人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案

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新人教必修五第三章不等式单元综合测试(含答案)

新人教必修五第三章不等式单元综合测试（含答案）新人教必修五第三不等式单元综合测试（含答案）一、选择题：1、若，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．．D．2、函数的定义域为（）A．B．．D．3、已知，则（）A．B．．D．4、不等式的解集为（）A．B．．D．、已知等比数列的各项均为正数，公比，设，，则与的大小关系是（）A．B．．D．无法确定6、已知正数、满足，则的最小值是（）Ａ．18Ｂ．16．8D．107、下列命题中正确的是( )A．当且时B．当，．当，的最小值为D．当时，无最大值8、设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为，斜边上的高为h，则和的大小关系是( )Ａ．Ｂ．．D．不能确定9、在约束条下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）A．B．．D．10、若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．．D．或11、某商品以进价的2倍销售，由于市场变化，该商品销售过程中经过了两次降价，第二次降价的百分率是第一次的两倍，两次降价的销售价仍不低于进价的％，则第一次降价的百分率最大为（）A 10％B 1％20％D 2％12、在使成立的所有常数中，把的最大值叫做的“下确界”，例如,则故是的下确界，那么（其中，且不全为的下确界是（）A．２B．．４D．二、填空题13、设满足且则的最大值是___________14、已知变量满足约束条，若目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围为___________1、设，且，函数有最小值,则不等式的解集为___________16、某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______三、解答题17、已知, 都是正数，并且，求证：18、关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围19、已知正数满足,求的最小值有如下解法：解：∵且∴，∴判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．20、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和0%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过18万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？21、已知函数，当时，；当时，。

(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,23．己知x ，y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩，且22z x y =+，若z 的最大值是其最小值的654倍，则a 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<< D ．42m -<<5．若正数a ，b 满足111a b +=，则41611a b +--的最小值为（） A ．16B ．25C ．36D ．496．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（）A ．1B ．12-C ．2D ．-57．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（） A ．5 B ．215C ．516D ．6548．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,119．不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，则a+b 的值是（） A ．10B ．﹣10C ．14D ．﹣1410．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t+=+，那么（） A ．M N C ．MND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．若x ，y 满足约束条件210,10,2,x y x y x +-≥⎧-+≥≤⎪⎨⎪⎩则3z x y =-的最小值为______．15．已知实数,x y 满足102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3yx +的最大值为_______．16．实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则24z x y =+-的最大值是___.17．已知正数a ，b 满足(1)(1)1a b --=，则4a b +的最小值等于________.18．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________．19．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n+的最小值为________. 20．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数x 、y 满足21x y +=，求12x y+的最小值. 甲给出的解法是：由2122x y xy +=≥，得22xy ≤，则1222228x y xy xy+≥=≥，所以12x y +的最小值为8. 而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值. 22．设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AD x =，DP y =.（1）将y 表示成x 的函数，并求定义域；（2）求ADP △面积的最大值.23．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？24．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集()1,1-，求a ，b 的值；（2）若()12f =，①0a >，0b >，求14a b+的最小值； ②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．25．已知实数x ，y 满足不等式组204030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，求目标函数23z x y =-的最值及相应的最优解．26．设函数2()(1)f x x m x m =-++．（1）若2m =，求不等式()0f x <的解集；（2）求不等式()0f x <的解集；（3）若对于[1,2]x ∈，()4f x m >-恒成立，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．B解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<，综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 3．A解析：A 【分析】作出不等式组表示的图象，22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方，由图可观察出最远的点和最近的点，分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象，则阴影部分即为可行域，由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)A ， 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >，因为22z x y =+， z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大，22max 2313z =+=，z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方，2min244z a ⎛⎫==+，根据题意可得maxmin21365444z z a ==+，整理得245a +=，解得1a =或1a =-（舍去）. 故选：A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，关键点是作出可行域，利用z 的几何意义确定点，考查了数形结合思想，属于基础题.4．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=，所以()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立，由于不等式2212m m x y+>+成立，故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.5．A解析：A 【分析】由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值.由111a b +=得：(1,1)1a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到： 4164164416(1)216(1)161111111a a a ab a a a a +=+=+-≥⋅-=------- 当且仅当：4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】作出不等式组11x yx y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫---⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n+的最小值.正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=，当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =，所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8．D解析：D 【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.9．D解析：D 【解析】试题分析：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax 2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a 、b 即可．解：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是即方程ax 2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．10．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.11．D解析：D 【分析】将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围【详解】若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507m << 综上，实数m 的取值范围为57m < 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围12．A解析：A 【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<，又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <.故选：A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最解析：13- 【分析】由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4z y x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-， ()2717134343343x x y x y x x z x x x +∴+-=-=---， ()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-，所以，()()717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立，因此，x y x y z ++-的最小值为13-.故答案为：13-. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由约束条件作出可行域如图化目标函数为由图可知当直线过时直线在轴上的截距最大有最小解析：1-【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件210102x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪⎩作出可行域如图，化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(0,1)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为1-．故答案为：1-．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．15．【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线解析：78【分析】根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.【详解】根据约束条件102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可以画出可行域，如下图阴影部分所示，目标函数3y x +可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率，因此可得，当在点A 时，斜率最大联立2801x y x +-=⎧⎨=⎩，得172x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即71,2 A⎛⎫⎪⎝⎭所以此时斜率为()7072138-=--，故答案为78.【点睛】本题考查简单线性规划问题，求目标函数为分式的形式，关键是要对分式形式的转化，属于中档题.16．21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化解析：21【分析】画出,x y满足的可行域，当目标函数24z x y=+-经过点()7,9B时，z取得最大值，求解即可．【详解】画出,x y满足的可行域，由20250x yx y-+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B，则目标函数24z x y=+-经过点()7,9B时，z取得最大值为718421+-=.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．17．9【分析】将已知等式变形为然后利用乘1法将进行变形利用基本不等式即可求得【详解】因为所以即又ab 为正数所以当且仅当时等号成立故的最小值等于故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值关键是将已知解析：9【分析】将已知等式变形为111a b +=，然后利用“乘1法”将4a b +进行变形，利用基本不等式即可求得.【详解】因为(1)(1)1a b --=，所以0ab a b --=，即111a b +=. 又a ，b 为正数，所以11444(4)14529b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+⋅=⎪⎝⎭，当且仅当3a =，32b =时，等号成立. 故4a b +的最小值等于9.故答案为：9【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是将已知条件适当变形，得到111a b+=，以便利用“乘1法”，利用基本不等式求4a b +的最小值.利用基本不等式求最值要注意“正、定、等”的原则.18．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a k b =-，由0a b >>可得10a k b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b a a b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828281010218b a b a a b a b a b +=++≥+⨯=．详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．由100y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ．当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．所以28282828()()101018b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=．当且仅当2810,0b a a b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b ==时，上式取“=”号．所以28a b+的最小值为18. 点睛：⑴ 线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b =+>>的最值时，当0b >时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越大；当0b <时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越小；⑵ 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m +=为常数，则111111()()(2)b a a b a b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可．