故选C ． 2．设向量()()u b c a a c b =⋅-⋅，则有（）；.(A) u 与a 垂直 (B) u 与b 垂直 (C) u 与c 垂直 (D) u 与c 平行答案：C ．解析：()()u b c a a c b =⋅-⋅两边乘以c ，则()()()()0u c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故u 与c 垂直.3. 已知向量a 的方向平行于向量(2,1,2)b =--和(7,4,4)c =--之间的角平分线，且56a =，则a =（）；(A) 5(1,7,2)3- (B) 2(1,7,2)3- (C) 5(1,7,2)2- (D) 2(1,7,2)3答案：A ．解析：由题意可知3,9b c ==，则01(2,1,2)3b =--，01(7,4,4)9c =--，于是可设0()(1,7,2)9a b c λλ=+=-，又因56a =，故=15λ=，所以a =5(1,7,2)3-，选A ． 4．设空间直线的方程为043x y z==-，则该直线必定（）；(A) 过原点且垂直于X 轴(B) 不过原点但垂直于X 轴(C) 过原点且垂直于Y 轴 (D) 不过原点但垂直于Y 轴答案：A ．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为(0,4,3)s =-，X 轴的单位向量为(1,0,0)i =，所以0s i ⋅=，s i ⊥，选A ．5．已知平面π通过点(1,0,1)-，且垂直于直线30:240x y z L x y --+=⎧⎨-+=⎩，则平面π的方程是（）；(A) 21x y z -+= (B) 21x y z ++= (C) 22x y z -+= (D) 22x y z +-= 答案：B ．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即(1,1,1)(1,2,0)(2,1,1)n s ==--⨯-=---，所以平面π的方程为210x y z ++-=，选B ．6．若直线121:110x y z L λ--==与直线2210:50x y L x z λ++=⎧⎨-+=⎩垂直，则=λ（）； (A) 4 (B) 2 (C) 2- (D) 2± 答案：2λ=±.解析：直线1L 的方向向量1(1,10,)s λ=，直线2L 的方向向量2(1,2,0)(,0,1)(2,1,2)s λλ=⨯-=--，由题意知12s s ⊥，故120s s ⋅=，所以2λ=±.7．下列结论中错误的是（）；(A) 2230z x y ++=表示椭圆抛物面 (B) 222312x y z +=+表示双叶双曲面(C) 22220x y z +-=表示圆锥面 (D) 24y x =表示抛物柱面答案：B.解析：双叶双曲面的方程为2222221x y z a b c--=，故选择B.8．曲线22z z x y⎧=⎪⎨=+⎪⎩xOy 坐标平面上的投影是（）；(A) 122=+y x (B) 222=+y x(C) 2210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D) 222x y z ⎧+=⎨=⎩答案：C ．解析：联立两个曲面z =和22z x y =+，消去z 得到在xOy 坐标平面上的柱面方程为221x y +=，该柱面与xOy 坐标平面0z =的交线即为所求投影，故选C ．三、解答题.1．一单位向量e 与x 轴y 、轴的夹角相等，与z 轴夹角是前者的2倍，求向量e .解：设)2cos ,cos ,(cos ααα=e，由12cos cos cos 222=++ααα，有02sin cos 222=-αα，即0)sin 21(cos 22=-αα，所以2πα=或4πα=（43πα=舍去），于是)1,0,0(-=e 或)0,22,22(=e . 2．设非零向量,a b 满足Pr j 1a b =，计算极限0limx a xb ax→+-．解：原式222()()limlimlim()()x x x a xb aa xb aa xb a xb axx a xb a x a xb a →→→+-+-+⋅+-==++++22022limlimlimPr 1()a x x x a a xab x b b aa b xb b a b j b x a xb a a xb aa→→→⋅+⋅+⋅-⋅+⋅⋅=====++++．3．求平面3546x y z +-=与42x y z -+=的等分角平面方程．解：设所求平面为3546(42)0x y z x y z λ+--+-+-=，即 (3)(5)(44)620x y z λλλλ++-+---=，依题意有 =解得53λ=±，代入所设方程有75414x y z ++=和582x y z +-=． 4．过点)3,2,1(M ，求垂直于直线z y x ==且与z 轴相交的直线方程.解：设所求直线方程为p z n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．求与已知直线135:23x y L z +-==及2107:54x y L z -+==相交，且平行于直线321:387x y L z +-==-的直线方程．解：由题意可知所求直线L 的方向向量3(8,7,1)s s ==，以参数形式表示直线1L 和2L ，则L 与1L 和2L 的交点分别为1(23,35,)M t t t -+和2(510,47,)M λλλ+-，显然只需确定1M 和2M 之中的一点即可，因123//M M s ，故5213431287t t t λλλ-+--==-，即52138()43127()t t t t λλλλ-+=-⎧⎨--=-⎩，解得252t =-，从而知16525(28,,)22M ---，所以所求直线方程经整理得282652258142x y z +++==． 6．指出下列方程所表示的曲面的名称，若是旋转面，指出它是什么曲线绕什么轴旋转而成的．（1）2221499x y z ++=；（2）22214y x z -+=；（3）2221x y z --=；（4）222099x y z +-=；（5）224x y z -=；（6）0z =．答案：（1）旋转椭球面．可看成椭圆221490x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成，或者椭圆221490x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成．（2）单叶旋转双曲面．可看成双曲线22140y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，绕y 轴旋转而成，或者双曲线221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成．（3）双叶旋转双曲面．