必修五数学不等式单元测试卷含答案

必修五数学不等式单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）1. 若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A.a +b ≥b −c B.ac ≥bcC.c 2a−b>0 D.(a −b)c 2≥02. 不等式组{x +3y +6≥0x −y +2<0表示的平面区域是（ ）A. B.C. D.3. 已知x >−1，则x +4x+1的最小值是( ) A.1 B.3 C.4 D.54. 不等式1x <3等价于（ ） A.x >13或x <0 B.0<x <13C.x >13D.x <05. 已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列结论一定成立的是（ ） A.a 2<b 2 B.a 3<b 3C.1a >1bD.ac 2<bc 26. 使不等式x 2<|x|成立的x 的取值范围是（ ） A.x >1B.x <−1C.−1<x <1D.以上答案都不对7. 若关于x 的不等式xe x −ax +a <0的解集为(m, n)(n <0)，且(m, n)中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A.[1e2, 1e )B.[23e 2, 12e)C.[1e2, 2e)D.[23e 2, 1e)8. 三个数(25)−15，(65)−15，(65)−25的大小顺序是（ ）A.(65)−15<(65)−25<(25)−15B.(65)−25<(65)−15<(25)−15 C.(65)−15<(25)−15<(65)−25 D.(25)−15<(65)−15<(65)−259. 已知a ，b ，c ，d 是四个互不相等的正实数，满足a +b >c +d ，且|a −b|<|c −d|，则下列选项正确的是( )A.a 2+b 2>c 2+d 2B.|a 2−b 2|<|c 2−d 2|C.√a +√b <√c +√dD.|√a −√b|<|√c −√d|10. 若直线l:x =my +n(n >0)过点A(4, 4√3)，若可行域{x ≤my +n√3x −y ≥0y ≥0的外接圆的面积为64π3，则实数n 的值为（ ）A.8B.7C.6D.911. 若|log a 14|=log a 14，|log b a|=−log b a ，则a ，b 满足的条件是（ ）A.a >1，b >1B.0<a <1，b >1 C .a >1，0<b <1 D .0<a <1，0<b <112. 若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0且z =y −x 的最小值为−2，则k 的值为（ ）A.1B.−1C.2D.−2二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）13. 求不等式kx2+kx+1>0的解集为R的充要条件________.14. 若不等式ax2+5x+c>0的解集是{x|13<x<12，x∈R}，则a−c=________．15. 若已知不等式2x−1>m(x2−1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x 的取值范围为________．16. 现有含盐7%的食盐水200克，生产需要含盐在5%以上且6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水x克，则x的范围是________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分，）17.(10分) 一个家电维修中心有技术员工和辅助员工共15人，技术员工数是辅导员工数的2倍．家电维修中心计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A 元和“辅导员工个人奖金”B元两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．（1）求该家电维修中心中技术员工和辅导员工的人数；（2）求本次奖金发放的具体方案？18. （12分）已知3x+5y+14=0，其中x∈[−3, 2]，求：|y−2x+1|的最小值．19.(12分) 已知实数x，y满足：1<x<2<y<3，（1）求x⋅y的取值范围；（2）求x−2y的取值范围：20.(12分) 电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.(1)设每周安排连续剧甲x次，连续剧乙y次，列出x，y所应该满足的条件；(2)应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？21. （12分） 已知一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根x 1，x 2分别是一元二次方程cx 2+dx +a =0的两根的2013倍，试证明：|b|=|d|．