19．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=， 2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)st s t s t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s t t s=，即s =时，等号成立． 2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．20．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点解析：)4，⎡+∞⎣ 【分析】先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.【详解】由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩，作出可行域，如图.设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.则()()1,0,1,3A C ,由27010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B . 当直线2y x z =-过点()3,2B时，z 有最大值4，当直线2y x z =-过点()1,3C 时，z 有最小值-1.所以|2|4x y -≤，所以4a ≤故答案为：[)4+∞，. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）最小值为526+.【分析】（1）本题可通过两次基本不等式取等号的情况不能同时成立判断出甲的解法错误，然后将12x y+转化为2214y x x y +++，通过基本不等式即可求出最值；（2）本题首先可令x m =、12x n -=，将题意转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，然后将13+m n 转化为65n m m n++，通过基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）甲的解法错误，原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立. 正确解法：()1212222145249y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13x y ==时等号成立. （2）令x m =，12x n -=，则0m >，0n >，即可将“求函数()1312f x x x=+-最小值”转化为“已知21m n +=，求min 13m n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭”，因为()13136255n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭m =等号成立，所以当x =时，函数()1312f x x x =+-取最小值，最小值为5+. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）501010y x =--，(0,5)x ∈；（2）75-【分析】（1）由题意得10AB CD x ==-，则10CP x y =--，根据ADP Rt CBP ≌，可得DP BP y ==，所以222+(10)y x x y =--，化简整理，即可求得y 与x 的关系，根据AB AD >，即可求得x 的范围，即可得答案；（2）由（1）可得501010y x=--，(0,5)x ∈，则ADP △的面积12505(10)75210S xy x x ==-++-，根据x 的范围，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得：10AB CD x ==-，则10CP x y =--，因为在Rt ADP 和Rt CBP 中，,APD CPB AD BC ∠==，所以ADP Rt CBP ≌，即DP BP y ==，所以在Rt CBP 中，222+(10)y x x y =--，所以2222+10020202y x x y x y xy =++--+，化简可得501010y x=--，因为AB AD >，所以100x x ->>，解得05x <<，所以501010y x=--，(0,5)x ∈；（2）由（1）可得501010y x =--，(0,5)x ∈，所以ADP △面积115025250(10)55(10)7522101010x S xy x x x x x x ==⋅-=-=-++---，因为(0,5)x ∈，所以100x -<，所以2502505(10)[5(10)]1010x x x x -+=--+≤-=---当且仅当2505(10)10x x-=-，即10x =-时等号成立，此时面积250[5(10)]757510S x x =--++≤--即ADP △面积最大值为75-【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.23．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.【分析】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x ，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值.【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x ，则.. 表面积251002544425S x x x x=++⨯=++..2565≥=.. 当且仅当25x x=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则.()2510025444250y x x x x x=++⨯=++> 22210041004x y x x-'=-=.. 令2241000x y x-'==得，5x =. 当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x -'=为减函数；当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x-'=为增函数；所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.24．（1）32a b =-⎧⎨=⎩；（2）①9；②33a -<+．【分析】（1）由已知可得，()2230ax b x +-+=的两根是1-，1，然后可求出答案；（2）由条件可得1a b +=，①用基本不等式可求出14a b +的最小值，②()()22231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立，然后可得00a >⎧⎨∆<⎩，结合1a b +=可求出实数a 的取值范围．【详解】（1）由已知可得，()2230ax b x +-+=的两根是1-，1 所以()21103111b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩．（2）①()12321f a b a b =+-+=⇒+=()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当4b a a b=时等号成立，因为1a b +=，0a >，0b >，解得13a =，23b =时等号成立，此时14a b +的最小值是9．②()()22231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立， ∴()202800a b a >⎧⇒--<⎨∆<⎩，又因为1a b +=代入上式可得()22180610a a a a +-<⇒-+< 解得：322322a -<<+．【点睛】本题考查的是一元二次不等式和一元二次方程的关系、利用基本不等式求最值和一元二次不等式的恒成立问题，考查了学生对基本知识的掌握情况，属于典型题.25．在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），由2=030x y x -+⎧⎨-=⎩得()3A ，5，由+4=030x y x -⎧⎨-=⎩得()31B ，，由2=0+40x y x y -+⎧⎨-=⎩得()13C ，，作直线:230l x y -=，向上平移直线l ，z 减小，当l 过点()3A ，5时，z 取得最小值23359⨯-⨯=-；向下平移直线l ，z 增大，当l 过点()31B ，时，z 取得最大值23313⨯-⨯=；所以目标函数23z x y =-在35x y =⎧⎨=⎩时，取得最小值min 9z =-，在31x y =⎧⎨=⎩时，取得最大值max 3z =．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题方法是作出可行域，作出线性目标函数对应的直线，平移直线求得最优解，如果目标函数不是线性的，则可根据其几何意义求解，如直线的斜率、两点间的距离等，属于中档题．26．（1）(1,2)；（2）答案见解析；（3）(,3)-∞．【分析】（1）当2m =时，2()32f x x x =-+，则不等式()0f x <即为 2320x x -+<，利用一元二次不等式的解法求解.（2）()0f x <即为2(1)0x m x m -++<，转化为()(1)0x m x --<，再分 1m <，1m =和1m 三种情况讨论求解.（3）将[1,2]x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立，转化为[1,2]x ∈时，41m x x <+-恒成立．利用基本不等式求得41x x+-的最小值即可. 【详解】（1）当2m =时，2()32f x x x =-+，所以不等式()0f x <即为： 2320x x -+<，即 ()()120x x --<解得12x <<，所以不等式()0f x <的解集是(1,2).（2）∵()0f x <，∴2(1)0x m x m -++<，∴()(1)0x m x --<当1m <时，不等式()0f x <的解集为(,1)m当1m =时，原不等式为2(10)x -<，该不等式的解集为∅；当1m 时，不等式()0f x <的解集为(1,)m ．（3）由题意，当[1,2]x ∈时，2(1)40x m x -++>恒成立，即[1,2]x ∈时，41m x x <+-恒成立．由基本不等式得4113x x +-≥=，当且仅当2[1,2]x =∈时，等号成立，所以，3m <，所以实数m 的取值范围是(,3)-∞．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题以及基本不等式的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(答案解析)

一、选择题1．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则56a b+的最小值为（） A ．64B ．81C ．100D ．1212．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（）A ．1B ．12-C ．2D ．-53．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（） A ．2B ．1CD ．4．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（） A ．23B ．43C ．2D ．45．已知实数x y 、满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是 A．(B．⎡⎣ C．⎡⎤⎣⎦D ．[6．设x ，y 满足约束条件103030x y x y y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为（）A ．-1B ．2C ．4D ．57．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（） A ．11a b 8．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<-9．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭10．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（） A．720+B．720- C．720+ D．720-11．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |12．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．4C ．8D ．12二、填空题13．正实数,x y 满足1x y +=，则12y x y++的最小值为________． 14．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 15．已知0,0ab >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.17．已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是________________.18．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．已知函数245x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图像横过定点P ，若点P 在直线20Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为_________．三、解答题21．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤)，调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 22．已知函数2(1)2f x x x =++（1）求关于x 的不等式2()(0)f x b b ≥≥的解集；（2）若不等式22[()]2()10f x mf x m -+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立，求m 的取值范围．23．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？24．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？25．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)26．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ，z ax by =+中，由于0,0a b >>，ab是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大，所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值，则561a b +=，所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当111a b ==时，等号成立，故56a b+的最小值为121．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错．2．A解析：A 【解析】作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫---⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）()()a b a c ++2，当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．4．C解析：C 【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值．令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，∴121121414(2)4422444n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时等号成立．故选：C ．【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．5．D解析：D 【分析】将2z x y =-+化为2y x z =+,作出可行域和目标函数基准直线2y x =(如图所示),当直线2y x z =+将左上方平移时,直线2y x z =+在y 轴上的截距z 增大,由图象,得当直线2y x z =+过点A 时,z 取得最大值,联立2010x y m x y ⎧-+=⎨+-=⎩,得2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则22112422m m -+-⨯+≤,解得33m -≤≤;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6．B【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件103030x y x y y -+⎧⎪-⎨⎪-⎩作出可行域如图，化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．联立1030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得1(2A ，3)2．z ∴的最小值为13222+=．故选：B ．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．7．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 8．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=，所以0,0a c ><，2b a c =--，因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-，将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->，即a c <-，得1ca<-，所以31ca-<<-，故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题9．