第十一届中环杯五年级初赛详解
第十届中环杯数学思维能力训练五年级选拔赛解析
二、动手动脑题： 1、有一种自行车，前轮的周长是 280 厘米，后轮的周长是 200 厘米。小明骑这种自行车从 甲地到乙地去，后轮比前轮多转 1000 圈。甲、乙两地相距多少米？ 【考点】行程问题。 【解析】前轮的周长是 280 厘米，后轮的周长是 200 厘米，那么相同的路程，前轮转的圈数 和后轮转的圈数的比是 200 : 280 5: 7 。 又知道后轮比前轮多转 1000 圈，那么前轮转了1000 7 5 5 2500 圈。 所以甲、乙两地相距 280 2500 100 7000 米。 注：本题仍然可以用列方程解应用题的方法来快速解决。 2、公司里有一台自动售货机为员工提供可乐，每天有专人负责补充可乐，且每天补充可乐 的数量是相同的。如果公司有 5 个员工，那么 30 天后自动售货机内的可乐正好卖完；如果 公司有 6 个员工，那么 20 天后自动售货机内的可乐正好卖完。已知每个员工每天买的可乐 数量也是相同的。 如果 4 个员工买了 30 天后,又新招入 2 个员工， 那么所有的可乐几天后卖 完？ 【考点】牛吃草问题。 【解析】对于这样一类既有补充、又有消耗的问题，我们要能够快速联想到牛吃草问题。
2、一个七位数 20a0b9c 是 33 的倍数，那么 a b c =（7）。 【考点】数论之整除判定。 【解析】 33 3 11，即 20a0b9c 既能被 3 整除，也能被 11 整除。
20a0b9c 能被 3 整除： a b c 11 能被 3 整除，即 a b c 1 mod 3 20a0b9c 能被 11 整除： a b c 2 9 能被 11 整除，即 a b c 7 mod11
又 a b c 27 ，经尝试，有 a b c 7 。 3、美术老师要在一张长 12 分米、宽 84 厘米的纸上裁出同样大小的正方形手工纸若干张， 且没有纸剩下，那么每张正方形手工纸的边长最大是（12）厘米，一共能够裁出（70）张这 样的手工纸。 【考点】数论之最大公约数。 【解析】显然，边长最大是长和宽的最大公约数： 120,84 12 厘米。 一共能够裁出 120 84 12 12 70 张。 4、自然数 12321，90009，41014⋯⋯它们都有一个共同的特征：倒过来写还是原来的数。那 么具有这种特征的五位奇数有（500）个。 【考点】加乘原理。 【解析】由题意，所有这样的数都可以表示成这样的形式： abcba ，根据乘法原理，这样的 奇数共有 5 10 10 500 个。 5、有一个数，除以 3 余数是 2，除以 5 余数是 3，那么这个数除以 15 的余数是（8）。 【考点】数论之余数问题。
第十一届素质杯解析
第十一届素质杯全国数学邀请赛五年级初赛试卷一、选择题（本大题共5个小题，每题6分，共30分）1、按照下面表中文字的书写规律第2013列上下两个汉字是（）素质杯邀请赛素质杯邀... 拼搏进取锻练成长拼搏...A.素搏B. 质拼C. 杯锻D. 赛练2、有两个两位数，他们的最大公因数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是（）A. 56B. 78C. 84D. 963、只使用数字0、1、2、3、组成的非零自然数，从小到大排列，第135个数是（）A. 2011B. 2012C. 2013D. 20204、如图，七个角A、B、C、D、E、F、G的度数之和是（）A. 90°B. 120°C. 180°D. 270°5、如图，长方形被分成两部分，已知阴影部分比空白部分面积大34平方厘米，阴影部分的面积是（）A. 73平方厘米B. 107平方厘米C. 113平方厘米D. 146平方厘米二、填空题（本大题共5个小题，每题6分， 共30分）6、计算=⨯+⨯+⨯53471.353.54751.3________.7、甲乙两人同时分别从A 、B 两地出发，沿同一路线相向而行，甲每分钟走80米，乙每分钟走70米，经过20分钟两人相遇，那么A 、B 两地相距_______米，他们相遇的地点距离AB 的中点________米．8、规定运算△为a △b=2a-b ，那么，8△5△10的运算结果是________.9、进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在开始在这片牧场上放羊，如果放38只羊，需要25天把草吃完，如果放30只羊，需要30天把草吃完，如果放20只羊，这片牧场可以吃________天.10、小马虎在计算两个两位数的乘法时，一次将甲数的十位数看错，得积819，一次看错甲数的个位数，得积1274，如果他没有出现其他错误，那么甲数是_______.三、操作题（本大题共2个小题，每题10分， 共20分）11、⑴请在算式中适当的位置添加+、－、×、÷或括号，是算式成立.5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5=2013 18cm 10cm⑵在下面算式中，被遮盖住的七个不同的数字之和可能是多少？请至少举两例．□□□+□□□□=2013，七个数字之和是：________.□□□+□□□□=2013，七个数字之和是：________.12、如图是一块华油三角形网络的纸卡，沿着网络线裁剪掉它的3个角，可以得到每个内角都是120°的六边形，请你裁剪出两种不同的六边形，用实现描画出六边形的边界．四、解答题（本大题共2个小题，每题10分，共20分）13、不足100人跳舞，变换了两种阵势，中间5人，其余每8人一组围在周围；或者中间8人，其余每5人一组围在周围，问这些跳舞的人最多有多少？14、赵老师带领不超过30名学生参加植树活动，学生恰好可以平均分成3个小组，师生每人植树的棵树相等（每人不超过20棵），他们一共植树175课，问：赵老师带领的学生共有多少名？第十一届素质杯全国数学邀请赛五年级初赛试卷解析一、选择题（本大题共5个小题，每题6分，共30分）1、按照下面表中文字的书写规律第2013列上下两个汉字是（）素质杯邀请赛素质杯邀... 拼搏进取锻练成长拼搏...B.素搏 B. 质拼C. 杯锻D. 赛练【解析】本题考查的是循环。
第11届中环3年级初赛解析
休息 1 分钟 1 分钟 2 条鱼
休息 1 分钟 1 分钟 2 条鱼
休息 1 分钟 1 分钟 2 条鱼
