2020年天津市十二区县高考数学二模试卷(文)含答案解析
2020年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
2020年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={-1，0，1，2}，，则M∩N=（）A. {0，1}B. {-1，0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2}2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z=10x+2y的最大值为（）A. 25B. 20C.D.3.设x∈R，则“|x-1|＜2”是“x（x-2）＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的s=（）A. 5B. 20C. 60D. 1205.已知点（m，9）在幂函数f（x）=（m-2）x n的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（）A. a＜c＜bB. b＜c＜aC. c＜a＜bD. b＜a＜c6.设双曲线的左焦点为F，离心率是，M是双曲线渐近线上的点，且OM⊥MF（O为原点），若S△OMF=16，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.7.已知函数的最小正周期为，且f（x）的图象过点，则方程所有解的和为（）A. B. C. 2π D.8.已知函数，g（x）=f（x）-ax，若函数g（x）恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. （-∞，-1） D. （7，+∞）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知a∈R，i为虚数单位，复数z1=1-2i，z2=a+2i，若是纯虚数，则a的值为______．10.已知函数f（x）=e x（2-ln x），f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1）的值为______．11.已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为______．12.已知圆C的圆心在x轴上，且圆C与y轴相切，过点P（2，2）的直线与圆C相切于点A，，则圆C的方程为______．13.若a，b∈R，且a2-b2=-1，则的最大值为______．14.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=1，M是线段BC上的动点，若，则的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.某社区有居民500人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了50名居民，统计了他们本月参加户外运动时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于16小时的人数；（Ⅱ）已知这50名居民中恰有2名女性的户外运动时间在[18，20]，现从户外运动时间在[18，20]的样本对应的居民中随机抽取2人，求至少抽到1名女性的概率．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin A sin B+b cos2A=2a，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值．17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，，，BD是线段AC的中垂线，BD∩AC=O，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：平面BDG⊥平面PAC；（Ⅱ）若G为PC的中点，求异面直线GD与PA所成角的正切值；（Ⅲ）求直线PA与平面BPD所成角的大小．18.设{a n}是等比数列，{b n}是递增的等差数列，{b n}的前n项和为S n（n∈N*），a1=2，b1=1，S4=a1+a3，a2=b1+b3．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n（n∈N*），求满足成立的n的最大值．19.设椭圆的左焦点为F，下顶点为A，上顶点为B，△FAB是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线l：x=-a，过点A且斜率为k（k＞0）的直线与椭圆交于点C（C异于点A），线段AC的垂直平分线与直线l交于点P，与直线AC交于点Q，若．（ⅰ）求k的值；（ⅱ）已知点，点N在椭圆上，若四边形AMCN为平行四边形，求椭圆的方程．20.设函数f（x）=x3-bx2+（2-a）x（a，b∈R，b≠0），x∈R，已知f（x）有三个互不相等的零点x1，0，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）若f（b）=-b3．（ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（ⅱ）对任意的x∈[x1，x2]，都有f（x）≤b成立，求b的取值范围；（Ⅱ）若b=3且1＜x1＜x2，设函数f（x）在x=0，x=x1处的切线分别为直线l1，l2，P（x0，y0）是直线l1，l2的交点，求x0的取值范围．。
2020-2021学年天津高三质量检测(二)模数学(文)试卷及答案解析
高三年级总复习质量检测（二）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）·如果事件A，B相互独立，那么·球的表面积公式S＝24Rπ球的体积公式V＝343Rπ其中R表示球的半径P （AB ）＝P （A ）g P （B ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{x ∈R|x ≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为（A ）{1，2，3} （B ）{3，4，5} （C ）{1，2}（D ）{4，5}（2）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为80秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待30秒才出现绿灯的概率为（A ）38（B ）58（C ）14（D ）35（3）为得到函数 y ＝sin(2x ＋π6) 的图象，只需将函数 y ＝sin2x 的图象（A ）向左平移 π3个长度单位（B ）向左平移 π6个长度单位（C ）向左平移π12个长度单位 （D ）向右平移π12个长度单位（4）在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积为3，则AC 的长为（A ）3（B ）13 （C ）21（D ）57（5）执行如图所示的程序框图．