可看成双曲线2210x y z ⎧-=⎨=⎩，绕x 轴旋转而成，或者双曲线221,x z y ⎧-=⎨=⎩绕x轴旋转而成．（4）旋转抛物面．可看成抛物线20,90x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成，或者抛物线20,90y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成．（5）双曲抛物面．（6）旋转锥面．可看成射线,0z x y ==绕z 轴旋转而成，或者射线,0z y x ==绕z 轴旋转而成．7．指出曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕是什么曲线，并写出其方程：（1）2x =；（2）5y =；（3）2z =；（4）1z =．答案：（1）双曲线，方程为22542592z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，；（2）椭圆，方程为222945x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，；（3）两条直线，方程为352x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，和352x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，；（4）双曲线，方程为22392541.x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，。

高等数学(1)-2习题册8章答案

第八章空间解析几何与向量代数第1次课空间直角坐标系向量及其线性运算1．在x 轴上求与点(3,1,7)A -及(7,5,5)B -等距离的点．解：设所求点为(,0,0)x ，据题意知：22(3)149(7)2525x x --++=-++得2x =，于是所求点为(2,0,0)．2．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为12,D D ，再把各分点与点A 连接起来，试以,AB c BC a −−→→−−→→==表示向量−→−−→−A D A D 21,．解：113D A c a −−→=-- ，2D A −−→23c a =-- ．3．已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算向量123M M -的模、方向角．解：1236M M -= ,2,,343πππαβγ===．4．求平行于向量(3,2,1)a →=-的单位向量．解：0(aa→=5．已知||3a →=，其方向余弦31cos ,32cos ==βα，求向量a →的坐标表示式．解：设(,,)x y z a a a a →=，则2cos 3x aaα==，1cos 3y a a β== ，所以2x a =，1y a =. 又222cos cos cos 1αβγ++=，得24cos 9γ=，2cos 3γ=±． 2cos 3z a aγ==± ，所以2z a =±，于是，所求向量a →的坐标表示式为(2,1,2)a →=±．6．一向量的终点为)7,1,2(-B ,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和1，求该向量的起点A 的坐标.解：设起点A 的坐标为(,,)x y z ，则由24,14,71x y z -=--=--=可得(,,)(2,3,6)x y z =-．7．设32a i j k →→→→=--,2b i j k →→→→=+-，求(1)→→→→⨯⋅b a b a ,；(2) ,3)2(→→⋅-b a →→⨯b a 2；(3) ),cos(→∧→b a ；（4）b prj a →．解：（1）3,57a b a b i j k →→→→⋅=⨯=++ ；（2）(2)318a b →→-⋅=-，210214a b i j k →→⨯=++ ；（3）cos(,)14a ba b a b→→→∧→→→⋅==；（4）cos 14b prj a a ϕ→→===．8．已知)2,1,1(M 1-，)1,3,3(M 2，)3,1,3(M 3，求与−→−21M M 、−→−32M M 同时垂直的单位向量．解：设所求单位向量(,,)a x y z →=．12(2,4,1)M M −−→=-，23(0,2,2)M M −−→=-．1223M M M M ⨯241644022i j ki j k =-=---所求单位向量a →=12231223M M M M M M M M ⨯⨯=±． 9．已知(3,0,4),(5,2,14)OA OB =-=--，求AOB ∠平分线上的单位向量．解：AOB ∠平分线上的一个向量为011(3,0,4)(5,2,14)515OC OA OB =+=-+-- 2(2,1,1)15=-．所以，所求的AOB ∠平分线上的单位向量为OC OC= ． 10．若向量3a b + 垂直于75a b - ，4a b - 垂直于72a b - ，求a 和b之间的夹角．解：由题意知：(3)(75)0a b a b +⋅-= ，(4)(72)0a b a b -⋅-=22716150a a b b +⋅-= ，2273080a a b b -⋅+=整理得：24623a b b ⋅= ，22a b b ⋅= ，将22a b b ⋅= 代入22716150a a b b +⋅-= 得，a b = ，又22112cos(,)2b a b a b a b b→→→→∧→→→→⋅===故1(,)arccos23a b π→∧→==． 11．在Oxy 面上，求垂直于(5,3,4)a =-，并与a 等长的向量b ．解：设b (,,0)x y =，则b ===2250x y +=又由a b ⊥ ，可得 530x y -=．于是解方程组2250x y +=，530x y -=得1717x y ==或,1717x y =-=- 即b(,1717=或b(,0)1717=--． 12．求向量(3,12,4)a =- 在向量(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-上的投影．解：(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-102(6,2,3)134i j k=-=-．b prj a→(3,12,4)a b →→=⋅=-67=13．设向量4=α，3=β，6),(^πβα=，求以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积．解：以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积为22(2)(3)3()2()6S αβαβααββαβ=+⨯-=-⨯+⨯-^55s i n (,)543s i n6παβαβαβ=⨯=⋅⋅=⨯⨯30=提高题：设(2,1,2),(1,1,)a b z =--=，问z 为何值时^(,)a b 最小？