北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习数学文试题含答案
2015年高三二模数学（文）北京市朝阳区试题Word版带解析.doc
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类）2015．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合A (1)(2)0x x x ，集合1Bx x ，则A BA ．B ．1x xC ．12x xD ．12x x【答案】D 【解析】(1)(2)0|12A x x x x x ，1|11B x x x x所以AB 12x x，故选D【考点】 集合运算 【难度】 22．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是 A ．π4 B ．π8 C ．π16 D．π32【答案】C【解析】设正方形的连长为2a ，则圆的半径为a ，所以阴影部分面积为24a π，正方形面积为24a ，所以所求概率为224416a a ππ=，故选C【考点】 几何概率 【难度】 2开始 S =0，n =1结束n =n +2n >5?输出S 是否cosn S S π=+33．实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数3zx y 的最小值是A ．12 B ． 8 C ． 4 D ．0【答案】B【解析】作出可行域如图， 目标函数3zx y 变形为1133yx z ，作直线13y x ，平移直线，当直线过点(2,2)A --时，z 取得最小值，min 23(2)8z =-+⨯-=-，故选B 【考点】 线性规划 【难度】 24. 已知非零平面向量a ，b ，则“a 与b 共线”是“a +b 与a b 共线”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若a 与b 共线，设λ=a b ，则(1)λ+=+a b b ，(1)λ-=-a b b ，所以+a b 与-a b 共线，即“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的充分条件；若+a b 与-a b 共线，设()k +=-a b a b ，则有(1)(1)k k -++=a b 0，如果a 与b 不共线，则有1010k k -=⎧⎨+=⎩，此时无解，所以a 与b 共线，即“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的必要条件；所以“a 与b 共线”是“+a b 与-a b 共线”的充分必要条件，故选C 【考点】 充分条件与必要条件 【难度】 35．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．0 B ．1 C ．12 D ．32【答案】A【解析】初始值：0S =，1n =第一次循环：1cos 32S π==，3n =第二次循环：131cos 232S π=+=-，5n =第三次循环：15cos 023S π=-+=，7n =，输出0S =，故选A【考点】 算法与程序框图 【难度】 2 6.函数21,11,()lg ,1,x x f x x x 的零点个数是A. 0B.1C.2D.3 【答案】C【解析】当11x -≤<时，由()0f x =得210x -=，所以1x =-；当1x ≥时，由()0f x =得lg 0x =，所以1x =； 所以零点有两个，故选C【考点】 方程与零点 【难度】 27．已知点A 为抛物线:C 24x y 上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABFA ．一定是直角B ．一定是锐角C ．一定是钝角D ．上述三种情况都可能 【答案】A【解析】抛物线变形为214y x =，则1'2y x =，设200(,)4x A x ，则001'|2x x y x == 所以切线方程为20001()42x y x x x -=-，令0y =得02xx =，即0(,0)2x B而(0,1)F ，所以0(,1)2x FB =-，200(,)24x x BA =， 所以20000224x x x FB BA ⋅=⨯-=，所以AB FB ⊥，即ABF 一定是直角，故选A 【考点】 抛物线 【难度】 38．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料． 若下面4个说法都是正确的： ①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料； ③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断 A ．甲在打印材料 B ．乙在批改作业 C ．丙在写教案 D ．丁在打印材料【答案】A【解析】如果甲不打印材料，即甲在批改作业，那么两就不在查资料，即丙在写教案，此时批作业与写教案均有人在干，而乙只能批作业或写教案，所以矛盾；故甲只能在打印材料，故选A 【考点】 合情推理 【难度】 ３第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．设i 为虚数单位，则i(1i) ．【答案】1+i【解析】 2(1)1i i i i i -=-=+ 【考点】 复数综合运算 【难度】 110．若中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(0,2)F ，一条渐近线的方程是0x y -=，则双曲线C 的方程为 ． 【答案】222y x -=【解析】由已知双曲线焦点在y 轴，且2c =，1ab= 即224a b a b ⎧+=⎨=⎩，所以222a b ==，所以双曲线方程为22122y x -=，即222y x -=【考点】 双曲线 【难度】 211．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的体积为 ；表面积为 ． 【答案】23；35【解析】 四棱锥的直观图如图所示，底面ABCD 为边长为1的正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB =， 所以体积为1211233V =⨯⨯⨯=； 因为2PB =，1AB =，PB AB ⊥，所以PA =1121122PBA S PB PA ∆=⋅=⨯⨯=； 因为PB BC ⊥，1121122PBC S PB BC ∆=⋅=⨯⨯=；俯视图正视图侧视图DCBAP因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AD ⊥，即AD PB ⊥，又因为AD AB ⊥，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD PA ⊥，所以11515222PAD S AD PA ∆=⋅=⨯⨯=； 因为2PB =，1BC =，PB BC ⊥，所以5PC =，因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB CD ⊥，即CD PB ⊥，又因为CD BC ⊥，所以CD ⊥平面PBC ，所以CD PC ⊥，所以11515222PAD S CD PC ∆=⋅=⨯⨯=；又因为底面积为111⨯= 所以表面积为551113522++++=+ 【考点】 点线面的位置关系 【难度】 2 12. 已知在ABC 中，4C π=，3cos 5B =，5AB ，则sin A ；ABC 的面积为 ．【答案】7210；14 【解析】 因为3cos 5B =，所以4sin 5B =，因为4C π=，所以2sin 2C =，2cos 2C =，所以[]423272sin sin ()sin()sin cos cos sin 525210A ABC B C B C B C =-+=+=+=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin BC ABA C =，所以572sin 7sin 1022AB BC A C =⋅=⨯= 所以114sin 5714225ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯= 【考点】 解三角形 【难度】 3 13．在圆C ：222(2)8x y内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 . 【答案】46【解析】 由已知AB 为直径，42AB = DE AB ⊥，22(21)(20)5CP =-+-=，22CE =，所以223PE CE CP =-=，所以23DE =四边形ADBE 的面积11112342462222PDE ADE S S S DE PA DE PB DE AB ∆∆=+=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= 【考点】 圆的标准方程 【难度】 314．关于函数1()42x f x =+的性质，有如下四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 的值域为(0,)；③方程()f x x =有且只有一个实根； ④函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①③④【解析】由420x +≠得定义域为R ，故①正确； 因为422x +>，所以110422x<<+，即值域为1(0,)2，故②错误； 由()f x x =得142xx =+，即142x x=+，因为函数1y x =与42xy =+的图象只有一个交点，所以方程()f x x =只有一个根，故③正确；因为1111114241()(1)442424242424424224x x x x x x x x xf x f x -++-=+=+=+==+++++⋅+⋅+ 所以()f x 的图象关于点11(,)24成中心对称，故④正确 所以正确命题的序号是①③④ 【考点】 函数的性质 【难度】 4三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=． （Ⅰ）求函数)(x f 在区间π[,π]2上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x ，求0x 的值．