如果输入n ＝3， 则输出的S 值为（A ）25（B ）45（C ）37（D ）67（6）已知条件 p ：|x ＋1|＞2，条件 q ：x ＞a ，且 ¬p 是 ¬q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（A）a≥1 （B）a≤1（C）a≥－1 （D）a≤－3（7）已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－0.5，则（A）x＜y＜z （B）x＜z＜y（C）z＜y＜x （D）y＜z＜x（8）对任意的x＞0，总有()|lg|=--≤0，则a 的取值范围是f x a x x（A）(－∞，lge－lg(lge)] （B）(－∞，1]（C）[1，lge－lg(lge)] （D）[lge－lg(lge)，＋∞)数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2020年天津市河西区高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，则A∩B（）A．{1，2}B．{1，3}C．{3}D．{1，2，3}2．函数的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．已知命题p：“∀x＞0，有e x≥1成立，则￢p为（）A．∃x0≤0，有e x0＜l成立B．∃x0≤0，有e x0≥1成立C．∃x0＞0，有e x0＜1成立D．∃x0＞0，有e x0≤l成立4．在边长为8的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A．B．1﹣C．D．1﹣5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④6．已知双曲线C1：﹣=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．47．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．8．若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a的值为．10．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．13．如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BD⊥AB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB=．14．在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=AD=4，BC=2，若P为线段CD 上一点，且满足，•=5，则|=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．16．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）17．在如图所示的几何体中，平面ACDE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，∠ACB=90°，AE=2CD=2，AC=BC=1，BE=．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：DF⊥平面ABE；（3）求三棱锥D﹣BCE的体积．18．已知直线l n：y=x﹣与圆C n：x2+y2=2a n+n交于不同的两点A n，B n，n∈N*．数列{a n}满足：a1=1，a n+1=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N 两点，求|MN|的最小值．20．函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．2020年天津市河西区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={x∈Z|1≤x≤5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，则A∩B（）A．{1，2}B．{1，3}C．{3}D．{1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】列举出全集U中的元素，根据B的补集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵全集U={x∈Z|1≤x≤5}={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，∁U B={1，2}，∴B={3，4，5}，则A∩B={3}．故选：C．2．函数的定义域为（）A．（0，2）B．[0，2）C．（0，2]D．[0，2]【考点】对数函数的定义域．【分析】由对数式的真数大于0，被开放数大于等于0，求解x的取值范围，然后用集合或区间表示即可得到函数的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：0≤x＜2．所以原函数的定义域为[0，2）．故选B．3．已知命题p：“∀x＞0，有e x≥1成立，则￢p为（）A．∃x0≤0，有e x0＜l成立B．∃x0≤0，有e x0≥1成立C．∃x0＞0，有e x0＜1成立D．∃x0＞0，有e x0≤l成立【考点】命题的否定．【分析】利用￢p的定义即可得出．【解答】解：命题p：“∀x＞0，有e x≥1，则￢p为∃x0＞0，有e x0＜1成立．故选：C．4．在边长为8的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为（）A．B．1﹣C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】本题为几何概型，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即【解答】解：以AB为直径圆内的区域为满足∠AMB＞90°的区域，则P落在半圆内，半圆的面积为π×42=8π；正方形ABCD的面积为64．∴满足∠AMB＞90°的概率为=；故选：A．5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中，正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．【解答】解：已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，对于①，若α∥β，得到直线l⊥平面β，所以l⊥m；故①正确；对于②，若α⊥β，直线l在β内或者l∥β，则l与m的位置关系不确定；对于③，若l∥m，则直线m⊥α，由面面垂直的性质定理可得α⊥β；故③正确；对于④，若l⊥m，则α与β可能相交；故④错误；故选C．