人教A版高一必修五不等式单元检测卷A001
人教A版高中数学必修五练习不等式测评
第三章测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若a<b<0,则下列不等式不成立的是( )A.1a >1b B.a 3>b 3 C.a 2>b 2D.b a+a b>2a<b<0,不妨令a=-2,b=-1,代入四个选项知B 错误.2.若x>-2,且x ≠0,则1x的取值范围是( ) A.(-∞,-12)B.(-12,0)C.(0,+∞)∪(-12,0) D.(0,+∞)∪(-∞,-12)x>-2,且x ≠0,所以当x>0时,有1x>0;当-2<x<0时,有1x<-12.综上,1x的取值范围是(0,+∞)∪(-∞,-12).3.不等式4+3x-x 2<0的解集为( ) A.{x|-1<x<4}B.{x|x>4或x<-1}C.{x|x>1或x<-4}D.{x|-4<x<1}4+3x-x 2<0可化为x 2-3x-4>0,即(x+1)(x-4)>0,解得x>4或x<-1.故不等式的解集为{x|x>4或x<-1}.4.若点(x ,y )位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域内,则2x-y 的最小值是( ) A.-6B.-2C.0D.2y=|x|与y=2围成的封闭区域为Rt △AOB 及其内部(如图阴影部分).设2x-y=z ,则y=2x-z ,要使z 最小,则-z 最大,当直线y=2x-z 经过点B (-2,2)时,-z 最大,即z min =2×(-2)-2=-6.故选A .5.已知x<0,则函数y=4x+3x 有( ) A.最大值4√3 B.最大值-4√3 C.最小值4√3D.最小值-4√3x<0,所以(-4x )+(-3x )≥2√(-4x )·(-3x )=4√3,当且仅当x=-√32时,取等号.于是y=4x+3x ≤-4√3,即函数有最大值-4√3.6.已知变量x ,y 满足约束条件{x +2y -4≤0,3x +y -3≥0,x -y -1≤0,则z=yx+1的最大值为( )A.97B.13C.0D.2,z=yx+1的几何意义是可行域内的点与点(-1,0)的连线的斜率.由图知,当连线经过点A 时,目标函数取得最大值.由{x +2y -4=0,3x +y -3=0,可得A (25,95),则z=y x+1的最大值是9525+1=97.7.已知函数f (x )=x 2+ax-3a-9对任意的x ∈R 恒有f (x )≥0,则f (1)等于( ) A.6 B.5C.4D.3a 2-4(-3a-9)≤0,即a 2+12a+36≤0,(a+6)2≤0,所以a=-6.所以f (x )=x 2-6x+9,f (1)=4,故选C .8.若正实数a ,b 满足a+b=1,则( ) A.1a +1b有最大值4 B.ab 有最小值14C.√a +√b 有最大值√2D.a 2+b 2有最小值√22a+b=1,所以1a+1b=2+b a+a b≥4,当且仅当a=b=12时,取等号.故A 错误;因为1=a+b ≥2√ab ,则ab ≤14,当且仅当a=b=12时,取等号.故B 错误;由于1=a+b ≥(√a+√b )22,所以√a +√b≤√2,当且仅当a=b=12时,取等号.故C 正确;因为a 2+b 2≥(a+b )22=12,当且仅当a=b=12时,取等号.所以D 错误.9.当x>0时,x 2+mx+4≥0恒成立,且关于t 的不等式t 2+2t+m ≤0有解,则实数m 的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.[-4,1]C.(-∞,-4]∪[1,+∞)D.(-∞,-4]当x>0时,x 2+mx+4≥0恒成立,∴m ≥-(x +4x ).∵x+4x ≥2√x ·4x =4,当且仅当x=2时取等号,∴m ≥-4. ∵关于t 的不等式t 2+2t+m ≤0有解, ∴Δ=4-4m ≥0, ∴m ≤1.故实数m 的取值范围是[-4,1].故选B .10.已知x ,y 满足约束条件{2x +y -3≥0,x +2y -6≤0,y ≥x ,若z=y-kx 取得最小值的最优解不唯一,则实数k 的值为( ) A.12或1 B.-2或-12 C.-12或1D.-2或1,如图阴影部分所示,当直线z=y-kx与直线2x+y-3=0重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一,此时k=-2;当直线z=y-kx与直线y=x重合时,目标函数z取得最小值的最优解不唯一,此时k=1.故实数k的值为-2或1.11.已知x>0,y>0,若2yx +8xy>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.m≥4或m≤-2B.m≥2或m≤-4C.-2<m<4D.-4<m<2x>0,y>0,∴2yx +8xy≥8(当且仅当2yx=8xy时,等号成立).∵2yx+8xy>m2+2m恒成立,∴m2+2m<8恒成立,解得-4<m<2.12.已知x,y满足约束条件{3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为6,则4a+6b的最小值为()A.256B.253C.356D.503.根据目标函数所表示的直线的斜率是负值,可知目标函数只在点A处取得最大值,故实数a,b满足4a+6b=6,即2a+3b=3,从而4a+6b=13(2a+3b)(4a+6b)=13(26+12ba+12ab)≥13(26+24)=503,当且仅当a=b时取等号.从而4a+6b的最小值为503.故选D.二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式x -1x≥2的解集是 .不等式可化为x -1x -2≥0,即x+1x ≤0,所以-1≤x<0.故不等式的解集为{x|-1≤x<0}.x|-1≤x<0}14.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,则z=3x+2y 的值域是 .(如图阴影部分所示),令x+2y=t ,由图形可知,当直线x+2y=t 经过点A (-12,12)时,t 取得最小值12;当直线x+2y=t 经过点B (0,1)时,t 取得最大值2,即12≤t ≤2.故z=3x+2y的值域是[√3,9].√3,9]15.若log 2x=-log 2(2y ),则x+2y 的最小值是 .log 2x+log 2(2y )=0,因此2xy=1.由题意知x ,y>0,所以x+2y ≥2√2xy =2,当且仅当x=1,y=12时,取等号.16.某火锅底料厂用辣椒、花椒等原材料由甲车间加工水煮鱼火锅底料,由乙车间加工麻辣鱼火锅底料.甲车间加工1吨原材料需10小时,可加工出140箱水煮鱼火锅底料,每箱可获利80元;乙车间加工1吨原材料需6小时,可加工出80箱麻辣鱼火锅底料,每箱可获利100元.若甲、乙两车间每天共能完成至多7吨原料的加工,每天甲、乙两车间耗时总和不得超过48小时,则甲、乙两车间每天总获利的最大值为 元.x 吨,乙车间加工原材料y 吨,甲、乙两车间每天总获利为z 元,则{x ≥0,y ≥0,x +y ≤7,10x +6y ≤48,目标函数z=11 200x+8 000y ,作出可行域,如图阴影部分所示.当z=11 200x+8 000y 对应的直线过直线x+y=7与10x+6y=48的交点A 时,目标函数z=11 200x+8 000y 取得最大值.由{x +y =7,10x +6y =48,得{x =1.5,y =5.5.故z max =11 200×1.5+8 000×5.5=60 800,即甲、乙两车间每天总获利的最大值为60 800元. 三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知关于x 的不等式ax 2+x+c>0的解集为{x|1<x<3}. (1)求实数a ,c 的值;(2)若关于x 的不等式ax 2+2x+4c>0的解集为A ,关于x 的不等式3ax+cm<0的解集为B ,且A ⊆B ,求实数m 的取值范围.由题意知1,3是关于x 的方程ax 2+x+c=0的两个根,且a<0,所以{a <0,1+3=-1a ,1×3=c a ,解得{a =-14,c =-34. (2)由(1)得{a =-14,c =-34,所以ax 2+2x+4c>0,即为-14x 2+2x-3>0,解得2<x<6,所以A=(2,6). 又因为3ax+cm<0,即为x+m>0,解得x>-m ,所以B=(-m ,+∞). 因为A ⊆B ,所以-m ≤2,即m ≥-2. 故实数m 的取值范围是[-2,+∞).18.(本小题满分12分)已知关于x的不等式x 2-2ax+1≥0,其中a ∈R . (1)解该不等式;(2)若不等式对任意的x ≥12恒成立,求实数a 的取值范围. 当Δ=4a 2-4≤0,即-1≤a ≤1时,不等式的解集为R ;当Δ=4a 2-4>0,即a>1或a<-1时,关于x 的方程x 2-2ax+1=0有两个不等的实数根,x 1=a+√a 2-1,x 2=a-√a 2-1,且x 1>x 2,不等式的解集为x ≥x 1或x ≤x 2.综上,当-1≤a ≤1时,不等式的解集为R ;当a>1或a<-1时,不等式的解集为{x |x ≥a +√a 2-1或x ≤a -√a 2-1}.(2)关于x 的不等式x 2-2ax+1≥0对任意的x ≥1恒成立,即2ax ≤x 2+1,所以2a ≤x 2+1. 由于x ≥1,所以x 2+1=x+1≥2,当且仅当x=1时,取等号,故x 2+1的最小值为2,要使不等式恒成立,应满足2a ≤2,即a ≤1.19.(本小题满分12分)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边所成的角为60°(如图所示),考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9√3 m 2,且高度不低于√3 m .问防洪堤横断面的腰长AB 为多少时,横断面的外周长(AB+BC+CD )最小,并求最小外周长.AB=x m,横断面的高度为h m,外周长为y m,则有9√3=12(AD+BC )h ,其中AD=BC+2·x 2=BC+x ,h=√32x , 所以9√3=12(2BC+x )·√32x ,解得BC=18x −x2. 由{ℎ=√32x ≥√3,BC =18x-x2>0,得2≤x<6. 所以y=BC+2x=18x +32x (2≤x<6). 由y=18x +32x ≥2√18x ·3x2=6√3, 当且仅当18x =32x , 即x=2√3时等号成立.故外周长AB+BC+CD 的最小值为6√3 m,此时腰长AB 为2√3 m .20.(本小题满分12分)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨,B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨.如何安排生产,使该企业可获得最大利润?最大利润为多少?x 吨,乙产品为y 吨,该企业获得的利润为z 万元,则z=5x+3y ,且x ,y 满足{x ≥0,y ≥0,3x +y ≤13,2x +3y ≤18.画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.联立{3x +y =13,2x +3y =18,解得{x =3,y =4.将z=5x+3y 化为y=-53x+z 3.由图可知,当直线y=-53x+z 3经过点P (3,4)时,直线在y 轴上的截距最大,即z 最大,且z 的最大值为z=5×3+3×4=27.故该企业生产甲产品3吨,乙产品4吨时,可获得最大利润,最大利润为27万元. 21.(本小题满分12分)已知x ,y 满足{x ≥0,y ≤x ,2x +y +k ≤0.(1)若y ≥0,且k=-4时,求不等式组表示的平面区域的面积; (2)若z=x+3y 的最大值为12,试求k 的值.画出不等式组表示的平面区域(如图①中的阴影部分),求得点A (43,43),B (2,0).①于是所求的平面区域的面积为S=12×2×43=43.(2)由于k 的不同取值将影响不等式所表示的平面区域,故应对k 的取值进行讨论: 若k ≥0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图②中的阴影部分),由于z=x+3y ,所以y=-13x+13z ,因此当直线y=-13x+13z 经过平面区域中的点A (0,-k )时,z 取到最大值,且z max =-3k.令-3k=12,得k=-4,这与k ≥0相矛盾,舍去.②若k<0,在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图③中的阴影部分),由图知当直线y=-13x+13z 经过平面区域中的点A'(-k3,-k3)时,z 取到最大值,且z max =-4k3.令-4k3=12,得k=-9.综上,所求k 的值为-9.③22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x 2-2ax-1+a ,a ∈R . (1)若a=2,试求函数y=f (x )x(x>0)的最小值; (2)对于任意的x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立,试求a 的取值范围.依题意得y=f (x )x=x 2-4x+1x =x+1x-4. 因为x>0,所以x+1x ≥2.当且仅当x=1x ,即x=1时,等号成立. 所以y ≥-2. 故当x=1时,y=f (x )x 的最小值为-2. (2)因为f (x )-a=x 2-2ax-1,所以要使得“任意的x ∈[0,2],不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设g (x )=x 2-2ax-1,则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立. 所以{g (0)≤0,g (2)≤0,即{0-0-1≤0,4-4a -1≤0,解得a ≥34.所以a 的取值范围是[34,+∞).。