【答案】见解析【解析】解：2()cos cos )sin f x x x x x =+-22cos cos sin x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2)6x π=+．（Ⅰ）因为[,]2x π∈π，所以7132[,]666x πππ+∈，所以1sin(2)[1,]62x π+∈-， 所以，当且仅当13266x ππ+=，即x =π时，max ()1f x =．（Ⅱ）依题意，02sin(2)26x π+=，所以0sin(2)16x π+=．又0(0,2)x ∈π，所以0252(,)666x ππ+∈π， 所以0262x ππ+=或05262x ππ+=，所以06x π=或076x π=．【考点】 三角函数的图象与性质 【难度】 316．（本小题满分13分）已知递增的等差数列{}n a （*n N ）的前三项之和为18，前三项之积为120．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b （*n N ）从左至右依次都在函数23xy的图象上，求这n个点123,,A A A ,…,n A 的纵坐标之和． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）依题意，设数列n a 的公差为(0)d d．由12318a a a ，可得26a ，则16a d ，36a d ．由前三项之积为120可得，(6)6(6)120d d ，解得4d.舍负得4d =. 所以 42na n ．（Ⅱ）由于点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b 依次都在函数23x y的图象上，且42na n ，所以213n nb ．所求这n 个点123,,A A A ,…，n A 的纵坐标之和即为数列n b 的前n 项和n T ． 由于19n nb b ，所以数列n b 为以3为首项，9为公比的等比数列．所以 3193(91)198n nnT ． 【考点】 等差数列；等比数列 【难度】 317．（本小题满分13分）某学科测试，要求考生从,,A B C 三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择,,A B C 题作答的人数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A 题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择,BC 题作答的试卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择,,A B C 题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择,,A B C 题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得，试卷的抽出比例为31=18060， 所以应从选择B 题作答试卷中抽出2份，从选择C 题作答试卷中抽出2份．（Ⅱ）记在（Ⅰ）中抽出的选择A 题作答的试卷分别为123,,a a a ，其中12,a a 得优；选择B 题作答的试卷分别为12,b b ，其中12,b b 得优；选择C 题作答的试卷分别为12,c c ，其中1c 得优．从123,,a a a ，12,b b 和12,c c 中分别抽出一份试卷的所有结果如下：111{,,}a b c 112{,,}a b c 121{,,}a b c 122{,,}a b c 211{,,}a b c 212{,,}a b c 221{,,}a b c 222{,,}a b c 311{,,}a b c 312{,,}a b c 321{,,}a b c 322{,,}a b c所有结果共有12种可能，其中3份都得优的有111{,,}a b c 121{,,}a b c 211{,,}a b c 221{,,}a b c ，共4种．设“从被抽出的选择,,A B C 题作答的的试卷中各随机选1份，这3份试卷都得优”为事件M ，故所求概率41123P ==．【考点】 抽样；古典概率【难度】 318．（本小题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点．（Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ； （Ⅱ）求证：AD BM ⊥；（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：①l 平面BCD ；②//l AM ．请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）证明：由已知，DA DM =．因为点O 是线段AM 的中点， 所以DO AM ⊥．又因为平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM平面ABCM AM =，DO ⊂平面ADM ，所以DO ⊥平面ABCM ． 因为DO ⊂平面DOB ， 所以平面DOB ⊥平面ABCM ．（Ⅱ）证明：因为在矩形ABCD 中，2AB AD =,且M 为CD 的中点，所以AM BM AB ===， 所以AM BM ⊥．由（Ⅰ）知，DO ⊥平面ABCM ， 因为BM ⊂平面ABCM ， 所以DO BM ⊥．因为DO ⊂平面ADM ,AM ⊂平面ADM ，且DO AM O =，所以BM ⊥平面ADM ． 而AD ⊂平面ADM ， 所以AD BM ⊥．ABCMDOABCMD（Ⅲ）过D 点不存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：（1）l平面BCD ； （2）//l AM ．理由如下：（反证法）假设过D 点存在一条直线l 满足条件， 则因为//l AM ，l平面ABCM ，AM ⊂平面ABCM ，所以//l 平面ABCM ． 又因为l平面BCD ，平面ABCM平面BCD BC =，所以//l BC .于是//AM BC ，由图易知AM ，BC 相交，矛盾. 所以，不存在这样的直线l ． 【考点】 立体几何综合 【难度】 319．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2214x y ,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且90AOB．（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB 的面积；（Ⅱ）若直线l 始终与圆222(0)x y r r相切，求r 的值．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)不妨设直线l 在x 轴的上方，则,A B 两点关于y 轴对称.设11(,)A x y ，11(,)B x y 11(0,0)x y ，则11(,)OAx y ，11(,)OB x y ．由90AOB ，得0OA OB，所以2211y x ．又因为点A 在椭圆上，所以221114x y ．由于10x ，解得1255x ，1255y ，则 22(5,55A ，B ． 所以1452542555OABS． （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为ykxm ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立方程组 22,4 4.y kx m x y 整理得222(41)8440k x kmx m ． 由方程的判别式0，得22410k m ， （※） 则 122841km x x k ，21224441m x x k ． 由90AOB，得0OA OB ，即12120x x y y ， 而1212()()y y kx m kx m ， 则2212121212(1)()0x x y y k x x mk x x m ． 所以 2222244(8)(1)04141m km k mk m k k ． 整理得 225440mk ， 把22454k m 代入（※）中，解得 234m 而224540k m ，所以 245m ，显然满足234m ． 直线l 始终与圆222x y r 相切，得圆心(0,0)到直线l 的距离d 等于半径r ． 则22221m r d k ，由224455m k ，得245r ， 因为0r ，所以255r． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为255x ，此时，直线l 与圆2245x y 相切，255r ． 综上所述255r ． 【考点】 圆锥曲线综合【难度】 420．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x a x x ，其中0a ． （Ⅰ）当1a 时，判断()f x 在区间π[0,]4上的单调性； （Ⅱ）当01a 222()21af x t at 对于x π[0,]4恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】见解析【解析】解：(Ⅰ)因为1a ，π[0,]4x ， 所以()cos sin cos sin 0f x a x xx x ． 故()f x 在区间π[0,]4上是单调递增函数．（Ⅱ）令()0f x ，得cos sin a x x ， 因为在区间π[0,]4上cos 0x，所以tan a x ． 因为(0,1)a，tan [0,1]x ， 且函数tan y x 在π[0,]4上单调递增， 所以方程tan a x 在π(0,)4上必有一根，记为0x ， 则000()cos sin 0f x a x x ． 因为()cos sin f x a x x 在π[0,]4上单调递减， 所以，当0(0,)xx 时，0()()0f x f x ； 当0(,)4x x 时，0()()0f x f x ．所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0π(,)4x 上单调递减，所以max000()()sin cos f x f x a x x ． 又因为00cos sin a x x ，且2200sin cos 1x x ， 所以220(1)cos 1a x ，2021cos 1x a ， 故22max00()()(1)cos 1f x f x a x a ． 依题意，(0,1)a 2222121aa t at 恒成立，即(0,1)a 时，2(2)20t a t ，恒成立． 令2()(2)2h a =t a t ，则 (0)0,(1)0,h h 即2220,0.t t t 解得 1t 或0t ．【考点】导数的综合应用【难度】 4。