6．已知双曲线C1：﹣=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线左焦点坐标与抛物线准线之间的关系建立方程条件，结合双曲线的离心率的公式进行计算即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则a2=3，b2=，c2=3+，双曲线的左焦点F（﹣c，0），抛物线的准线为x=﹣，∵双曲线C1的左焦点在抛物线C2的准线上，∴﹣=﹣c，即=c，则c2=，即3+=，即=3，则=1，则p=4，即a2=3，c2=3+=3+1=4，则a=，c=2，即离心率e===，故选：C7．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．【解答】解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣φ）+]=2sin（2x+﹣2φ）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+﹣2φ）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得π+﹣2φ=kπ+（k∈z），即φ=﹣k∈z，∴φ的最小值为，故选：D．8．若“x＞1”是“不等式2x＞a﹣x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞4D．a＜4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】设f（x）=2x+x，从而2x＞a﹣x⇔f（x）＞a，根据题意便知x＞1得不到f（x）＞a，而f（x）＞a能得到x＞1，并且能知道函数f（x）为增函数，并且有f（x）＞3时，x ＞1，从而得出a＞3．【解答】解：若2x＞a﹣x，即2x+x＞a；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+x＞a成立，即f（x）＞a成立”能得到“x＞1”，并且反之不成立；∵x＞1时，f（x）＞3；∴a＞3．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示．则图中a的值为0.03．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率为1，建立方程，即可得出结论．【解答】解：由（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03．故答案为：0.03．10．已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设纯虚数z=mi（m≠0），代入并整理，由虚部等于0求得m的值，则答案可求．【解答】解：设z=mi（m≠0），则=．∵是实数，∴2+m=0，m=﹣2．∴z=﹣2i．故答案为：﹣2i．11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣6．【考点】循环结构．【分析】根据题意，i、S的初始值分别为1，0．该程序的意图是：当i≤3时，用（﹣1）i•i2+S 值代替S，直到i=4时输出S的值，由此不难得到本题的答案．【解答】解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次①i=1，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣1，用i+1代替i，进入下一步；②i=2，满足i＜4，由于i是偶数，用S+i2代替S，得S=3，用i+1代替i，进入下一步；③i=3，满足i＜4，由于i是奇数，用S﹣i2代替S，得S=﹣6，用i+1代替i，进入下一步；④i=4，不满足i＜4，结束循环体，并输出最后一个S值故答案为：﹣612．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．13．如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BD⊥AB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB=﹣1．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由已知得AC⊥CD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，由此能求出AB的长．【解答】解：因为BD⊥AB，四边形ABDC内接于圆，所以AC⊥CD，又BD=CD，可得：AC=AB．因为BC=BE，所以∠BEC=∠BCE=∠EAC，所以AC=EC．由切割线定理得EC2=AE•BE，即AB2=AE•（AE﹣AB），由AE=2，可得：AB2+2 AB﹣4=0，解得AB=﹣1．故答案为：﹣1．14．在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=AD=4，BC=2，若P为线段CD 上一点，且满足，•=5，则|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意和向量的线性运算求出，，，再求出和，代入，利用向量的数量积运算化简即可．【解答】解：由题意可得，BC∥AD、BC=2，AD=4，则，所以=，因为P为CD的中点，所以==﹣λ（），因为==﹣2，=，则=（）•（+）=（λ+﹣2）[（1﹣λ）λ（）]=5，又=0，且AB=4，BC=2，所以λ=；所以==﹣2，|==；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．在锐角△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理求得sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A 的值．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理求得c的值，再根据△ABC的面积为bc•sinA，计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC 中，由条件利用正弦定理可得=，∴sinB=3sinA，再根据sinB+sinA=2，求得sinA=，∴角A=．（Ⅱ）锐角△ABC 中，由条件利用余弦定理可得a2=7=c2+9﹣6c•cos，解得c=1 或c=2．当c=1时，cosB==﹣＜0，故B为钝角，这与已知△ABC为锐角三角形相矛盾，故不满足条件．当c=2时，△ABC 的面积为bc•sinA=•3•2•=．16．某公司生产甲，乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需消耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品利润300元，每桶乙产品利润400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．