数学必修五第三章(不等式)测验卷(A卷)
人教版数学必修五第三章（不等式）测验卷（A 卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ={x|(x +2)(x −2)>0}，N ={−3,−2,2,3,4}，则M ∩N =（ ） A. {3,4} B. {−3,3,4} C. {−2,3,4} D. {−3,−2,2,3,4}2. 下列不等式中成立的是（ ） A ．若22,bc ac b a >>则 B ．若22,b a b a >>则C ．若22,0b ab a b a <<<<则 D ．若abb a b a ><<则,03. ．若变量 x y ，满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A ．3-B ．2- C.1- D ．1 4. 若不等式x 2−x −a 2+a +1>0对任意实数x 成立，则A. −1<a <1B. 0<a <2C. −32<a <12D. −12<a <325. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥--303093y y x y x ，则使得x y z 2-=取得最大值的最优解为（ ）A ．)0,3(B ．)3,3(C ．)3,4(D ．)3,6( 6. 已知x,y ∈(0,+∞)，且满足1x +12y=1，那么x +4y 的最小值为（ ）A. 3−2√2B. 6+√2C. 3+2√2D. 6−√2 7. 设1a b >>，P ，1(lg lg )2Q a b =+，lg2a bR +=，则（ ） A. P Q R << B.P R Q << C.Q P R << D. R P Q << 8. 已知x ，y 满足约束条件{x −y −2≤05x −3y −12≥0,y ≤3当目标函数z =ax +by （a >0，b >0）在该约束条件下取得最小值1时，则13a+2b的最小值为（ ）A. 4+2√2B. 4√2C. 3+2√2D. 3+√29. 实系数一元二次方程x 2+ax +b =0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则2−b3−a 的取值范围是 （ ）A. (2,+∞)B. (−∞,12) C. (12,2) D. (0,12)10. 已知满足，的最大值为，若正数满足，） A. B.11.设 a ＞b ＞1，C ＜0，给出下列三个结论：①＞； ②a c＜b c； ③log b （a ﹣c ）＞log a （b ﹣c ）． 其中所有的正确结论的序号（ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③12．若不等式组0220x y x y x m -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的平面区域是面积为169的三角形，则m 的值为（ ）A ．12 B ．23 C ．23- D ．56二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．13.设，且，则，，的大小关系为（按从大到小的顺序排列）．14. 若01a <<，则关于x 的不等式1()()0a x x a-->的解集是 ．15. 已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则的最小值是 .16. 已知实数x,y 满足{3x −2y −3≤0x −3y +6≥02x +y −2≥0，在这两个实数x,y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数2()6f x x ax =++． （1）当5a =时，解不等式()0f x <；（2）若不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围．,x y 2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩2z x y =+m ,a b a b m +=90<+b a 0>b 2a ab -2b18.已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,（1）画出x 、y 所满足的平面区域；（2）若y x z -=，求z 的最大值.19. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形）20．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm (，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．21.已知关于x 的不等式022>--ax x 的解集为1|{-<x x 或}b x >)1(->b . （1）求b a ,的值； （2）当21->m 时，解关于x 的不等式0))((>-+b x a mx .x 010x ≤≤k ()f x k ()f x ()f x22. 阅读：已知、，，求.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，（2（3）已知正数、、，，a ()0,b ∈+∞1a b +=(),,0,a bc ∈+∞1a b c ++=1a 2a 3,,n a a 1231n a a a a ++++=21n n a a a +++人教版必修五第三章（不等式）测验卷（A 卷）答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B DADCCACDBDC13. 14. (a,1a ) 15.3416.917.（1）2()560f x x x =++<，所以(2)(3)0x x ++<，即32x -<<-．所以不等式的解集为{}|32x x -<<-（2）260x ax ++>恒成立，则2()240a ∆=--<，即2626a -<<18. 解：（1） （2）因为y x z -=，所以y x z =-，由图像可得，直线y x z =-经过2y =与6x y +=的交点时，z 最大.联立26y x y =⎧⎨+=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩，所以max 422z =-=.19. 设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，该企业可获得利润为z 万元，则，且0,0,313,2318,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩作出可行域如图所示，联立313,2318,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得3,4,x y =⎧⎨=⎩由图可知，最优解为()3,4P ，∴z 的最大值为max 533427z =⨯+⨯=（万元）．所以在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品分别为3吨和4吨时可获得最大利润，最大利润是27万元. 20.（1）当时，8C =，，，22,,b ab a -53z x y =+0=x 40=∴k 5340)(+=∴x x C（2设， 当且仅当8002t t=，即20t =时，等号成立.这时，因此)(x f 的最小值为70． 即隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小，最小值为70万元． 21. （1）由题意知，b,1-是方程022=--ax x 的两个实根，∴⎩⎨⎧-=⋅-=+-2)1(1b a b ，解得⎩⎨⎧==21b a ，∴1=a ，2=b .（2）由（1）知，不等式0))((>-+b x a mx 可化为0)2)(1(>-+x mx ，①当0=m 时，不等式的解集为}2|{>x x ，②当0>m③当021<<-m综上，当0=m 时，不等式的解集为}2|{>x x ；当0>m 或}2>x ；当021<<-m22. （1 时取到等号，则的最小值为. （2 ]35,5[,53∈=+t t x 5=x ()f x 9y ≥9时取到等号，则，的最小值为. （3时取到等号，则. 18y ≥18()()()2122311nn n a a a a a a a a a ⎫++++++++⎡⎤⎪⎣⎦+⎭)()()()(222221212312121223112n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡+++⋅++⋅+++⋅++⋅⎢++++⎣()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=21n a a n ====12S ≥。
人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式单元测试题(含答案)
绝密★启用前人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式单元测试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟。