休息 1 分钟 1 分钟 2 条鱼
休息 1 分钟
从图中可以看出，这是一道周期性问题，可以将每 4 分钟定为一个周期，在这一个周期当中 小花猫吃 1 条鱼，小白猫吃 4 条鱼，也就是说每 4 分钟花猫和白猫共吃掉 5 条鱼。 那么要吃完 30 条鱼，共要经过几个周期呢？ 30÷5=6（个） 那么每个周期经历 4 分钟：6×4=24（分钟） 24 分钟就是这道题的最终结果了吗？并不是的，从图中仔细观察一下，每个周期的最后 1 分钟花猫和白猫都是处于休息状态的，也就是说其实在第 23 分钟时小白猫就已经将第 30 条鱼吃完了，所以这道题的最终答案应为 23 分钟。
种付款办法：
第一种：第一个月先付 13 万元，以后每月付 3 万元；
第二种：前一半时间每月付 6 万元，后一半时间每月付 2 万元。
问超市的付款总数是多少元？
【考点】盈亏问题：
（盈-盈）÷两次分得之差=人数或单位数
（亏-亏）÷两次分得之差=人=人数或单位数
【解析】第一种：第一个月先付13万，以后每月付3万，
=8 ×4=32„„„„②
D+E+F+G
=13×4=52„„„„③
方法一：
等式①-等式②= E+F+G （A+B+C+D+E+F+G）-（A+B+C+D） =77-32 =45 再从等式③中减去 E+F+G 就可求出 D， （D+E+F+G）-（E+F+G） =52-45 =7 方法二： 等式②+等式③=A+B+C+D+E+F+G+D （A+B+C+D）+（D+E+F+G） =32+52 =84 再从中减去等式①，就可求出 D （A+B+C+D+E+F+G+D）-（A+B+C+D+E+F+G） =84-77 =7
五年级数学培优：数阵图、数字谜(含解析)
五年级数学培优：数阵图、数字谜（含解析）将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22.知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析.2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜.②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）.例1数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法. 名师点题【解析】首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6.在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等.那么b处应该填入的数是（）.【解析】这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b，进而得到2b=2.8，b=1.4.在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________.【解析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□=0），且有“□+□+1＝10+□”，从而□=9，☆=8.例3例2再由个位加法，推知○+△=8.从而口+○+△+☆=9+8+8=25.【巩固拓展】1.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数的和都相等，a共有（）种填法.【解析】由于每边上的三个数字和都相等，设每边和为S，从整体考虑将其全部相加和为5S，从个体考虑，除中间数加了5次外，其他数均加了1次，可看作8至18均加了1次，中间数a多加了四次，表示为（8+9+......+18）+4a，列出等式为5S=（8+9+ (18)+4a，化简为5S=143+4a，要使等式成立，4a的末位必须为2，得出三种答案，8，13，18.2.将1-12这十二个自然数分别填入下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________.【解析】由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍.所以，6(12312)2S=++++⨯，得到S=26，即所求的相等的和为26.3.在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=______.s t v av t s tt t v t t+【解析】首先可以判断t=1，所以s+v=11，v=t+t+1=3，可解得s=11-3=8，又因为a+t=t，所以a=0，1038tavs=.将自然数1、10、19、28、37、46、55分别填人右图中的七个方框中，使每条直线上的三数之和与每个圆周上的三数之和都相等．那么圆心上的那个数应该填多少？【解析】圆心上的数属于三条直线，其余数都属于一条直线一个圆周，所以除中心的数被计算3遍外.其余数都被计算2遍.由()11019283746552392++++++⨯+=+中心数中心数，应是5的倍数，推知中心数为28.【巩固拓展】将3、5、7、11、13、17、19、23、29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条边上的○中的数之和都相等.请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和.例1【解析】设三个顶点○内所填的数为a、b、c，每条边上的和为K，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得()()3571113171923291273a b c a b c K+++++++++++=+++=；由于所得的和必须能被3整除，而1273421÷=，所以()a b c++的和应被3除余2，a b c++的最小值是571123++=，最大值是29231971++=，所以K的最小值是()12723350+÷=，最大值是()12771366+÷=.请将1～9这9个数填入右图3×3表格中，使得第1,2行三数的乘积分别是70，24，第l、2列三数的乘积分别是21、72.