专题三 三角函数的图象与性质 第1讲作业
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
三角函数的图像和性质(3)
第一节 三角函数的图像和性质一、 知识梳理2.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：(1)函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是T=_________ (2)函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是T=_________(3)五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设X x ωϕ=+，X 取______________________来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。
(4)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。
切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
二、 基础自测1.(2011·大纲全国卷理，5)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9 答案:C2、(理)函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案:C3．已知－π6≤x <π3，cos x ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m <－1B ．3<m ≤7＋4 3C ．m >3D ．3<m <7＋43或m <－1 答案:C4．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1 答案:B5．(2012·湖洲中学月考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如下图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.答案:2/36．sin1，sin2，sin3的大小关系为________． 答案: sin3< sin1< sin27．求y ＝sin 2x －cos x ＋2的最值． 答案:最大值与最小值分别为134与1.三、 例题讲解[例1] 求下列函数的定义域：(1)y ＝－2cos 2x ＋3cos x －1＋lg(36－x 2)；(2)y ＝2＋log 12x ＋tan x .[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2cos2x ＋3cosx －1≥036－x2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2cosx －1cosx －1≤0－6<x<6，也即⎩⎪⎨⎪⎧cosx ≥12－6<x<6.解得⎩⎪⎨⎪⎧－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z－6<x<6 (*)取k ＝－1,0,1，可分别得到 x ∈⎝⎛⎦⎤－6，－5π3或x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3或x ∈⎣⎡⎭⎫5π3，6. 即所求的定义域为⎝⎛⎦⎤－6，－5π3∪⎣⎡⎦⎤－π3，π3∪⎣⎡⎭⎫5π3，6.(2)要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12 x ≥0tanx ≥0 即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4k π≤x<k π＋π2k ∈Z即0<x<π2或π≤x ≤4.所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪[π，4]．变式：求下列各函数的定义域：(1)y ＝11－cosx；(2)y ＝sinx ＋1－tanx. [解析] (1)函数y ＝11－cosx有意义时，1－cosx ≠0，即cosx ≠1，所以x ≠2k π(k ∈Z)，所以函数的定义域为{x|x ≠2k π，x ∈R ，k ∈Z}．(2)要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧sinx ≥0，1－tanx ≥0.由上图知道，函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z).[例2] 求下列函数值域：(1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ；(2)y ＝3cos x －3sin x ；(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x . [解析] (1)y ＝2cos2x ＋2cosx ＝2⎝⎛⎭⎫cosx ＋122－12. 当且仅当cosx ＝1时，得ymax ＝4， 当且仅当cosx ＝－12时，得ymin ＝－12，故函数值域为⎣⎡⎦⎤－12，4. (2)y ＝3cosx －3sinx ＝23⎝⎛⎭⎫32cosx －12sinx＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.∵⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1， ∴该函数值域为[－23，23]． (3)y ＝sinxcosx ＋sinx ＋cosx ＝sinx ＋cosx 2－12＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋222－1， 所以当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22时，y 取最小值－1，∴该函数值域为⎣⎡⎦⎤－1，12＋2. 变式：求y ＝sin2x －sinxcosx ＋2的值域． [解析] y ＝sin2x －sinxcosx ＋2＝1－cos2x 2－12sin2x ＋2＝－12(sin2x ＋cos2x)＋52＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋52. 又∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，∴5－22≤y ≤5＋22.∴函数的值域为[5－22，5＋22]. [例3]判断下列函数的奇偶性（1）sin 2tan y x x =- （2）1sin cos 1sin cos x xy x x +-=++ （3）()cos sin y x =（4）y =答案：(1) 奇 (2) 非奇非偶 (3)偶 （4）奇，偶变式：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的非奇非偶函数 [答案] C[例4] 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间． [解析] ∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间就是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调减区间．由2k π＋π2≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得2k π＋5π6≤2x ≤11π6＋2k π.∴k π＋5π12≤x ≤11π12＋k π. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，11π12＋k π，k ∈Z.变式：(理)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R.求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；(2)函数f (x )的单调增区间． [解析] (1)∵f(x)＝1－cos2x 2＋sin2x ＋31＋cos2x2＝2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8 (k ∈Z)时，f(x)取得最大值2＋ 2.