一、选择题(共12小题，每小题5.0分,共60分)1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m．用不等式表示为()A．v≤120 km/h或d≥10 mB．C．v≤120 km/hD．d≥10 m2.若a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是()A．a2＋b2≥2abB．a＋b≥2C．a2＋b2≥(a＋b)2D．＋<(a≠b)3.设a＝2－1，b＝－1(t∈R)，则a与b的大小关系是()A．a≥bB．a≤bC．a<bD．a>b4.不等式组的解集为()A． {x|－2<x<－1}B． {x|－1<x<0}C． {x|0<x<1}D． {x|x>1}5.设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为()A． (－3,1)B． [－3,1]C． [－3，－1]D． (－3，－1]6.函数y＝的定义域是()A． {x|x<－4或x>3}B． {x|－4<x<3}C． {x|x≤－4或x≥3}D． {x|－4≤x≤3}7.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A． (－2,2)B． (－2,2]C． (－∞，－2)∪[2，＋∞)D． (－∞，2)8.若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于()A．－<x<0或0<x<B．－<x<C．x<－或x>D．x<－或x>9.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A． (0，＋∞)B． [0，＋∞)C． [0,4)D． (0,4)10.在平面直角坐标系中，点在直线的右上方，则的取值范围是（）A．（1，4）B．（-1，4）C．（-∞，4）D．（4，+∞）11.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为()A．－3B． 3C．－1D． 112.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为() A． 0B． 1C．D． 3第ⅠⅠ卷二、填空题(共4小题，每小题4.0分,共16分)13.已知|a|<1，则与1－a的大小关系为________．14.已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是________．15.记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．16.设x，y为实数，若，则的最大值是________．三、解答题(共6小题,第17-21题每小题12.0分,第22题14分，共74分)17.(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明：log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c.18.已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：a m＋n＋b m＋n≥a m b n＋a n b m.19.已知定义在R上的函数f(x)＝x2－(3－a)x＋2(1－a)(其中a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)≥x－3对任意x>2恒成立，求a的取值范围．20.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪，1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg?将已知数据列成下表：21.已知实数x，y满足(1)试求z＝的最大值和最小值；(2)试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．22.已知函数．(1) 当时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意，恒成立，试求实数的取值范围．答案解析1.【答案】B【解析】考虑实际意义，知v≤120 km/h且d≥10 m.2.【答案】D【解析】显然有a2＋b2≥2ab，a＋b≥2，又a2＋b2－(a＋b)2＝a2＋b2－ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)2，故选D.3.【答案】B【解析】∵t2≥0，∴t2－1≥－1，∵函数y＝2x在x∈R上是单调递增的，∴2－1≤－1，即a≤b，故选B.4.【答案】C或【解析】由得所以0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.5.【答案】B【解析】∵f(－2)＝f(0)，∴x＝－＝＝－1，∴b＝2，∴f(x)≤0⇒x2＋2x－3≤0⇒(x＋3)(x－1)≤0，∴－3≤x≤1.6.【答案】C【解析】由x2＋x－12≥0，即(x＋4)(x－3)≥0，x≥3或x≤－4.7.【答案】B8.【答案】D【解析】－b<<a⇔或⇔或⇔x>或x<－.9.【答案】C【解析】当k＝0时，不等式变为1>0，成立；当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则即0<k<4，所以0≤k<4.10.【答案】D【解析】取原点（0，0），因为，且原点在直线的左下方，所以不等式表示的区域在直线的左下方.11.【答案】A【解析】－＝＝，∴a＝－3.12.【答案】B【解析】由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.13.【答案】≥1－a【解析】－(1－a)＝＋a－1＝＝，∵|a|<1，即－1<a<1，∴a＋1>0，a2≥0，∴≥0，故≥1－a.14.【答案】[－2，)【解析】由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立，当a＝－2时，不等式化为－1<0，显然恒成立；当a≠－2时，则即－2<a<，综上实数a的取值范围是[－2，)．15.【答案】【解析】直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a，作出可行域后数形结合可解．不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，且A(1,1)，B(0,4)，C.直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a.由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.若直线y＝a(x＋1)与区域D有公共点，数形结合可得≤a≤4.16.【答案】【解析】∵，∴，即∴，∴，即.17.【答案】证明(1)由于x≥1，y≥1，所以要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2，只需证[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]≥0，即(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝，log b a＝，log c b＝，log a c＝xy，于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．18.【答案】证明a m＋n＋b m＋n－(a m b n＋a n b m)＝(a m＋n－a m b n)－(a n b m－b m＋n)＝a m(a n－b n)－b m(a n－b n)＝(a m－b m)(a n－b n)．当a>b时，a m>b m，a n>b n，∴(a m－b m)(a n－b n)>0；当a<b时，a m<b m，a n<b n，∴(a m－b m)(a n－b n)>0；当a＝b时，a m＝b m，a n＝b n，∴(a m－b m)(a n－b n)＝0.综上，(a m－b m)(a n－b n)≥0.故a m＋n＋b m＋n≥a m b n＋a n b m.19.【答案】(1)f(x)＝(x－2)[x－(1－a)]，设函数f(x)＝0的两根为x1＝2，x1＝1－a，且x1－x2＝2－1＋a＝a＋1，f(x)>0等价于(x－2)[x－(1－a)]>0，于是当a<－1时，x1<x2，原不等式的解集为(－∞，2)∪(1－a，＋∞)；当a＝－1时，x1＝x2，原不等式的解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a>－1时，x1>x2，原不等式的解集为(－∞，1－a)∪(2，＋∞)．(2)不等式f(x)≥x－3，即a≥－恒成立，又当x>2时，－＝－(x－2＋)≤－2(当且仅当x＝3时取“＝”号)，∴a≥－2.20.【答案】每天食用食物A kg，食物B kg，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．【解析】设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，那么⇒目标函数为z＝28x＋21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，把目标函数z＝28x＋21y变形为y＝－x＋，它表示斜率为－且随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小．如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．解方程组得M点的坐标为.所以z min＝28x＋21y＝16.21.【答案】(1)z＝的最大值为3和最小值为；(2)z＝x2＋y2的最大值为13和最小值为．【解析】解(1)由于z＝＝，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又∵B(0,2)，C(1,0)，∴z max＝kMB＝3；z min＝kMC＝.∴z的最大值为3，最小值为.(2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小．故z max＝|OA|2＝13，z min＝2＝2＝.反思与感悟当斜率k，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用．22.【答案】【解析】(1) ∵，∴, 当时取等号．即当时，.(2)，恒成立，即,恒成立．等价于在上恒成立，令，，∴，即.∴的取值范围是。
新版高中数学人教A版必修5习题：第三章不等式 检测A(1)
第三章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有().A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N解析:∵M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=2a2-4a-(a2-2a-3)=2a2-4a-a2+2a+3=a2-2a+3=a2-2a+1+2=(a-1)2+2>0,∴M>N.答案:A<0的解集为().2不等式x-3x+2A.{x|-2<x<3}B.{x|x<-2}C.{x|x<-2,或x>3}D.{x|x>3}解析:原不等式等价于(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3.答案:A3若集合A={x|x2-2x>0},B={x|−√5<x<√5},则().A.A∩B=⌀B.A∪B=RC .B ⊆AD .A ⊆B解析:∵x 2-2x=x (x-2)>0,∴x<0或x>2.∴集合A 与B 在数轴上表示为由图象可以看出A ∪B=R ,故选B . 答案:B4不等式组{x ≥0,x +3y ≥6,3x +y ≤6所表示的平面区域的面积等于( ).A .32B.23C.13D.3答案:D5若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是( ). A.[0,2] B.[-2,0]C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]解析:∵2x +2y =1≥2√2x+y ,∴(12)2≥2x+y ,即2x+y ≤2-2.∴x+y ≤-2.答案:D6若变量x ,y 满足约束条件{x +y -1≤0,3x -y +1≥0,x -y -1≤0,则z =2x +y 的最大值为( ).A.1B.2C.3D.4解析:画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,z是直线y=-2x+z在y轴上的截距,当直线y=-2x+z经过点A(1,0)时,z取最大值,此时x=1,y=0,则z的最大值是2x+y=2+0=2.答案:B7若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是().A.a2+b2>2abB.a+b≥2√abC.1a +1b>√abD.3ba +a27b≥23解析:由ab>0,得a,b同号.当a<0,b<0时,B,C不成立;当a=b时,A不成立;∵ba >0,∴3ba+a27b≥2√3ba ·a27b=23.答案:D8在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域{x-2≤0,x+y≥0, x-3y+4≥0中的点在直线x+y−2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=().A.2√2B.4C.3√2D.6解析:画出不等式组{x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0表示的平面区域如图阴影部分所示.