并求出此最小值．解：记^(,)a b ϕ=，则cos a ba bϕ→→→→⋅==所以，ϕ=d1d3zϕ==当4z<-时，dd zϕ<；当4z>-，dd zϕ<．所以，当4z=-时，^(,)a bϕ=有最小值，且min4πϕ==．第2次课平面及其方程空间直线及其方程1．求满足下列条件的平面方程：（1）过点1(1,2,0)M和2(2,1,1)M且垂直于平面П：1=-xy．解：所求平面的法向量()1,1,0(1,1,1)110111i j kn=-⨯-=--i j=+．所求平面方程为1(1)1(2)0x y⋅-+⋅-=，即30x y+-=．（2）过点(2,3,0)A -，(1,1,2)B -且与向量{4,5,1}a →=平行．解：所求平面的法向量()3,4,2(4,5,1)342451i j kn =-⨯=- 14531i j k =-++所求平面方程为14(2)5(3)310x y z -⋅++⋅-+=，即14531430x y z --+=（3）过(1,1,1),(2,2,2)A B ---和(1,1,2)C -．解：所求平面的法向量()3,3,3(0,2,3)333023i j kn =--⨯-=--- 396i j k =-++．所求平面方程为3(1)9(1)6(1)0x y z -⋅-+⋅-++=，即320x y z -++=．2．求平行于平面6650x y z +++=，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面．解：设所求平面方程为1x y za b c++=．由题意知 116111/6/1/6abc t ab c ⎧=⎪⎪⎨⎪===⎪⎩得111,,66a b c t t t ===，将其代入116abc =，得16t =．所以 1,6,1a b c ===故所求平面方程为116x y z ++=． 3．一平面通过Oz轴与平面27x y +=的夹角为3π，试求此平面方程．解：因为所求平面过Oz ，所以可设平面方程为0Ax By += （1）则其法向量为(,,)A B O ．平面27x y +=的法向量为(2,1,．因为所求平面与已知平面的夹角为3π，所以cos 3π=223830A AB B +-= （2）联立（1）、（2）解得 13A B =再由A B 、不同时为零，代入式(1)可得所求平面方程为 30x y +=或30x y -=．4．求与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行、且过原点的平面方程．解：{}{}120,1,1,1,2,1s s ==由题意所求平面平行于两直线，则平面的法向量n与该两直线的方向向量垂直，即12011121i j kn s s i j k =⨯==-+-又平面过原点，所以所求平面方程为即 0x y z -+=．5．求满足下列条件的直线方程：（1）过点(4,1,3)-且平行于直线31122-=-=-z y x ．解：方向向量(2,1,3)s =- ，故所求直线方程为413213x y z -+-==-．（2）过点(5,2,3)-且垂直于平面132=+-z y x 的直线方程．解：方向向量(2,3,1)s = ，故所求直线方程为523213x y z --+==-．（3）过点(0,2,4)且与直线⎩⎨⎧=-=+2312z y z x 平行．解：12(1,0,2),(0,1,3)n n ==-．方向向量s = 12102(2,3,1)013i j kn n ⨯==--故所求直线方程为34221x y z --==-．6．试求直线21:24x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩的对称式方程和参数方程．解：直线L 的方向向量为{}11321112121--==⨯=,,kj i n n v 点（-2，0，3）在直线L 上，所求直线L 的对称式方程：13132--=-=+z y x7．求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面220x y z -+=的夹角．解：12(1,1,3),(1,1,1),(2,2,1)n n n ==--=-．方向向量s = 12113(2,4,2)111i j kn n ⨯==---．则sin s n s nϕ⨯==⋅故所求夹角为arcsin6． 8．求直线⎩⎨⎧=++-=--+0220532:z y x z y x l 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程．解：包含l 的平面束方程为235(22)0x y z x y z λ+--+-++=．(12)(2)(3)520x y z λλλλ++-+--+= 12(4,1,1),(12,2,3)n n λλλ=-=+--则124(12)(2)(3)1010n n λλλλ⋅=+--+-=-= ，得110λ=．故所求投影直线方程为12192948041x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩．提高题：1．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)，线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．第3次课曲面及其方程空间曲线及其方程1．建立以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：2222(1)(3)(2)x y z R -+-++= 因为过原点，得214R =．所求球面方程为222(1)(3)(2)14x y z -+-++=．2．一动点与两定点)1,3,2(和)6,5,4(等距离，求该动点的轨迹方程．解：设该点坐标为(,,)x y z ，则=所以该动点的轨迹方程为441063x y z ++=．3．求下列旋转曲面的方程：（1）xOy 面上的椭圆22221x y a b+=绕x 轴旋转所形成的旋转面的方程为（ 122222=++bz y a x ）．（2）zOx 面上的抛物线22x z =绕x 轴旋转的旋转抛物面方程是（ 222y z x += ）．（3）yOz 面上曲线22yz =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()z x y =+ ）．（4）xOy 面上曲线9422=+y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()94x z y ++= ）． 4．方程222y z x +=表示的二次曲面是（圆锥面）．5．方程221x y +=在空间所表示的图形是（圆柱面）． 