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()2233x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值．【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 156-=，a 54=，上式取得最小值，故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 20，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.12．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三解析：7【分析】根据题中条件，由1222()2212y x y x y y xx y x y x y++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1222()221237y x y x y y x x y x y x y ++++=+=+++≥+=，当且仅当y x x y =，即1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立. 故答案为：7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解解析：1[,)4+∞. 【分析】利用基本不等式求得24x x +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立，即24x x +在[]1,3x ∈的最大值为14，又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞. 故答案为：1[,)4+∞. 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24x x +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题解析：(],12-∞【分析】先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()31993336612b a a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤故答案为：(],12-∞【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.16．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c 的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：8+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC 的面积为111sin1202sin 602sin 60222ac a c =⋅+⋅︒︒︒，即22ac a c =+，∴1112a c +=. ∴3(3)a c a c +=+1132242(48c a a c a c ⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当338c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即22a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩.所以，a +3c 的最小值为8+43.故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.17．【分析】画出可行域再分析直线取最大值的最优解即可【详解】由约束条件作出可行域如图联立目标函数由图可知过A 时直线在y 轴上的截距最小z 有最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题考查解析：12【分析】画出可行域，再分析直线2z x y =-取最大值的最优解即可.【详解】由约束条件11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，联立11(,)122y x A x y =⎧⇒⎨+=⎩．目标函数22z x y y x z =-⇒=-由图可知，过A 时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最大值为12．故答案为：12【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题，考查运算求解能力和数形结合思想，属于基础题. 18．【分析】求出的最大值然后解相应的不等式即可得【详解】由得或故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题根据参数出现的位置首先求出三角式的最大值然后只要解不等式即可得这实质上就是不等式恒成立问题中的分离解析：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得．【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤，由211322m m ->得13m <-或12m >．故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了．19．1【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】画出不等式组对应的可行域如图所示由可得数形结合可得当直线过A 时直线在y 解析：1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】画出不等式组对应的可行域，如图所示，由3z x y =-可得3y x z =-，数形结合可得当直线3y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，联立1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得A （1，2），此时z 有最小值为3×1﹣2＝1．故答案为：1【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．20．4【分析】先求出定点的坐标由题得再利用基本不等式求的最小值得解【详解】令所以定点的坐标为所以所以当且仅当时取等号所以的最小值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题考查基本不等式求最解析：4【分析】先求出定点P 的坐标，由题得22A B +=，再利用基本不等式求12A B +的最小值得解. 【详解】令020,2,451x x y a +=∴=-∴=⨯-=-,所以定点P 的坐标为(2,1)--.所以(2)20,22,0,0,0A B A B A B A B ⨯--+=∴+=⋅>∴>>. 所以121121414(2)()(4)[4]4222A B A B A B A B A B B A B A+=⨯+⨯+=++≥+⋅=. 当且仅当1,12A B ==时取“等号”. 所以12A B+的最小值为4. 故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）最多75人；（2）存在，{}7m ∈.【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由①可得2125x m ≥+，由②可得100325x m x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元，则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >)解得075x ≤≤，4575x ，所以调整后的技术人员的人数最多75人；（2）①由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++，故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤，又因为4575x ≤≤，当75x =时，225x 取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，使得其范围为{}7m ∈.【点睛】本题考查不等式的应用，解题的关键是正确理解题中数量关系，建立正确的不等式，进而求解.22．（1）答案见解析；（2）(,1][5,)-∞-⋃+∞．【分析】（1）根据条件即[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，再分0b >和0b =两种情况写出不等式的解集.（2）令()t f x =，则[0,4]t ∈，即22210t mt m -+-≥在[0,4]t ∈上恒成立,从而求出答案.【详解】解：（1）由2()f x b ≥得：22210x x b ++-≥，∴[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，①当0b >时，11b b -+>--，所以不等式的解集为{1 1}xx b x b ≥-+≤--∣或；②当0b =时，111b b -+=--=-，2(1)0x +≥，所以不等式的解集为R ．（2）函数22()[()]2()10g x f x mf x m =-+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立等价于min ()0g x ≥，令()t f x =，又∵[2,1]x ∈-，∴[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，由1t m ≥+对[0,4]t ∈恒成立知：1m ≤-，由1t m ≤-对[0,4]t ∈恒成立知：5m ≥，综上所述，m 的取值范围为(,1][5,)-∞-⋃+∞．【点睛】关键点睛：本题考查解含参数的二次不等式和二次不等式恒成立求参数的范围问题，解答本题的关键是令()t f x =，[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，属于中档题.23．每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．【分析】设提价后每本杂志的定价为x 元，根据销售总收入等于销售价格乘以销售量，即可得到销售总收入为 2.58000020000.1x x -⎛⎫-⨯⋅ ⎪⎝⎭，再根据题意列出不等式2.58000020002000000.1x x -⎛⎫-⨯⋅≥ ⎪⎝⎭，求解即可．【详解】设提价后每本杂志的定价为x 元，则销售总收入为2.58000020002000000.1x x -⎛⎫-⨯⋅≥ ⎪⎝⎭，即2213200x x -+≤ 解得，2.54x ≤≤所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．【点睛】本题主要考查函数在生活中的应用，以及一元二次不等式的解法应用，属于基础题． 24．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.【分析】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x ，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值.【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，则..表面积251002544425S x x x x =++⨯=++.. 100242565x x≥++=.. 当且仅当25x x =，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x=++⨯=++> 22210041004x y x x-'=-=.. 令2241000x y x-'==得，5x =. 当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x-'=为减函数；当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x-'=为增函数；所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.25．(1)3.(2)5.【解析】试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，则由,可得 ∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出，∴二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式26．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽.【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米，因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<；（2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=，当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立．因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．。

(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(答案解析)

一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（）A ．12B ．45C ．92D ．4192．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a ba b+--的最小值是（） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知实数x ，y 满足221x y x m-≤-≤⎧⎨≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为（）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 4．设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是（）A ．7-B ．2C ．3D ．5-5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 6．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋7．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（）A ．2B ．1CD ．8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤ B ．3c 6<≤ C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．210．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b 11．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．912．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．36B ．42C ．49D ．60二、填空题13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 14．若0x >，0y >，若()()144x y --=则x y +的最小值为_________. 15．若正数,x y 满足113122x y xy++=，则xy 的最小值为_________. 16．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.17．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.18．已知实数,x y 满足40{1010x y x y +-≤-≥-≥，则x yx+的取值范围是__________． 19．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．20．已知函数245x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图像横过定点P ，若点P 在直线20Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为_________．三、解答题21．已知定义域为R 的函数()22x xb n f x b +=--是奇函数，且指数函数xy b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取值集合；（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =. （1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x=的值域；（2）当0a >时，解不等式()0f x <.23．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤)，调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元.（1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由.24．设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AD x =，DP y =.（1）将y 表示成x 的函数，并求定义域；（2）求ADP △面积的最大值.25．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元).（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）在复工率为k 时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.26．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3．