作出直线x+y-2=0.设直线x-3y+4=0与x+y=0的交点为C ,直线x=2与直线x+y=0的交点为D. 过C 作CA ⊥直线x+y-2=0于点A , 过D 作DB ⊥直线x+y-2=0于点B ,则区域中的点在直线x+y-2=0上的投影为AB.∵直线x+y-2=0与直线x+y=0平行, ∴|CD|=|AB|.由{x -3y +4=0,x +y =0,得{x =-1,y =1,∴C 点坐标为(-1,1).由{x =2,x +y =0,得{x =2,y =-2,∴D 点坐标为(2,-2).∴|CD|=√9+9=3√2,即|AB|=3√2.故选C .答案:C9已知正实数a ,b 满足4a+b=30,当1a +1b 取最小值时,实数对(a,b)是( ). A.(5,10) B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)解析:1a +1b =(1a +1b )×130×30=130(1a +1b )(4a +b)=130(5+b a +4a b) ≥130(5+2√b a ·4ab)=310, 当且仅当{ba=4ab ,4a +b =30,即{a =5,b =10时取等号.故选A .答案:A10某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时,可加工出7千克A 产品,每千克A 产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时,可加工出4千克B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,则甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ).A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱 解析:设甲车间加工原料x 箱,乙车间加工原料y 箱,由题意,得{x +y ≤70,10x +6y ≤480,x ≥0,y ≥0,x ,y ∈N ,目标函数z=280x+200y.画出可行域,如图中的阴影部分所示.由图知,目标函数过点A 时,z 取最大值.解方程组{x +y =70,10x +6y =480,得x=15,y=55,即A (15,55).所以甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱时,甲、乙两个车间每天总获利最大. 答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知x>0,y>0,若x ,y 满足x 3+y4=1,则xy 的最大值为 . 解析:∵x>0,y>0,∴1=x3+y4≥2√x 3·y4=√33√xy,则xy ≤3,当且仅当x3=y4,即x =32,y =2时,等号成立,∴xy 的最大值为3.答案:312若x ,y 满足约束条件{y -x ≤1,x +y ≤3,y ≥1,则z =x +3y 的最大值为 .如图,作出不等式组所表示的可行域.由z=x+3y ,得y=−13x +z 3.取l 0:x+3y=0,在可行域内平移直线l 0,由图可知直线过A 点时z 最大,由{y -x =1,x +y =3,得A (1,2).所以z max =1+3×2=7. 答案:713当x>1时,log 2x 2+log x 2的最小值为 . 解析:当x>1时,log 2x>0,log x 2>0,所以log 2x 2+log x 2=2log 2x +1log 2x≥2√2log 2x ·1log 2x =2√2,当且仅当2log 2x =1log 2x,即x =2√22时,等号成立,所以log 2x 2+log x 2的最小值为2√2. 答案:2√214如果实数x ,y 满足条件{x -y +1≥0,y +1≥0,x +y +1≤0,那么y -1x -1的取值范围是 .解析:画出可行域如图中的阴影部分所示.设P (x ,y )为可行域内的一点,M (1,1),则y -1x -1=kPM. 由于点P 在可行域内,则由图知k MB ≤k PM ≤k MA .又可得A (0,-1),B (-1,0),则k MA =2,k MB =12,则12≤k PM ≤2,即y -1x -1的取值范围是[12,2].答案:[12,2]15若不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 解析:不等式ax 2+4x+a>1-2x 2对一切x ∈R 恒成立,即(a+2)x 2+4x+a-1>0对一切x ∈R 恒成立. 若a+2=0,则显然不成立;若a+2≠0,则{a +2>0,16-4(a +2)(a -1)<0⇔{a >-2,16-4(a +2)(a -1)<0⇔{a >-2,a <-3或a >2⇔a>2.答案:(2,+∞)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)解不等式组{3x -2x -6≤1,2x 2-x -1>0.解由3x -2x -6≤1得2x+4x -6≤0,∴-2≤x<6.由2x 2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,∴x>1或x<−12.∴原不等式组的解集为{x |-2≤x <-12,或1<x <6}.17(8分)某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房,房屋正面的造价为1 200元/m 2,房屋侧面的造价为800元/m 2,屋顶的造价为5 800元.若墙高为3 m,且不计房屋背面的费用,则建造此小房的最低总造价是多少元?解设房子的长为x m,宽为y m,总造价为t元,则xy=12,且t=3×x×1200+3×y×800×2+5800 =1200(3x+4y)+5800≥1200×2√12xy+5800=34600(当且仅当3x=4y,即x=4,y=3时,等号成立).故最低总造价是34600元.18(9分)已知函数f(x)=x2-2x-8,若对一切x>2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围.解f(x)=x2-2x-8.当x>2时,f(x)≥(m+2)x-m-15恒成立,则x2-2x-8≥(m+2)x-m-15,即x2-4x+7≥m(x-1).于是对一切x>2,均有不等式x 2-4x+7x-1≥m成立.∵x2-4x+7x-1=(x−1)+4x-1−2≥2√(x-1)·4x-1−2=2(当且仅当x=3时,等号成立), ∴实数m的取值范围是(-∞,2].19(10分)解关于x的不等式x2-(3m+1)x+2m2+m<0.解∵x2-(3m+1)x+2m2+m=(x-m)[x-(2m+1)],∴方程x2-(3m+1)x+2m2+m=0的两解是x1=m,x2=2m+1.当m<2m+1,即m>-1时,原不等式的解为m<x<2m+1;当m=2m+1,即m=-1时,原不等式无解;当m>2m+1,即m<-1时,原不等式的解为2m+1<x<m.综上所述,当m>-1时,原不等式的解集为{x|m<x<2m+1};当m=-1时,原不等式的解集为⌀;当m<-1时,原不等式的解集为{x|2m+1<x<m }.20(10分)某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元,那么{x +y ≥35000,y ≥15x ,0≤x ≤50000,y ≥0,而z=0.28x+0.9y ,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A 时,z 最小,又直线x+y=35000和直线y =15x 的交点A (875003,175003),故当x =875003,y =175003时,饲料费用最低. 答:谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合,此时成本最低.。
高中数学必修5第三章《不等式》单元检测卷含解析
必修5第三章《不等式》单元检测卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知a 和b 均为非零实数，且b a <，则下面表达正确的是（ ）A ． 22b a < B. 22ab b a < C.ba ab 2211< D.b aa b < 2.若,01,0<<-<b a 则有 （ ）A ．2ab ab a >>B ．2ab ab a <<C ．2ab a ab >>D ．a ab ab >>23．若角α，β满足－2π＜2α＜β＜2π，则2α－β的取值范围是 （ ）A ．（－π，0）B ．（－π，π）C ．（－23π，2π） D ．（－π23，23π） 4．如果不等式20(0)ax bx c a ++<≠解集为 ，那么 （ ） A ．0,0>∆<aB ．0,0≤∆<aC ．0,0≤∆>aD ．0,0≥∆>a5．设{}42≥-=x x A ，{}42<-=x x B ，则集合B A ,满足（ ） A ．B A C R = B ．A B R = C ．A B ϕ= D ．A B C R =6．如果关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x x <->或，那么对于函数应有（ ）A.(5)(2)(1)f f f <<-B. (2)(5)(1)f f f <<-C. (1)(2)(5)f f f -<<D. (2)(1)(5)f f f <-<7．若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，≥，≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.5a <B.7a ≥C.57a <≤D.5a <或7a ≥8．如果2()(1)1f x mx m x =+-+在区间]1,(-∞上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 1.0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9．设计用232m 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m ，则车厢的最大容积是（ ）A ．（38－3)73m 2B ．16 m 2C ． 42 m 2D ．14 m 210．定义在R 上的奇函数()f x 为减函数，设0a b +≤，给出下列不等式： ①()()0f a f a ⋅-≤ ②()()0f b f b ⋅-≥③()()()()f a f b f a f b +≤-+- ④()()()()f a f b f a f b +≥-+- 其中正确的不等式序号是( )A. ①②④B. ①④C. ②④D. ①③ 11.在R 上定义运算：a b ad bc c d ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭对任意实数x 成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．12-B ．32-C ．12D ．3212．二次函数c bx ax x f ++=2)(中，其中0>a 且1≠a ，若对任意的R x ∈都有)1()3(x f x f -=-，设)1(loga f m a=、])1[(2log a af n =，则 A. n m = B. n m < C. n m > D. n m ,的大小关系不能确定第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13.已知关于x 的不等式101ax x ->+的解集是1(,1)(,)2-∞-+∞ ．则a = ． 14.已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在区域D 内的弧长为 .15．设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> . 16．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车的运营总利润y （单位：十万元）与营运年数()x x N *∈为二次函数关系.