22.(12分) 设x ，y 满足约束条件 {8x −y −4≤0，x +y +1≥0，y −4x ≤0，目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最大值为2. (1)作出可行域；(2)求a +4b 的值；(3)若不等式1a+1b ≥mx 2−x +(m +154)对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案与试题解析 必修五数学不等式单元测试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】不等式的基本性质 【解析】利用不等式的性质即可得出． 【解答】解：当a =0，b =1，c =−1时，a +b <b −c ，故A 错误； 当a =1，b =−1，c =−1时，ac <bc ，故B 错误； 当c =0时，c 2a−b =0，故C 错误； ∵ a >b ，∴ a −b >0．又c 2≥0，∴ (a −b)c 2≥0，故D 正确. 故选D . 2.【答案】 C【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 【解析】不等式{x +3y +6≥0x −y +2<0等价于x +3y +6≥0且x −y +2<0，根据二元一次不等式与区域的关系即可得出正确选项． 【解答】解：不等式{x +3y +6≥0x −y +2<0等价于x +3y +6≥0且x −y +2<0，由二元一次不等式与区域的判断规则知，就选C 故选C 3.【答案】 B【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】本选择题利用直接法解决．将不等式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件即可． 【解答】解：∵ x >−1. ∴ x +1>0.∴ x +4x+1=(x +1)+4x+1−1≥2√(x+1)⋅4x+1−1=3.当且仅当x+1=4x+1，即x=1(−3舍去)时取等号．∴x+4x+1的最小值为3.故选B．4.【答案】A【考点】不等式的概念与应用【解析】1 x <3⇔1−3xx<0⇔3x−1x>0⇔{(3x−1)⋅x>0x≠0，从而可得答案．【解答】解：由1x <3得：1x−3=1−3xx<0，即3x−1x>0，∴{(3x−1)⋅x>0x≠0解得：x>13或x<0．故选A．5.【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】A．取a=−3，b=−2，即可判断出正误；B．令f(x)=x3，(x∈R)，利用导数研究其单调性即可判断出正误C．取a=−2，b=1，即可判断出正误；D．取c=0，即可判断出正误．【解答】解：A．取a=−3，b=−2，不成立；B．令f(x)=x3，(x∈R)，f′(x)=3x2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，又a<b，∴a3<b3，因此正确；C．取a=−2，b=1，不正确；D．取c=0，不正确．故选：B．6.【答案】D【考点】二元一次不等式组【解析】由已知x2<|x|可以判断出|x|与1的大小关系，从而确定x的范围．【解答】∵ 不等式x 2<|x|成立，而x 2和|x|都是正数， ∴ |x 2|<|x|， ∴ |x|×|x|<|x|， ∴ |x|<1且x ≠0，∴ −1<x <0或0<x <1． 7. 【答案】 B【考点】其他不等式的解法 【解析】设g(x)＝xe x ，y ＝ax −a ，求出g(x)的最小值，结合函数的图象求出a 的范围即可． 【解答】设g(x)＝xe x ，y ＝ax −a ， 由题设原不等式有唯一整数解，即g(x)＝xe x 在直线y ＝ax −a 下方， g′(x)＝(x +1)e x ，g(x)在(−∞, −1)递减，在(−1, +∞)递增，故g(x)min ＝g(−1)=−1e ，y ＝ax −a 恒过定点P(1, 0)，结合函数图象得K PA ≤a <K PB ， 即23e 2≤a <12e ，，8. 【答案】 B【考点】不等式比较两数大小 【解析】根据指数函数和幂函数的单调性即可得到结论． 【解答】解：由指数函数的单调性可知，(65)−15>(65)−25，由幂函数的单调性可知，(25)−15>(65)−15，则(25)−15>(65)−15>(65)−25，故(65)−25<(65)−15<(25)−15，故选：B 9.【答案】 D【考点】不等式比较两数大小 【解析】利用特殊值法进行排除即可求解. 【解答】解：A ．取a =10, b =3， c =12，d =0.1， 则它们满足a +b >c +d 且|a −b|<|c −d|， 但是：a 2+b 2=102+32=109，c 2+d 2=122+0.12=144+0.01=14.01，109<144.01，故此时有a 2+b 2<c 2+d 2，选项A 错误； B ．