【解析】因为70=2×5×7，21=1×3×7，所以A=7，D等于2或5，因为D×E×F=72，72不能被5整除，所以D为2，72=2×4×9，即E为4或9，且B×E×H=24.24不能被9整除，所以E为4，24=1×4×6，也就是B=1，H=6，剩下的数易得.最后结果为：F IHGEDCBA986542317【巩固拓展】能否在8行8列的方格表的每个空格中（如图），分别填入1、2、3这三个数字中的任一个，使得每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同？对你的结论加以说明.例2【解析】不可能.这里一共有8行、8列、2条对角线，每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同，所以数字和一共有8+8+2=18（个）；又根据题目要求，每行、每列及对角线的8个数的和最小取值是8×1=8，最大为8×3=24，8到24一共有17个数.17＜18，所以不可能实现每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同.将1、2、3、4、5填入5×5的正方形表格的小方格中，使每个数字在每行、每列、每条对角线上都只出现一次，其中部分数字已经填出，请按照以上要求填写其他小方格.【解析】①根据唯一解法，可以快速得到第四行第一列填5；②观察第5列，可知第5行第5列方格中不能填4、5（根据列摒除法）；再观察从左上至右下的对角线，可知第5行第5列方格中不能填1、3（根据对角线摒除法）.那么根据唯一解法，可以确定第5行第5列方格中填2；③对两条对角线进行分析，可以确定第3行第3列方格中只能填4；④再根据唯一解法确定第2行第2列方格中填5；⑤接着可确定第2行第4列方格中填2，第5行第1列方格中填3；至此我们已经填出第1行、第4行、两条对角线上的所有方格中的数字，根据以上解题思路，可以顺势得出其他方格中的数字，最终的问题答案如下：例3【巩固拓展】如右下图，9个3×3的小方格表合并成一个9×9的大方格表，每个格子中填入1-9中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个3 3的小方格表中也只出现一次，10个“☆”处所填数的总和是.【解析】①先确定第6列4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（1+9+8+4+2）=21；②确定第2层第3宫（9宫格）4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（3+4+5+6+9）=18；③确定第1行第8列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是5；④确定第3行第1列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是2；所以10个“☆”处所填数的总和是：21+18+5+2=46.将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为.□÷□+□+□□＝□÷□+□□例4【解析】 因为左边必是奇数，所以右边最大值为87.（否则为88），经过尝试，得3÷1+5+79=6÷2+84【巩固拓展】请在算式1111⨯=⨯中填入不同的四个数字，使等号成立.【解析】 在10-19这10个数中，剔除质数后只剩下6数，通过尝试可得到10×18=12×15.在右边的乘法算式中，字母A 、B 和C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字.求A 、B 和C 分别代表什么数字.941A B CA B C⨯【解析】 第一个部分积中的9是C×C 的个位数字，所以C 要么是3，要么是7，假设C =3，第二个部分积中的4是积3×B 的个位数字，所以B =8.同理，第三个部分积中的1是积3×B 的个位数字，因此A =7.如果C =7，类似地可知B =2，A =3，但这时第二个部分积不是四位数，因此C ≠7.【巩固拓展】在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数DEFGF 是多少？例5【解析】显然的D=1，由AB×A=IF可知，A不会超过3，否则得到的乘积应该是3位数，如果A=3，那么B也不能超过3，所以B只能是2，这样的AB×B=32×3=96与AAH矛盾，所以A≠3，所以A=2，根据AB×B=AAH，可以尝试出B=8时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：I=5，F=6，E=0，G=9，所以被除数DEFGF是10696.（第十一届中环杯初赛试题及答案）从1至13中选出12个自然数填入3×4的方格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等（横行的和没有必要与竖列的和相等）.【解析】因为1+2+…+13=91，从中去掉一个数后应该能够被3以及4整除，即能被12整除.由于91÷12=7…7，应该去掉7，所有数的和为84.这样，每个横行的数字之和为84÷3=28，每个竖列的数字之和为84÷4=21.进一步分析可知，六个奇数必须有三个在一列，另外三个在另外一列.三个奇数和为21的，只有1+9+11和3+5+13两组，填好奇数，剩下的数就好填料.典型的两组答案（其余的答案均由这两个答案交换行列得到）如下：1 13 4 10 3 112 12例1如图大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形四个顶点上：（1）能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？ （2）能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？ 如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由.【解析】 （1）不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S.