6．方程22201x y x x z ⎧+-=⎨+=⎩代表的图形是（椭圆）．7．曲线22251x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎩⎨⎧==+0422z y x ）． 8．曲线222112x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x ）． 9．下列曲面是否是旋转曲面？若是，它是如何产生的？（1）z y x 422=+ （2）14425222=--z y x 解：（1）是，由xOz 面上曲线24x z =绕z 轴旋转而成，或yOz 面上曲线24y z =绕z 轴旋转而成．（2）是，由xOy 面上曲线221254x y -=绕x 轴旋转而成，或xOz 面上曲线221254x z -=绕x 轴旋转而成．10．画出下列曲面（或立体）的图形：（1）)(222y x z += （2）Rz z y x 2222=++（3）22y x z +=与222y x z --=所围的立体11．求以直线113:234x y z L ---==为中心轴，底半径为2的圆柱面方程．解：圆柱面是到直线L 的距离为2的动点轨迹，设所求圆柱面上点的坐标为(,,)x y z ，由点到直线的距离公式知2=将上式两边平方，整理即得所求圆柱面方程为16(1)(3)12(1)(1)580x z x y --+--+=2．证明：直线0:x z l a c y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在曲面2222221x y z a b c +-=上．证明：曲面2222221x y z a b c+-=是一个单叶双曲面，要证明直线l 在该曲面上，只需证明只需l 上的每一点都在该曲面上．直线l 的参数方程为:x at l y b z ct =⎧⎪=⎨⎪=-⎩将上式代入曲面方程，满足曲面2222221x y z a b c+-=方程，故直线l 在曲面上．13．求曲线222222:x y z l z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩，在xOy 平面上的投影曲线的方程．解：在曲线l 方程中消去z ，即得曲线l 在xOy 平面上的投影柱面方程为22222()2x y x y +++=即 2222(2)(1)0x y x y +++-=因为2220x y ++≠，所以有2210x y +-=，故所求投影曲线方程为 2210x y z ⎧+=⎨=⎩提高题：1．椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是经过点(4,0)且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成． (1) 求1S 及2S 的方程；(2) 求1S 及2S 之间的立体体积．第4次课第八章总复习题1．设3,4a b == ，且a b ⊥ ，求()()a b a b +⨯- ．解：因为a b ⊥ ，^sin(,)sin 12a b π== 故^()()22sin(,)243124a b a b b a b a a b +⨯-=⨯==⨯⨯⨯=2．设(2,3,1),(1,2,5),,a b c a c b =-=-⊥⊥ ，且(27)10c i j k ⋅+-= ，求 c ．解：设(,,)c x y z = ，由,c a c b ⊥⊥ 有230250270x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，得65155,,12412x y z ===，所以65155(,,)12412c = ． 3．设()2a b c ⨯⋅= ，求[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+ ．解：[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+()()a b b b a c b c c a =⨯+⨯+⨯+⨯⋅+()()a b a c b c c a =⨯+⨯+⨯⋅+()()()()()()a b c a c c b c c a b a a c a b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅2()a b c =⨯⋅4=4．直线过点(3,5,9)A --，且与两直线135:23y x L z x =+⎧⎨=-⎩和247:510y x L z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程．解：设所求直线方程3:59x lt L y mt z nt =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩因为直线L 与1L 和2L 相交，所以59359623mt lt nt lt +=-++⎧⎨-+=-+-⎩，即(3)92m l t n l-=-⎧⎨=⎩ 51247915510mt lt nt lt +=-+-⎧⎨-+=-++⎩即(4)24(5)4m l t n l t -=-⎧⎨-=⎩得2,22n l m l ==．令1l =，则2,22n m ==．故所求直线方程为3:52292x t L y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩．5．求过点(1,0,4)-，平行于平面340x y z -+=，且与直线132z x y +=-=相交的直线方程．解：设所求直线方程为1,(,,)4x lt y mts l m n z nt =-+⎧⎪==⎨⎪=+⎩．平面的法向量(3,4,1)n =- ，由于直线与平面平行，所以n s ⊥ ，即340l m n -+= 因为两直线相交，故有432nt lt mt +=-+=． ()3(2)4m l t l n t -=⎧⎨-=⎩，即43100m n l +-= 于是得419,728l n m n ==．令28n =，得16,19l m ==．故所求直线方程为31619428x t y t z t =-+⎧⎪=⎨⎪=+⎩．6．求通过下列两平面1:220x y z ∏+--=和2:32210x y z ∏--+=的交线，且与平面3:32360x y z ∏++-=垂直的平面方程．解：设所求平面方程为(22)(3221)x y z x y z λμ+--+--+= 即 (23)(2)(2)(2)x y z λμλμλμλμ++-+--+-+= 由于该平面⊥平面2∏，所以它们的法向量一点互相垂直，于是3(23)2(2)3(2)0λμλμλμ++-+--=得50λμ-=．取1,5λμ==，代入(22)(3221)0x y z x y z λμ+--+--+=，得所求平面方程为1791130x y z --+=．