取a =20，b =19，c =5，d =3，则它们满足a +b >c +d 且|a −b|<|c −d|，但是：|a 2−b 2|=|202−192|=|400−361|=39， |c 2−d 2|=|52−32|=|25−9|=16, 39>16， 故此时有|a 2−b 2|≥|c 2−d 2|，选项B 错误；C ． √a +√b =√20+√19， √c +√d =√5+√3．√20>√5,√19>√3， ∴ √20+√19>√5+√3，故此时有√a +√b >√c +√d ，选项C 错误． 故选D ． 10.【答案】 A【考点】二元一次不等式的几何意义 【解析】由直线l:x =my +n(n >0)和直线√3x −y =0均过点A(4, 4√3)作出可行域，由三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，由正弦定理求得|AB|，然后由两点间的距离公式求得n 的值． 【解答】解：设l:x =my +n(n >0)与x 轴的交点为B(n, 0)，∵ 直线l:x =my +n(n >0)过点A(4, 4√3)，√3x −y =0也过点A(4, 4√3)， ∴ 直线l:x =my +n(n >0)经过一、二、四象限，∴ m <0． ∴ 可行域为△OAB ，且∠AOB =60∘，如图，∵ 可行域{x ≤my +n√3x −y ≥0y ≥0的外接圆的面积为64π3，∴ △OAB 外接圆的直径为16√33．由正弦定理得：ABsin 60∘=2R =16√33， ∴ AB =16√33×√32=8．由两点间的距离公式得：√(4−n)2+(4√3)2=8， 解得：n =0（舍）或n =8． 故选：A ． 11. 【答案】 B【考点】 不等式的综合不等式比较两数大小【解析】先利用|a|=a 则a ≥0，|a|=−a 则a ≤0，将条件进行化简，然后利用对数函数的单调性即可求出a 和b 的范围． 【解答】解：∵ |log a 14|=log a 14，∴ log a 14≥0=log a 1，根据对数函数的单调性可知0<a <1 ∵ |log b a|=−log b a ∴ log b a <0=log b 1，根据对数函数的单调性可知b >1故选B 12.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解答】解：由z=y−x得y=x+z，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最小，此时最小值为−2，即y−x=−2，则x−y−2=0，当y=0时，x=2，即A(2, 0)，同时A也在直线kx−y+2=0上，代入解得k=−1，故选：B二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】k∈[0,4)【考点】一元二次不等式与二次函数一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：当k=0时，符合题意，当k>0时，Δ=k2−4k<0，解得0<k<4，当k<0时，不合题意，综上所述k∈[0,4)，故答案为：k∈[0,4).14.【答案】−5【考点】一元二次不等式的应用【解析】由二次不等式的解集形式，判断出13，12是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a，c，求出a−c的值．解：∵ 不等式ax 2+5x +c >0的解集是{x|13<x <12，x ∈R}， ∴ a <0，13，12是ax 2+5x +c =0的两根，∴ 13+12=−5a ，13×12=c a ，解得a =−6，c =−1∴ a −c =−5故答案为−5．15.【答案】(√7−12，√3+12) 【考点】一元二次不等式与二次函数【解析】构造变量m 的函数，对x 2−1>0，x 2−1<0，x 2−1=0，进行分类讨论，利用|m|≤2时函数的取值，分别求出x 的范围，然后求并集即可．【解答】解：构造变量m 的函数求解：2x −1>m(x 2−1)，即：(x 2−1)m −(2x −1)<0，构造关于m 的函数f(m)=(x 2−1)m −(2x −1)，|m|≤2即−2≤m ≤2．1)当x 2−1>0时，则f(2)<0 ，从而 2x 2−2x −1<0， 解得：1−√32<x <1+√32又x 2−1>0，即x <−1 或 x >1，所以 1<x <1+√32；2)当x 2−1<0时，则f(−2)<0 可得−2x 2−2x +3<0 ，从而 2x 2+2x −3>0解得 x <−1−√72或x >√7−12， 又−1<x <1，从而√7−12<x <13)当x 2−1=0时，则f(m)=1−2x <0 ，从而x >12，故x =1； 综上有：√7−12<x <1+√32.故答案为：(√7−12，√3+12). 16. 【答案】100<x <400不等式的概念与应用【解析】浓度的计算：溶质除以溶液乘以100%，从而得解．