考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次.即()42468360S =+++⨯=.所以S=60÷4=15.但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上数字之和不可能相等.（2）能，下图是一种填法.8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22.248668862244（第十二届中环杯试题）如图，纸片盖住了乘法算式的所有数字，但是已知每一个被盖住的数都是质数，那么积的个位数是（）【解析】积的个位数等于两个因数的个位数积的个位数；一位质数有2、3、5、7；2×3=6，2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35；其中符合积的个位数也是质数的只有3×5=15或5×7=35，故积的个位数是5.在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式.⨯数字谜数字谜谜谜谜谜谜【解析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“谜”所在的位置较多，紧紧抓住“谜”所在的位置特点，逐一突破.由“⨯=数字谜谜谜”可知“谜”≠1，因此“谜”=5或6.例4例3（1）若“谜”=5，“⨯=数字谜数”的乘数的百位数字必须大于3且小于等于5，所以“数”=2，由于“⨯=数字谜字谜”，可知“255⨯=字字”，“字”是单数且小于5，故“字”=1或3，当“字”=1时，21521546225⨯=，不符合条件，当“字”=3时，23523555225⨯=，符合题意.（2）若“谜”=6，同理，“⨯=数字谜数”的乘积的百位数字必须大于4且小于等于6，所以“数”=2，由266⨯=字字，可知“字”=1，但21621646656⨯=，不符合条件.所以满足条件的算式是：23523555225⨯=.下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字.⨯=美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数.=美妙数学___________【解析】由⨯=美妙数学数数妙知，“美”不为1，且“美”ד妙”＜10，所以“美”≥2，“秒”≤4，“美”+“学”=“数”；1）当“秒”=1，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和7，此时“美”+“学”=10，但题目中“美”+“学”=“数”＜10，所以“妙”不等于1；2）当“妙”=2，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和4，或者4和8，但4+8=12＞10，所以“美”、“学”为3和4，“数”=3+4=7，但274×3=822，积出现重复数字2，不合要求，273×4＞1000也不合要求.3）当“妙”=3，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和9，“美”+“学”＞10，不合要求.4）当“妙”=4，根据“美”ד学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和2，或者6和9，又“美”+“学”＜10，所以“美”、“学”为7和2，“数”=7+2=9.497×2=994，合乎要求.因此，2497=美妙数学【练习1】在5×5方格表的空白处填入1-5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各例5不相同？【解析】先确定右下角的方格，只能填“2”；左下角只能填3，最下一行只能是3、4、5、1、2.其他方格不难填成，结果如下图.【练习2】下图中有五个正方形和12个圆圈，将1-12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等.那么这个和是多少？【解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1-12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得()++++=，x x121225 x=，具体填法如：26758649112310121【练习3】下图中有三个正三角形，其中有三条通过四点的线段.请你把1~9这九个自然数分别填在九个黑点的旁边，使每个正三角形顶点上三个数的和相等，每条线段上四个数的和也相等.【解析】每个正三角形顶点上三个数的和：（1+9）×9÷2÷3=15每条线段上四个数的和：[（1+9）×9÷2+15]÷3=20根据以上结论可以得到如下填法（答案不唯一）：【练习4】如下图所示，A B C D E F G H I J、、、、、、、、、表示0-9这10个各不相同的数字.表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“G+C=14”.请将表中其它的数全部填好.A B C D E F G H I J+56771414【解析】 由于A+F=5，B+F=14，所以B-A=14-5=9，所以A 和B 只能是0和9.因此可以推出：A=0，B=9，C=6，D=3，E=2，F=5，G=8，H=1，I=4，J=7.可得下图.1013101041731694113107711881114147765+JI H G FE D C B A【练习5】 电子数字0-9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：______________________.【解析】（1）显然乘积的百位只能是2；（2）被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0首先排除；（3）如果被乘数十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数.所以被乘数十位是2，相应得乘数是.（4）被乘数大于25，通过尝试得到符合条件的答案：28×8=224.【练习6】 下面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?【解析】由积的千位数知“数”=1，由积的十位数知“学”=0，由积的百位数知“玩”=9.竖式化简为下式.由于“1真”×9= “10好”，所以“真”=2，“好”=8，“啊”=6.所以，“数学好玩”=1089.【练习7】在□中填入恰当的数字使算式能够成立.2【解析】①这个除法算式从相除的过程可以看出，商数的十位和千位均为0；②除数的2倍是一个三位数，而除数与商的万位相乘，积为两位数，可知商的万位数字为1，同样可知商的个位数字也为1，即商为10201；③又一个两位数的两倍必小于200，故第一次剩余（即被除数的前三位与除数之差）为1.而一个三位数与一个两位数之差为1，只能是100-99=1，故被除数前三位为“100”，而除数为99，由此可知，被除数为99×10201=1009899.。
