上海长宁、嘉定区2017届高三上学期期末数学试卷

2016-2017学年度长宁、嘉定区高三年级第一次质量调研数 学 试 卷一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．1．设集合},1|2|{R ∈<-=x x x A ，集合Z =B ，则=B A _____________． 【解析】|x ﹣2|＜1，即﹣1＜x ﹣2＜1，解得1＜x ＜3，即A=（1，3）， 集合B=Z ， 则A∩B ={2}， 故答案为：{2}2．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）的最小正周期是π，则=ω____________． 【解析】∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πωx y （0>ω）， ∴T=2|πω｜　=π，∴ω=2． 故答案是：2．3．设i 为虚数单位，在复平面上，复数2)2(3i -对应的点到原点的距离为__________．【解析】复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．4．若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(，则实数=a __________． 【解析】函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图象经过点（4，1）， 即函数a x x f ++=)1(log )(2的图象经过点（1，4）， ∴4=log2（1+1）+a ∴4=1+a ， a=3．故答案为：3．5．已知nb a )3(+展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则=n ______．【解析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n 据题意得，解得n=6．故答案：66．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有___________种．【解析】根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30， 故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种． 故答案为60．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm 、圆心角为︒270的扇形，则这个圆锥的体积为_____________3cm ．【解析】设此圆锥的底面半径为r ，由题意，得： 2πr=π×2， 解得r=． 故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．8．若数列}{n a 的所有项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++ （*N ∈n ），则=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→1321lim212n a a a n n n _____________． 【解析】∵++…+=n2+3n （n ∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n ≥2时，且++…+=（n ﹣1）2+3（n ﹣1），可得：=2n+2，∴an=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．9．如图，在△ABC 中，︒=∠45B ，D 是BC 边上的一点，5=AD ，7=AC ，3=DC ，则AB 的长为_____________．【解析】在△ADC 中，AD=5，AC=7，DC=3， 由余弦定理得cos ∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60° 在△ABD 中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得 ，∴AB=故答案为：．10．有以下命题：① 若函数)(x f 既是奇函数又是偶函数，则)(x f 的值域为}0{； ② 若函数)(x f 是偶函数，则)(|)(|x f x f =；③ 若函数)(x f 在其定义域内不是单调函数，则)(x f 不存在反函数；④ 若函数)(x f 存在反函数)(1x f -，且)(1x f -与)(x f 不完全相同，则)(x f 与)(1x f -图像的公共点必在直线x y =上．其中真命题的序号是______________（写出所有真命题的序号）．【解析】①若函数f （x ）既是奇函数又是偶函数，则f （x ）=0，为常数函数，所以f （x ）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f （﹣x ）=f （x ），所以f （|x|）=f （x ）成立，所以②正确． ③因为函数f （x ）=在定义域上不单调，但函数f （x ）存在反函数，所以③错误． ④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x 对称，但不一定在直线y=x 上， 比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x ≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1）， 显然交点不在直线y=x 上，所以④错误． 故答案为：①②．11．设向量)2,1(-=OA ，)1,(-=a OB ，)0,(b OC -=，其中O 为坐标原点，0>a ，0>b ，若A 、B 、C 三点共线，则b a 21+的最小值为____________． 【解析】向量=（1，﹣2），=（a ，﹣1），=（﹣b ，0），其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0， ∴=﹣=（a ﹣1，1），=﹣=（﹣b ﹣1，2），∵A 、B 、C 三点共线， ∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b ）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8， 故答案为：812．如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ， 一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点 的最短路线的长为__________cm ．【解析】将正三棱柱ABC ﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值． 由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．“2<x ”是“24x <”的……………………………………………………………（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【解析】由x2＜4，解得：﹣2＜x ＜2， 故x ＜2是x2＜4的必要不充分条件， 故选：B ．14．若无穷等差数列}{n a 的首项01<a ，公差0>d ，}{n a 的前n 项和为n S ，则以下结论中一定正确的是……………………………………………………………………………（ ）（A ）n S 单调递增 （B ）n S 单调递减 （C ）n S 有最小值 （D ）n S 有最大值【解析】Sn=na1+d=n2+n ，∵＞0，∴Sn 有最小值． 