因此，f(x)取得最大值时自变量x 的集合是 {x|x ＝k π＋π8，k ∈Z}(2)f(x)＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2 (k ∈Z)，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)， 因此f(x)的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8(k ∈Z).[例5]求下列函数的最小正周期(1) ()()2sin cos f x x x π=-;(2) ()23tan 1tan x f x x =-;(3) ()1cos 43f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 答案：(1)π (2)π (3)2π[例6] 已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3Am x n A x x A ==>，函数()f x m n =⋅的最大值为6.（1）求A ；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域. 答案：见暑假作业13题变式：1.已知函数f(x)＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x4＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．[解析] (1)∵f(x)＝sin x 2＋3(1－2sin2x4)＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)，∴f(x)的最小正周期T ＝2π12＝4π. 当sin(x 2＋π3)＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sin(x 2＋π3)＝1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)＝2sin(x 2＋π3)，又g(x)＝f(x ＋π3)∴g(x)＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.∵g(－x)＝2cos(－x 2)＝2cos x2＝g(x)，∴函数g(x)是偶函数．2.(卷一:3) 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C1(0,]2 ()D (0,2] 【答案】A 四、 反馈训练反馈训练1 一、选择题1．函数y ＝sin2x ＋sinx －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54][答案] C[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sinx ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sinx ∈[－1,1]，y ＝t2＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－54≤y ≤1，选C.2．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23[答案] C[解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2πω，∴2πω＝43π，∴ω＝32.故选C(亦利用y ＝sinx 的单调区间来求解)3．对于函数f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( ) A ．f(x)在(π4，π2)上是递增的B ．f(x)的图像关于原点对称C ．f(x)的最小正周期为2πD ．f(x)的最大值为2 [答案] B[解析] 本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx ，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A.4．函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则a 的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] 解法1：由y ＝sin2x ＋acos2x 可联想到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数．又知其对称轴为x ＝－π8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x ＝－π8代入原式，可使函数取最大值或最小值．即－22＋22a ＝±a2＋1，∴a ＝－1.解法2：由于函数图像关于直线x＝－π8对称∴f(0)＝f(－π4)，∴a＝－1，故选D.5．已知函数f(x)＝3sin πxR图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为()A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] D[解析]f(x)的周期T＝2ππR＝2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知R>3，则2R>23>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且|f(π2)|>f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)[答案] C[解析]本题主要考查正弦函数的有界性以及正弦函数的单调性．若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，则|f(π6)|＝|sin(π3＋φ)|＝1，所以π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，φ＝kπ＋π6，k∈Z，由f(π2)>f(π)，(k∈Z)，可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)．即sinφ<0，所以φ＝2kπ－5π6，k∈Z.代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得f(x)＝sin(2x－5π6)．由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，故选C.二、填空题7．比较大小：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.(2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5________cos ⎝⎛⎭⎫－17π4.[答案] (1)> (2)<[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，y ＝sinx 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π10<sin ⎝⎛⎭⎫－π18，即sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10.(2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π5＝cos 3π5，cos ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<3π5<π，且函数y ＝cosx 在[0，π]上是减函数， ∴cos π4>cos 3π5，即cos ⎝⎛⎭⎫－17π4>cos ⎝⎛⎭⎫－23π5， 即cos ⎝⎛⎭⎫－23π5<cos ⎝⎛⎭⎫－17π4.8．函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] f(x)＝sinx ＋2|sinx|＝⎩⎪⎨⎪⎧3sinx ， 0≤x ≤π，－sinx ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f(x)与y ＝k 的图像可知1<k<3.三、解答题9．(2012·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋23sinxcosx ＋2cos2x. (1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)， 求tan(α＋β)的值．