小学高年级奥数竞赛培训试题初赛解析
小学高年级奥数竞赛培训试题初赛解析第十六届“中环杯”五年级(初赛)解析1、计算：171720.1522015_______3203?+?+=.【分析】原式371777317=20++2015=20++2015=49+2015=20642032033202 0??2、要使得算式111{[(1451)]4}7234--+=成立，方框内应填的数是________.【分析】原式变为：11[144]41434-+=11(144)103411443046-=?-==3、把61本书分给某个班级的学生，如果其中至少有1人能分到至少3本书，你们这个班最多有________人.【分析】抽屉原理.（60-1）÷2=30（人）4、有一个数，除以3余数是1，除以5余数是2，那么这个数除以15的余数是________. 【分析】设这个数为3k+1，（3k+1）除以5余2则k 最小为2，所以这个数最小为75、如图，一个三角形的三个内角分别为(53)x y +?、(320)x +?和(1030)y +?，其中x 、y 都是正整数，则x+y =________.【分析】根据内角和180度得： 53320103018081313081013x y x y x y y x+++++=+==-由于都是正整数所以x=13，y=2，和为156、三个数两两之间的最大公约数分别是3、4、5，那么这三个数的和最小是________.（5x+3y ）° （10y+30）°（3x+20）°【分析】A B C 设这三个数为、、不妨设：()A B =A=12a A C =B=15b a b c =1B C =C=20c 12152047（，）3（，）4，，（，）5所以这三个数最小为：、、，和为7、对字母a~z 进行编码（a=1，b=2.，…，z=26），这样每个英文单词（所有单词的字母都认为是小写字母）都可以算出其所有字母编码的乘积p.比如单词good ，其对应的p 值为7×15×15×4=6300（因为g=7,0=15，d=4）.如果某个合数无法表示成任何单词（无论这个单词是不是有意义）的p 值，这样的合数就称为“中环数”.最小的三位数“中环数”为________.【分析】(方法一)要为“中环数”，则分解出的质因子至少有大于26的质因子：大于26的质数为29,31,37…,29×4=116，肯定是中环数，所以只要再验算小于107是否还有中环数，这时会发现106是最小的一个；(方法二)绝大多数小朋友的方法，直接从最小的三位合数开始试.100，102，104，105，106，然后发现106是第一个满足的，106253=?.所以答案是106.8、甲、乙两人同时骑自行车从A 地到C 地，路上会经过B 地.骑了一会，甲问乙：“我们骑了多少公里了？”乙回答：“我们骑的路程相当于这里到B 地距离的13.”又骑了10公里后，甲又问：“我们还要骑多少公里才能到达C 地？”乙回答：“我们还要骑的路程相当于这里到B 地距离的13.”A 、C 两地相距________公里（答案写为分数形式）【分析】第一次对话点在D ，第二次对话点在E.不妨设AD 为x ，则BD 为3x ；设EC 为y ，则BE 为3y.根据题意有， 03x 3y 1+=，则AC 的长为：()4440443310333x y=x y ==++?.9、如果一个数不是11的倍数，但是移除一个任意位上的数码后，它就变成了11的倍数了（比如111就是这样的数，无论移除其个位、十位或百位数码，都变成了11的倍数），这样的数定义为“中环数”.四位“中环数”有________个（如果不存在，就写0）. 【分析】设这样的四位数为abcd ，则根据题意：11a |b+d-c b |a+d-c c |a+d-b d a c b 移，有11移，有11 移，有移，有11|+-，由于a 和b 都是一位数，只能是b=c .那么11,11||d a ，则0,0a d ==.所以不存在这样的四位数.3yA10、有一天，小明带了100元去购物，在第一家店买了若干件A 商品，在第二家店买了若干件B 商品，在第三家店买了若干件C 商品，在第四家店买了若干件D 商品，在第五家店买了若干件E 商品，在第六家店买了若干件F 商品.六种商品的价格各不相同且都是整数元，小明在六家店里花的钱相同.则小明还剩________元. 【分析】设在每家店都花了x 元，根据题意x 最少含有6个因数. 因为()()()6512111=+=+?+，所以x 最小为22312?=，而其他的情况花的钱都会超出100这个范围，所以不用考虑，所以剩下10012628-?=（元）.11、将长为31厘米的一条绳子分成三段，每段的长度都是整数，任取其中的两段作为一个长方形的长与宽，可以构成三个长方形.这三个长方形面积之和的最大值为________平方厘米.【分析】设将绳子分成长为a 、b 、c 的三段，则这三个长方形的面积之和22222()[()()()]6a b c a b a c b c ab ac bc ++--+-+-++=，而31a b c ++=，当a 、b 、c 的差最小时面积和最大，即a 、b 、c 取10、10、11，面积和为101010111011320?+?+?=（平方厘米）.12、如图12-1所示，小明从A->B，毎次都是往一个方向走三格，然后转90度后再走一格，例如图12-2中，从点C出发可以走到八个位置.那么小明至少走________次才能从点A 到达点B.