故选：C ．15．给出下列命题： （1）存在实数α使23cos sin =+αα；（2）直线2π-=x 是函数x y sin =图象的一条对称轴；（3）)cos(cos x y =（R ∈x ）的值域是]1,1[cos ；（4）若α，β都是第一象限角，且βα>，则βαtan tan >．其中正确命题的序号为……………………………………………………………………（ ）（A ）（1）（2） （B ）（2）（3） （C ）（3）（4） （D ）（1）（4） 【解析】（1）∵，∴（1）错误； （2）∵y=sinx 图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos （cosx ）的最大值为ymax=cos0=1，ymin=cos （cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确； （4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B ．16．如果对一切正实数x ，y ，不等式y x a x y 9sin cos 42-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-34, （B ）),3[∞+ （C ）]22,22[- （D ）]3,3[-【解析】∀实数x 、y ，不等式﹣cos2x ≥asinx ﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x 恒成立，令f （y ）=+，则asinx+1﹣sin2x ≤f （y ）min ， 当y ＞0时，f （y ）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f （y ）min=3；当y ＜0时，f （y ）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f （y ）max=﹣3，f （y ）min 不存在； 综上所述，f （y ）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x ≤3，即asinx ﹣sin2x ≤2恒成立． ①若sinx ＞0，a ≤sinx+恒成立，令sinx=t ，则0＜t ≤1，再令g （t ）=t+（0＜t ≤1），则a≤g （t ）min ． 由于g′（t ）=1﹣＜0，所以，g （t ）=t+在区间（0，]上单调递减， 因此，g （t ）min=g （1）=3， 所以a ≤3；②若sinx ＜0，则a ≥sinx+恒成立，同理可得a ≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a ∈R ； 综合①②③，﹣3≤a ≤3． 故选：D ．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图：已知⊥AB 平面BCD ，CD BC ⊥，AD 与平面BCD 所成的角为︒30，且2==BC AB ．（1）求三棱锥BCD A -的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且72cos 22sin 82=-+A CB ．（1）求角A 的大小； （2）若3=a ，3=+cb ，求b 和c 的值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．某地要建造一个边长为2（单位：km ）的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘．如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为)2,1(，曲线OD 是函数2ax y =图像的一部分，过边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数b kx y +=（0>k ）的图像，与线段DB 交于点N （点N 不与点D 重合），且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN为绿化风景区．（1）求证：28k b =-；（2）设点P 的横坐标为t ，① 用t 表示M ，N 两点的坐标；② 将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数)(t S S =， 并求S 的最大值．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数3329)(+⋅-=xxa x f ．（1）若1=a ，]1,0[∈x ，求)(x f 的值域；（2）当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最小值)(a h ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：① 3>>m n ；② 当)(a h 的定义域为],[n m 时，其值域为],[22n m ．若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知无穷数列}{n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：a a =1，11-=+n n n a a rS ，其中1≠a ，常数r N ∈．（1）求证：n n a a -+2是一个定值；（2）若数列}{n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*N ∈n ，都有n T n a a =+成立，则称}{n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期；（3）若数列}{n a 是各项均为有理数的等差数列，132-⋅=n n c （*N ∈n ），问：数列}{n c 中的所有项是否都是数列}{n a 中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．2016学年长宁、嘉定区高三年级第一次联合质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1~6题每题填对得4分，第7~12题每题填对得5分．1．}2{ 2．2 3．534．3 5．6 6．60 7．π873 8．2 9．265 10．① ② 11．8 12．13二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 13．B 14．C 15．B 16．D三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．（1）因为⊥AB 平面BCD ，所以ADB ∠就是AD 与平面BCD 所成的角，即︒=∠30ADB ，且AB 为三棱锥BCD A -的高． …………………………（2分）由2==BC AB ，得32=BD ，又由CD BC ⊥，得22=CD ． …………（3分）所以，324213131=⋅⋅⋅⋅=⋅=∆AB CD BC h S V BCD ． ……………………（5分） （2）取AB 中点E ，连结EM ，EC ，则EM ∥AD ，所以EMC ∠就是异面直线AD 与CM 所成的角（或其补角）， ……………………………………（1分）在△EMC 中，2=EM ，3=CM ，5=EC ， …………………………（3分）所以，633225342cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠CM EM EC CM EM EMC ， ……………………（6分） 即63arccos=∠EMC ． 