北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 2015．1 （考试时间120分钟满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长为 A． B． C． D．无法确定 3．设函数的图象为，下面结论中正确的是 A．函数的最小正周期是 B．图象关于点对称 C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D．函数在区间上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 A．．C． D．表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，，则的最大值是 A． B． C． D． 7．点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 A． B． 3 C． D．2 8.设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是（） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是．（）的离心率是；渐近线方程是．表示平面区域为，在区域内随机取一点，则点落在圆内的概率为． 12．有一口大钟每到整点就自动以报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声 (12)响12声，且每次报时时相邻两次之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待秒才能确定．的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．14．已知函数．下列命题：①函数既有最大值又有最小值；②函数的图象轴对称；③函数在区间上零点；④函数在区间上单调递增． 其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）15．40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”. （Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 1 6．中，底面是正方形，侧面底面，，点是的中点，点在边上移动． （Ⅰ）若为中点，求证：//平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由. 17．（本小题满分13分） 若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”． （Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和； （Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，. 18．（本小题满分13分） 设函数． 时,求函数的单调区间； （Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围． 19．（本小题满分14分） 已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由． 20．（本小题满分13分） 已知函数，，，,且． （Ⅰ）当，，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值； （Ⅱ）求证：方程有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由． E A F B C P D 年龄 0.02 0.03 0.01 70 80 60 50 40 30 20。
北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习数学文试题
2012届高三年级第二次综合练习数学（文）试题（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项： 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{0,1234,5}{12}U A ==，，，，，，{}2540B x x x =∈-+<Z ，则()U A B = ðA ．{0,1,2,3}B ．{5}C ．{124}，，D ．{0,4,5}2．在复平面内，复数i2iz =-对应的点所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如果命题“p 且q ”是假命题，“q ⌝”也是假命题，则 A ．命题“⌝p 或q ”是假命题 B ．命题“p 或q ”是假命题 C ．命题“⌝p 且q ”是真命题 D ．命题“p 且q ⌝”是真命题4．已知△ABC 中，2AB = ， 3AC = ，0AB AC ⋅< ，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠=A ．150B ．120C ．60 或120D ．30 或1505．已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为A ．6B ．2C ．32 D ．346．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为A ．61B ．23 C ．32+D ．32 7． 给出下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q R x ∃∈，使得2log (1)0x +<；:r 已知向量(1)λ，=a ，2(1),λ=-b ，(11)-，=c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-．其中所有真命题是A ．qB ．pC ．,p rD ．,p q8．已知函数22, ,()42, x m f x x x x m>⎧=⎨++≤⎩的图象与直线y x =恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．[1,2)-C ．[1,2]-D ．[2,)+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．正视图俯视图侧视图9．函数2cos y x =，[0,2]x ∈π的单调递增区间是 ． 10．运行如图所示的程序框图，输出的结果是 ．11．直线3y kx =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于,A B 两点，若AB =，则实数k的值是 ． 12．若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 ．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x ()x *∈N 件．当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）14．在给出的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，1,1,1,(,)i j i j i j a a a i j *+++=+∈N ，则此数表中的第2行第7列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22，39，⋅⋅⋅为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x m =-+()m R ∈的图象过点(,0)12M π． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若co s c o s 2c o s c B b C a B+=，第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 … … …求()f A 的取值范围．16．（本小题满分13分） 高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生．已知该班希望生有2名． （Ⅰ）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率； （Ⅱ）当a =11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；（Ⅲ）从分数在（70,90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率．17．（本小题满分13分） 如图，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ，=4,=2,=1AB AE EF ．（Ⅰ）求证：⊥BC AF ； （Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ； （Ⅲ）试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂 直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．B18．