那么该公司每天如何生产获得利润最大？最大利润是多少？（作出图象）【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800．17．在如图所示的几何体中，平面ACDE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，∠ACB=90°，AE=2CD=2，AC=BC=1，BE=．（1）求证：DF∥平面ABC；（2）求证：DF⊥平面ABE；（3）求三棱锥D﹣BCE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点M，利用三角形的中位线的性质可得四边形CDFM为平行四边形，从而得到DF∥CM，再由线面平行的判定得到DF∥平面ABC；（2）由已知求解直角三角形证明AE⊥AB，由面面垂直的性质可得AC⊥BC，再由线面垂直的判定得到AE⊥平面ABC，从而AE⊥CM．在△ABC中，由AC=BC，M为AB中点，得CM⊥AB，进一步得到CM⊥平面ABE．结合（1）知DF∥CM，则DF⊥平面ABE；（3）由（2）可知BC为三棱锥B﹣CDE的高，然后利用等积法求得三棱锥D﹣BCE的体积．【解答】证明：（1）设M为AB中点，连结FM，CM．在△ABE中，又F为BE中点，∴．又∵CD∥AE，且，∴CD∥FM，CD=FM．则四边形CDFM为平行四边形．故DF∥CM，又DF⊄平面ABC，CM⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC；（2）在Rt△ABC中，AC=BC=1，∴．在△ABE中，AE=2，，．∵BE2=AE2+AB2．∴△ABE为直角三角形．∴AE⊥AB．又∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC=AC，且∠ACB=90°，∴AC⊥BC．故BC⊥平面ACDE．即BC⊥AE．∵BC∩AB=B，∴AE⊥平面ABC，而CM⊂平面ABC，故AE⊥CM．在△ABC中，∵AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB．AE∩AB=A，∴CM⊥平面ABE．由（1）知DF∥CM，∴DF⊥平面ABE；（3）由（2）可知BC⊥平面ACDE，∴BC为三棱锥B﹣CDE的高，∴V D ﹣BCF =V B ﹣CDE =．18．已知直线l n ：y=x ﹣与圆C n ：x 2+y 2=2a n +n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *．数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式a n ； （Ⅱ）若b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）由已知求出|A n B n |，代入a n+1=，可得数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{a n }的通项公式a n 可求； （Ⅱ）把数列{a n }的通项公式代入b n =，然后利用错位相减法求得数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）圆C n 的圆心到直线l n 的距离，半径，∴=，即，又a 1=1，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n ==，∴，，两式相减，得，∴．19．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N 两点，求|MN|的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为x M===，同理可得点N的横坐标为x N=，所以|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．20．函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式＞即为•＞，令g（x）=，通过导数，求得＞，令h（x）=，运用导数证得h（x）＜h（1）=，原不等式即可得证．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直，可得f′（e）=﹣，即有﹣=﹣解得得a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣（x＞0）当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴x=1是函数f（x）的极大值点又f（x）在（m，m+1）上存在极值∴m＜1＜m+1 即0＜m＜1故实数m的取值范围是（0，1）；（2）不等式＞即为•＞令g（x）=则g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣=，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2故＞．令h（x）=，则h′（x）=，∵x＞1∴1﹣e x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数∴x＞1时，h（x）＜h（1）=，所以＞h（x），即＞．2020年7月21日。
2020-2021学年天津市高三第二次模拟考试数学试题(文)及答案解析
高考二模考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41- B ．-1 C ．41 D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x ∈==,则=B A I ( )A ．(0,1)B ．(-1,2)C ．),1(+∞-D ．)1,21( 3. 已知函数⎩⎨⎧<≥•=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( ) A ．41 B ．21 C ．2 D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( )A ．31B ．21 C. 32 D ．65 6. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n •-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[- B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[- 8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x a x x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PB MP MC AM ，若2=AB ，3=AC ，︒=∠120BAC ，则BC AP •的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.