第八章：向量代数及空间解析几何 第四节-388
高等数学下册第八章 向量代数与空间解析几何
离.因为
PA 32 ( y 1)2 (z 2)2 ， PB 42 ( y 2)2 (z 2)2 ，
PC 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
所以 32 ( y 1)2 (z 2)2 42 ( y 2)2 (z 2)2 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
零向量: 模为 0 的向量,
向量相等、向量平行向量共线、负向量、向量共面.
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
向量线性运算的几何表达 ➢加法
平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
三角形法则: a ab
a (b c) ab b
b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
解 4u 3v 4 2a b 2c 3 a 4b c 5a 16b 11c.
例 如果平面上一个四边形的对角线互相平分试用向量证明
这是平行四边形
证 ABOBOA , DC OCOD 而 OC OA OD OB
所以
DC OA OB OB OA AB
这说明四边形 ABCD 的对边 AB CD 且 AB // CD 从而四边形
第八章
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
DMU
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系 第二节 数量积 向量积 混合积 第三节 平面及其方程 第四节 空间直线及其方程 第五节 曲面方程 第六节 空间曲线方程
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
b a b≤+，向量与数的乘法a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速向量A B ''在轴上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1（投影定理）=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质可推广到有限个向量的情形。
：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =+acos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。
2a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos ab θ所以2cos xa b a ba θ∙==+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。
a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。
如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y zi j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。
注意向量的平行、垂直关系及角度。
利。
高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数ppt精选课件
对两点 A( x1 , y1 , z1) 与 B( x2 , y2 , z2 ), 因
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 得两点间的距离公式:
B
A
AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
.
2. 方向角与方向余弦
ijk, ij jk k i 0 ,
|i| |j| |k | 1 ,
ii jj k k 1 .
a
b
a x bx
ayby
azbz
.
a b |a |b ||co scos|a a||bb|,
由此得两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az 2 bx2 by2 bz2
(2)a b 0 ab 证 () a b 0,|a|0, |b|0,
co s0, , a b .
() a a b b ,|a |b ||c 2 , 2o 0 c .o s s0,
.
2、数量积符合下列运算规律： (1) 交换律： a b b a (2) 分配律： ( a b ) c a c b c
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0
|
c c|
2
j
5
15k.
.
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
.
第三节 平面及其方程
.
一、平面的点法式方程
对支点O
的力矩是一向量
M
，它的模
F
|M | |O|F |Q |
O
P
L
|O|F |P |s in
Q
M
的方向垂直于OP
高数第八章总结
第八章空间解析几何与向量代数
第一节向量及其线性运算
1、右手定则方向角
2、记Prju r或（r）u ：向量r在u轴上的投影
第二节数量积向量积混合积
1、a*b= 大小——a·b·sin
方向——右手定则确定
2、a*b=a=（a1，a2，a3）b=（b1，b2，b3）
3、混合积为（a*b）·c记作[abc]的作用：
①平行六面体的体积
②[abc]=0时说明三向量共面
③满足轮换对称性：[abc]= [bca] = [cab]
第三节曲面及其方程
①椭圆锥面
③单叶双曲面④双叶双曲面
⑤椭圆抛物面⑥双曲抛物面
第四节空间曲线及其方程
1、一般方程： F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
x=x(t)
2、参数方程： y=y(t)
z=z(t)
第五节平面及其方程
1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
[其中法向量n=(A,B,C) M0为(x0,y0,z0)]
2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0（一般需要四个平面上的点求出）第六节空间直线及其方程
1、一般方程： A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
2、点向式：
[其中方向向量为s=(p,m,n) 已知点为M0（x0,y0,z0）]
3、平面束方程的重要应用：P48。
高等数学期末复习-向量代数与空间解析几何
r a
与三个坐标面
xoy,
yoz,
zox
的夹角分别为1, 2,
3 （
0
1, 2,
3
2
），则
cos2 1 cos2 2 cos2 3
;
解： cos2 1 cos2 2 cos2 3 2 ，所以填 2。（内容要求 2）
r 4、向量 a
(1,
1,
).