（本小题满分14分） 设函数22()ln (0)a f x a x a x=+≠． （Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-．19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到两点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之和为E 的轨迹为曲线C ． （Ⅰ）写出曲线C 的方程；（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的斜率为k （0k ≠）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M ,N ，点P 在y 轴上，且PM PN =，求点P 纵坐标的取值范围． 20．（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a ，(*,2)n N n ∈≥满足01==n a a ，且当nk ≤≤2（k ∈*N ）时，1)(21=--k k a a ．令12()n n S A a a a =++⋅⋅⋅+． （Ⅰ）写出)(5A S 的所有可能取值；（Ⅱ）求)(n A S 的最大值．数学试卷答案（文史类）二、填空题：注：若有两空，则第一个空3分，第二个空2分. 三、解答题： （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1()2(cos 21)22f x x x m =-++1sin(2)62x m π=--+． ……3分由已知点(,0)12M π在函数()f x 的图象上，所以1sin(2)01262m ππ⋅--+=， 12m =. ………5分 (Ⅱ) 因为cos cos 2cos c B b C a B +=，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin()2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =. ………7分 因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =， ………8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ………10分所以2π03A <<，π26A -∈7(,)66ππ-， ………11分 所以()f A =sin(2)6A π-∈1(,1]2-. ………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A ，则4057()408P A -==. 答：从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为78. ………3分 （Ⅱ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B ，则当11a =时，成绩优秀的学生人数为40511159---=，所以9()40P B =.答：从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为940. ………7分（Ⅲ）设“从分数在(7090),的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事 件C .记这5名学生分别为a ,b ,c ,d ,e ，其中希望生为a ,b .从中任选2名，所有可能的情况为：ab , ac , ad , ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种. ………9分其中恰有1名希望生的情况有ac , ad , ae ，bc ，bd ，be ，共6种. ………11分 所以63()105P C ==. 答：从分数在(7090),的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为35. ………13分 （17）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . ………2分 由已知得⊥AB BC 且= EA AB A ，所以⊥BC 平面EABF . ………3分又AF ⊂平面EABF ,所以⊥BC AF . ………4分 （Ⅱ）过M 作MN BC ⊥,垂足为N ，连结FN ,则MN //AB . .………5分又14CM AC =,所以14MN AB =. 又EF //AB 且14EF AB =,所以EF //MN ..………6分且EF MN =,所以四边形EFNM 为平行四边形.………7分所以EM //FN .又FN ⊂平面FBC ,EM ⊄平面FBC ,所以//EM 平面FBC . ………9分 （Ⅲ）直线AF 垂直于平面EBC . ………10分证明如下：由（Ⅰ）可知，AF BC ⊥.在四边形ABFE 中，=4,=2,=1AB AE EF ，90BAE AEF ∠=∠=，所以1tan tan 2EBA FAE ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠. 设AF BE P = ,因为90PAE PAB ∠+∠= ,故90PBA PAB ∠+∠=则90APB ∠=,即⊥EB AF . ………12分 又因为= EB BC B ，所以⊥AF 平面EBC . ………13分 （18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为{|0}x x >, . ………1分222()a a f x x x'=-. ………2分根据题意，(1)23f a '=-，所以2223a a a -=-，即2210a a -+=，解得1a =. .………4分（Ⅱ）2222(2)()a a a x a f x x x x-'=-=. （1）当0a <时，因为0x >，所以20x a ->，(2)0a x a -<，所以()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ………6分 （2）当0a >时，若02x a <<，则(2)0a x a -<，()0f x '<，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减； 若2x a >，则(2)0a x a ->，()0f x '>，函数()f x 在(2,)a +∞上单调递增. …8分 综上所述，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增. ………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知2()ln f x x x=+. 设()()(3)g x f x x =--，即2()ln 3g x x x x=++-. 2222122(1)(2)()1(0)x x x x g x x x x x x+--+'=-+==>. ………10分 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：1x =是()g x 在(0,)+∞上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()g x 的最小值点.可见()(1)0g x g ==最小值， .………13分 所以()0g x ≥，即()(3)0f x x --≥，所以对于定义域内的每一个x ，都有()3f x x ≥-. ………14分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题设知1212||||||EF EF F F +=>,根据椭圆的定义，E 的轨迹是焦点为1F ，2F，长轴长为设其方程为222210x y (a b )a b+=>>则1c =，a =1b =，所以C 的方程为2212x y +=. ………5分 （II ）依题设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得， 2222(21)4220k x k x k +-+-= . 2880k ∆=+>. ………6分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+ ..………7分 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21QQ k y k x k =-=-+，即2222(,)2121k kQ k k -++. ………8分 因为0k ≠，所以直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++， ……9分 令0x =解得，211212P k y k k k==++， .………10分当0k >时，因为12k k +≥04P y <≤； .………12分当0k <时，因为12k k +≤-04P y -≤<. .………13分综上得点P 纵坐标的取值范围是[(0,44-. .………14分 （20）（本小题满分13分） 解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有：（1）01210,,,,.此时5()=4S A ；（2）01010,,,,.此时5()=2S A ；（3）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（4）01210,,,,.---此时5()=4S A -；（5）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（6）01010,,,,.--此时5()=2S A -.所以，)(5A S 的所有可能取值为：4-，2-，0，2，4． .………5分 （Ⅱ）由1)(21=--k k a a ，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（n k ≤≤2，k ∈*N ），211a a c -=，322a a c -=，…11n n n a a c ---=，所以1121n n a a c c c -=++++ ． ………7分 因为01==n a a ，所以1210n c c c -+++= ，且n 为奇数，121,,,n c c c - 是由21-n 个1和21-n 个1-构成的数列． 