【最新】华师大版八年级数学上册第2课时 因式分解(二)学案
华东师大版八年级数学上册 第2课时 因式分解(2)
• 答: a平方前符号为正，b平方前符号为负。
例1：分解因式: (1) x5－x3
解：(1) x5－x3 =x3 (x2 –1)= x3 (x+1)(x－1)
结论：1、若有公因式，要先提公因式，再考虑
平方差公式. 2、分解因式分解到不能分解为止.
填一填
多项式
x2 8x 16
4y4 4y2 1
1 9b2
x2 1 x 1 24
x2 4x 4y2
是否是完全 平方式
是
是
a、b各表 表示（a+b）2或
示什么
（a－b）2
a表示x， b表示4
(x 4)2
a表示2y2， (2 y 2 1)2
b表示1
否
否
否
4 y2 12 xy 9x2
(a b)2 2(a b) 1
等式右边是：这两个数的平方差
（a+3)(a-3)= a2 -9 (2x+y)(2x-y)= (2x)2-y2=4x2-y2
a2 -9= （a+3 ）( a-3 )
4x2-y2= (2x+y )(2x-y ) a2- b2 =(a +b) (a - b)
因式分解的平方差公式：
两个因式的积 的形式
a² - b² = (a+b) (a-b)
我们把以上两个式子 叫做完全平方式.
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍.
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式； 2、有两个“项”的平方； 3、有这两“项”积的2倍或-2倍。
首2 2首尾尾2
【最新】华师大版八年级数学上册《12.5因式分解(2)》学案
新华师大版八年级数学上册《12.5因式分解（2）》学案 学习目标 用十字相乘法分解因式学习过程一、 复习与回顾1．分解因式（1）2m 2＋6m （2）4x 2（x ＋y ）－2x （x ＋y ）2（3）（a ＋b ）x 2－（a ＋b ） （4）（x 2＋4）2－16x 2二、进行新课1．对于某些首项系数是1的二次三项式2x Px q ++【2()x a b x ab +++】的因式分解： 一般地，∵2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，∴2()()()x a b x a b x ax b +++=++． 这就是说，对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使,,a b p a b q +=⎧⎨⋅=⎩则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．如对于二次三项式232x x ++，其中3p =，2q =，能找到两个数1、2，使12,12,p q +=⎧⎨⨯=⎩ 故有232(1)(2)x x x x ++=++．例1：因式分解(1) x 2 + 10x + 9 ；解：1 1 （x + 1）1 9 （x + 9）1×9=9；1×9+1×1=10∴x 2 + 10x + 9=（x + 1）（x + 9）（2）x 2 －3x －10解：1 －5 （x － 5）1 2 （x + 2）－5 ×2 = －10； 1×（－5）+1×2= －3∴x 2 －3x －10 = （x － 5）（x + 2）概括：常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。
三、练习1．因式分解（1）652+-x x （2）652++x x（3）652--x x （4）652-+x x（5）x x x 21423-- （6）x 2－6x －27（7）y2－5y－36 （8）m2＋5m－362．选做（1）2x2＋5x＋3 （2）2x2－7x－5。
八年级数学上册 12.5 因式分解(第2课时)教案 (新版)华东师大版
因式分解教学内容教科书P.44的内容教学目标知识与技能：在掌握分解因式分解意义的基础上,会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解。
过程与方法：在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力,用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力。
情感态度与价值观：培养良好的逆向思维，形成代数意识，进一步体验"整体"的思想,培养"换元"的意识。
教学分析重点：能利用公式法进行分解因式难点：观察多项式的特点,判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法,并完整地进行分解关键：抓住乘法公式的特征应用于多项式的分解，注意检验多项式是否分解彻底教学过程一、回顾1、什么叫因式分解?2、你能将多项式x-4与多项式y-25分解因式吗?这两个多项式有什么共同的特点?二、探究新知对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形,可引导比较它与整式乘法的关系。
对于问题2要求学生先进行思考,教师可视情况作适当的提示,在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点。
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式,对于这种形式的多项式,可以利用平方差公式来分解因式。
即：反过来就是：要求学生具体说说这个公式的意义，教师用语句清楚地进行表述。