(A) a b a b
(B) a b a b
(C) a b a b
(D) a b a b
解： a b 2 | a |2 | b |2 2 | a | | b | cos | a |2 | b |2 ，（ cos =0）
a b 2 | a |2 | b |2 2 | a | | b | cos | a |2 | b |2
{2, 4,
}
，且
r a
/
r /b
，则
(
)；
10
(A)
(B) 10
(C) 6
(D) 6
3
3
解：因为
ar
/
r /b
，所以
1
2
3
，所以选 C。（内容要求 8）
24
r
r
r
r
16、设向量 a {2, 1, 10} ， b {4, 2,1}，则向量 a 与向量 b 的关系是(
5）
11、已知 a 1, b
2
，且 a 与 b 的夹角为
，则
a
b
(
).
4
(A) 5
数学强化班(武忠祥)-高数第八章 向量代数与解析几何及多元微分在几何上应用
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用第一节 向 量1．数量积1）几何表示：αcos ||||b a b a =⋅. 2) 代数表示: z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ⋅=⋅ii) 分配律: .)(c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅ 4) 几何应用:i) 求模: a a a ⋅=||ii) 求夹角: ||||cos b a ba ⋅=α iii) 判定两向量垂直: 0=⋅⇔⊥b a b a 2.向量积1) 几何表示 b a ⨯是一向量. 模: αsin ||||||b a b a =⨯. 方向: 右手法则.2) 代数表示: zyx z y xb b b a a a k j ib a =⨯. 3) 运算规律 i) b a ⨯= )(a b ⨯-ii) 分配律: ⨯a (c b +)=b a ⨯+c a ⨯. 4)几何应用:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ⨯.ii) 求以a 和b 为邻边的平行四边形面积:=S |b a ⨯|.iii)判定两向量平行: ⇔b a //0=⨯b a . 3.混合积: c b a abc ⋅⨯=)()( 1) 代数表示:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) 几何应用i) 平行六面体V =|)(|abc .ii)判定三向量共面: c b a ,,共面⇔(abc )=0.题型一 向量运算例8.1 设,2)(=⋅⨯c b a 则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a +⋅⨯+⨯+⨯+⨯=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( a c b c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=⋅⋅+⨯⋅⨯))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ⋅+⨯=⋅⋅+⨯⋅⨯ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=⋅b a ,则=⨯||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解 由于2),cos(==⋅∧b a b a b a ，而2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从而4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=⋅==⨯∧b a b a b a题型二 向量运算的应用及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的角平分线向量且使其模为32。
(完整版)第八章向量代数及空间解析几何教学案(同济大学版高数)
第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2．量的表示方法有: a、i、F、OM等等。
a=：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全3．向量相等b重合的向量）。
4．量的模：向量的大小，记为a。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
a//：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平5．量平行b行。
-6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a二、向量的线性运算1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－42．c b a =- 即c b a =-+)(3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ=其满足的运算规律有：结合率、分配率。
设0a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么aa a 0=定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b ＝a λ例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。
第八章 空间解析几何与向量代数 ppt课件
【例4】P11例8 uuur
方法2 :设 OA ( x, y, z)
则由
cos
3
uuxur |OA|
x
6
1 2
3
z
A
O
4 y
x3
cos
4
uuyur y 6 |OA|
2 3 2
2
uuur | OA | x2 y2 z2 6 z 3
A(3, 3 2, 3)
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18
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(3)
ar
r 0
则
若 0，则 ar 若ar 0，则
分配律.
r r0 ； 0.
见P4
.
(4)定理1.1：设
r a
r 0
,则
r a
/
r /b
1
r R, 使得b
ar
.
(5)与
r a
同向的单位向量为：er
ar o
ar r
.
|a|
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6
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【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
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2
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§1 向量及其线性运算
第一次课
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
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3
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一、向量的概念
1.向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
r rr
gi j k
r
ri 1 0 0
j0 1 0
r
k0 0 1
r
r
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z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令 t , b v
M o
x y
上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
C
(x, z) y0
0
例如,
C
:
x
2
x2 (y
y2 1) 2
z2 1 (z 1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程为
x
2
2
y z
2 2 0
y
0
z
C
o
1y
x
画出下列各曲面所围图形:
2y2 x
x y z 1Leabharlann 422z0(8, 2,0)
4
x
z
z 2 o (2,1,0) y
o
x
y
z 1
1
1o x
1
x2 1 z y0
z0 x y 1
y
1z
1
1
x
1y
z
(1,1)
o 1
x
x2 y2 z
y2 x
y (1,1)
x 1 z0
又如 x2 z2 a2 x2 y2 a2
与x y z 0
z
a
oa
y
x
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线在
二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
Co x
1y
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
z
ay x xz20y2 ax
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
o 1y
x
又如,方程组
(2) 将第二方程变形为
故所求为
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
x
T