【解答】解：由题意得，5%<14+0.04x 200+x ×100%<6%解之得，100<x <400故答案为100<x <400三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）17.【答案】设该家电维修中心有技术员工x 人、辅助员工y 人．则 {x +y =15x =2y， 解得 {x =10y =5． 答：该家电维修中心有技术员工10人、辅助员工5人；由10A +5B ＝20000，得2A +B ＝4000．∵ A ≥B ≥800，∴ 800≤B ≤A ≤1600，并且A ，B 都是100的整数倍，∴ {A =1600B =800 ，{A =1500B =1000，{A =1400B =1200 ． ∴ 本次奖金发放的具体方案有3种：方案一：技术员工每人1600元、辅助员工每人800元；方案二：技术员工每人1500元、辅助员工每人1000元；方案三：技术员工每人1400元、辅助员工每人1200元．【考点】一元二次不等式与一元二次方程【解析】（1）题中有两个等量关系：技术员工人数+辅助员工人数＝15，技术员工人数＝辅助员工人数×2，直接设未知数，列出二元一次方程组求解；（2）先由等量关系：技术员工人数×A +辅助员工人数×B ＝20000，可以得出A 与B 的一个关系式，又A ≥B ≥800，转化成一元一次不等式组，求出A 与B 的取值范围，再根据A ，B 都是100的整数倍，确定方案．【解答】设该家电维修中心有技术员工x 人、辅助员工y 人．则 {x +y =15x =2y， 解得 {x =10y =5． 答：该家电维修中心有技术员工10人、辅助员工5人；由10A +5B ＝20000，得2A +B ＝4000．∵ A ≥B ≥800，∴ 800≤B ≤A ≤1600，并且A ，B 都是100的整数倍，∴ {A =1600B =800 ，{A =1500B =1000，{A =1400B =1200 ．∴本次奖金发放的具体方案有3种：方案一：技术员工每人1600元、辅助员工每人800元；方案二：技术员工每人1500元、辅助员工每人1000元；方案三：技术员工每人1400元、辅助员工每人1200元．18.【答案】解：设k=y−2x+1，则k的几何意义为线段BC上的点与点A(−1, 2)的斜率，当x=−3时，y=−1，即B(−3, −1)，当x=2时，y=−4，即C(2, −4)，则k AB=−1−2−3+1=−3−2=32，k AC=−4−22+1=−63=−2，即k≥32或k≤−2，当k>0时，|k|≥32，当k<0时，|k|≥2，即|y−2x+1|的最小值为32．【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系简单线性规划【解析】设k=y−2x+1，根据斜率公式求出k的取值范围即可．【解答】解：设k=y−2x+1，则k的几何意义为线段BC上的点与点A(−1, 2)的斜率，当x=−3时，y=−1，即B(−3, −1)，当x=2时，y=−4，即C(2, −4)，则k AB=−1−2−3+1=−3−2=32，k AC=−4−22+1=−63=−2，即k≥32或k≤−2，当k>0时，|k|≥32，当k <0时，|k|≥2， 即|y−2x+1|的最小值为32．19.【答案】解：（1）∵ 1<x <2<y <3，∴ 1<x <2，2<y <3，则2<xy <6，即x ⋅y 的取值范围(2, 6)；(2)(I)∵ 1<x <2<y <3，∴ 1<x <2，2<y <3，−6<−2y <−4，则−5<x −2y <−2，即x −2y 的取值范围是(−5, −2)．【考点】不等式的概念与应用【解析】（1）根据不等式的性质，即可求x ⋅y 的取值范围；（2）先求出−2y 的取值范围，利用不等式的性质即可求x −2y 的取值范围：【解答】解：（1）∵ 1<x <2<y <3，∴ 1<x <2，2<y <3，则2<xy <6，即x ⋅y 的取值范围(2, 6)；(2)(I)∵ 1<x <2<y <3，∴ 1<x <2，2<y <3，−6<−2y <−4，则−5<x −2y <−2，即x −2y 的取值范围是(−5, −2)．20.【答案】解：(1)设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z ，则目标函数为z =60x +20y ，约束条件为{80x +40y ≤320,x +y ≥6,x,y ≥0.(2)作出可行域如图：做平行直线y =−3x +z 20，由图可知，当直线过点A 时，纵截距z 20最大.解方程组{80x +40y =320,x +y =6,得点A 的坐标为(2,4)，所以z max =60×2+20×4=200（万）.所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得收视观众的最大人数为200万.【考点】线性规划的实际应用求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y 次，收视率为z ，则目标函数为z =60x +20y ，约束条件为{80x +40y ≤320,x +y ≥6,x,y ≥0.