例1、分解因式：（1）4x-9 （2）-0.01 （3）(x+p) -(x+q)分析：注意引导学生观察这3个多项式的项数,每个项可以看成是什么“东西”的平方,使之与平方差公式进行对照,确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后,再用平方差公式进行因式分解。
能否用平方差公式进行因式分解,取决于这个多项式是否符合平方差公式的特征,即两个数的平方差,所以要强调多项式是否可化为()-()的形式.括号里的"东西"是一个整体,它可以是具体的数或单项式或多项式,如（3)题中应是多项式了。
例2、分解因式 (1) （2）分析：(1)先把它写成平方差的形式,再分解因式，注意它的第2次分解。
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿2
华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》说课稿2一. 教材分析华师大版数学八年级上册《用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方根的基础上进行学习的。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以简化运算，还可以把一些复杂的代数式进行因式分解。
这一节内容既有理论性，又有实践性，通过学习，让学生体会数学的简洁美，提高他们学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，他们已经学习过了有理数的乘法、平方根等知识，对代数式有一定的认识。
但是，学生对平方差公式的理解和运用还需要加强，因此，在教学过程中，我们需要引导学生理解平方差公式的推导过程，掌握公式的运用方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握平方差公式，学会运用平方差公式进行因式分解。
2.过程与方法：通过学生的自主学习、合作交流，培养学生的探究能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学的简洁美，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的理解和运用，以及因式分解的方法。
2.教学难点：平方差公式的推导过程，以及如何把复杂的代数式进行因式分解。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主学习、合作交流的教学方法，让学生在探究中发现问题、解决问题。
同时，我会利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解和掌握平方差公式。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数的乘法、平方根等知识，为学生引入平方差公式。
2.探究：让学生自主探究平方差公式的推导过程，引导学生发现公式的特点。
3.讲解：讲解平方差公式的运用方法，以及如何把复杂的代数式进行因式分解。
4.练习：让学生进行相关的练习，巩固所学知识。
5.总结：对本节课的内容进行总结，让学生明确学习的重点和难点。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出平方差公式的特点和运用方法。
华东师大初中数学八年级上册《12.5.3 因式分解 公式法教案2 (新版)华东师大版
因式分解公式法课题12.5.3因式分解——公式法(2)课型新课教师复备教学目标1、会用提完全平方和（差）公式进行因式分解（指数是正整数）；2、体会事物之间可以相互转化的辩证思想；3、培养接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
教学重点、难点重点：用完全平方和（差）公式分解因式。
难点：灵活运用完全平方和（差）公式分解因式。
课前预习【导学提纲】根据下面的要求，用5分钟时间自学教材P39-40，完成做一做的（4），认真观察例1中的（4）、例2中的（1），体会利用完全平方和（差）公式分解因式的方法。
1、完全平方公式：2()a b+= _________；反之可得：222a ab b++= _________；2()a b-= _________；反之可得：222a ab b-+=_________；2、因式分解的步骤：（1）观察多项式的各项有无，若有，先提；（2）若没有公因式，则尝试用法。
自主教学【预习检测】相信你，一定能行！1、填空：()22(1)4()x x x-+=-；()()22(2)(2)x y++=+2、分解因式：2(1)441x x++；22(2)96x xy y-+-；322(3)2a ab ab-+ 3、（1）若22925x mxy y++是完全平方式，则m=；（2）已知3x y-=，则222x xy y-+=；探究互助【问题1】已知：222450a b a b++-+=，求2243a b+-的值。
【问题2】分解因式：2221a ab b++-巩固运用1、填空：2(1)21x x++=_______；2(2)69m m-+=_________ ；（3）2242x x-+=；(4)244y y---=；2、若一个正方形的面积是2269x xy y++，则它的边长为；3、分解因式：（1）2233ax ay-（2）2a＋4ab＋42b（3）23269a b ab b++4、已知：2246130x y x y +-++=，求x y 的值?小结反馈 1、能用完全平方和（差）公式分解因式的多项式具有的结构特点是什么？ 用式子表示：222a ab b ++=_________；222a ab b -+=_________；2、因式分解的步骤： （1）观察多项式的各项有无 ，若有，先提 ；（2）若没有公因式，则尝试用 法。