（1）求11+2+a b的最小值；（2）证明：92+a b b aab【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min0213222PM--==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是232922⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y bx a--：两点连线斜率， 2．C解析：C 【分析】化简得出441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b +--的最小值. 【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=，则()414141511b a ba ab b a b a--+=+=+---()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =时，等号成立，因此，411a ba b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C 【分析】作出不等式组221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 .【详解】由题意可作图：当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6，此时P 符合：2x my x =⎧⎨=-⎩，即(,2)P m m -代入2z y x =-得：m -2-2m =-6,解得m =4 故选：C 【点睛】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．4．B解析：B 【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为y x z =-+在y 轴截距最小值的求解问题，利用数形结合的方法可得到结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由z x y =+得：y x z =-+，当z 取最小值时，y x z =-+在y 轴截距最小，由图象可知：当y x z =-+过A 时，在y 轴截距最小，又()2,0A ，min 202z ∴=+=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中，通常有三种类型的最值或取值范围问题：（1）截距型：形如z ax by =+的形式，转化为a zy x b b=-+，将问题转化为直线在y 轴截距的求解问题；（2）斜率型：形如cy d z ax b+=+的形式，转化为d y c c b a x a+⋅+，将问题转化为(),x y 与,b d a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线斜率的求解问题；（3）距离型：形如z Ax By C =++的形式，转化为2222Ax By C z A B A B ++=++题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的距离的求解问题.5．C解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．A解析：A【分析】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔m＜（x9x+）min，利用基本不等式可求得（x9x+）min＝6，从而可得实数m的取值范围．【详解】当x＞0时，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立⇔当x＞0时，不等式m＜x9x+恒成立⇔m＜（x9x+）min，当x＞0时，x9x+≥9xx⋅=6（当且仅当x＝3时取“＝”），因此（x9x+）min＝6，所以m＜6，故选A．【点睛】本题考查函数恒成立问题，分离参数m 是关键，考查等价转化思想与基本不等式的应用，属于中档题．7．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ），当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜，故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x，y满足约束条件261322x yx yy-≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y=-+可化为1y x z=+-，当直线1y x z=+-过点A时，此时直线在y轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A，所以目标函数的最小值为min2211z=-+=.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．C解析：C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，当2a=，2b=-时，11a b>，故A错误；对于B，当1a=，2b=-时，22a b<，故B错误；对于C，由不等式的性质可得C正确；对于D，当1a=，1b=-时，a bb a=，故D错误；故选C.11．D解析：D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12．C解析：C 【分析】由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b aa b a b a b++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229494(3)(8)(4)(9)3737249b a b a b aa b a b a b a b++=++=+++=，当且仅当65a =，45b =时取等号．故选：C ．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．二、填空题13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各解析：6 【分析】由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案. 【详解】实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++=则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当2222141b a a b +=+, 又2212a b +=，即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时，取得等号. 故答案为：6 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.14．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项解析：【分析】先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由()()144x y --=，得40xy x y --=，又0x >，0y >，得411y x+=，则()455941x y x y x y y x x y +⎛⎫+=+=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当4x yy x=即3,6x y ==时取等号. 故答案为：9. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】将化为后利用基本不等式得再解一元二次不等式可得结果【详解】由得因为所以当且仅当时等号成立所以所以所以或所以或（舍）所以即的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必解析：92【分析】将113122x y xy++=化为232y x xy ++=后，利用基本不等式得23xy -≥一元二次不等式可得结果. 【详解】由113122x y xy++=得232y x xy ++=，因为0,0x y >>，所以232xy y x -=+≥2y x =时，等号成立.所以2302≥，所以2)22≥2-≥2≤，2≥2≤-（舍），所以92xy ≥，即xy 的最小值为92. 故答案为：92. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方16．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点解析：10 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+，平移直线322zy x =-+，由图象可知当直线322zy x =-+，经过点A 时，直线322z y x =-+，在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由2y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ，此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．17．【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得化简得即可得解【详解】设不等式和不等式的解集分别为和则为方程的两个根为方程的两个根由韦达定理得所以即又所以所以即故答案解析：56π 【分析】由对偶不等式的定义结合一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理可得432a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=，化简得tan 23θ=即可得解. 【详解】设不等式()243220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<的解集分别为(),a b 和11,b a⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b 为方程()243220x x θ-+=的两个根，1a ，1b为方程()224sin 210x x θ++=的两个根，由韦达定理得432a b θ+=，2ab =，112sin 2a b θ+=-，1112a b ⋅=， 43cos 22sin 2θθ=-即tan 23θ= 又 ,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()2,2θππ∈，所以523πθ=即56πθ=. 故答案为：56π. 【点睛】本题考查了一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，考查了对于新概念的理解和三角函数的以值求角，属于中档题.18．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问解析：4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点()P x y ，与定点00O （，）连线斜率k 再加1；由图可知；OC k 最小，OA k 最大；联立1{4x x y =+=，可得13x y ，即()1,3A ，联立1{4y x y =+=，可得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ，故：13OC k =，3OA k =，∴133OP k ≤≤，所以：041[4]03x y y u x x +-=+∈-＝，，故答案为4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点()P x y ，与定点()00O ，连线斜率k 再加1，③过O 做直线与可行域相交可计算出直线PO 斜率，从而得出所求目标函数范围.19．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出可行域，yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解. 【详解】如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩表示的平面区域ABC （包括边界），所以yx 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122OA OB k k ==，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.20．4【分析】先求出定点的坐标由题得再利用基本不等式求的最小值得解【详解】令所以定点的坐标为所以所以当且仅当时取等号所以的最小值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题考查基本不等式求最解析：4 【分析】先求出定点P 的坐标，由题得22A B +=，再利用基本不等式求12A B+的最小值得解.【详解】令020,2,451x x y a +=∴=-∴=⨯-=-,所以定点P 的坐标为(2,1)--. 所以(2)20,22,0,0,0A B A B A B A B ⨯--+=∴+=⋅>∴>>.所以12112141(2)()(4)[44222A B A B A B A B B A +=⨯+⨯+=++≥+=. 当且仅当1,12A B ==时取“等号”. 所以12A B +的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（Ⅰ）121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）{}40a a -<<；（Ⅲ）{}0a a ≥.【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到b 的值，再利用奇函数得到()00f =，进而得到n 的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断()f x 的单调性，再利用奇偶性和单调性得到23x x a x +=-，把23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，得到221t a at -≤-，把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，利用二次函数的图像特点求解即可. 【详解】（Ⅰ）由指数函数xy b =的图象过点(2,4)，得2b =，所以2()222x xnf x +=-⋅-，又()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-，经检验，当1n =-时，符合()()f x f x -=-，所以121()22x x f x +-+=+；（Ⅱ）12111()22221x x xf x +-+==-+++，因为21xy =+在定义域内单调递增，则121x y =+在定义域内单调递减，所以()f x 在定义域内单调递增减，由于()f x 为R 上的奇函数，所以由()23()0f x x f a x ++-+=，可得()()23()f x x f a x f a x +=--+=-，则23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，即()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，则()()4000440204f a a a f a ⎧-><⎧⎪⎪∆>⇒>-⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<>-⎩⎩，所以实数a 的取值集合为{}40a a -<<.（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，由()22(1)0f t a f at -+-≥，得()()221f ta f at -≥-，所以221t a at -≤-，即2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，由题意()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，得0a ≥，所以实数a 的取值范围为：{}0a a ≥. 【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立是解决本题的关键.22．（1）91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）答案见解析.【分析】（1）由()0f x <的解集转化为2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，求得18a =，得出()12584f x x x x =+-，再分0x >和0x <两种情况，结合基本不等式，即可求解；（2）由题意，得到(1)(2)0ax x --<，分类讨论，即可求得不等式的解集.【详解】（1）由题意，函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f c ==，所以2()(21)2f x ax a x =-++，因为()0f x <的解集为{|28}x x <<，即2和8是方程2(21)20ax a x -++=的两根，所以228c a a ⨯==，所以18a =，所以()12584f x y x x x ==+-，当0x >时，125518444x x +-≥=-，当且仅当4x =时等号成立；当0x <时，12512559848444x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=--+--≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当4x =-时等号成立. 故函数()f x y x =的值域城为91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）由2()(21)2(1)(2)0f x ax a x ax x =-++=--<，因为0a >时，分三种情况讨论： ①当12a <，即12a >时，1()02f x x a<⇒<<； ②当12a =，即12a =时，无解； ③当12a >，即102a <<时，1()02f x x a<⇒<<，综上所述，当12a >时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当12a =时，不等式()0f x <的解集为∅；当102a <<时，不等式()0f x <的解集为1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.23．