所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++ ． 则当121,,,n c c c - 的前21-n 项取1，后21-n 项取1-时)(n A S 最大， 此时)(n A S 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++ 2(1)4n -=．.……10分 证明如下：假设121,,,n c c c - 的前21-n 项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，则 121,,,n c c c - 的后21-n 项中恰有t 项12,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤，112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t = ． 所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++ 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++ 122[()()()]t n m n m n m --+-++- 122[()()()]t n n n n n n +-+-++- 221122(1)(1)2[()()()]44t t n n n m n m n m --=--+-+⋅⋅⋅+-<．所以)(n A S 的最大值为2(1)4n -． .………13分。
北京市朝阳区2015届高三上学期期中统一考试文科数学试卷(解析版)
2014-2015学年度???学校12月月考卷一、选择题1．已知集合{}{}2+20,0A x x x B x x =-<=>,则集合AB 等于（ ）A ．{}2x x >- B ．{}01x x << C ．{}1x x < D ．{}21x x -<< 【答案】B 【解析】 试题分析：试题分析：{}{}{}2+2021,0A xx xx B x x =-<=-<=>;A B ∴{}01x x <<． 考点：集合的交集运算．2．要得到函数πtan()6y x =+的图象，只要将函数tan y x =的图象（ ） A ．向右平移π3个单位 B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位【答案】D【解析】试题分析：将函数tan y x =的图象向左平移π6个单位，得到πtan()6y x =+，故选D ． 考点：三角函数图象平移．3．“1a >”是“函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：∵ 2'()30f x x =≥，∴a 无论取何值，函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数，∴“1a >”是“函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数” 充分不必要条件．考点：1导数在函数单调性中的应用；2．充分必要条件的判断． 4．执行如图所示的程序框图，则输出的b 值等于（ ）A ．3-B ．8-C ．15-D ．24- 【答案】B 【解析】试题分析：执行程序框图，第一次循环后，b=0，a=3；第二次循环后，b=-3，a=5；第三次循环后，b=-8，a=8；此时a=8不满足条件a ＜7，输出b 的值为-8．故选：B ． 考点：程序框图．5．如图，点D 是线段BC 的中点，6BC =，且A B A C A B A C +=-，则AD = （ ）DA．6 B ．．3 D ．32【答案】C【解析】试题分析： ||AB AC AB AC +=-，AB AC ⊥∴，即△ABC 为直角三角形，AD 为斜边上的中线， 则132||||AD BC ==．故选C ． 考点：平面向量加法模的几何意义．6． 已知命题p ：x ∀∈R ，20x>；命题q ：在曲线cosy x =则下列判断正确的是（ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 【答案】C 【解析】试题分析：易知，命题p 是真命题；对于命题q ：sin [1,1]y x '=-∈- [1,1]-，故命题q 为假命题；所以q ⌝为真命题；所以()p q ∧⌝ 是真命题，故选C ．考点：复合命题真假的判断．7．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流x （0100x <<）人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】B 【解析】试题分析：由题意，分流前每年创造的产值为100t （万元），分流后x 人后，每年创造的产值为()()1001 1.2%x x t -+，则由()()01001001 1.2%100x x x t t<<-+≥⎧⎨⎩，解得：5003x <<．所以x 的最大值为16． 故选：B ．考点： 函数模型的选择与应用．8．在平面直角坐标系中，ABC △顶点坐标分别为(00)A ，，(1B ，(0)C m ， ．若ABC △是钝角三角形，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．01m <<B ．0m <C ．0m <或4m >D ．01m <<或4m > 【答案】D【解析】试题分析：由(B ，得到1AE BE ==，根据勾股定理得：260AB BAE =∠=︒，， 过B 作BD AB ⊥ ，可得30ADB ∠=︒，∴24AD AB == ，即()40D ， ，则ABC 是钝角三角形时，正实数m 的取值范围是01m << 或4m >，故选：D ． 考点：余弦定理．二、填空题9．已知平面向量(2,1)=-a ，(,1)x =b ，若⊥a b ，则x = ． 【答案】12【解析】试题分析：∵⊥a b ，∴⋅a b =0，即210x -= ，得12x =． 考点：向量垂直的充要条件．10．已知3sin 5α= ，(,)2απ∈π，则cos α=_______；tan()4απ+= _______．【答案】45-；17．【解析】试题分析：∵3sin 5α=，(,)2απ∈π，∴4cos 5α==-，∴3tan 4α=-，所以tan()4απ+=311tan 141tan 714αα-+==-+． 考点：1．同角的基本关系；2．两角和的正切公式．11．已知函数()22xxf x a -=+⋅，且对于任意的x ，有()()0f x f x -+=，则实数a 的值为 ． 【答案】1- 【解析】试题分析：∵对于任意的x ，有()()f x f x -+=，∴(0)0f =，即00(0)2210f a a =+⋅=+=，∴a =1-．考点：函数奇偶性．12．已知x ，y 满足条件20,3260,20,x y x y y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩则函数2z x y =-+的最大值是 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出可行区域，如下图可知在()2,0M - 处，取到最大值，最大值为4． 考点：简单的线性规划．13． 设函数1e ,0,()sin π1,0 1.x x f x x x +⎧≤=⎨+<≤⎩若()1f m =，则实数m 的值等于 ．【答案】1-或1 【解析】试题分析：∵()1f m =，∴当0m ≤时，1()1m f m e +==，解得1m =-；当10m ≥>时，()sin 11f m m π=+=，解得1m =；故答案为1-或1．考点： 分段函数的函数值,14．已知函数()()f x x a x =-⋅的图象与直线1y =有且只有一个交点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2a >- 【解析】试题分析：当x≥0时，f （x ）=（x-a ）•|x|=（x-a ）•x，当x ＜0时，f （x ）=（x-a ）•|x|=-（x-a ）•x=-x2+ax ，若a=0，则f （x ）的图象如图：满足条件．若a ＞0，则f （x ）的图象如图：满足条件；若a ＜0，则f （x ）的图象如图：要使条件成立，则只需要当x ＜0时，函数的最大值小于1，即22144a a -<-＝ ，即24a <，解得-2＜a ＜2，此时-2＜a ＜0，综上a ＞-1，故答案为：（-1，+∞） ．考点：函数零点与方程根的关系．三、解答题15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且253619,25a a a a +=+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）31n a n =-; （Ⅱ）213422n n n +++- 【解析】试题分析：（I ）利用等差数列的通项公式可得，由253619,25,a a a a +=⎧⎨+=⎩整理得112519,2725.a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得出；（II ）利用等比数列的通项公式可知2n n n a b -=、等差数列与等比数列的前n 项和公式，采用分组求和即可求出结果．试题解析：解：（Ⅰ）由253619,25,a a a a +=⎧⎨+=⎩整理得112519,2725.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2.d a =⎧⎨=⎩所以31n a n =-． 6分（Ⅱ）因为数列{}n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列， 所以2n n n a b -=，所以312n n b n =--，所以数列{}n b 的前n 项和21(31)2(12)3422122n n n n n n n S ++-++=-=--． 13分考点： 1．