若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运 年.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)（1）求2y =的最小值；（2）若00a b >>，，且2212b a +=，求18．(本小题满分12分)已知二次函数2()(1)f x mx m x m =--+，其中m 是实数. （1）若函数()f x 没有零点，求m 的取值范围；（2）设不等式()f x mx m <+的解集为A ，当m 为什么正数时，集合(,3)A ⊆-∞？19. (本小题满分12分)已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？20．(本小题满分12分) 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？21. (本小题满分12分)已知a ，b 为正数，求证：（11>1的正数x ，恒有1xax b x +>-成立；（2）若对于任何大于1的正数x ，恒有1xax b x +>-1>22．(本小题满分12分)（1）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围；（2）是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|x |≤2的一切实数x 的取值都成立．必修5第三章《不等式》单元检测题参考答案【第1题解析】选项C 取1,2=-=b a ，可排除A ﹑B ﹑D 三个答案，由2211ab a b-= 220a ba b -<，故选C.【第4题解析】解析2(0)y ax bx c a =++≠为二次函数，若开口向上，判别式小于零时就没有小于零的函数值所以0,0≥∆>a ，故选D.【第5题解析】由集合A 得：{}|8A x x =≤，{}|28B x x =≤<，故选C. 【第6题解析】0a > -2+4=-a b ，∴2b a -=-，∴ 二次函数图象的对称轴2b x a=-=1 由二次函数图象可知，D 正确. 故选D. 【第7题解析】如图，不等式组502x y x -+0⎧⎨⎩≥，≤≤表示的平面区域是一个梯形，它的一个顶点坐标是(2，7)，用平行于x 轴的直线y ≥a 截梯形得到三角形，则a 的取值范围是57a <≤，故选C.【第8题解析】依题意知，若m=0,则成立；若m≠0，则开口向上，对称轴不小于1，从而取并集解得C ．故选C.【第9题解析】设长方体的长为xm,高为hm ，则V=2xh ，而2x+2h×2＋xh×2=32，∴可 求得B. 故选B.【第12题解析】2log 1log121-==-a a a a，21)1()1(21log 2log 1==a a a a ，由)1()3(x f x f -=-知抛物线c bx ax x f ++=2)(对称轴为1-=x ，∵0>a ，∴开口方向向上，∴)21()0()2(f f f <=-，即n m <.故选B.【第13题解析】由不等式判断可得0a ≠且不等式等价于(1)()0a x x a+->，由解集特点可得0a >且112a =，故2a =. 故填2. 【第14题解析】如图示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是1,213-，所以圆心角α即为两直线的所成夹角，所以11|()|23tan 1111|23α--==+⋅-（），所以4πα=，而圆的半径是2，所以弧长是2π.【第16题解析】由题图知抛物线顶点坐标为（6，11），且过点（4，7）.设()1162+-=x a y ,将（4，7）代入，得()116472+-=a ,∴1-=a .∴()251211622-+-=+--=x x x y .∴年平均利润为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=x x x x x y 25121225.∵1025≥+x x （当且仅当x x 25=,即5x =时，取“=”）,∴当5x =时，xy有最大值2.故填5. 【第17题答案】（1）25；（2）423. 【第17题解析】（1）)1(41444522222t t x x x x x y +=++++=++=，令)2(42≥+=t x t ，则)2(012≥=+-t yt t .令)2(1)(2≥+-=t yt t t f ，1)0(=f ，显然012=+-yt t 只有一个大于或等于2的根，0)2(≤∴f ，即250124)2(≥⇒≤+-=y y f ，即4522++=x x y 的最小值是25.（2）120022=+>>b a b a ，， ，∴≤==当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>=++=0012212222b a b a b a ，2223==⇒b a ，时，21b a +的最大值为423【第19题答案】存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立． 【第19题解析】假设存在常数,,a b c 满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+= ①又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立， ∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++= ②由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-，由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立，∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ， ∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩， ∴14a =，∴14c =， ∴存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立．【第20题答案】投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大. 【第20题解析】设投资人分别用x ，y 万元投资甲，乙两个项目，由题意，得10,0.30.1 1.8,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为z =x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线l 0:x+0.5y=0，并作平行于直线l 0的一组直线x+0.5y=z ，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，此时z 最大，这里点M 是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点. 解方程组10,0.30.1 1.8,x y x y +=⎧⎨+=⎩得4,6,x y =⎧⎨=⎩此时，z=4+0.5×6=7（万元）.∴ 当x=4，y=6时，z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.min 1x ax b x ⎡⎤+>⎢⎥-⎣⎦而21(1)111)11x ax a x a a x x +=-+++≥+=--， 当仅且当1(1)1a x x -=-，即11x =>时取等号.故2min1)1x ax x ⎡⎤+=⎢⎥-⎣⎦.则21)b >1b >.(2) 令f (x )= 2x －1－m (x 2－1)= －mx 2+2x +(m －1)，使|x |≤2的一切实数都有2x －1＞m (x 2－1)成立． 当0=m 时，f (x )= 2x －1在221<≤x 时，f (x )0≥．（不满足题意） 当0≠m 时，f (x )只需满足下式： 012(2)0m m f ->⎧⎪⎪≤-⎨⎪->⎪⎩或01200m m ->⎧⎪⎪-<<⎨⎪∆<⎪⎩或0(2)0(2)0m f f -<⎧⎪>⎨⎪->⎩ 解之得结果为空集．故没有m 满足题意．。
(完整word版)人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案(1)
人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1、若,0<<b a 下列不等式成立的是 ( )A 22b a <B ab a <2 C1<a b D ba 11< 2．下列说法正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)4．不等式x －1x ＋2>1的解集是( )A ．{x |x <－2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <1}D ．{x |x ∈R } 5．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的形状为( )A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正方形7．[]10,,01(1,1)(,1)(1)--1+x y yx y x x A B C -+≤⎧⎨>-⎩--∞-⋃+∞∞∞若实数满足则的取值范围是（）、、，、（，1）D 、， 8．若关于x 的函数y ＝x ＋m 2x在(0，＋∞)的值恒大于4，则( )A ．m >2B ．m <－2或m >2C ．－2<m <2D ．m <－2 9．已知定义域在实数集R 上的函数y ＝f (x )不恒为零，同时满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，且当x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有( ) A ．f (x )<－1 B ．－1<f (x )<0 C ．f (x )>1 D ．0<f (x )<110．若x ＋23x －5<0，化简y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3的结果为( )A ．y ＝－4xB ．y ＝2－xC ．y ＝3x －4D ．y ＝5－x二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是_________．12．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．13．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)15． 已知不等式244x mx x m +>+-（1）若对于一切实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围（2）若对于04m ≤≤的所有实数m 不等式恒成立，求x 取值范围16．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0.17．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0.2220,40250(1)2222z 24x y x y x y x y z x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩=++-+=+-19、已知满足求的最小值（）求的最大值19．(13分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．必修5第三章《不等式》单元测试题1、c2．解析：A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0>b ＝－1时，a 2＝0<b 2＝1，所以B 不正确；D 中，当(－2)2>(－1)2时，－2<－1，所以D 不正确．很明显C 正确．答案：C3．解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x ＋2y ＋5>0.答案：A4．解析：x －1x ＋2>1⇔x －1x ＋2－1>0⇔－3x ＋2>0⇔x ＋2<0⇔x <－2.