第12题【分析】答案如图，最少5次.13、如图，一个大正方形被分割成六个小正方形，如果两个小正方形之间有多于一个的公共点，那么称它们为相邻的.将1、2、3、4、5、6填人右图，每个小正方形内填一个数字，使得相邻的小正方形内数之差永远不是3.不同的填法有________种.【分析】先从相邻最多的F填起，发现1至6都可以填，有6种，不妨假设填了1，此时发现ABDE都不能与1的差等于3，所以只能ABDE为2、3、5、6中的一个；此时发现C确定为4，一种填法，A 可以有4种（2、3、5、6随便一个），不妨设A填2，B有2种填法，D，E有2种填法：6×4×2×2=96（种）.14、如图，在梯形ABCD中，CD=2AB，点E,F分别为AD,AB的中点.若三角形CDG的面积减去四边形AEGF的面积等于24k平方厘米（其中k为正整教），为了使得梯形ABCD的面积为一个正整数，则k的最小值为________.【分析】22b h.AB a CD==设，，高为minS=h224h23k24k24k24111k4h h=222241kh=224kh=12k k=33()124k4CDG AEGFCDG DEG AEGF DEG CDEa a ahS SS S S SS Sa aaaS ah÷=+?÷=-=∴-+∴-=∴??-??∴∴=?=∴=梯△△△△△△ADF梯（AB+CD）（）（+）（）=为整数15、一间房间里住着3个人（小王、小张、小李）和1只狗.毎天早上，3 人起床后都会去做一些曲奇饼干，这样他们饿的话可以随时吃这些饼干.一天早上，小王第—个出门去上班，出门前他将1块曲奇饼干丢给了狗，然后带走并吃掉了剩下的1/3；小张第二个出门去上班，出门前他将1块曲奇饼干丢给了狗，然后带走并吃掉了剩下的1/3；小李第三个出门去上班，出门前他将1块曲奇饼干丢给了狗，然后带走并吃掉了剩下的1/3；晚上，3个人都回到家以后，他们将1块曲奇饼干丟给了狗，然后平分并吃掉了剩下的饼干.在整个过程中，所有的曲奇饼干都不需要被掰碎.那么，小王吃掉的饼干数最少为________块.【分析】设晚上每人分得n块，则总数为2228165 {[(31)1]1}13338nn++÷+÷+÷+=是整数，n至少为7，总数为79，所以吃掉的饼干数最少为7917333-+=（块）.16、两辆车在高速公路上行驶，相距100米，两车的速度都是60公里/时.高速公路上设置了不同的速度点（速度点之间相距很远）.每辆车在经过第一个速度点之后，速度都立刻提高到80公里/时；经过第二个速度点之后，速度都立刻提高到100公里/时；经过第三个速度点之后，速度都立刻提高到120公里/时.当两辆车都经过第三个速度点之后，两车相距________米.【分析】两车在同样的两个速度点之间速度相同∴相邻速度点之间用的时间也相同后车需要晚0.160小时到达每个速度点，当后车到达第三速度点时，前车已经离开0.160小时.所以前车在后车前0.11200.260=（km）=200（m）17、这是一个由72个相同小四边形组成的图形，有一些四边形被病毒感染变成黑色.当某个健康的小四边形（白色），其周围至少有两个相邻的小四边形被感染时，则该四边形也将被感染变黑，依次扩散开来.那么至少再增加________个病毒源（即黑色小四边形），可以使整个大图形都被感染.（相邻是指两个小四边形有公共边).【分析】如右上图所示：标红色阴影的四个区域，他们有共同的特征：比如①红色阴影他所在的红色菱形的外面即使全被感染，菱形内也不会感染，当把①变为病源就可以了其他三个红色阴影一样的道理，所以至少增加4个病源，当然；经验算有了这四个以后，整个图都可以被感染了.①18、如图，四边形PQRS 满足PQ=PS=25厘米，QR=RS=15厘米，作ST//QR 与PQ 交于点T.若PT=15厘米，则TS=________厘米（注意：由于我们知道△PQR 与△PSR 的形状和大小完全相同，所以两个三角形的面积相等）.【分析】如图,3h.=h h 5PB PA =设高为，2=h 5133h=h2510122(15)h=(3)h2510321=(3)h=152101021315224PTS TSRQ PTS TSRQ AB aS a a S a a S S a a h a a ===++++++==△四边形△四边形，设TS19、我们用表示一个数的反序数（如果从右往左读一个数，就会得到一个新数，这个新数就是原数的反序数，比如 =94321），用S （n ）表示数n 的数码和（比如S （123）=1+2+3=6）.有如下的两个条件：（1） n=S （n ）?；（2）找到的所有质因数，计算这些质因数的平方和，再除以2，将结果中的所有0移除，最后还是得到n （比如所有质因数平方和除以2后的结果为3025，那么移除0之后变为325）.满足这两个条件的正整数n=________. 【分析】19911729?=22927173127(73127)2107291729=?+÷=→ST S Q R 第18题20、沿着虚线将右图划分为若干“中环块”（表格内每个小正方形的面积均为1），任意两个相邻“中环块”的面积均不同（如果两个“中环块”有至少一条公共边，就称为相邻“中环块”）.图中标了一些数字，每个数字都表示其所在“中环块”的面积.每个“中环块”中可能不含数字，可能含有一个数字，也可能含有多个相同的数字.每列中都画有两个圆圈，其中一个圆圈在表格中，另一个在表格下方.在表格内的圆圈中填上圆圈所在“中环块”的面积，并把这个数字填在与之同列的表格下方圆圈内.最后，表格下方的七个圆圈从左至右构成一个七位数，这个七位数为________.【分析】答案如图55555555522222223333331117777777444444444145432135374541○ ○ ○ ○ ○ ○ ○。
青少年科技报-五年级(1-9期)解析版
n n 大的约数 ） ， 考虑到它一共有 10 个约数， 所以必须为 2 34 或 24 3 ， 显然 2 34 3 2 =162 比较大。
【点评】 难度： ☆☆☆ 本题考查整数的约数个数定理：若
an a2 a3 n p1a1 p2 p3 ... pn ，则 n 的约数个数：
d (n) (a1 1)(a2 1)( a3 1)...( a4 1) 。在本题中，由第
b a 2 ，而且 1 号、10 号不能同时选出。 c b 2
b a 2 (b 1) a 1 ，考虑到 c b 2 (c 2) (b 1) 1