华师大版八年级因式分解教案
（4）2πR+ 2πr= 2π(R+r)
4、议一议
观察并组织讨论因式分解概念的注意点。
学生独立思考，并回答问题。
通过填表格比较、观察、思考：能发现这两组等式的联系与区别？
积极思考，举手回答。
学生讨论“注意点”
通过对旧知识的复习，从旧知识中寻找新知识的生长点，符合认识新事物的规律。由浅入深，由表及里，逐渐深化。
3．通过例题及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。
4．通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。
5．通过当堂作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫正的针对性更强。将作业设计为选做和必做，让不同层次的学生得到不同的发展，真正起到“培尖补差”的效果，
(四)
自
主
小
结
深
化
提
高
谈谈本节课学习的收获与体会
这节课Байду номын сангаас我的收获是……
我最感兴趣的地方是……
我想进一步研究的问题是……
……
畅所欲言
落实教师主导、学生主体地位。合作小结及有助于训练学生概括归纳能力，又有助于学生在归纳过程中把所学的知识条理化、系统化。
(五)
分
层
作
业
发
展
个
性
必做题：1、书上练习题1、2(1)(2)
如果一个多项式的各项含有公因式，那就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
华东师大版八年级数学上册导学案：12.5.2因式分解(2)公式法分解因式(无答案)
（1）－24m 2 x-16n 2 x；
(2)（xy） 2 －1；
（3） a 4 x 2 －a 4 y 2 ；
（4） 3x 2 ＋6xy＋3y 2 ；
（5） （x－y） 2 ＋4xy；
（6） 4a 2 －3b（4a－3b）
9. 在一块边长为 a＝6.6 米的正方形空地的四角均留出一块边长为 b＝1.7 米的正方形修建 花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大?（B 级）
10. 分解因式 (x + y)2 + 4(x − y)2 − 4(x2 − y2 ) ．（C 级）
5/6
【归纳总结、回归目标】 规律方法：（1）因式分解时应遵循“一提二套三化简”的原则。 （2）可以用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。
6/6
D. (2x + x)2
4/6
3. x2 − ax + 9 是完全平方公式，则 a 的值是（
）（B 级）
A.6
B. 3 C. 6
D.-6
4.已知 a + b = 2 ，则 a2 − b2 + 4b 的值是（ ）
A． 2
B． 3
C． 4
D． 6
5.分解因式： x 2 − 9 = __________________.（A 级）
（3） a 2 ＋2ab＋b 2 ＝（
）2．
自学 3、思考；（1）公式法因式分解定义是什么？
（2）常用的公式有几种？是什么？
二、合作探究
针对上述思考内容小组讨论归纳：
1/6
公式法因式分解定义：
常用的两种公式：平方差公式
（1）平方差公式：
；
(2)完全平方公式：
考考你：(1)多项式 x 2 + y 2 ， x 2 − y 2 ， − x 2 + y 2 ， − x 2 − y 2 中能用平方差公式因式分解的
最新华东师大版八年级数学上册精品课件12.5 因式分解 第2课时
• 第五级 整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
单击此处编母版标题样式
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（• 1单）击x2+此y2处编辑母×版文本样式
• 第二级
★符合
平方
差的
形
式的
（2）x2-•y2第三级
√
• 第四级
（3）-x2-y2 • 第五-级(x×2+y2)
多项式才能用平方差公 式进行因式分解，即能
（4）-x2+y2
y2√-x2
写成: ( )2-( )2的形式.
（5）x2-25y2 （6）m2-1
• 第五级
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )²
3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
2019/8/21
11
单击此处编母版标题样式 a2 ± 2 . a . b + b2
首2 2 首 尾 尾2
下列各式是不是完全平方式？
• 单击此处编辑母版文本样式
（• 1第）二a2级－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
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新华师大版八年级数学上册第2课时因式分解(二)学案
学前温故
1．请写出我们学过的两个乘法公式．
2．什么叫因式分解？因式分解时，首先考虑运用什么方法？
新课早知
1．如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式________，这种分解因式的方法叫做公式法．常用的公式有：a2－b2＝__________；a2＋2ab＋b2＝______；a2－2ab＋b2＝______.