答案：A5．解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0， 所以M ≥N .答案：B6．解析：在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分．则平面区域是△ABC . 答案：A 7答案：B8．解析：∵x ＋m 2x ≥2|m |，∴2|m |>4.∴m >2或m <－2. 答案：B9．解析：令x ＝y ＝0得f (0)＝f 2(0)， 若f (0)＝0，则f (x )＝0·f (x )＝0与题设矛盾． ∴f (0)＝1.又令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )·f (－x )，故f (x )＝1f (－x ).∵x >0时，f (x )>1，∴x <0时，0<f (x )<1，故选D. 答案：D 10．解析：∵x ＋23x －5<0，∴－2<x <53.而y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3＝|3x －5|－|x ＋2|－3＝5－3x －x －2－3＝－4x .∴选A.答案：A二、填空题（填空题的答案与试题不符）11．解析：式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，即kx 2＋kx ＋1>0恒成立．当k ≠0时，k >0且Δ＝k 2－4k <0，∴0<k <4；而k ＝0时，kx 2＋kx ＋1＝1>0恒成立，故0≤k <4，.12．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________． 解析：求原函数定义域等价于解不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x >0，解得2≤x <3或3<x <4.∴定义域为[2,3)∪(3,4)． 答案：[2,3)∪(3,4)13．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________． 解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt △OAB .可求得A (4,0)，B (0,4)，则OA ＝OB ＝4， AB ＝42，所以Rt △OAB 的周长是4＋4＋42＝8＋4 2.答案：8＋4 2 14．已知函数f (x )＝x 2－2x ，则满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋f (y )≤0，f (x )－f (y )≥0的点(x ，y )所形成区域的面积为__________．解析：化简原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －1)2≤2，(x －y )(x ＋y －2)≥0， 所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积． 答案：π15．解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x %)，八月份销售额为500×(1＋x %)2，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，可列出不等式为4360＋1000[(1＋x %)＋(1＋x %)2]≥7000.令1＋x %＝t ，则t 2＋t －6625≥0，即⎝⎛⎭⎫t ＋115⎝⎛⎭⎫t －65≥0.又∵t ＋115≥0， ∴t ≥65，∴1＋x %≥65，∴x %≥0.2，∴x ≥20.故x 的最小值是20. 答案：20三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16． （1）0<m<4 (2){}0x 2x x ≠≠且 17．解：(1)－x 2＋2x －23>0⇔x 2－2x ＋23<0⇔3x 2－6x ＋2<0.Δ＝12>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的两根为x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式解集为{x |1－33<x <1＋33}． (2)9x 2－6x ＋1≥0⇔(3x －1)2≥0.∴x ∈R .∴不等式解集为R .18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0. 解：当m ＝－3时，不等式变成3x －3>0，得x >1； 当－3<m <－2时，不等式变成(x －1)[(m ＋3)x－m ]>0，得x >1或x <mm ＋3；当m <－3时，得1<x <mm ＋3.综上，当m ＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当－3<m <－2时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，m m ＋3∪(1，＋∞)；当m <－3时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m m ＋3.19、8 2120．解：(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20.(2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1200,1225]， 在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.21、解：方案①：修旧墙费用为ax 4(元)，拆旧墙造新墙费用为(14－x )a2(元)，其余新墙费用为(2x ＋2×126x－14)a (元)，则总费用为y ＝ax 4＋(14－x )a 2＋(2x ＋2×126x －14)a ＝7a (x 4＋36x－1)(0<x <14)，∵x 4＋36x ≥2x 4·36x＝6， ∴当且仅当x 4＝36x即x ＝12时，y min ＝35a ，方案②：利用旧墙费用为14×a 4＝7a 2(元)，建新墙费用为(2x ＋252x－14)a (元)，则总费用为y ＝7a 2＋(2x ＋252x －14)a ＝2a (x ＋126x )－212a (x ≥14)，可以证明函数x ＋126x 在[14，＋∞)上为增函数，∴当x ＝14时，y min ＝35.5a . ∴采用方案①更好些．。
人教A版高中数学必修五不等式单元检测题
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作不等式单元检测题海南华侨中学 李红庆一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．实数方程2254540x x x x -++-+=的解集是A ．{}1,4B ．{}|14x x ≤≤C ．{}|14x x x ≤≥或D ．{}|14x x <<1．B ．由2254540x x x x -++-+=得2254(54)x x x x -+=--+，则2540x x -+≤2．若不等式220ax x c ++>和()()21310x x -+<有相同的解集，则不等式220x cx a -->的解集是A ．{}|23x x -<<B ．{}|23x x x <->或C ．11{|}23x x x <->或D ．11{|}23x x -<<2．A ．()()21310x x -+<可化为212220x x -++>，则12a =-，2c =，则220x cx a -->即为260x x --<，解之23x -<<3．已知0x >，0y >，且1x y +=，则23x y+的最小值是 A ．10 B ．526+ C ．32+ D ．263．C ．由于23x y +()2323()5()526y x x y x y x y =++=++≥+()232=+4．已知实数对(),x y 满足不等式组30210x y x x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，二元函数22z x y =+的最大值为A ．5B ．10C ．23D ．134．D ．不等式组表示的区域是由(1,2)A ，()2,1B ，()2,3C 为顶点的三角形区域，此区域到原点的最大距离为222313OC =+=．5．已知函数()2f x ax bx c =++经过点()2,2--和()1,4，若20c -<<，则实数a 的取值范围是A ．()2,1--B ．()1,3C ．()1,2D ．()1,1-5．C ．由题意，4224a b c a b c -+=-⎧⎨++=⎩得，12c a =-，由于012c <-<，则12a << 6．不等式1221x x -+-≤的解集是A ．{}|12x x ≤≤B ．{}|1x x ≤C ．{}|2x x ≥D ．{}|2x x =6．D ．令()122f x x x =-+-，则()53,13,1235,2x x f x x x x x -<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，则()()min 21f x f ==， 7．函数()9222f x x x=--（1x >）的最小值是 A ．9 B ．8 C ．6 D ．4 7．B ．∵1x >， ∴10x ->，∴()()()9212292821f x x x =-++≥+=- 8．已知0a b c d >>>>，则下列不等式不一定成立．．．．．的是 A ．11190a b b c c d d a +++≥---- B ．110a b d a+>-- C ．110a b d c +>-- D ．110d a b c +>-- 8．C ．由三个正数的算术均值与调和均值关系，知A 成立；由于0a d a b ->->，则11a b a d >--，即B 成立；由于0a d b c ->->，则11b c a d>--，即D 成立；当0a b c d ->->时，11a b c d<--，即110a b d c +<--． 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在题中横线上）9．若{}4|1,2,33x Z x m ⎧⎫∈-<=⎨⎬⎩⎭，则实数m 的取值范围（或取值）为 9．5733m <<．不等式43x m -<的解之，4433m x m -<<+，由于整数解为1，2，3，则40134343m m ⎧≤-<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，解之，5733m <<． 10．已知：1a >，2b >，3c >，且9a b c ++=，则123a b c -+-+-的最大值为10．3．由9a b c ++=，得()1(2)(3)3a b c -+-+-=，由柯西不等式得，()22221112133((1)(2)(3))9a b c a b c -+-+-≤-+-+-=， 则123a b c -+-+-3≤11．对于x R ∀∈，不等式2245x x m m -++≥-恒成立，则实数m 的取值范围是11．16m -≤≤．因为()()24246x x x x -++≥--+=，所以256m m -≤，得16m -≤≤． 12．如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 是半径弧AB （非端点）上任一点，CD AB ⊥于D ，设A D a =（0a >），D B b =（0b >），根据几何不等关系CD OC ≤，写出相应的代数不等式为 ；12．2a b ab +≤．因为CD ab =，2a b OC +=，由于CD OC ≤，则2a b ab +≤． 13．若0m ≥，0n ≥，且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有1mx ny +≤，则以实数对(),m n 为坐标的点(),P m n 所在的区域的面积为 ．13．1．令z mx ny =+，因为1mx ny +≤都成立，即z 在可行域内的最大值为1，即直线z mx ny =+经过点()1,0和()0,1，则01m ≤≤，01n ≤≤，所以可行域为边长为1的正方形．14． 