等差数列与等比数列；2．分组求和．16．（本小题满分13分）已知函数1()sin cos sin(2)23f x x x x π=--． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值． 【答案】（Ⅰ）π; （Ⅱ）最大值为12；最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换公式可得1sin(2)23f x x π=+（），利用周期公式，即可可求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）[0,]2x ∈π，可知2[,]x ππ4π+∈333，进而求出11sin(2)[]232x π+∈，即可求得()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值． 试题解析：解：（Ⅰ）1()sin cos sin(2)23f x x x x π=--11sin2(sin2cos cos2sin )2233x x x ππ=--11sin 2sin 2224x x x =-1sin 224x x = 1sin(2)23x π=+． 则()f x 的最小正周期为π． 7分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，则2[,]x ππ4π+∈333．所以sin(2)[3x π+∈．所以11sin(2)[]232x π+∈． 则()f x 在[0,]2π上的最大值为12，此时232x ππ+=，即12x π=． ()f x 在[0,]2π上的最小值为，此时233x π4π+=，即2x π=． 13分．考点：1．三角恒等变换；2．函数sin()A x f x ωϕ=+（）的性质．17．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，ACB ∠为钝角，π2,6AB BC A ===．D 为AC延长线上一点，且1CD =．CB（Ⅰ）求BCD ∠的大小； （Ⅱ）求,BD AC 的长． 【答案】（Ⅰ）π4BCD ∠=; （Ⅱ）2BD =，1AC =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理求出sin ACB ∠=ACB ∠为钝角，求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可求BD 的长，然后再用余弦定理即可求出AC 的长． 试题解析：解：（Ⅰ）在ABC 中，因为π2,6AB A ==，BC = 由正弦定理可得sin sin AB BCACB A=∠，即2sin sin 62ACB ===∠所以sin 2ACB ∠=因为ACB ∠为钝角，所以3π4ACB ∠=． 所以π4BCD ∠=． 7分 （Ⅱ）在△BCD 中，由余弦定理可知2222cos BD CB DC CB DC BCD =+-⋅⋅∠，即222π1)21)cos4BD =+-⋅， 整理得2BD =．在△ABC 中，由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即222π222cos6AC AC =+-⋅⋅⋅，整理得220AC -+=．解得1AC =．因为ACB ∠为钝角，所以2AC AB <=．所以1AC =． 14分．考点：1．正弦定理的应用；2．余弦定理的应用．18．（本小题满分13分）已知函数2()21f x x ax a =--+，a ∈R ． （Ⅰ）若2a =，试求函数()f x y x=（0x >）的最小值； （Ⅱ）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2-; （Ⅱ）3[,)4+∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意得2()4114f x x x y x x x x-+===+-．然后利用基本不等式即可求得函数的最小值；（Ⅱ）由题意可知要使得“∀[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立”只要“2210x ax --≤在[0,2]恒成立”．不妨设2()21g x x ax =--，则只要()0g x ≤在[0,2]恒成立．利用二次函数的性质和图像，列出不等式解得，即可解得结果．试题解析：解：（Ⅰ）依题意得2()4114f x x x y x x x x-+===+-． 因为0x >，所以12x x +≥，当且仅当1x x=时，即1x =时，等号成立． 所以2y ≥-．所以当1x =时，()f x y x=的最小值为2-． 6分 （Ⅱ）因为2()21f x a x ax -=--，所以要使得“∀[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立”只要“2210x ax --≤在[0,2]恒成立”．不妨设2()21g x x ax =--，则只要()0g x ≤在[0,2]恒成立． 因为222()21()1g x x ax x a a =--=---， 所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即0010,4410,a --≤⎧⎨--≤⎩解得34a ≥．所以a 的取值范围是3[,)4+∞． 13分． 考点： 1．基本不等式的应用；二次函数在闭区间上的最值． 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足122(1)n n a a na n n b +++=+，n *∈N ． （Ⅰ）若11,a =22a =，求1b ，2b ； （Ⅱ）若1n n a n +=，求证：12n b >； （Ⅲ）若2n b n =，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（Ⅰ）112b =,256b =; （Ⅱ）n a =2431n n -+ (n *∈N ) 【解析】试题分析：（Ⅰ）将11,a =22a =代入122(1)n n a a na n n b +++=+，即可求出12b b ，；（Ⅱ）由1n n a n+=化简得1n na n =+，由122(1)n n a a na n n b +++=+，即可得到1312(1)2121n n b n n +=⋅=+++，即可证明结果；（Ⅲ）由122(1)n n a a na n n b +++=+，利用做差，得到11()()n n n n n a n b b b b --=-++，再将2n b n =代入，即可求数列{}n a 的通项公式．试题解析：解：（Ⅰ）当1n =时，有1121a b ==，所以112b =． 当2n =时，有1222(23)a a b +=⨯．因为11,a =22a =，所以256b =． 3分 （Ⅱ）因为1n n a n +=，所以11n n na n n n+=⋅=+．所以12(3)223(1)(1)2n n n n a a na n n n b ++++=++++==+． 所以13121(1)21212n n b n n +=⋅=+>++． 8分 （Ⅲ）由已知得122(1)n n a a na n n b +++=+ ① 当2n ≥时，12112(1)(1)n n a a n a n nb --+++-=- ②①-②得，[]1(1)(1)n n n na n n b n b -=+--，即11()()n n n n n a n b b b b --=-++．因为2n b n =，所以n a =2431n n -+（2n ≥）．当1n =时，11b =，又112a b ==2，符合上式．所以n a =2431n n -+ (n *∈N )． 14分 ．考点：1．数列与不等式的综合；2．数列的求和．20．（本小题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ÎR ．（Ⅰ）若0a =，对于任意的(0,1)x Î，求证：1()0f x e -?；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）21a e >-【解析】试题分析：（Ⅰ） 当0a =时，()ln f x x x =，对函数进行求导，求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值，又由于(0,1)x Î，ln 0x <，即可得到结论；（Ⅱ）由ln ()x x x a f x x +-¢=，设()l n g x x x x a =+-．令()l n 0g x x x x a =+-=，即ln a x x x =+，设函数()ln h x x x x =+．求出()ln 20h x x ¢=+=的解为2e x -=．然后再利用导数 求出函数的单调区间和函数的极值，即可求出结果．试题解析：解：(Ⅰ) 当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x ¢=+． 令()ln 10f x x ¢=+=，解得1e x =． 当1(0,)e x Î时，()0f x ¢<，所以函数()f x 在1(0,)e 是减函数；当1(,)e x ? 时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在1(,)e + 为增函数． 所以函数()f x 在1e x =处取得最小值，11()e ef =-． 因为(0,1)x Î，ln 0x <，所以对任意(0,1)x Î，都有()0f x <． 即对任意(0,1)x Î，1()0e f x -?． 6分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+ ． 又ln ()x x x a f x x+-¢=,设()ln g x x x x a =+-． 令()ln 0g x x x x a =+-=，即ln a x x x =+，设函数()ln h x x x x =+．令()ln 20h x x ¢=+=，则2e x -=． 当21(0,)e x Î时，()0h x ¢<，所以()h x 在21(0,)e上是减函数； 当21(,)e x ? 时，()0h x ¢>，所以()h x 在21(,)e+ 上是增函数； 所以min 2211()()e e h x h ==-．则()0,x ∈+∞时，1()eh x ≥-． 于是，当21e a ?时，直线y a =与函数()ln h x x x x =+的图象有公共点， 即函数()ln g x x x x a =+-至少有一个零点，也就是方程()0f x ¢=至少有一个实数根． 当21e a =-时，()ln g x x x x a =+-有且只有一个零点， 所以ln ()0x x x a f x x+-¢= 恒成立，函数()f x 为单调增函数，不合题意，舍去． 即当21e a >-时，函数()f x 不是单调增函数． 又因为()0f x ¢<不恒成立， 所以21e a >-为所求． 13分． 考点： 1．利用导数研究函数的单调性．2．导数在证明不等式中的应用．。