投资人对甲乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？最大盈利额为多少？16. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知2)4tan(=+A π.（Ⅰ）求)32cos(π+A 的值；（Ⅱ）若4π=B ，3=a ，求ABC ∆的面积.17. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，BC AD //，且，3===AC AD AB ，4==BC PA ，M 为线段AD 上一点，MD AM 2=，且N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）求证：平面⊥PMC 平面PAD ；（Ⅲ）求直线AN 与平面PMC 所成角的正弦值.18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a .（Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xm x x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3)()(x x f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.数学试卷（文史类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11.335 12. 21 13. π 14.-2三、解答题15.解：设甲、乙两个项目的投资分别为x 万元，y 万元，利润为z （万元），由题意有：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.11.03.0,10y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,8.113,10y x y x y x y x z 5.0+=.作出不等式组的平面区域：当直线z x y 22+-=过点M 时，纵横距最大，这时z 也取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+18310y x y x .得4=x ，6=y ，即)6,4(M .765.041=⨯+⨯=z .故投资人投资甲项目4万元，投资乙项目6万元，可能的盈利最大，最大盈利7万元.16.解：（Ⅰ）∵2)4tan(=+A π，则2tan 4tan 1tan 4tan =-+A Aππ，∴31tan =A . ∵A 为三角形内角，则),0(π∈A ，则1010sin =A ，10103cos =A ， ∴53cos sin 22sin ==A A A ，541cos 22cos 2=-=A A ， ∴3cos 2cos )32cos(ππA A =+1010343sin 2sin -=-πA . （Ⅱ）由正弦定理可知，Aa Bb sin sin =∴53=b . ∵B A B A C cos sin )sin(sin =+=552sin cos =+B A . ∴9sin 21==C ab S . 17.解：（1）取PB ，BC 中点E ，F ，连EN ，AE ，AF ，由N 为PC 中点，所以BC EN //，且221==BC EN .由MD AM 2=，3=AC ，则2=AM ，又BC AD //，则AM EN //. 所以四边形ENMA 为平行四边形，所以AE MN //，且⊂AE 面PAB ，⊄MN 面PAB ，则//MN 面PAB .（2）∵AC AB =，∴BC AF ⊥，又FC AM //，2==FC AM 所以四边形AFCM 为平行四边形，故AD CM ⊥.又∵⊥PA 面ABCD .⊂CM 面ABCD ，∴⊥CM PA .又A PA AD =I ，所以⊥CM 面PAD ，∵⊂CM 面ABCD ，∴面⊥PMC 面PAD .（3）过A 作PM AG ⊥，垂足为G .由（2）知面⊥PMC 面PAD ，面I PMC 面PAD PM =，⊂AG 面PAD ，∴⊥AG 面PMC ，连接AN ，GN .则GN 为AN 在平面PMC 上的射影，∴ANG ∠为AN 与平面PMC 所成角. ANG Rt ∆中==PC AN 21252122=+AC PA ， 55422=+•=AM PA AMPA AG ，2558sin ==∠AN AG ANG ， ∴AN 与平面PMC 所成角正弦值为2558.18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+•-=n n .所以223+•=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.① 设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122km m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞，221)(xe x x e x xf -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=ee e ef ，所以)(x f 的极小值为2. （2）函数=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增；∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点.综上所述： 当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--a b a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*.设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x xm x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='x m x x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立， ∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）. ∴m 的取值范围是),41[+∞.。
【KS5U解析】天津市部分区2020届高考二模数学试题 Word版含解析
所以 ，
，
当 时， 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三､解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明､推证过程或演算步骤.