7．求与两平面632350x y z ---=和632630x y z ---=相切的球面方程，其中的一个切点为(5,1,1)--．解：由两平行平面的距离公式4d ==所以，球半径为2．求出另一个切点，过点作平面的法线方程561312x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=--⎩代入另一个平面方程，得47t =．从而得到球心坐标为471311(,,)777--．故所求球面方程为 222471311()()()4777x y z -++++= 8．求曲线22222(1)(1)z x y z x y ⎧=--⎪⎨=-+-⎪⎩在三个坐标面上的投影曲线的方程．解：方程组消z ，得22x y x y +=+，故曲线在xOy 面上的投影为 2200x y x y z ⎧+--=⎨=⎩ 同理可得曲线在yOz 面上和xOz 面上的投影为222243200y z yz y z x ⎧++--+=⎨=⎩和222243200x z xz x z y ⎧++--+=⎨=⎩。

(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___16___. 2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_____40π____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。

同济高等数学第八章学习指导及习题详解

462第八章向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节数量积向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。

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第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为22cos =α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=.3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得⎩⎨⎧==33y z ，则该点为)3,3,0(.4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ，所以)432(291k j i e a -+±=.5. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-. §8.2 数量积向量积 1.若3),(,4||,3||π===Λb a b a ，求b ac 23-=的模.解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=73443cos431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+，证明：0=⋅b a .证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知)()()()(b a b a b a b a -⋅-=+⋅+，展开可得b a b a b a b a ⋅-+=⋅++2||||2||||2222，即04=⋅b a ，故0=⋅b a .3.4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影. 解：934)3(231=⨯+-⨯+⨯=⋅b a ，7799916419cos =++⋅++=θ，77arccos=θ. 因为a j b b a b Pr ||=⋅，所以3339Pr ==a jb .5..§8.3 曲面及其方程 1.填空题（1）将xOz 坐标面上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（2224y x z +=）.（2）以点)2,3,2(-为球心，且通过坐标原点的球面方程为（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.（3）将xOy 坐标面的圆422=+y x 绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（4222=++z y x ）.2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，可得194166333222=+---++z y x z y x ，即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为心，半径为352的球面. 3§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题（1）二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=3412x y x y 在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点)5,2(）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z 轴且过点)0,5,2(）.（2）旋转抛物面)20(22≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为（⎩⎨⎧=+=222z y x z ），在x O z 面上的投影为（22≤≤z x ），在y O z 面上的投影为（22≤≤z y ）.2.求球面4222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.解：将x z -=1代入4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影方程为⎩⎨⎧=+-=322022y x x z . 4.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 的柱面方程.解：在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平行于x 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平行于y 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平行于z 轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）⎩⎨⎧-==++-14)1(222x y z y x .