（1）最多75人；（2）存在，{}7m ∈.【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由①可得2125x m ≥+，由②可得100325x m x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元，则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >)解得075x ≤≤， 4575x ，所以调整后的技术人员的人数最多75人；（2）①由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++，故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤，又因为4575x ≤≤，当75x =时，225x 取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，使得其范围为{}7m ∈.【点睛】本题考查不等式的应用，解题的关键是正确理解题中数量关系，建立正确的不等式，进而求解.24．（1）501010y x=--，(0,5)x ∈；（2）75-（1）由题意得10AB CD x ==-，则10CP x y =--，根据ADP Rt CBP ≌，可得DP BP y ==，所以222+(10)y x x y =--，化简整理，即可求得y 与x 的关系，根据AB AD >，即可求得x 的范围，即可得答案；（2）由（1）可得501010y x=--，(0,5)x ∈，则ADP △的面积12505(10)75210S xy x x ==-++-，根据x 的范围，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得：10AB CD x ==-，则10CP x y =--，因为在Rt ADP 和Rt CBP 中，,APD CPB AD BC ∠==，所以ADP Rt CBP ≌，即DP BP y ==，所以在Rt CBP 中，222+(10)y x x y =--，所以2222+10020202y x x y x y xy =++--+，化简可得501010y x=--，因为AB AD >，所以100x x ->>，解得05x <<，所以501010y x=--，(0,5)x ∈；（2）由（1）可得501010y x =--，(0,5)x ∈，所以ADP △面积115025250(10)55(10)7522101010x S xy x x x x x x ==⋅-=-=-++---，因为(0,5)x ∈，所以100x -<，所以2502505(10)[5(10)]1010x x x x -+=--+≤-=---当且仅当2505(10)10x x-=-，即10x =-时等号成立，此时面积250[5(10)]757510S x x =--++≤--即ADP △面积最大值为75-【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.25．（1）3601808204k y k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈；（2）4-；（3）0.65（1）根据已知条件列出关系式，即可得出答案；（2）由()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，进而结合基本不等式求出()4544k x x +++的最小值，此时y 取得最大值，从而可求出答案；（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，可知36018082004k k x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，利用参变分离，可得()()20841802x x k x ++≥+，求出()()20842x x x +++的最大值，令()()max20841802x x k x ++⎡⎤≥⎢⎥+⎣⎦，即可得出答案. 【详解】（1）由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204k k x x =---+，即3601808204k y k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. （2）()36045180820180128444k k y k x k x x x ⎡⎤=---=+-++⎢⎥++⎣⎦，因为[0,10]x ∈，所以4414x ≤+≤，所以()4544k x x ++≥=+4544k x x +=+，即4x =时，等号成立.所以()451801284180124k y k x k x ⎡⎤=+-++≤+-⎢⎥+⎣⎦故政府补贴为4万元才能使A 公司的防护服利润达到最大，最大为18012k +-.（3）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004k k x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+，令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x m m++++==+++，由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281*********h m h ==⨯++=+，所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈. 所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损.【点睛】本题考查函数模型及其应用，考查利用基本不等式求最值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.26．（1）45；（2）证明见解析【分析】（1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.【详解】（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，， ∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a b b a ab ，需证2292a b +≥，因为()222239222a b a b ++≥==，所以92+a b b aab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.。

(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（）A ．3-B ．0C ．1D ．32．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则56a b+的最小值为（） A ．64B ．81C ．100D ．1213．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（）A ．1B ．20C ．28D ．324．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤5．已知x ，y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩若2x y m +≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．72m ≤D ．73m ≤6．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,117．下列函数中最小值为4 的是（） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+8．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＝n B ．m ＜n C ．m ＞nD ．不确定9．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（） A ．14B ．4C ．18D ．810．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（） A．BC ．1D ．211．设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（）A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-12．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21ac +>21b c + D ．a |c |>b |c |二、填空题13．设实数s ，t 满足0t >，且24s t +=，则128s s t+的最小值是____________. 14．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________.15．已知函数2()4f x x =+，()g x ax =，当[]1,4x ∈时，()f x 的图象总在()g x 图象的上方，则a 的取值范围为_________.16．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．17．已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___．18．非负实数x ，y ，满足360x y +-≥，则521z x y =+-的最小值为__________．19．实数,x y 满足约束条件20,10,0,x y x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为4，则ab 的最大值为______20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.三、解答题21．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润? 23．已知函数2(1)2f x x x =++（1）求关于x 的不等式2()(0)f x b b ≥≥的解集；（2）若不等式22[()]2()10f x mf x m -+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立，求m 的取值范围．24．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 25．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.26．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围；（2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果. 【详解】由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域，如图.则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值. 所以z 的最大值为：2213z =⨯-= 故选：D【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2．D解析：D 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ，z ax by =+中，由于0,0a b >>，ab是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大，所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值，则561a b +=，所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当111a b ==时，等号成立，故56a b+的最小值为121．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错．3．C解析：C 【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f xx x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤，故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 5．D解析：D 【详解】作出满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图所示：平移直线20x y +=到点1(1,)3A 时，2x y +有最小值为73∵2x y m +≥恒成立 ∴min (2)m x y ≤+，即73m ≤ 故选D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6．D解析：D 【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.7．C解析：C 【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y tt （，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．244x x y e e -≥⋅=，当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜，不成立．故选C ．8．C解析：C【解析】因为a ＞2，所以a －2＞0，所以()112222m a a a a =+=-++≥--24+=，当且仅当a ＝3时取等号，故[4m ∈，)+∞．由b ≠0得b 2＞0，所以2－b 2＜2，所以222b -＜4，即n ＜4，故()0,4n ∈．综上可得m ＞n ，故选C ．9．C解析：C 【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值．【详解】由题意得，221121112222228x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，所以xy 的最大值是18．故选C ．【点睛】运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab+≥逆用就是222a b ab +；,0)2a b a b +≥>逆用就是2(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件．10．D解析：D 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. 【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11．B解析：B 【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭，当0a =时，z x ay =+无最小值；当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值．当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.12．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 20，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ，故选：C.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.二、填空题13．【分析】变换得到利用均值不等式计算得到答案【详解】当且时即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值意在考查学生的计算能力和转化能力解析：716【分析】变换得到22816132s t s s s t s s t+=++，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】24s t +=，222178321163216162s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-+=+，当232t s s t =且0s <时，即23s =-，163t =时等号成立. 故答案为：716. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．9【分析】首先由已知确定然后利用基本不等式求最小值【详解】因为所以又所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为9故答案为：9【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件解析：9【分析】首先由已知确定1,1a b >>，然后利用基本不等式求最小值．【详解】因为a b x y xy ==，所以1a y x -=，1b x y -=，又1,1x y >>，所以10,10a b ->->， 111(1)(1)()b a b a b x y x x -----===，所以(1)(1)1a b --=，4(1)4(1)559a b a b +=-+-+≥=，当且仅当14(1)a b -=-时等所以4a b +的最小值为9．故答案为：9．【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．15．【分析】由参变量分离法可得知不等式对任意的恒成立利用基本不等式求出的最小值即可得出实数的取值范围【详解】由题意可得则从而有由基本不等式可得当且仅当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】解析：(),4-∞【分析】由参变量分离法可得知，不等式4a x x <+对任意的[]1,4x ∈恒成立，利用基本不等式求出4x x+的最小值，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得[]1,4x ∀∈，则24x ax +>，从而有4a x x <+，由基本不等式可得44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以，4a <. 因此，实数a 的取值范围是(),4-∞.