3
我们先不考虑 1 号、 10 号的问题。由于
1 a<b<c 10 ，所以 1 a<b-1<c-2 8 ，一共有 C8 =56 （种）选法，其中 1 号、10 号被
2 3
2
3
【点评】 难度： ☆☆☆ 本题是一道排列组合的综合问题，结合了特殊元素、分类分步等方法。位置与气球作为 两个不同维度应分步讨论， 每个维度内再根据特殊要求作分类讨论， 承接上一期分类分步思 想，进一步深化练习。
同时选出的选法有 6 种，所以答案为 56 6 50 （种） 。 【点评】 难度： ☆☆☆ 本题考查环型排列中的不相邻问题。插空法是解决直线型排列中不相邻问题最常用的 方法，本题需先将环型排列转化为直线型排列，即可轻松求出答案。 官方解答中对不等式的应用超越了大多数五年级考生的能力范围， 因此用插空法来解题 可能更易理解，在此提出以下两种解法供大家参考： （1） 插空法： 先将环型排列转化成直线型排列，即将 10 个站台编号为 1、2、…、10，按直线型插空 法来做，再去掉 1 号和 10 号同时被选出的情况。 在 1 10 号中选出三个不相邻的站台，即相当于将选出的三个站台插入另 7 个站台所形 成的 8 个空隙中（不能插入同一个空隙） ，总共有 C8 =56 （种）情况。其中同时选出 1 号跟 10 号的情况里，还需再选出一个站台，只能在 3 案为 56 6 50 （种） 。 （2） 排除法：
第十一届中环杯数学思维能力训练五年级决赛解析
第十一届“中环杯”小学生思维能力训练活动 五年级决赛
一、填空题： 1、计算： 201120111949 19501950 2009 （18891889）。 【考点】速算与巧算，乘法意义，重码数。 【解析】
201120111949 19501950 2009 1001 20111949 1950 2009 1001 20111949 1949 2009 2009 1001 1949 1949 2009 10011889 18891889
335
9 ，它的个位数字是 9。
6、有 61 只乒乓球，将它们放在 20 个盒子里，不允许有空盒子，每个盒子里最多放 5 只乒 乓球，那么最少有（5）个盒子里的乒乓球数量相同。 【考点】抽屉原理。 【解析】每个盒子尽量放不同数量的乒乓球，1 2 3 4 5 15 ， 61 15 4 1 如果 只有 4 个盒子里的乒乓球数量相同，那么最多只能放 60 个乒乓球，所以最少有 5 个盒子里 的乒乓球数量相同。 7、 如图， 两个等腰直角三角形重叠在一起， 阴影部分为重合部分， 阴影部分的面积是 （21.5） 平方厘米。
5-1五年级初赛详解 考点
第十四届“中环杯”五年级初赛考题及详解1． 计算：1111111+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)=________22331010⨯⨯⨯⨯⨯⨯（…。
【分析】原式= 341112911111==2310231021020⨯⨯⨯⨯⨯⨯……考点：分数巧算2. 最接近 2013 的质数是________。
【分析】2011 考点：质数与合数3. 黑箱中有 60 块大小、形状都相同的木块，每 15 块涂上相同的颜色。
一次至少取出_______块才能保证其中至少有 2 块木块颜色相同。
【分析】共 60÷15=4 种颜色，需要取出 4+1= 5块 考点：抽屉原理4. 一共有 52 个学生参加游园活动，其中参观植物馆的有 12 人，参观动物馆的有 26 人，参 观科技馆的有 23 人，既参观植物馆又参观动物馆的有 5 人，既参观植物馆又参观科技馆的 有 2 人，既参观动物馆又参观科技馆的有 4 人，三个馆都参观的有 1 人，则有________人 这三个馆都没有参观。
【分析】共有12+26+23-5-2-4+1=51人参观了至少一个馆，所以有 1 个人三个馆都没参观。
考点：容斥原理5.如图， ∠B =30° ∠A =60° ∠D =20°，则 ∠BCD （图中有圆弧部分的那个角）的度数为 ________°。
【分析】四边形内角和为 360°，所以有 ∠BCD =360°-30°-20°-60°=250°考点：多边形内角和6. 一次考试中，小明需要计算 37+31×a 的值，结果他计算成了 37 +31 +a 。
幸运的是，他仍然得到了正确的结果。
则 a =_________。
【分析】37 +31×a= 37+31 ×a 得a=1130考点：一元一次方程7.某次射箭比赛，满分是10份，初赛阶段淘汰所有参赛者的50%。
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相同，那么苹果数至少要为 26 9 1 235 。
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8．李师傅某天生产了一批零件，把它们分成了甲、乙两堆摆放。如果从甲堆零件中拿出 15 个放到乙堆中，则两堆零件个数相等；如果从乙堆零件中拿出 15 个放到甲堆中，则甲堆的 零件个数是乙堆的 4 倍。甲堆原有零件（ ）个，李师傅这天共生产了（ ）个零件。 【考点】和差倍问题。 【分析】从甲堆零件中拿出 15 个放到乙堆中，则两堆零件个数相等，所以甲堆比乙堆多 30 个零件；从乙堆零件中拿出 15 个放到甲堆中，那么此时，甲堆比乙堆多 30 15 2 60 个 零件，所以此时乙堆有 60 4 1 20 个零件，所以甲堆原有零件 20 4 15 65 个，李
第十一届“ 中环杯” 小学生思维能力训练活动(初赛)
一、填空题： 1．计算： 3.6 42.3 3.75 12.5 0.423 28 （ 【考点】速算与巧算。 【分析】 ）。
3.6 42.3 3.75 12.5 0.423 28 3.6 42.3 1.25 3 12.5 0.423 28 1.25 4.23 108 28 1.25 4.23 80 423
2010 9 180 3 607 ，所以第 2010 位上的数字是第 607 个三位数的个位，即为 706
的个位 6。 4．一个长 42 厘米、宽 24 厘米、高 36 厘米的长方体木块，表面涂上红漆，再把它锯成若 干个相同大小的小正方形体且没有废料。则表面没有涂上红漆的小正方体至少有（40 ）块。 【考点】立体图形表面染色。 【分析】要求把长方体木块锯成若干个相同大小的小正方形体且没有废料，那么小正方形体 的边长肯定是 42 、24 、36 的公约数，又要求表面没有涂上红漆的小正方体尽可能少，那么