所以异面直线AD 与CM 所成角的大小为63arccos． ……………………（7分）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由72cos 22sin82=-+A CB ，得01)cos(4cos 42=+++C B A ，……（2分） 因为π=++C B A ，所以A C B cos )cos(-=+，故0)1cos 2(2=-A ，…………（4分） 所以，21cos =A ，3π=A ． …………………………………………………………（6分） （2）由余弦定理，A bc c b a cos 2222-+=，得322=-+bc c b ， ………………（2分）33)(2=-+bc c b ，得2=bc ， ……………………………………（4分）由⎩⎨⎧==+,2,3bc c b 解得⎩⎨⎧==,1,2c b 或⎩⎨⎧==.2,1c b ………………………………（8分）19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分11分．（1）将)2,1(D 代入2ax y =得，2=a ，所以二次函数的解析式为22x y =（10≤≤x ）， …………………………（2分）由⎩⎨⎧=+=,2,2x y b kx y 得022=--b kx x ， …………………………………………（3分） 由题意，△082=+=b k ，所以82k b -=． ……………………………………（5分）（2）① 由（1），一次函数的解析式为82k kx y -=， …………………………（1分）因为直线过点)2,(2t t P ，所以8222k kt t -=，解得t k 4=，故22t b -=．…………（2分）所以一次函数为224t tx y -=，令0=y ，得2t x =，即⎪⎭⎫⎝⎛0,2t M ， ………………（3分）令2=y ，得⎪⎭⎫⎝⎛+=t t x 121，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,121t t N ． ………………………………（5分） ② 22||t MA -=，⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t NB 1212||， …………………………………………（1分） 当点N 与点B 重合时，22242=-⋅t t ，解得32-=t ，所以)1,32(-∈t ． 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+⋅=t t AB NB MA t S 214|||)||(|21)(，)1,32(-∈t ．…………（4分） 因为221≥+t t ，当且仅当22=t 时取等号，所以当且仅当22=t （km ），时)(t S 取最大值)24(-（2km ）． ………………………………………………（6分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）当1=a 时，由3329+⋅-=x x y ，得2)13(2+-=x y ， ………………（2分） 因为]1,0[∈x ，所以]3,1[3∈x ，]6,2[∈y ． …………………………………（4分） （2）令t x=3，因为]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,31t ，函数)(x f 可化为2223)(32)(a a t at t t g -+-=+-=． …………………………………………（2分）① 当31<a 时，3292831)(ag a h -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=； …………………………………………（3分） ② 当331≤≤a 时，23)()(a a g a h -==； …………………………………………（4分）③ 当3>a 时，a g a h 612)3()(-==． ……………………………………………（5分）综上，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<-=.3.612,331,3,31,32928)(2a a a a a aa h ………………………………………………（6分）（3）因为3>>m n ，a a h 612)(-=为减函数，所以)(a h 在],[n m 上的值域为)](,)([m h n h ， …………………………………………（2分）又)(a h 在],[n m 上的值域为],[22n m ，所以，⎪⎩⎪⎨⎧==,)(,)(22n m h m n h 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-,612,61222n m m n …（3分） 两式相减，得))(()(622n m n m n m n m -+=-=-，因为3>>m n ，所以6=+n m ，而由3>>m n 可得6>+n m ，矛盾．所以，不存在满足条件的实数m 、n ． …………………………………………（6分）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）由11-=+n n n a a rS ①， 得1211-=+++n n n a a rS ②②－①，得)(211n n n n a a a ra -=+++， ………………………………（2分）因为0>n a ，所以r a a n n =-+2（定值）． ………………………………（4分）（2）当1=n 时，a a =1，故12-=aa ra ，ar a ra a 112+=+=， ……………（1分） 根据（1）知，数列}{n a 的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差都是r ，所以，r n a a n )1(12-+=-，nr aa n +=12， …………………………………………（3分） 当0>r 时，}{n a 的奇数项与偶数项都是递增的，不可能是周期数列， …………（4分） 所以0=r ，所以a a n =-12，aa n 12=，所以，数列}{n a 是周期数列，其最小周期为2． ……………………………………………………（6分） （3）因为数列}{n a 是有理项等差数列，由a a =1，r a a +=12，r a a +=3，得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++r a r a a 12，整理得0222=--ra a ， 得4162++=r r a （负根舍去），……………………………………………………（1分） 因为a 是有理数，所以162+r 是一个完全平方数，设2216k r =+（*N ∈k ），当0=r 时，1=a （舍去）． ……………………………………………………（2分）当0>r 时，由2216k r =+，得16))((=+-r k r k ， 由于r ，*N ∈k ，所以只有3=r ，5=k 符合要求， …………………………（4分）此时2=a ，数列}{n a 的公差232==r d ，所以213+=n a n （*N ∈n ）．…………（6分) 对任意*N ∈n ，若132-⋅=n n c 是数列}{n a 中的项，令m n a c =，即213321+=⋅-m n ， 则31341-⋅=-n m ，1=n 时，1=m ，2=n 时，*311N ∉=m ，故2c 不是数列}{n a 中的项．…………………………………………………（8分）。