故答案为：(),4-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.16．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值解析：23画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c ，则由图可知12c ≥，即2c ≥，将2z y x =-化为122z y x =+，观察图形可知，当直线122z y x =+经过点A 时，z 取得最大值，由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23.【点睛】方法点睛：线性规划常见类型，（1）y b z x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率；（2）z ax by =+，可看作直线a z y x b b =-+的截距问题；（3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.17．1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线的截距最小此时z 最大由得A （10）代入目标函数z=解析：1作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由z=x-2y 得1122y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线1122y x z =-，，1122y x z =-，的截距最小，此时z 最大，由22 22x y x y -⎧⎨+⎩＝＝，得A （1，0）．代入目标函数z=x-2y ，得z=1-2×0=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．18．3【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】解：解：不等式组为对应的平面区域为如图阴影所示由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时最小代入目标函数得即解析：3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．【详解】解：解：不等式组为00360x y x y ⎧⎪⎨⎪+-≥⎩，对应的平面区域为如图阴影所示，由521z x y =+-得5122z y x +=-+，平移直线5122z y x +=-+，由图象可知当直线5122z y x +=-+经过点()0,2时，直线5122z y x +=-+的截距最小，此时z 最小．代入目标函数521z x y =+-得02213z =+⨯-=．即目标函数521z x y =+-的最小值为3．故答案为：3【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．19．2【分析】作出不等式对应的平面区域利用z 的几何意义确定取得最大值的条件然后利用基本不等式进行求可得的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域由得则目标函数对应直线的斜率平移直线由图象可知当直线经过点A 解析：2【分析】作出不等式对应的平面区域,利用z 的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求，可得ab 的最大值.【详解】作出不等式对应的平面区域,由(0,0)z ax by a b =+>>得a z y x b b=-+，则目标函数对应直线的斜率0a b -<，平移直线a y x b=-，由图象可知当直线经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大.由2010x y x y -=⎧⎨--=⎩ 解得(2,1)A 此时z 的最大值为2422z a b ab =+=，当且仅当2,1b a ==时取等号. 24ab ∴解2ab故答案为: 2.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键.20．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c 的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：843+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC 的面积为111sin1202sin 602sin 60222ac a c =⋅+⋅︒︒︒，即22ac a c =+，∴1112a c +=.∴3(3)a c a c +=+1132242(423)843ca a c a c ⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当33843c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩时取等号. 所以，a +3c 的最小值为8+43.故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.三、解答题21．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或13t --= 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值；(2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可.【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++，所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=- 0c ∴=；选② ：因为函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c ；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立, 32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =，原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-.(3) 因为函数()()(21)3232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意；当210t ->即12t >时， 2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时，要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，只有()21682102021t t t x t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：t =，综上：实数t 的取值范围为12t >或t =. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．22．（1）20k =，()16002440,010L x x x =--≥+；（2）30万元. 【分析】（1）0x =，28,y =代入已知模型求出k ，得年销售量函数解析式，求出销售价格后可得利润函数；（2）利用基本不等式求最值．【详解】（1）由题意，可知当0x =时，28,y =283010k ∴=-，解得20k =203010y x ∴=-+ 又每件产品的销售价格为801601.5y y +⨯元， ()801601.580160y L y y x y ⎛⎫+∴=⨯-++ ⎪⎝⎭4080y x =+-2040803010x x ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-+ ()16002440,010x x x =--≥+ （2）0x ≥，()1016001600101070101010x x x x ∴+=++++-≥== 当且仅当16001010x x =++时等号成立， 2440702370y ∴≤-= max 2370y ∴=故该工厂计划投入促销费为30万元时，才能获得最大利润，最大利润为2370万元.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的应用，在已知函数模型时，需从题目中选取恰当的数据求出参数值，然后根据提示模型求出函数解析式．函数应用题中求最值方法一是利用基本不等式求得最值，一是利用函数的单调性求得最值．基本不等式要注意其最值存在的条件． 23．（1）答案见解析；（2）(,1][5,)-∞-⋃+∞．【分析】（1）根据条件即[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，再分0b >和0b =两种情况写出不等式的解集.（2）令()t f x =，则[0,4]t ∈，即22210t mt m -+-≥在[0,4]t ∈上恒成立,从而求出答案.【详解】解：（1）由2()f x b ≥得：22210x x b ++-≥，∴[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，①当0b >时，11b b -+>--，所以不等式的解集为{1 1}xx b x b ≥-+≤--∣或； ②当0b =时，111b b -+=--=-，2(1)0x +≥，所以不等式的解集为R ．（2）函数22()[()]2()10g x f x mf x m =-+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立等价于min ()0g x ≥，令()t f x =，又∵[2,1]x ∈-，∴[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，由1t m ≥+对[0,4]t ∈恒成立知：1m ≤-，由1t m ≤-对[0,4]t ∈恒成立知：5m ≥，综上所述，m 的取值范围为(,1][5,)-∞-⋃+∞．【点睛】关键点睛：本题考查解含参数的二次不等式和二次不等式恒成立求参数的范围问题，解答本题的关键是令()t f x =，[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，属于中档题.24．(1) m ＝2 (2) ab ＋bc 的最大值为2【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点，分类讨论，去掉绝对值符号，求出函数的最大值，即可得到m ．（2）利用重要不等式求解ab+bc 的最大值．(1)当x ≤－1时，f (x )＝3＋x ≤2；当－1<x <1时，f (x )＝－1－3x <2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4.故当x ＝－1时，f (x )取得最大值2，即m ＝2.(2)因为a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，所以ab ＋bc ≤22222a b c ++ ＝2，即ab ＋bc 的最大值为2. 25．(1)2()1f x x x =-+;(2)()(),14,-∞-+∞ 【分析】(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）；(2) 利用一元二次不等式的解法即可得出．【详解】(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ，∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()2ax bx c ++=2ax+a+b=2x∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1 ∴f （x ）＝x 2﹣x+1．(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0．化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1．∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.26．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽.【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米，因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<；（2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=，当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立．因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．。

(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(有答案解析)

一、选择题1．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（）A ．53-B ．15-C ．13D ．952．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（） A ．15B．8+C ．16D．8+3．已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．76．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（）A ．1B ．12-C ．2D ．-57．实数x ，y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．18．设,x y 满足约束条件0{4312x y xx y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（） A ．[]1,5B ．2,6C ．[]2,10D ．[]3,119．已知实数x ，y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，3z x y =-，则z 的最小值是（）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-10．下列函数中最小值为4 的是（） A ．4y x x=+ B ．4sin sin y x x=+（0πx << ） C ．343xx y -=+⨯D ．lg 4log 10x y x =+11．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（） A．BC ．1D ．212．若实数,x y 满足约束条件22x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题13．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．14．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.15．正实数,x y 满足1x y +=，则12y x y++的最小值为________． 16．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.17．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．18．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 19．已知0,0ab >>，且33+122a b =++，则2+a b 的最小值为______________.20．已知实数,x y 满足40{1010x y x y +-≤-≥-≥，则x yx+的取值范围是__________．三、解答题21．设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集；（2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．22．给出下面三个条件：①函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点；②函数(1)f x +是偶函数；③函数()f x 的两个零点的差为2，在这三个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数()f x 的解析式确定问题：二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-，且___________(填所选条件的序号).（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()()(21)3232xxg x t f =--⨯-有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.23．若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. （1）求m 的值；（2）已知正实数a ，b 满足4a b mab +=，求+a b 的最小值.24．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x （*x ∈N ）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫-⎪⎝⎭万元（0a >），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以调高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？25．已知函数()245y x x x R =-+∈.（1）求关于x 的不等式2y <的解集；（2）若不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 26．已知函数()0f x m =≥恒成立．（1）求m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -，如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题.2．