[解析] f(x)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，∴f(x)的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．(2)由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π2－π12(k ∈Z)， ∴f(x)图像上与原点最近的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0.(3)由f(α)＝f(β)得：2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2β＋π6，又∵角α与β不共线，∴⎝⎛⎭⎫2α＋π6＋⎝⎛⎭⎫2β＋π6＝2k π＋π(k ∈Z)，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z)，∴tan(α＋β)＝ 3.反馈训练2 一、选择题1．函数f(x)＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( ) A ．k π (k ∈Z) B ．k π＋π6 (k ∈Z)C ．k π＋π3 (k ∈Z)D ．k π－π3(k ∈Z)[答案] D[解析] 解法1：由两角和与差的三角公式得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ.由f(x)是奇函数得π3＋θ＝k π(k ∈Z)⇒θ＝k π－π3(k ∈Z)．故选D.解法2：∵函数f(x)为奇函数，定义域为R. ∴f(0)＝0，即3cos θ＋sin θ＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝0，∴θ＋π3＝k π，∴θ＝k π－π3(k ∈Z)． 2．函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx(－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] D[解析] 本题主要考查了正弦函数的性质以及数形结合法．依题意：两函数的图像如下图所示：由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足x1＋x8＝2，x2＋x7＝2，x3＋x6＝2，x4＋x5＝2，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8，故选D.二、填空题3．已知函数f(x)＝Atan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f(x)的部分图像如下图，则f(π24)＝______.[答案] 3[解析] 本小题考查内容为正切函数的图像与解析式．∵T ＝π2＝πω，∴ω＝2. 当x ＝0时，f(0)＝Atan φ＝1，当x ＝3π8时，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝Atan ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0，∴φ＝π4，A ＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 4．动点A(x ，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是______________．[答案] [0,1]和[7,12][解析] 设点A 的纵坐标y 关于t 的函数为y ＝sin(ωt ＋φ)．∵T ＝12＝2πω，∴ω＝π6. 当t ＝0时，sin φ＝32，cos φ＝12，∴φ可取π3. ∴y ＝sin(π6t ＋π3)，由正弦函数的单调性知， 2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z) 2k π－5π6≤π6t ≤2k π＋π6(k ∈Z)． ∴12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z)．当k ＝0时 ，－5≤t ≤1；当k ＝1时，7≤t ≤13又∵0≤t ≤12，∴单调增区间为[0,1]和[7,12]．三、解答题5．(2012·深圳模拟)已知函数f(x)＝sinx ＋acos2x 2，a 为常数，a ∈R ，且x ＝π2是方程f(x)＝0的解． (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．[解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋acos2π4＝0， 则1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 所以f(x)＝sinx －2cos2x 2＝sinx －cosx －1， 则f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1. 所以函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由x ∈[0，π]，得x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，则sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 则2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1∈[－2，2－1]， 所以y ＝f(x)值域为[－2，2－1]．6．(2011·北京理，15)已知函数f(x)＝4cosxsin(x ＋π6)－1. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值． [解析] (1)因为f(x)＝4cosxsin(x ＋π6)－1 ＝4cosx ⎝⎛⎭⎫32sinx ＋12cosx －1 ＝3sin2x ＋2cos2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ∴f(x)的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)取到最大值2； 当2x ＋π6＝－π6即x ＝－π6时，f(x)取到最小值－1. ∴f(x)的最大值和最小值分别是2和－1.7．已知函数f(x)＝log 12(sinx －cosx)． (1)求它的定义域和值域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．[分析] 对于(1)，(2)可以从sinx －cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4入手．对于(3)则看f(x)的定义域是否关于原点对称．对于(4)可利用f(x ＋T)＝f(x)先验证T 是一个周期，再证T 是最小正周期．[解析] (1)由题意得sinx －cosx>0，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0，从而得2k π<x －π4<2k π＋π(k ∈Z)．∴函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π＋π4<x<2k π＋54π，k ∈Z . ∵0<sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，∴0<sinx －cosx ≤2， 即有log 12 2≤log 12(sinx －cosx)． 故函数f(x)的值域是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)∵sinx －cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在f(x)的定义域上的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋3π4(k ∈Z)，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． ∴f(x)的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z)； 单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋3π4(k ∈Z)． (3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．(4)∵f(x ＋2π)＝log 12[sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]＝log 12(sinx －cosx)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期T ＝2π.[点评] 本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把sinx －cosx 化为Asin(ωx ＋φ)的形式．。