北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习英语试题word版 含答案
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习英语试卷2015.5（考试时间120分钟满分150分）本试卷共12页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话或独白后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话或独白你将听一遍。
例：What is the man going to read?A．A newspaper.B．A magazine.C．A book.答案是A。
1. How does the woman usually keep in touch with her friends?A. By letter.B. By telephone.C. By email.2. What does the woman want the man to do?A. To play games.B. To read a book.C. To work all the time.3. What does the man advise the woman to do?A. To go and ask the staffB. To get a new bus schedule.C. To read the notice on the window.4. What’s the probab le relationship between the two speakers?A. Boss and secretary.B. Doctor and patient.C. Interviewer and interviewee.5. Which hat does the woman want to buy?A B C第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）听下面4段对话或独白。
2015届高三阶段性诊断考试(二模)数学(文)试题 Word版含答案
高三阶段性诊断考试试题文 科 数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()11z i +=（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是A. 12i+B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2.设{}{}21,,2,xP y y x x R Q y y x R ==-+∈==∈，则A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. R C P Q ⊆D. R Q C P ⊆3.设命题21:32,:02x p x x q x --+<0≤-，则p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中甲种产品有20件，则n= A.50 B.100 C.150 D.2005.已知不共线向量,,,a b a b a b a b a ---+r r r r r r r r r则与的夹角是A.2πB.3π C.4π D.6π 6. ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=A.4B. 4-C.34D. 34-7.设函数()()()01xx f x a ka a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为A.B.C.2D. 3π9.已知函数()()f x x R ∈满足()()11,1f f x '=<且，则不等式()2211f g x g x <的解集为A. 10,10⎛⎫⎪⎝⎭B. ()10,10,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D. ()10,+∞10.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 做与x 轴垂直的直线交两渐近线于A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若()4,,25OP OA OB R λμλμλμ=+=∈uu u r uu r uu u r ，则双曲线的离心率e 是A.B.C.52D.54二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若x,y都是锐角，且1sin tan ,3x y x y ==+=则_________. 12.在边长为2的正方形ABCD 的内部任取一点M ，则满足90AMB ∠>的概率为___________（结果保留π）. 13.已知0,0a b >>，方程为22420x y x y +-+=的曲线关于直线10ax by --=对称，则2a bab+的最小值为________.14.已知抛物线24y x =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是_____.15.已知数列{}n a 满足()()11,log 12,n n a a n n n N *==+≥∈.定义：使乘积12k a a a ⋅⋅⋅⋅为正整数的()k k N*∈叫做“易整数”.则在[]1,2015内所有“易整数”的和为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. （本小题满分12分）已知向量()cos ,cos ,3sin cos ,2sin 6m x x n x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()f x m n =⋅u r r.（I ）求函数()f x 的的对称轴方程；（II ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，当[]0,x π∈时，求函数()g x 的单调递增区间.17. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90,2,3,//A B AD BC EF AB ∠=∠===，且AE=1，M,N 分别是FC,CD 的中点.将梯形ABCD 沿EF 折起，使得1,BM =连接AD,BC,AC 得到（图2）所示几何体.（I ）证明：BC ⊥平面ABFE ； （II ）证明：AF//平面BMN.18. （本小题满分12分）已知函数()()()log 01,,2m n f x x m m a n =>≠且点在函数()f x 的图象上. （I ）若()n n n b a f a m =⋅=，当时，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （II ）设2lg n n n c a a =⋅，若数列{}n c 是单调递增数列，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分） 某超市举办促销活动，凡购物满100元的顾客将获得3次模球抽奖机会，抽奖盒中放有除颜色外完全相同的红球、黄球和黑球各1个，顾客每次摸出1个球再放回，规定摸到红球奖励10元，摸到黄球奖励5元，摸到黑球无奖励.（I ）求其前2次摸球所获奖金大于10元的概率； （II ）求其3次摸球获得奖金恰为10元的概率.20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1，离心率为2.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 交于A,B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=uu r uu u r uu u r（O 为坐标原点），当PA PB -<uu r uu r 时，求实数t 的取值范围.21. （本小题满分14分） 已知函数()()()2121,ln 23f x x k x kg x x x =+--+=. （I ）若函数()g x 的图象在（1，0）处的切线l 与函数()f x 的图象相切，求实数k 的值； （II ）当0k =时，证明：()()0f x g x +>；（III ）设()()()(),h x f x g x h x '=+若有两个极值点()1212,x x x x ≠，且()()1272h x h x +<，求实数k 的取值范围.。
北京市朝阳区2015届高三保温练习(二)数学【理】试题及答案
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16．（本小题满分 13 分） 根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在
0 50 ，各类人群可正常活动．某
市环保局在 2014 年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽
取 50 个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为