设n 是正数，且1x n n =+-，21y n n =+-+，则x 与y 的大小关系是14．x y >．由于1211x n n n =>+++，12211y n n n =<++++，则x y >． 三、解答题（本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）设长方体的体对角线长为1，经过一个顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ．求证：1ab bc ca ++≤．证明：由于()()()2220a b b c c a -+-+-≥，即222ab bc ca a b c ++≤++，又在正方体中，222211a b c ++==，所以1ab bc ca ++≤．16．（本小题满分12分）设0m >，α，R β∈．求证：()2221(1)1m m αβαβ+≤+++． 证明：右边22221()()m m αββα=+++ 222αβαβ≥++≥2222αβαβαβ++=+=左边，所以原不等式得证．17．（本小题满分12分）已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=，HF DA ⊥于H ，HF ⊥CB 的延长线于H ，且HF 与AB 相交于E ，设AE x =（02x <≤）．（Ⅰ）设△ECF 的面积为()S x ，试求()S x 的解析式；（Ⅱ）当x 取何值时，()S x 取最大值，并求其最大值．解：（Ⅰ）由AE x =，60DAB ∠=，得32EF x =．则2EB x =-，得cos 6012x HB EB ==-，那么，32x CH =-，所以， ()S x 13(3)222x x =-233384x x =-+（02x <≤）． （Ⅱ）由于()S x 在区间(]0,2上是增函数，所以当2x =时，()S x 有最大值，其最大值为3．18．（本小题满分12分）已知方程()f x =()2234(3)0x k x k --+-=（k 为实数）有两个不相等的实数根，分别求： （Ⅰ）若方程()0f x =的根为一正一负，则求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若方程()0f x =的两根都在()1,1-内，则求实数k 的取值范围．解：（Ⅰ）由根与函数图像的关系，则方程()0f x =的根为一正一负()00f ⇔<，即()430k -<，所以实数k 的取值范围是3k <；（Ⅱ）由()()()101030131f f f k k ⎧->⎪>⎪⎨-<⎪⎪-<-<⎩，解之，1736k <<． 19．（本小题满分12分）某厂准备投资100万元生产A ，B 两种新产品，据测算，投产后的年收益，A 产品是投入数的15，B 产品则是投入数开平方后的2倍，设投入B 产品的数为2x （010x <≤）万元． （Ⅰ）设两种产品的总收益为()P x ，求()P x 的解析式；（Ⅱ）怎样分配投入数，使总收益()P x 最大．解：（Ⅰ）()21(100)25P x x x =-+（010x <≤）； （Ⅱ）()212205P x x x =-++21(10)255x =--+，当5x =，即225x =时，()P x 最大值为25万元，由此可知，当投入A 产品75万元，B 产品25万元时，总收益最大．（或用：()()21110102020552x x P x x x +-⎛⎫=-+≤+ ⎪⎝⎭25=，当10x x =-，即5x =） 20．（本小题满分14分）（Ⅰ）如图，正方形的边长为a b +（0a >，0b >），且a b +为定值，根据几何不等关系||||||AK KC AC +≥，写出相应的代数不等式形式是（Ⅱ）如图，类比的方法，以a b c ++（0a >，0b >，0c >）为棱长的正方体，它的“对角线”上是由三个a b c ⨯⨯的长方体构成（这个结构称为李氏模型），根据几何不等关系A B B C C D A D++≥，写出相应的代数不等式形式是 ； （Ⅲ）给出（Ⅱ）的证明．解：（Ⅰ）由||||||AK KC AC +≥，得， 2222()a b a b +≥+，即222()22a b a b ++≥． （Ⅱ）22233a b c a b c ++++≤，当且仅当a b c ==时取等号；（Ⅲ）因为，222AB BC CD a b c ===++，3()AD a b c =++，由于折线段不小于直线段，因此，22233()a b c a b c++≥++，整理得，22233a b c a b c++++≤，当且仅当a b c==时取等号．。
人教A版高中数学必修5第三章不等式单元测试(有答案)
不等式单元测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．不等式x (x －2)>0的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) B ．(－2,0) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)2．直线a >b >0，那么下列不等式成立的是( )A ．－a >－bB ．a ＋c <b ＋c C.1a >1bD ．(－a )2>(－b )23．y ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－4x ＋3·1x 2＋x －2的定义域是( )A ．{x |x ≤1或x ≥3}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |x ≤－2或x >3} 4．若x ，y ∈R, x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有( ) A ．最小值12和最大值1 B ．最小值34和最大值1C ．最小值12和最大值34D ．最小值15．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，x ＋y ≤1y ≥－1，，则z ＝－2x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．－12 C ．2 D ．－56．设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b 7．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．58．不等式3x 2＋2x ＋2x 2＋x ＋1≥m 对任意实数x 都成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m <2C ．m ≤3D ．m <39．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2＝2a 2，则cos A 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－1211．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4912．若对满足条件3x ＋3y ＋8＝2xy (x ＞0，y ＞0)的任意x 、y ，(x ＋y )2－a (x ＋y )＋16≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，8]B ．[8，＋∞)C ．(－∞，10]D ．[10，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设常数a >0，若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为________．14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，x ≥0，y ≥0，则w ＝4x ＋2y －16x －3的取值范围是________．15．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a ，b ，c 为不相等的正数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.18.(12分)解不等式0<x －12x ＋1<1，并求适合此不等式的所有整数解．19．(12分)(1)已知x >0，求f (x )＝2x＋2x 的最小值和取到最小值时对应x 的值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．20.(12分)已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．21．(12分)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点个数为a n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．22.(12分)某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱可获利润40元，B 种糖果每箱可获利润50元．其生产过程分混合、烹调、包装三道工序．下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位：min).混合 烹调 包装 A 1 5 3 B24130 h ，包装的设备最多只能用机器15 h ，每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？答案与解析1．C 不等式x (x －2)>0， ∴x <0或x >2，故选C.2．D ∵a >b >0，∴a 2>b 2，(－a )2＝a 2，(－b )2＝b 2，∴D 成立．3．C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，1x 2＋x －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2＋x －2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x >1或x <－2，∴x >3或x <－2，故选C.4．B 由x 2＋y 2＝1, 0≤y 2＝1－x 2≤1, ∴(1＋xy )(1－xy )＝1－x 2y 2＝1－x 2(1－x 2)＝x 4－x 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－122＋34.∵0≤x 2≤1, ∴当x 2＝12时有最小值34.当x 2＝0或1时有最大值1，故选B. 5．A 不等式组所表示的平面区域如图示．直线z ＝－2x ＋y 过B 点时z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得B (－1，－1)，∴z max ＝1.6．B ∵a ＝log 37，∴1<a <2.∵b ＝21.1，∴b >2.∵c ＝0.83.1，∴0<c <1.故b >a >c . 7．C 1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥22×2＝4，当且仅当1a ＝1b且21ab＝2ab ，即a ＝b ＝1时，“＝”号成立，故选C.8．A ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴不等式可化为3x 2＋2x ＋2≥m (x 2＋x ＋1)，即(3－m )x 2＋(2－m )x ＋2－m ≥0对任意实数x 都成立，当m ＝3时，不等式化为－x －1≥0不恒成立．当m ≠3时，有⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，2－m 2－4×3－m ×2－m ≤0，即m ≤2.综上，实数m 的取值范围是m ≤2，故选A. 9．D 作出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距． 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.10．C cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2＋c 222bc ＝b 2＋c 24bc ≥2bc 4bc ＝12，当且仅当b ＝c 时等号成立，故选C.11．