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即3133,46a b -==时等号成立，故12a b +的最小值为843+ 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.3．A解析：A【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为122zy x =-，通过平移直线法可求出2z -的最大值，从而可得z 的最小值．【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：将目标函数2z x y =-变形为122zy x =-，由图可知当直线经过点(0,2)A 时，截距2z -最大，所以，2z x y =-的最小值为4-．故选：A 【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z 的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z ＝3x ﹣2y 变形为y ＝32x ﹣2z，由024y x y =⎧⎨-=⎩，解得B （2，0）当此直线经过图中B 时，在y 轴的截距最大，z 最小，所以z 的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．A解析：A 【解析】作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．C解析：C 【分析】作出约束条件的可行域，将目标函数转化为122zy x =-，利用线性规划即可求解. 【详解】解：由2z x y =-得122z y x =-，作出x ，y 满足约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分ABC ）：平移直线122z y x =-，由图象可知当直线122z y x =-过点C 时，直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，420x x y =⎧⎨--=⎩，解得()4,2A .代入目标函数2z x y =-，得4220z =-⨯=，∴目标函数2z x y =-的最小值是0.故选：C . 【点睛】本题考查简单的线性规划，解题的关键是作出约束条件的可行域，属于中档题.8．D解析：D 【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y xx y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.9．D解析：D 【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由3z x y =-得：133zy x =-， ∴当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大；由图象可知，当133zy x =-过点A 时，在y 轴截距最大，由222x x y =-⎧⎨+=⎩得：()2,2A -，min 2328z ∴=--⨯=-. 故选：D .【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.10．C解析：C【解析】 A. 4y x x=+，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故A 的最小值不为4； B ．令2440110sinx t y t y t t （，），，＜，=∈∴=+'=- 因此函数单调递减，5y ∴＞，不成立．C ．4y ≥=，当且仅当0x =时取等号，成立．D ．01x ∈（，）时，330x log x log ，＜，不成立．故选C ．11．D解析：D【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值.【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．B解析：B【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求目标函数的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点B 时，直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大．由2x y x=⎧⎨=⎩解得(2,2)B ．代入目标函数z x y =+得224z =+=．即目标函数z x y =+的最大值为4．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键，属于中档题．二、填空题13．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ．代入目标函数z y x =-，得044z =-=-．所以z y x =-的最小值是4-.故答案为：4-【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.14．【分析】由已知条件得出由得出可得出利用基本不等式可求得所求代数式的最小值【详解】已知实数均为正实数且可得所以可得令则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最 211- 【分析】由已知条件得出43y x =，2443z x x =-，由0z >得出03x <<，可得出71143x y x y t z t ++-=+-，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数x 、y 、z 均为正实数，且3z x y +=，4z y x+=，可得34z y xy x xy =-=-，43y x ∴=，所以，2443z x x =-， ()2717134343343x x y x y x x z x x x +∴+-=-=---， ()24443033z x x x x =-=->，可得03x <<，令()30,3t x =-∈，则3x t =-，所以，()()717171311143343433x y x y x t t z x t t ++-=-=--=+-≥=--.当且仅当2t =时，等号成立，因此，x y x y z ++-的最小值为13-.故答案为：13-. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三解析：7【分析】根据题中条件，由1222()2212y x y x y y x x y x y x y++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1222()221237y x y x y y x x y x y x y ++++=+=+++≥+=，当且仅当y x x y =，即1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立. 故答案为：7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．10【分析】作出不等式组对于的平面区域利用数形结合即可得到结论【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由则平移直线由图象可知当直线经过点时直线在轴上的截距最大此时最大由解得此时故答案为：10【点解析：10【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【详解】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由32z x y =+，则322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，由图象可知当直线322z y x =-+，经过点A 时，直线322z y x =-+，在y 轴上的截距最大，此时z 最大，由20y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A ，此时322210max z =⨯+⨯=，故答案为：10．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 17．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22z y x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2，故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a ++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 18．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解解析：1[,)4+∞. 【分析】利用基本不等式求得24x x +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立，即24x x +在[]1,3x ∈的最大值为14，又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞. 故答案为：1[,)4+∞. 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24x x +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19．【分析】先利用基本不等式求得的最小值进而求得的最小值即可得到答案【详解】由题意设又由当且仅当时即时等号成立即的最小值为所以的最小值是故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题其中解答中先解析：3【分析】先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案.【详解】由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++，又由()()3232336(2)6(2)[(2)2(2)]()992962222222a a b b a b a b a b a b +++++++⋅+=++≥+⨯=+++++++，当且仅当()326(2)=22a b a b ++++时，即22(2)a b +=+时等号成立，即z 的最小值为962+，所以2+a b 的最小值是623+.故答案为623+.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.20．【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点与定点连线斜率再加1；由图可知；最小最大；联立可得即联立可得即故：∴所以：故答案为点睛：本题考查线性规划问题难点在于目标函数几何意义近年来高考线性规划问解析：4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】先画出可行域如图：因为目标函数表示动点()P x y ，与定点00O （，）连线斜率k 再加1；由图可知；OC k 最小，OA k 最大；联立1{4x x y =+=，可得13x y ，即()1,3A ，联立1{4y x y =+=，可得31x y =⎧⎨=⎩，即()3,1C ，故：13OC k =，3OA k =，∴133OP k ≤≤，所以：041[4]03x y y u x x +-=+∈-＝，，故答案为4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视；①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数表示动点()P x y ，与定点()00O ，连线斜率k 再加1，③过O 做直线与可行域相交可计算出直线PO 斜率，从而得出所求目标函数范围.三、解答题21．（1）13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭；（2）62a -≤≤．【分析】（1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果；（2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式0∆≤，即解得参数范围.【详解】解：（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以 2 3x x ==，是方程20x ax b -+=的解由韦达定理得： 5 6a b ==，，故不等式210bx ax -+>为26510x x -+>，解不等式26510x x -+>得其解集为13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭（2）当3b a =-时，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则2Δ4(3)0a a =--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤，所以实数a 的取值范围为62a -≤≤．【点睛】二次函数2()f x ax bx c =++的恒成立问题的解决方法：（1）0a >时()0f x ≥在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立；（2）0a <时()0f x ≤在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立．22．(1). 2()2f x x x =-；(2). 16m ≤- (3). 12t >或12t -= 【分析】(1).首先根据(1)()21f x f x x +-=-求得,a b 的值，再根据① ② ③ 解得c 的值；(2). 将任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立问题转化为2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立的问题，从而转化为最值问题进行求解；(3).将问题转化为方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，接着对参数进行分类讨论即可.【详解】(1)因为二次函数2()f x ax bx c =++满足(1)()21f x f x x +-=-又22(1)()(1)(1)2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=++++---=++，所以212x ax a b -=++，221a a b =⎧∴⎨+=-⎩解得：12a b =⎧∴⎨=-⎩ 因为二次函数2()2f x x x c =-+选① ：因为函数()y f x =的图象与直线1y =-只有一个交点，所以2(1)11f c -=+=- 0c ∴=；选② ：因为函数(1)f x +是偶函数,所以22(1)=(1)2(1)1f x x x c x c ++-++=+-,所以c 取任意值.选③ ：设 12,x x 是函数()f x 的两个零点，则122x x -=，由韦达定理可知：12122,x x x x c +==所以122x x -=解得：0c ；综上：()f x 的解析式为2()2f x x x =-.(2) 因为对任意()31,27,2log 09x f x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立, 32(log )m f x ∴≤-，[]31,27,log 2,39x x ⎡⎤∈∴∈-⎢⎥⎣⎦令3log t x =，原不等式等价于2()m f t ≤-在[]2,3t ∈-上恒成立min (2())2(2)16m f t f ∴≤-=--=-,所以实数m 的取值范围为16m ≤-.(3) 因为函数()()(21)3232x x g x t f =--⨯-有且仅有一个零点，令30x m =>，所以方程()(21)220m t f m ---=有且仅有一个正实根，因为2()2f x x x =-即2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，当21=0t -即12t =时，220m --=解得1m =-不合题意；当210t ->即12t >时， 2(21)420t m tm ---=表示的二次函数对应的函数图像是开口向上的抛物线，又恒过点(0,2)-，所以方程2(21)420t m tm ---=恒有一个正实根;当210t -<即12t时，要想2(21)420t m tm ---=有且仅有一个正实根，只有()21682102021t t t x t ⎧=+-=⎪⎨=>⎪-⎩对解得：12t -=，综上：实数t 的取值范围为12t >或12t -=. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．23．（1）1；（2）9.【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，列方程求出m 的值；（2）先求得141b a +=，可得14()()a b a b b a +=++，展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值．【详解】（1）不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<，即[2(2)]0x x m +-<，所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --，又不等式的解集为{|02}x x <<，所以2(2)2m --=，解得1m =；（2）由正实数a ，b 满足4a b mab +=，所以4a b ab +=，所以141b a+=，所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++，当且仅当26a b ==时取等号，所以+a b 的最小值为9．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，也考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 24．（1）最多调整500名员工从事第三产业；（2）(]0,5．【分析】（1）根据题意可列出()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，进而解不等式求得x 的范围，确定问题的答案．（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围．