高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质
,
5
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 3 ( ) 2 。 22
当 x [ 2k, 2k] ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 单调递增。
2
2
②第一个单调递减区间 [
,
3
] ，第二个单调递减区间[5
,
7
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 5 2 。 22
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自 变量和第二个自变量的间距为 3 2 。 当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) cos x 取得最小值 1。
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自
2
2
变量和第二个自变量的间距为 3 ( ) 2 。 22
当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 取得最小值 1。 2
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质
第一部分： f (x) sin x 的图像与性质
描点法：如下表所示：
x
0
3
2
2
2
f (x)
0
1
0
1
0
sin 0 sin( ) sin cos sin cos 0 。
sin
sin(
) sin cossi cos113
高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)习题课
(2)若函数
f(x)是以π2
为周期的偶函数，且
π f( 3
)＝1，求
f(－167π
)
的值． 【思路分析】 将－176π利用周期性转化为π3 ，进而求值．
π 【解析】 ∵f(x)的周期为 2 ，且为偶函数，
【解析】 (1)∵x∈R，f(x)＝sin(34x＋3π2 )＝－cos34x，∴f(－ x)＝－cos3（－4 x）＝－cos34x＝f(x)．
∴函数 f(x)＝sin(34x＋3π2 )为偶函数． (2)f(x)＝（1－c1o＋s2sxi）nx＋sinx＝sin12＋x＋sinsixnx＝sinx，但函数应满 足 1＋sinx≠0，
思考题 3 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sinx－x tanx； (2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)； (3)f(x)＝1c－oss2inxx； (4)f(x)＝ 1－cosx＋ cosx－1. 【答案】 (1)偶函数 (2)奇函数 (3)非奇非偶函数 (4)既是 奇函数又是偶函数
(1)①要判断奇偶性的函数是三角函数型的复合函数． ②sin(34x＋3π 2 )＝－cos34x.
(2)①所判断的函数是以公式形式给出的； ②f(x)的定义域可求，即 sinx＋1≠0. 解答本题中的(1)可先利用诱导公式化简 f(x)，再利用 f(－x) 与 f(x)的关系加以判断． 解答本题中的(2)可先分析 f(x)的定义域，然后再利用定义加 以分析．
∴函数的定义域为{x|x∈R，且 x≠2kπ＋32π，k∈Z}． ∵函数的定义域不关于原点对称， ∴该函数既不是奇函数也不是偶函数． 探究 3 (2)中易忽视 f(x)的定义域而进行非等价变形，得 f(x) ＝sinx（1＋1＋sinsxinx）＝sinx，从而导致结果错误． 判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，再 看 f(－x)与 f(x)的关系．
《第3讲 三角函数的图像与性质》
【反思归纳】 (1)三角函数定义域的求法 ①应用正切函数 y＝tan x 的定义域求函数 y＝Atan(ωx＋φ)的定义 域． ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数的图象求解． ②利用三角函数线求解．
【即时训练】 (1)函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定义域为 ________．
2020届高考第一轮复习理科数学
第三章 三角函数、解三角形
第3讲 三角函数的图像与性质
（第三课时）
三角函数的周期性、奇偶性、对称性(多维探究)
角度一 三角函数的周期性
例 3. (1)(2018 潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线
x＝π3对称的是( B )
(A)y＝sin2x－π3
故 y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－ 2≤t≤ 2)，从而知： f(－1)≤y≤f( 2)，即－1≤y≤ 2＋12. 即函数的值域为[－1， 2＋12]．
(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x
＝
π 3cos
x－2sin
π 3sin
x＋2cos
x
＝3cos x－ 3sin x
＝2
【答案】 (1)[－32，3] (2) 1 (3)[－12－ 2，1]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则 () A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4 2.求下列函数的值域： (1)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x；(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x. (《金榜题名》第 54 页 典例 2 【即时训练】)
2020高考数学核心突破《专题3 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质》 (2)
专题三 第1讲1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析 由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )， 即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12 B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点， 于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋ 2B ．32C ．6 2D ．－ 2解析 由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f(3)＝2，f(4)＝0，f(5)＝－2，f(6)＝－2，f(7)＝－2，f(8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝2＋ 2.故选A.。
高三文科数学高考前知识整理专题： 三角函数的图像与性质
(2 k , 0) k Z
(
2
k无 ,最 小 k值 ),k Z 最小正2 周期π
奇函数
( k ,0)k Z
2
注意
研究函数 y Asin(x ) 性质的一般方法： 将角 x 看做一个整体，利用换元思想转化为讨论正弦函 数 y sin x 的性质。 研究函数 y Acos(x ) 、y A tan(x ) 的性质的方法
得 到 的 f(x) 中 的 “x” 换成“x－ π6”即可．
热点三 三角函数的性质
例3 设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图).