C 作出可行域如图(阴影部分)．由题意知，圆心C (a ，b )，半径r ＝1，且圆C 与x 轴相切，所以b ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得A (6,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝1，得B (－2，1)，而目标函数z ＝a 2＋b 2表示点C 到原点距离的平方，所以当点C 与A (6,1)重合时，a 2＋b 2取到最大值37.12．C ∵xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴3x ＋3y ＋8＝2xy ≤x ＋y22，∴x ＋y22－3(x ＋y )－8≥0，解得x ＋y ≥8，∵(x ＋y )2－a (x ＋y )＋16≥0恒成立，即a ≤x ＋y ＋16x ＋y， 又x ＋y ＋16x ＋y≥10.∴只需a ≤10，故选C. 13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析：∵a >0，x >0，∴9x ＋a 2x ≥29x ·a 2x ＝6a .当且仅当9x ＝a 2x，即3x ＝a 时取等号，要使9x ＋a 2x≥a ＋1成立，只要6a ≥a ＋1，即a ≥15.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.14.[5,6]解析：w ＝4x ＋2y －16x －3＝4x －3＋2y －4x －3＝4＋2×y －2x －3，设k ＝y －2x －3.则k 的几何意义是区域内的点到定点D (3,2)的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图象得AD 的斜率最小，BD 的斜率最大，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，B (1,0)，此时k AD ＝12－20－3＝12，此时w 最小为w ＝4＋2×12＝4＋1＝5，k BD ＝0－21－3＝1，此时w 最大为w ＝4＋2×1＝6， 故5≤w ≤6. 15．6解析：画出可行域如图所示，其中z ＝x ＋y 取得最小值时的整点为(0,1)，取得最大值时的整点为(0,4)，(1,3)(2,2)(3,1)及(4,0)共5个整点．故可确定5＋1＝6条不同的直线．16．18解析：由2x ＋8y －xy ＝0得2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x≥18.当且仅当2x 2＝8y 2，即x ＝2y 时，等号成立．17．证明：证法一：∵a ，b ，c 为不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝ 1bc＋1ca＋1ab <1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c.故原不等式成立． 证法二：∵a ，b ，c 为不等正数，且 abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .故原不等式成立． 18．解：∵0<x －12x ＋1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －12<x ＋1，x －1≠0，∴0<x <3，且x ≠1.故不等式的解集为{x |0<x <3，且x ≠1}， ∴适合此不等式的所有整数解为x ＝2.19.解：(1)f (x )＝2x ＋2x ≥22x·2x ＝4，当且仅当2x＝2x ，即x ＝1时，等号成立，∴f (x )的最小值为4，此时对应的x 的值为1. (2)∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13·⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1－3x 22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，∴x ＝16时，等号成立，∴y ＝x (1－3x )的最大值为112.20．解：(1)由已知得f (1)＝－a 2＋6a ＋3>0. 即a 2－6a －3<0.解得3－23<a <3＋2 3.∴不等式f (1)>0的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)∵f (x )>b ，∴3x 2－a (6－a )x ＋b －6<0，由题意知，－1,3是方程3x 2－a (6－a )x ＋b －6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6－a3＝2，b －63＝－3.∴⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.21.解：(1)由x >0, y >0, y ＝3n －nx >0， 得0<x <3.所以x ＝1或x ＝2，即D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记y ＝－nx ＋3n 为l, l 与x ＝1, x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1, y 2, 则y 1＝2n, y 2＝n, ∴a n ＝3n (n ∈N ＋)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋…＋n )＝3nn ＋12，∴T n ＝n n ＋12n. 又T n ＋1T n ＝n ＋22n>1⇒n <2， ∴当n ≥3时， T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32.所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32， ＋∞. 22．解：设生产A x 箱，生产B y 箱，可获利润z 元，即求z ＝40x ＋50y 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤720，5x ＋4y ≤1 800，3x ＋y ≤900，x ≥0， y ≥0下的最大值．解得z max ＝40×120＋50×300＝19 800.所以生产A 120箱，生产B 300箱时，可以获得最大利润19 800元．。
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人教A 版高一必修五不等式单元检测卷A001
一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 ，请将答案填入题后的答题表中。
1、不等式b ax >的解集不可能是
A ．φ
B ．R
C ．),(+∞a b
D ．),(a
b -
-∞
2、不等式(1)(1)0x x +⋅->的解集是
A ．{}/01x x ≤<
B ．{}/0,1x x x <≠-且
C ．{}/11x x -<<
D ．{}/1,1x x x <≠-且
3、若不等式02<++q px x 的解集是（1，2），则不等式06
52
2
>--++x x q px x 的解集是
A ．（1，2）
B ．（-∞，-1）∪（6，+∞）
C ．（-∞，-1）∪（1，2）∪（6，+∞）
D ．（-1，1）∪（2，6） 4、下列各组不等式中同解的是
A ．x ＞6与x (x －3)2
＞6(x －3)2
B ．)2(12-+x x ≥0与x ≥2
C ．
023≥--x
x 与03
23
≥--x x D ．
)
1()1(22
-+-x x x ＞0与x 2
－3x +2＞0
5、不等式11log (21)log (1)a a x x ---->成立的充要条件是
A ．a ＞2, x ＞1
B ．a ＞1, x ＞1
C ．a ＞2,x ＞0
D ．x ＞0
6、同时满足下列四个条件中的2个，其中与||1,
||1
x y <⎧⎨
<⎩等价的是 ① 2||||<+y x
② 0)1|)(|
1|(|<--y x
③ 0)1|)(|1|(|>--y x ④ 22
2
<+y x A ．① ④ B ．① ③ 或 ③ ④
C ．① ② 或 ② ④
D ．② ③或 ③ ④
7、函数)0(132
>+++=
x x
x x y 的最小值是
A ．32
B ．1-+32
C ．1+32
D ．2-+32
8、 命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)，则
A ．“p 或q ”为假
B ．“p 且q ”为真
C ．p 真q 假
D ． p 假q 真
9、已知函数12)(+-=x x f ，对于任意正数ε，使得ε<-|)()(|21x f x f 成立的一个充分不必要条件是
A ．ε<-||21x x
B ．2
||21ε
<
-x x C ．4
||21ε
<
-x x D ．4
||21ε
>
-x x
10、已知实数,x y 满足2
2
1x y +=，则(1)(12)xy xy -+有
A ．最小值0，也有最大值98
B ．最小值
34
，也有最大值1
C ．最小值
34
，但无最大值 D ．最小值1，但无最大值
11、设a b 、是正实数，“221a b +<”是“1ab a b +>+”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 12、已知()x f 是定义在()3,3-上的奇函数，当30<<x 时，
()x f 的图象如图所示，那么不等式()0cos <⋅x x f 的解集为
A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⋃⎪⎭⎫
⎝
⎛-
-3,21,02,3ππ B ．()⎪⎭
⎫
⎝⎛⋃
⋃⎪⎭
⎫
⎝⎛--3,21,01,2ππ C ．()()()3,11,01,3⋃⋃-- D ．()()3,11,02,3⋃⋃⎪
⎫ ⎛--π 13、函数12
1log (1)1
y x x =+
+-
的最大值是________________。
14、若
03
4)(2
3
2
2<++++-x x a
x a a x 的解集是}91|{<<-x x ，则a =________________。
15、已知x ，y ∈R +
，且x 2
+
2
2
y
=1，则x 21y +的最大值是________________。
16、关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为空集，则a 的取值范围为________________。
三．解答题：本大题有6小题, 共74分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）已知a R ∈，解关于2
2 1
ax x x ax -<+的不等式.
18、（本小题满分12分）已知a ＞0,b ＞0，试比较：2122
1
2
)(
)
(a
b
b
a
+与2
1
2
1b a
+的大小.
19、（本小题满分12分）已知函数x
a x f 21)(+-
=。
（1）解关于x 的不等式0)(>x f 。
（2）若02)(≥+x x f 在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围。
20、（本小题满分12分）某校要建一个面积为392 m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m 和4 m 的小路（如图所示）。
问游泳池的长和宽分别为多少m 时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。
21、（本小题满分12分）设a x x f |,lg |)(=、b 是满足)2
(2)()(b a f b f a f +==的实
数，其中b a <<0.
（1）求证：b a <<1； （2）求证：3422<-<b b . 22、（本小题满分14分）
已知函数2()f x ax bx c =++，()(1)g x ax b λλ=+≥，||1|()| 1.x f x ≤≤当时， （I ）证明：||2;a ≤
（II ）用(0)(1)(1)(1)(1);f f f g g --、、表示， （III ）当||1|()|2.x g x λ≤≤时，证明。