解：将1-=x y 代入4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ，即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . . §8.5 平面及其方程 1. 填空题（1）一平面过点)4,1,1(-且平行于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平面的点法式方程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平面的一般方程为（023=---z y x ）,平面的截距式方程（12232=-+-+zy x ）,平面的一个单位法向量为（)1,3,1(1111-）. （2）设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有一个成立）时，直线L 平行于x 轴但不与x 轴相交；当（2121D D B B =）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x121422111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平面02=-+z y x 和052=+-z y x 的平面方程.解：该平面的法向量为k j i kj i 37521211--=--，平面的方程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于yOz 平面且经过点)2,3,2(--；（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；（3）求平行于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平面方程. 解：（1）yOz 平面的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为0)2(0)3(0)2(1=+⋅++⋅+-⋅z y x ，即2=x . （2）所求平面的法向量即垂直于y 轴又垂直于向量)1,1,2(-=n ，所以所求平面的法向量为k i kj i2010112+-=-，因此所求平面的方程为0)1(2)1(0)2(1=-⋅++⋅+-⋅-z y x ，即02=-z x .（3）由于所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By . 将点)2,1,2(-和)1,0,4(-分别代入0=++D Cz By 得02=+-D C B 及0=+-D C ，解得D C =及D B =. 因此所得方程为0=++D Dz Dy ，即01=++z y .§8.6 空间直线及其方程 1. 填空题（1）直线421z y x =-=和平面442=+-z z x 的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点)0,1,1(-且与直线321123-+=-=-z y x 平行的直线的方程是（31121-=+=-zy x ）. （3）直线182511+=--=-z y x 与直线⎩⎨⎧=+=-326z y y x 的夹角为（3π）. 2.化直线⎩⎨⎧=++=+-522z y x z y x 为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为k j i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=. 取10=x ，代入直线方程可得10=y ，20=z . 所以直线的对称式方程为321121-=-=--z y x . 令t z y x =-=-=--321121，所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 32121.3.求过点)3,0,2(且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即21n n n ⨯=)11,14,16(253421-=--=kj i . 所求平面的方程为0)3(11)0(14)2(16=-+-+--z y x ，即01111416=+--z y x .4. 确定λ的值，使直线:L ⎩⎨⎧=-+=-+02012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，并求直线L 与平面∏之间的距离.解：直线L 的方向向量n k j i kj i --==2101012，要使直线L 与平面∏平行，只要0=⋅s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量），即0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，10=z ，直线L 与平面∏之间的距离33)1(11|)1(11111|222=-++-⨯+⨯-⨯=d .第八章空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题：（1）已知1||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为3πθ=，则=-||b a （3）.（2）若向量)1,2,1(-=a ，=b ),,3(μλ-平行，则=),(μλ（)3,6(-）. （3）已知向量OM 的模为10，且与x 轴的夹角为6π，与y 轴的夹角为3π，与z 轴的夹角为锐角，则OM =（) 0 5, , 3(5）.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是（⎩⎨⎧==+0222z a y x ）.（5）xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是（16)(4222=+-z y x ）. （6）直线pz z n y y m x x 111-=-=-与平面0=+++D Cz By Ax 的夹角θ 的正弦=θsin （222222CB A pn m pC nB mA ++++++）.（7）方程y z x =-22所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 122及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.（9）已知动点),,(z y x P 到yOz 平面的距离与点P 到点)2,1,1(-的距离相等，则点P 的轨迹方程为（012)2()1(22=++-+-x z y ）.（10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）.2. 