2．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是()．
A．x2y－xy2＝xy(x－y) B．x2－2xy＋y2＝(x－y)2
C．x3－x＝x(x2－1) D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
答案：学前温故
1．(1)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
2．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．因式分解时首先考虑提公因式法．
新课早知
1．分解因式(a＋b)(a－b)(a＋b)2(a－b)2
2．C选项C没有分解彻底，应为x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)，故选C.
1．用公式法分解因式
【例1】分解下列因式：
(1)25m2－n2；(2)8a－4a2－4；(3)(x2－8)2＋8(x2－8)＋16.
分析：(1)中25m2－n2可变形为(5m)2－n2，再运用两数和乘以这两数的差的公式分解；
(2)中提出公因式“－4”后括号内的部分为a2－2a＋1，可用两数差的平方公式分解；(3)将x2－8看作一个整体，可用两数和的平方公式分解．
解：(1)25m2－n2＝(5m)2－n2＝(5m＋n)(5m－n)；
(2)8a－4a2－4＝－4(a2－2a＋1)＝－4(a－1)2；
(3)(x2－8)2＋8(x2－8)＋16
＝[(x2－8)＋4]2＝(x2－4)2
＝[(x＋2)(x－2)]2＝(x＋2)2(x－2)2.
点拨：在运用公式法分解因式时，先要弄清分解的多项式是否符合公式的特点，符合哪个公式的特征，然后才能运用公式法进行因式分解．
2．因式分解的一般步骤
【例2】将下列多项式分解因式：
(1)x3y－2x2y＋xy；(2)x4－y4；(3)(a－b)2＋4ab.
分析：(1)中有公因式xy，提取公因式后另一因式是x2－2x＋1，还可以运用两数和的平方公式继续分解；(2)先用两数和乘以这两数差的公式分解为(x2＋y2)(x2－y2)，其中x2－y2还
可继续分解；(3)先去括号，然后根据多项式的特点分解．
解：(1)x 3y －2x 2y ＋xy
＝xy (x 2－2x ＋1)＝xy (x －1)2；
(2)x 4－y 4＝(x 2＋y 2)(x 2－y 2)
＝(x 2＋y 2)(x ＋y )(x －y )；
(3)(a －b )2＋4ab ＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab
＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2.
点拨：因式分解的一般步骤是：(1)观察所给的多项式各项有无公因式，若有则应先提出公因式．(2)若没有公因式或公因式已提出，再观察多项式的项数．①若是二项式，看是不是符合两数和乘以这两数差公式的特点，若符合，就用其进行分解，若不符合，分解因式就完成；②若是三项式，看是不是符合两数和或差的平方公式，若符合，就用公式分解，若不符合，再看多项式是否能写成x 2＋(a ＋b )x ＋ab 的形式，若能则可分解为(x ＋a )(x ＋b )的形式，否则此多项式不能分解．(3)当上述方法不能直接分解时，可根据多项式的特点将其适当变形，再用上述方法进行分解．
另外当分解因式时，如果多项式中含有括号，应首先考虑不去括号能不能分解因式，如果不去括号不能分解因式，就展开，重新整理多项式．
1．(2010贵州贵阳中考)下列多项式中，能用公式法分解因式的是( )．
A ．x 2－xy
B ．x 2＋xy
C ．x 2＋y 2
D ．x 2－y 2
2．(2010四川眉山中考)把代数式m x 2－6m x ＋9m 分解因式，下列结果中正确的是( )．
A ．m(x ＋3)2
B ．m(x ＋3)(x －3)
C ．m(x －4)2
D ．m(x －3)2
3．(2010浙江杭州中考)分解因式：m 3－4m ＝__________.
4．计算：7.292－2.712＝__________.
5．分解因式：(1)9a 2－14
b 2； (2)x 2＋14x ＋49； (3)－x 2－4y 2＋4xy .
答案：1．D 2.D
3．m (m ＋2)(m －2)
4．45.8 7.292－2.712＝(7.29＋2.71)(7.29－2.71)＝10×4.58＝45.8，故填45.8.
5．解：(1)原式＝(3a )2－(12
b )2 ＝(3a ＋12b )(3a －12
b )； (2)原式＝(x ＋7)2；
(3)原式＝－(x 2－4xy ＋4y 2)
＝－(x －2y )2.。