(2)作出可行域如图：做平行直线y =−3x +z20，由图可知，当直线过点A 时，纵截距z 20最大.解方程组{80x +40y =320,x +y =6,得点A 的坐标为(2,4)，所以z max =60×2+20×4=200（万）.所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得收视观众的最大人数为200万.21.【答案】解：∵ 一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根x 1，x 2，∴ x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ，∵ x 1，x 2分别是一元二次方程cx 2+dx +a =0的两根的2013倍，∴ 一元二次方程cx 2+dx +a =0的两根分别为x 12013，x 22013， 则x 12013+x 22013=−d c ，x 12013⋅x 22013=a c ， 即x 1+x 2=−d c ×2013，x 1x 2=20132⋅a c ，则−d c ×2013=−b a ，x 1x 2=20132⋅a c =c a ， 即2013ad =bc ，20132⋅a 2=c 2，则c =±2013a ，2013ad =bc =±2013ab ，则b =±d 成立．即b|=|d|成立．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】根据一元二次方程根与系数之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵ 一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根x 1，x 2，∴ x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ，∵ x 1，x 2分别是一元二次方程cx 2+dx +a =0的两根的2013倍，∴ 一元二次方程cx 2+dx +a =0的两根分别为x 12013，x 22013，则x 12013+x 22013=−d c ，x 12013⋅x 22013=a c ， 即x 1+x 2=−d c ×2013，x 1x 2=20132⋅a c ，则−d c ×2013=−b a ，x 1x 2=20132⋅a c =c a ，即2013ad =bc ，20132⋅a 2=c 2，则c =±2013a ，2013ad =bc =±2013ab ，则b =±d 成立．即b|=|d|成立．22.【答案】解：(1)画出约束条件{8x −y −4≤0，x +y +1≥0，y −4x ≤0，表示的平面区域，如图阴影部分所示：(2)由图形知，当直线ax +by =z (a >0,b >0)过直线8x −y −4=0与y =4x 的交点B (1,4)时，目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值2，即a +4b =2 .(3)由题意，得 1a +1b =12(a +4b )(1a +1b )=12(5+4b a +a b )≥12(5+2√4b a ⋅a b )=92.当且仅当a =2b =23时等号成立，所以1a +1b 的最小值是92.不等式1a +1b ≥mx 2−x +(m +154)对任意x ∈R 恒成立，等价于mx 2−x +(m +154)≤92对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2−x +(m −34)≤0，当m =0时，−x −34≤0，不符题意； 当m ≠0时， {m <0，Δ=1−4m (m −34)≤0，解得m ≤−14 .综上实数m 的取值范围是m ≤−14 .【考点】含参线性规划问题不等式恒成立问题函数恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用简单线性规划【解析】【解答】解：(1)画出约束条件{8x−y−4≤0，x+y+1≥0，y−4x≤0，表示的平面区域，如图阴影部分所示：(2)由图形知，当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线8x−y−4=0与y=4x的交点B(1,4)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值2，即a+4b=2 .(3)由题意，得1a +1b=12(a+4b)(1a+1b)=12(5+4ba+ab)≥12(5+2√4ba⋅ab)=92.当且仅当a=2b=23时等号成立，所以1a+1b的最小值是92.不等式1a +1b≥mx2−x+(m+154)对任意x∈R恒成立，等价于mx2−x+(m+154)≤92对任意x∈R恒成立，即mx2−x+(m−34)≤0，当m=0时，−x−34≤0，不符题意；当m ≠0时， {m <0，Δ=1−4m (m −34)≤0， 解得m ≤−14 .综上实数m 的取值范围是m ≤−14 .。