34m/s 340m/s 27s
让火车和声音行驶相同的时间，那么声音比火车多行驶了 27 秒，也就是多行驶了
340 34 30 秒， 27 340 9180 米， 所以火车行驶的时间是 9180 所以火车拉响汽笛
时距离小明 34 30 1020 米。 7．某校五年级的同学，每人都订阅了《青少年科技报》、《小朋友》、《故事大王》、《少 年科学》、《少年文艺》中的至少 2 种刊物，那么，这个年级至少要有（ ）名学生， 才能保证他们中至少有 10 个人订的报刊杂志完全相同。 【考点】抽屉原理。 【分析】首先构造抽屉： 5 种报刊杂志，每人至少订阅其中的 2 种，那么共有
骑车人。 2．有 7 张卡片，上面分别写着 1、 2、 3、4 、5、 6、7 这七个数字，从这七张卡片中选出若 干张卡片，排成一个尽可能大的多位数，并且使这个多位数能被组成它的所有数整除，求 这个多位数。 【考点】整除问题。 【分析】要想这个多位数尽可能大，选出的数要尽可能多。 如果这个数是七位数，选出的数中肯定有 5 ，那么这个数要能被 5 整除，个位只能是 5，那 么这个数肯定不能被 2、4 、6 整除，所以不能选 2、4 、6，矛盾。 如果这个数是六位数，除了 5 之外都要选出来，但是 1 2 3 4 6 7 23 ，这个六位数 肯定不能被 3 整除，所以 3 也不能选，矛盾。 如果这个数是五位数， 5 不能选，如果没有选 3，那么 6 也不能选，所以肯定选了 3，由能 被 3 整除的判定，只有1 3 4 6 7 21 满足条件，所以这个五位数是由 1、3、4 、6、7 构成。 五位数能被 4 整除，那么末两位能被 4 整除，只能是 16、 36 或 64 。 如果末两位是 16 ：最大的 74316 不能被 7 整除，次大的 73416 能被 7 整除。 如果末两位是 36 ：最大的 74136 不能被 7 整除，之后的数小于 73416 。 如果末两位是 64 ：最大的 73164 小于 73416。 综上述，这个多位数是 73416。
2h 快
4h 中 慢
快车用 2 小时追上了骑车人，此时快车行驶了 54 2 108 千米；中车用 6 小时追上了骑车 4 人，此时快车行驶了 22 6 132 千米；那么骑车人 小时行驶了 132 108 24 千米，所 以骑车人的速度是每小时 24 4 6 千米。
54 6 2 96 千米， 96 12 6 16 小时后慢车追上 那么开始时，慢车与骑车人相距
42, 24,36 6 厘米， 小正方形体的边长为 长方体木块被分割成 7 4 6， 此时表面没有涂 7 2 4 2 6 2 40 块。 上红漆的小正方体有
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5．如图，小正方形的
3 7 被阴影部分覆盖，大正方形的 被阴影部分覆盖，大正方形的阴影 5 8
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3．从 1 至 13 中选出 12 个自然数填入 3 4 的方格中，使每横行四个数之和相等，每竖行三 个数之和也相等（横行的和没有必要与竖行的和相等）。 【考点】数阵图。 【分析】 1 2 3 12 13 91 ，现在从中选出 12 个自然数填入 3 4 的方格中，使 每横行四个数之和相等， 每竖行三个数之和也相等， 那么这 12 个数之和应该既是 4 的倍数、 也是 3 的倍数，所以只能是 91 7 84 。 横行的和为 84 3 28 ，竖行的和为 84 4 21 ，下面给出一种填法：
1 1 1 x y 5B 3 A 2A B 3A 2B 21 7 21
3．将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一列：123456789101112 ，则左起第 2010 位上的数字是（ ）。 【考点】页码问题。 【分析】一位数共有 9 个数码，两位数共有 180 个数码，三位数共有 2700 个数码。
1 4 100 个零件。 师傅这天共生产了 20
二、动手动脑题： 1．快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车人。已知这 三辆车的速度分别是每小时 54 千米、22 千米、12 千米，快车和中车分别用 2 小时、6 小时 追上了骑车人。那么慢车要多少时间追上骑车人？ 【考点】多人相遇追及。 【分析】
2．3 支铅笔和 5 支圆珠笔的价格一共是 A 元， 6 支铅笔和 3 支圆珠笔的价格一共是 B 元， 那么一支铅笔和一支圆珠笔的价格一共是（ 【考点】方程解法，消去法。 ）元。（用含有 A 、 B 的式子表示）
【分析】设一支铅笔的价格是 x 元，一支圆珠笔的价格是 y 元：
1 x 5B 3 A 3x 5 y A 21 ，解得 ，所以 6x 3 y B 1 y 2A B 7
2 1 5 8
7 3 比小正方形的 面积大 11 平 8 5
16 5 5 5 平方米。 方米，所以小正方形的面积是 11
7 8
3 5
6．小明站在一条直行的铁道旁，从远处向小明驶来的火车拉响汽笛，过了一会儿，小明听 见汽笛声，再过 27 秒钟，火车行驶到他面前。已知火车的速度是 34 米/秒，音速是 340 米 / 秒，那么火车拉响汽笛时距离小明（ ）米远。 【考点】行程问题之速度变化导致时间变化。 【分析】
）平方米。
部分面积比小正方形的阴影部分面积大 11 平方米， 那么小正方形的面积是（
【考点】分数应用题。 【分析】小正方形的 1 与大正方形的1 面积是相等的，所以小正方形与大正 方形的面积的比为 5
2 5
7 8
1 8
13 10 1 2 6 8 9
4 5
3 11 12
4．有 6 个边长是 2 厘米的等边三角形，2 个边长是 2 厘米的正方形，如图，请你选取其中 的一些或全部，分别拼出一个六边形和一个八边形，请画出多边形的拼法。
2厘米
【考点】图形的拼合。 【分析】 六边形：
2厘米
八边形：
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