(2)当x∈[0，π ]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并 6
读 解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进
行综合考查，题目难度为中、低档
近三年广东高考中对本考点考查的情况
年份 2014 2013 2012
题号 5 16 4 16 4 16
赋分
所考查的知识点
5
正余弦的奇偶性
知值求 A，两角和、差正弦、诱导 12
公式、平方关系
5
诱导公式
知式求值，两角差余弦公式、平方 5
专题三 三角函数与平面向量
第 1讲 三角函数的图象与性质
1．对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，
函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为
热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也
考 与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.
情 解
2．题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置
三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。
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作业1（一） 1、在下列各区间中，函数y=sin （x ＋4
π）的单调递增区间是
（ ）
A.［
2
π，π］B.［0，
4π］C.［－π，0］ D.［
4
π
，
2
π］ 2、下列函数中，周期是2
π
的偶函数是（ ）
A.y ＝sin4x
B.y ＝cos 2
2x －sin 2
2x C.y ＝tan2x D.y ＝cos2x 3、函数y ＝sin （
3
π
－2x ）＋cos2x 的最小正周期是（ ） A.2
π
B.π
C.2π
D.4π
4、若f （x ）sinx 是周期为π的奇函数，则f （x ）可以是（ ） A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x
5．(2011·新课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )． A ．－45 B ．－35 C.35 D.4
5
6．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域( )．
A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
32，32 7．(2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域( )． A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
32，32 8．已知2
10
cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.
34 B. 4
3 C.43- D.34-
9．设函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π，x ∈R )的图象关于直线x
＝π3对称，则φ等于( )．A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
作业 （二）
1．(2012·北京西城区一模)已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x co s x ，则下列结论正确的是( )．
A ．两个函数的图象均关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π4，0成中心对称图形
B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π
4成轴对称图形 C ．两个函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π4，π4上都是单调递增函数D ．两
个函数的最小正周期相同
2如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=－
8
π
对称，那么
a 等于（ ）A.
2 B.－2
C.1
D.－1
3. (2012·北京东城区模拟)函
数f (x )＝sin (ωx ＋φ)，(其中|φ|＜π
2
)的图象如图所示，为
了得到g (x )＝sin ωx 的图象，则只要将f (x )的图象( )． A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π6个单位
D ．向左平移π
12
个单
4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－25
5，则y ＝___ 5．将函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π
6个单位后，其图象的一条对称轴方程可
6．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 3＋φ(0＜φ＜2π)在区间 (－π，π)上单调递
增，则实数φ的取值范围为________．
7．(11分)已知f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＋2cos 2x ，x ∈R ，求
f (x )的最小正周期和它的单调增区间．
8．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π4，π4上的最大值和最小
作业（三）
1．函数f(x)=3sin(2x-3π)的图象为C ，①图象C 关于直线x=12
11π对称；②函数f(x)在区间(-12
5π
,12π)内是增函数；③由y=3sin2x 的
图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C ．正确论断的个数是
（ ）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知函数f(x)=asinx-bcosx(a 、b 为常数，a ≠0，x ∈R )，在x=4
π处取得最小值，则函数y=f(
4
3π
-x)是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点(π, 0)对称 B ．偶函数且它的图象关于点(
23π
, 0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(2
3π
, 0)对称
D ．奇函数且它的图象关于点(π, 0)对
3．已知函数f(x)=sin(x+6π)+sin(x-6
π
)+cosx+a(a ∈R , a 是常数)（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若x ∈[-2π,2
π
]时，f(x)的最
大值为1，求a 的值． 4.将函数cos()3
y x π
=-
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变），再向左平移6
π
个单位，所得函数图象的一条对称轴为（ ） A ．9
x π
=
B ．8
x π
=
C ．2
x π
=
D ．x π=
5．函数()2sin(),(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
的部分图象如图
所示，则,ωϕ的值分别
（A ）2,3
π
-
（B ）2,6
π
-
（C ）4,6
π
-
（D ）4,
3
π。