设k i a -=，k j i b ++=，求向量c ，使得b c a =⨯成立，这样的c有多少个，求其中长度最短的c . 解：设=c ),,(z y x ，则c a⨯k y j x z i y zyk j ++-=-=)(10，则1,1-=+=x z y ，因此这样的c )1,1,(x x --=，有无穷个.由于||c 23)21(2)1(1222++=--++=x x x ，因此，当21-=x 时，即c )21,1,21(--=长度最短.3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ∆的面积最小.解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=，)0,1,1(--=x，k j x i x j iAC AB +-+=---=⨯)1(221101，故A B C∆的面积为1)]1(2[221||2122+-+=⨯=x S ，显然，当1=x 时，ABC ∆的面积最小，为25，所求点为)0,0,1(. 4. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2222242y x z z y x 在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在xOy 平面投影为⎩⎨⎧==-04222z y x ；在y O z 平面投影为⎩⎨⎧==-043222x y z ；在zOx 平面投影为⎩⎨⎧==-04322y z x . 5.求原点关于平面:∏0=+++D Cz By Ax 的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面0=+++D Cz By Ax 的直线，该直线的方向向量等于平面∏的法向量),,(C B A ，所求直线的对称式方程为C z B y A x ==，即⎪⎩⎪⎨⎧===Ctz Bt y Atx 为其参数方程. 将此参数方程代入平面∏，有0)(222=+++D t C B A ，解得222C B A Dt ++-=，即直线与平面的交点为),,(222222222C B A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 设所求的对称点为),,(000z y x ，则222020C B A AD x ++-=+，222020CB A BDy ++-=+，222020C B A CDz ++-=+，即所求的对称点为)2,2,2(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 6.求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程. 解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：k j i kj i n 232111210--=--=，则过点),,(101的平面0∏的方程为：0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨⎧=+--=-+-0123012z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧--==)12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+xx z y ，即0416*******=+---z y x x .7.求球心在直线11212--==-z y x 上，且过点)1,2,1(-和点)1,2,1(--的球面方程.解：设球心为),,(z y x ，则222222)1()2()1()1()2()1(-++++=++-+-z y x z y x ，即 02=-+z y x .又因为球心在直线上，直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 122，将直线的参数方程代入02=-+z y x ，可得61-=t ，球心坐标为)67,31,611(-，所求球面方程为665)67()31()611(222=-+++-z y x .8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ，10122:2z y x L =-=-，求过1L 且平行于2L 的平面方程.解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i kj i 43212121--=-.因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即08432=+--z y x .9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0201z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为0)2(1=++++++z y x z y x λ，即01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为 31)32(61)1()1()12(|10)1(0)1(0)12(|2222++=++++++⨯++⨯++⨯+=λλλλλλλd要使平面与原点的距离最大，只要32-=λ，即该平面方程为03=---z y x .10. 设两个平面的方程为052=---z y x 和062=--+z y x（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和yOz 坐标面垂直的平面方程. 解：（1）两个平面的法向量为)1,1,2(1--=n 和)2,1,1(2-=n ，设两个平面的夹角为θ，则21)2(111)1(2|)2()1(1112|||||||cos 2222222121=-+++-+-⨯-+⨯-⨯=⋅=n n n n θ，所以3πθ=.（2）因为角平分面上任意一点),,(z y x 到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得222222)2(11|62|)1()1(2|52|-++--+=-+-+---z y x z y x ，即)62(52--+±=---z y x z y x ，所求的角平分面方程为12=+-z y x 或1133=-z x .（3）设通过两个平面的交线的平面方程为)62(52=--++---z y x z y x λ，即0)65)12()1()2(=--+--++λλλλz y x ，由于该平面垂直于yOz 坐标面，所以00)12(0)1(1)2(=⋅+-⋅-+⋅+λλλ，可得2-=λ，因此所求的平面方程为0733=--z y .。