【详解】（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤，即最多调整500名员工从事第三产业；（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元，则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23500x ax -≤2110002500x x x +--，所以221000500x ax x ≤++，即210001500x a x ≤++在(]0,500x ∈时恒成立，因为210004500x x+≥=，当且仅当21000500x x =，即500x =时等号成立，所以5a ≤，又0a >，所以05a <≤，所以a 的取值范围为(]0,5．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力，属于常考题. 25．（1）{|13}x x <<；（2）()24.，【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；（2）根据不等式恒成立的意义，确定求函数245y x x =-+的最小值，并利用配方法求得最小值，将问题转化为解关于m 的简单的绝对值不等式，根据绝对值的意义即可求解.【详解】(1)由2y <得2430x x -+<，即13x <<，所以2y <的解集为{|13}x x <<；(2)不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立3min m y ⇔-<，由()224521y x x x =-+=-+得y 的最小值为1，所以31m -<恒成立，即131m -<-<，所以24m <<，所以实数m 的取值范围为()2,4.【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般.26．（1）4m ≤；（2）94．【分析】（1）函数()0f x m =≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，利用绝对值不等式的性质求得()min g x 即可得解；（2）由（1）可得21432a b a b +=++，然后利用基本不等式计算即可求得74a b +的最小值．【详解】（1）函数()0f x m =≥恒成立，即+130x x m +--≥恒成立，设函数()+13g x x x =+-，则()min m g x ≤，又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ≤；（2）由（1）知4n =，正数a ，b 满足21432a b a b +=++，所以()1217474432a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭ ()()121622432a b a b a b a b ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()()222315432a b a b a b a b ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦54944+≥=，当且仅当23a b a b +=+即3210b a ==时，等号成立，所以74a b +的最小值为94．【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.。

新课标人教版必修5高中第3章不等式单元检测试卷及答案解析(原始打印版)

新课标人教版必修5高中数学第3章不等式单元检测试卷1．设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是 ( )A ．d b c a ->-B ．bd ac >C ．d b c a +>+D ．c b d a +>+2． “0>>b a ”是“222b a ab +<”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．不等式b ax >的解集不可能是 ( )A ．φB ．RC ．),(+∞a bD ．),(ab --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a -的值等于 ( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．105．不等式||x x x <的解集是 ( ) A ．{|01}x x < 6．若011<<ba ，则下列结论不正确的是 ( ) A ．22b a +ba ab D ．||||||b a b a +>+7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为 ( )A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f =C ．)()(x g x f <D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是 ( )A ．y x ＋x yB ．4522++x x C ．tan x ＋cot x D ． x x -+229．下列各组不等式中，同解的一组是 ( )A ．02>x 与0>xB ．01)2)(1(<-+-x x x 与02<+xC ．0)23(log 21>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 ( )A. }8|{<a aB. }8|{>a aC. }8|{≥a aD. }8|{≤a a 11．若+∈R b a ,，则b a 11+与ba +1的大小关系是 .12．函数121lg+-=x xy 的定义域是 . 13．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨.14. 已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，, 则不等式3)2(≤+x f 的解集___ _ ____.15．已知()f x 是奇函数，且在(－∞，０)上是增函数，(2)0f =，则不等式()0xf x <的解集是___ _ ____. 16．解不等式:21582≥+-x x x17．已知1<a ，解关于x 的不等式12>-x ax．18．已知0=++c b a ，求证:0≤++ca bc ab 。

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人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)5、不等式0322>-+x x 的解集是（）A {x|-1＜x ＜3}B {x|x ＞3或x ＜-1}C {x|-3＜x ＜1}D {x|x>1或x ＜-3}6、二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是（）A ⎩⎨⎧>∆>00a B ⎩⎨⎧<∆>00a C ⎩⎨⎧>∆<00a D ⎩⎨⎧<∆<0a2．下列说确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)4．不等式x －1x ＋2>1的解集是( )A ．{x |x <－2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <1}D ．{x |x ∈R } 5．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的形状为( )A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正方形7．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 8.已知集合A ＝{x |x 2-x-2<0}，B ＝{x ｜-1<x <1}，则（）A. A B ⊆B.B AC. A = BD. A ∩B ＝∅8、已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A 1B 21C 22D 41 10、设b a ,为实数且,3=+b a 则ba22+的最小值是 ( )A 6B 24C 22D 6211、不等式x -2y +6＞0表示的平面区域在直线x -2y +6=0的 ( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方 10. 设U =R ，M ={x |x 2-2x ＞0}，则 C U M =（）A.[0，2]B.RC.（-∞，0）∪（2，+∞）D.（-∞，0]∪[2，+∞）12、在直角坐标系，满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值围是_________．12．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．13．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．15、不等式255122x x -+>的解集是 .三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较e a －c 与eb －d的大小．17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0; (3) 0322322≤--+-x x x x18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域； (2)求z ＝x ＋3y 的最大值．19、当1>x 时,求11222-+-=x x x y 的最小值. （12分）20、已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，求32a b -的取值围。

（13分）必修5第三章《不等式》单元测试题命题：水果湖高中胡显义1．解析：原不等式化为x 2－2x ≥0，则x ≤0或x ≥2. 答案：D2．解析：A 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以A 不正确；B 中，当a ＝0>b ＝－1时，a 2＝0(－1)2时，－2<－1，所以D 不正确．很明显C 正确．答案：C3．解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证，仅有点(－3,4)的坐标满足3x ＋2y ＋5>0.答案：A4．解析：x －1x ＋2>1⇔x －1x ＋2－1>0⇔－3x ＋2>0⇔x ＋2<0⇔x <－2.答案：A5．解析：M －N ＝2a (a －2)＋3－(a －1)(a －3)＝a 2≥0，所以M ≥N . 答案：B6．解析：在平面直角坐标系中，画出不等式组表示的平面区域，如下图中的阴影部分．则平面区域是△ABC . 答案：A7．解析：画出可行域如下图中的阴影部分所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＝0.得A (2,1)．由图知，当直线y ＝x －z 过A 时，－z 最大，即z 最小，则z 的最小值为2－1＝1.答案：A8．解析：∵x ＋m 2x ≥2|m |，∴2|m |>4.∴m >2或m <－2. 答案：B9．解析：令x ＝y ＝0得f (0)＝f 2(0)，若f (0)＝0，则f (x )＝0·f (x )＝0与题设矛盾． ∴f (0)＝1.又令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )·f (－x )，故f (x )＝1f (－x ).∵x >0时，f (x )>1，∴x <0时，0<f (x )<1，故选D. 答案：D 10．解析：∵x ＋23x －5<0，∴－2<x <53.而y ＝25－30x ＋9x 2－(x ＋2)2－3＝|3x －5|－|x ＋2|－3＝5－3x －x －2－3＝－4x .∴选A.答案：A二、填空题（填空题的答案与试题不符）11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值围是__________．解析：式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，即kx 2＋kx ＋1>0恒成立．当k ≠0时，k >0且Δ＝k 2－4k <0，∴0<k <4；而k ＝0时，kx 2＋kx ＋1＝1>0恒成立，故0≤k <4，选C.答案：C ？12．函数f(x)＝x－2x－3＋lg4－x的定义域是__________．解析：求原函数定义域等价于解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2≥0，x－3≠0，4－x>0，解得2≤x<3或3<x<4.∴定义域为[2,3)∪(3,4)．答案：[2,3)∪(3,4)13．x≥0，y≥0，x＋y≤4所围成的平面区域的周长是________．解析：如下图中阴影部分所示，围成的平面区域是Rt△OAB.可求得A(4,0)，B(0,4)，则OA＝OB＝4，AB＝42，所以Rt△OAB的周长是4＋4＋42＝8＋4 2.答案：8＋4 214．已知函数f(x)＝x2－2x，则满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f(x)＋f(y)≤0，f(x)－f(y)≥0的点(x，y)所形成区域的面积为__________．解析：化简原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x－1)2＋(y－1)2≤2，(x－y)(x＋y－2)≥0，所表示的区域如右图所示，阴影部分面积为半圆面积．答案：π15．(2010·高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元．预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是________．解析：由已知条件可得，七月份销售额为500×(1＋x%)，八月份销售额为500×(1＋x%)2，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，可列出不等式为4360＋1000[(1＋x%)＋(1＋x%)2]≥7000.令1＋x%＝t，则t2＋t－6625≥0，即⎝⎛⎭⎫t＋115⎝⎛⎭⎫t－65≥0.又∵t＋115≥0，∴t≥65，∴1＋x%≥65，∴x%≥0.2，∴x≥20.故x的最小值是20.答案：20三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知a>b>0，c<d<0，e<0，比较ea－c与eb－d的大小．解：e a －c －eb －d ＝e (b －d )－e (a －c )(a －c )(b －d )＝(b －a )＋(c －d )(a －c )(b －d )e .∵a >b >0，c <d <0，∴a －c >0，b －d >0，b －a <0，c －d <0.又e <0，∴e a －c －e b －d >0.∴e a －c >eb －d.17．(12分)解下列不等式： (1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.解：(1)－x 2＋2x －23>0⇔x 2－2x ＋23<0⇔3x 2－6x ＋2<0.Δ＝12>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的两根为x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式解集为{x |1－33<x <1＋33}．(2)9x 2－6x ＋1≥0⇔(3x －1)2≥0.∴x ∈R .∴不等式解集为R .18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0. 解：当m ＝－3时，不等式变成3x －3>0，得x >1；当－3<m <－2时，不等式变成(x －1)[(m ＋3)x－m ]>0，得x >1或x <mm ＋3；当m <－3时，得1<x <mm ＋3.综上，当m ＝－3时，原不等式的解集为(1，＋∞)；当－3<m <－2时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，m m ＋3∪(1，＋∞)；当m <－3时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m m ＋3.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；(2)求z ＝x ＋3y 的最大值．解：(1)由x ，y 取非负实数，根据线性约束条件作出可行域，如下图所示阴影部分．(2)作出直线l ：x ＋3y ＝0，将直线l 向上平移至l 1与y 轴的交点M 位置时，此时可行域M 点与直线l 的距离最大，而直线x ＋y －3＝0与y 轴交于点M (0,3)．∴z max ＝0＋3×3＝9. 20．(13分)(2009·调研)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．解：(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20. (2)当0≤t <10时，y 的取值围是[1200,1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y 的取值围是[600,1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.21．(14分)某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a4元；(3)拆去1 m 的旧墙，用可得的建材建1 m 的新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：①利用旧墙x m(0<x <14)为矩形一边； ②矩形厂房利用旧墙的一面长x ≥14. 试比较①②两种方案哪个更好．解：方案①：修旧墙费用为ax4(元)，拆旧墙造新墙费用为(14－x )a2(元)，其余新墙费用为(2x ＋2×126x－14)a (元)，则总费用为y ＝ax 4＋(14－x )a 2＋(2x ＋2×126x －14)a ＝7a (x 4＋36x－1)(0<x <14)，∵x 4＋36x ≥2x 4·36x＝6， ∴当且仅当x 4＝36x即x ＝12时，y min ＝35a ，方案②：利用旧墙费用为14×a4＝7a2(元)，建新墙费用为(2x＋252x－14)a(元)，则总费用为y＝7a2＋(2x＋252x－14)a＝2a(x＋126x)－212a(x≥14)，可以证明函数x＋126x在[14，＋∞)上为增函数，∴当x＝14时，y min＝35.5a.∴采用方案①更好些．。