0,10 , 10,20 , 20,30 , 30,40 , 40,50 ，由此得
17．（本小题满分 14 分）
如图， 在三棱锥 P - ABC 中， PA 平面 ABC ，2AC 2BC PC 2 ， AC F 分别为 AC 、 AB 、 AP 的中点， M 、 N 分别为线段 PC 、 PB 上的动点，且有 (Ⅰ )求证： MN 平面 PAC ；
BC ， D 、 E 、 MN / / BC ．
A． A B
B． A B
C． A B
D． A B
2．下列函数中，在区间 ( 1,1)内有零点且单调递增的是（
）
A. y log 1 x
2
B. y 2x -1
C. y x2 1 2
D. y 2 x
3．如图所示的程序框图，若输入
x
1 2
，
则输出的结果
S
（
）
A． 2
1
B．
4
C． 1
D．1
开始
是
S 2x
输入 x 否
D. （ a + e ） （ a e ）
第二部分（非选择题 共 110分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ． 把答案填在答题卡上 ．
2 bi
9．已知 b 为实数， i 为虚数单位，若
北京市东城区2015届高三二模考试数学文试卷 Word版含答案
北京市东城区2014-2015学年度第二学期综合练习（二） 高三数学（文科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分） 一、选择题（共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的（1）已知全集，集合，，如图阴影部分所表示的集合为 （B） （C）（D） （2）若复数为纯虚数，则实数的值为 （A）（B） （C）（D） （3）已知圆的方程为那么圆心坐标为A）（B）（C）（D） （4）设点,则“且”是“点在直线上”的A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （5）设，，,则，，的大小关系是C （A）（B） （C）（D） （6）若一个底面是正三角形的三棱柱的如图所示，则其侧面积等于A）（B） （C）（D） （7），满足不等式组则的最大值为 （A）（B） （C）（D） （8）已知正方体的棱长为,，分别是边，的中点,点是上的动点,过点，，的平面与棱交于点,设,平行四边形的面积为,设,则关于的函数的解析式为 （A）， （B） （C） （D），第二部分（非选择题9）已知抛物线上一点，则，点到抛物线的焦点 （10）在△中，已知，那么 . （11）的最大值为2）若非零向量满足，则向量与的夹角为3），的两个的零点为，，且方程有两个不同的实根，．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数． （14）如图,△是边长为的正三角形,以为圆心,为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于的长为为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于的长为为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于记弧的长为 . 如此继续以为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交延长线于记弧的长为，当弧长时， . 三、解答题共6小题，共80分。
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北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试（文史类）
2015．5
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
1．设集合A {}(1)(2)0x x x =--?，集合{}1B x x =<，则A B =U
A ．Æ
B ．{}1x x =
C ．{}12x x
＃ D ．{}12x x -<?
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是 A ．π4 B ．π8 C ．π16 D ．π32
3．实数x ，y 满足不等式组0,
0,2,x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数3z x y =+的最小值是
A ． 12-
B ． 8-
C ． 4-
D ．0
4. 已知非零平面向量a ，b ，则“a 与b 共线”是“a +b 与-a b 共线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
n =n +2 3
5．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 A ．0
B ．1-
C ．12-
D ．32
-
6.函数11,()lg ,1,x f x x
x ìï-?ï=íï³ïî的零点个数是 A. 0 B.1 C.2 D.3
7．已知点A 为抛物线:C 24x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF Ð
A ．一定是直角
B ．一定是锐角
C ．一定是钝角
D ．上述三种情况都可能 8．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项
工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料． 若下面4个说法都是正确的： ①甲不在查资料，也不在写教案； ②乙不在打印材料，也不在查资料； ③丙不在批改作业，也不在打印材料； ④丁不在写教案，也不在查资料．
此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断 A ．甲在打印材料 B ．乙在批改作业 C ．丙在写教案 D ．丁在打印材料
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．设i 为虚数单位，则i(1i)-= ．
10．若中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(0,2)F -，
一条渐近线的方程是0x y -=，则双曲线C 的方程为 ．
11．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥 的体积为 ；表面积为 ．
12. 已知在ABC D 中，4C p =
，3
cos 5
B =，5AB =，则sin A = ；AB
C
D 的面积为 ．
13．在圆C ：()2
22(2)8x y -+-=内，过点(1,0)P 的最长的弦为AB ，
最短的弦为DE ，则四边形ADBE 的面积为 . 14．关于函数1
()42
x f x =
+的性质，有如下四个命题： ①函数()f x 的定义域为R ； ②函数()f x 的值域为(0,)+?； ③方程()f x x =有且只有一个实根； ④函数()f x 的图象是中心对称图形． 其中正确命题的序号是 ．
俯视图
正视图
侧视图
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知函数x x x x x f 2sin )cos sin 32(cos )(-+⋅=． （Ⅰ）求函数)(x f 在区间π
[,π]2
上的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若0()2,f x =且0(0,2π)x Î，求0x 的值．
16．（本小题满分13分）
已知递增的等差数列{}n a （*
n N Î）的前三项之和为18，前三项之积为120． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若点111(,)A a b ，222(,)A a b ，…，(,)n n n A a b （*
n N Î）从左至右依次都在函数2
3x y =的图象上，求这n 个点123,,A A A ,…,n A 的纵坐标之和．
17．（本小题满分13分）
某学科测试，要求考生从,,A B C 三道试题中任选一题作答．考试结束后，统计数据显示共有420名学生参加测试，选择,,A B C 题作答的人数如下表：
（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从420份试卷中抽出若干试卷，其中从选择A 题作答的试卷中抽出了3份，则应从选择,B C 题作答的试卷中各抽出多少份？
（Ⅱ）若在（Ⅰ）问被抽出的试卷中，选择,,A B C 题作答得优的试卷分别有2份，2份，1份．现从被抽出的选择,,A B C 题作答的试卷中各随机选1份，求这3份试卷都得优的概率．
18．（本小题满分14分）
如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =,M 为CD 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．点O 是线段AM 的中点． （Ⅰ）求证：平面DOB ⊥平面ABCM ； （Ⅱ）求证：AD BM ⊥；
（Ⅲ）过D 点是否存在一条直线l ，同时满足以下两个条件：
①l Ì平面BCD ；②//l AM ．请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：22
14x y +=,O 为坐标原点，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且
90AOB
?o ．
（Ⅰ）若直线l 平行于x 轴，求AOB D 的面积；
（Ⅱ）若直线l 始终与圆222(0)x y r r +=>相切，求r 的值．
20．（本小题满分13分）
已知函数()sin cos f x a x x =+，其中0a >． （Ⅰ）当1a ³时，判断()f x 在区间π
[0,]4
上的单调性； （Ⅱ）当01a <<
2()2f x t at <++对于x ∈π
[0,]4恒成立，求实数t
的取值范围．
A
B
C
M
D
O
A
B
C
M
D。