16.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养.该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶.已知该校某班语文､数学､英语三个兴趣小组学生人数分别为10人､10人､15人.经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查.
17.已知各项均为正数的数列 ，满足 ( ).
（1）求证： 为等比数列，并写出其通项公式；
（2）设 ( )，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析， .（2）
【解析】
【分析】
（1）由 可得 ，然后两式相减得 ，然后求出 即可
（2）利用错位相减法求出 即可.
【详解】（1）因为 ( )， ①
所以，当 时，有 ，②
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则可得 ，进而可得 ，求得 后，由复数模的概念即可得解.
【详解】由题意 ，
所以复数 的实部为 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查了复数的运算、复数实部的概念以及复数模的概念，属于基础题.
4.函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ( 为常数)，则 （ ）
2020年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
2020年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={-1，1}，，则A∪B=（）A. {-1}B. {-1，1}C. {-1，0，1}D. {-1，0，1，2}2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的最大值为（）A. -4B.C. 6D. 83.执行如图所示的程序框图，若输入k的值为9，则输出的结果S为（）A. 109B. 48C. 19D. 64.设x∈R，则“x3＜27”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知△ABC为直角三角形，AC=BC=2，点D为斜边AB的中点，点P是线段CD上的动点，则的最小值为（）A. -2B.C.D. 06.已知函数f（x）=e|x|，令，则a，b，c的大小关系为（）A. b＜a＜cB. c＜b＜aC. b＜c＜aD. a＜b＜c7.已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F为双曲线C2：的顶点，过点F的直线与抛物线C1相交于M、N两点，点A在x轴上，且满足|MN|=8，若|AM|=|AN|，则△AMN的面积为（）A. B. C. D. 88.已知函数的图象过点，且在上单调，把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当且x1≠x2时，f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A. B. C. -1 D. 1二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.i是虚数单位，复数=______．10.在的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于______．11.已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为______．12.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin （θ+）=2．设点P在C1上，点Q在C2上，则|PQ|的最小值为______．13.若，则a+b的最小值是______．14.已知函数，函数g（x）=f（x）-kx+1有四个零点，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=6，b=2c，求△ABC的面积．16.为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，王同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求王同学至少取到2道乙类题的概率；（Ⅱ）如果王同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中2道甲类题，1道乙类题，用X表示王同学答对题的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．17.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面CDEF，∠ADE=60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=4，点G是棱CF上的动点．（Ⅰ）当CG=3时，求证EG∥平面ABF；（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角G-AE-D所成角的余弦值为，求线段CG的长．18.设S n是等差数列{a n}的前n项和，满足a2=5，S5=35，T n是数列{b n}的前n项和，满足T n=2b n-1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令，设数列{c n}的前n项和P n，求P2n的表达式．19.已知椭圆C的方程为，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点M（0，m）（0＜m＜b）的直线交x轴的负半轴于点N，交C于点A，B（A在第一象限），且M是线段AN的中点，过点A作x轴的垂线交C于另一点D，延长线DM交C于点G．（i）设直线AM，DM的斜率分别为k，k′，证明：3k+k′=0；（ii）求直线BG的斜率的最小值．20.已知函数f（x）=（ax2+x+a）e-x（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤b ln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合A={-1，1}，={x|-2＜x＜1，x∈Z}={-1，0}，∴A∪B={-1，0，1}．故选：C．先求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：由变量x，y满足约束条件，作可行域如图．由z=3x+2y，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A，B时，目标函数取得最值，由：，可得A（-2，7），分别为z max=3×（-2）+2×7=8，目标函数的最大值为8．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得k=9，n=1，S=1不满足判断框内的条件n＞k，执行循环体，n=4，S=6不满足判断框内的条件n＞k，执行循环体，n=7，S=19不满足判断框内的条件n＞k，执行循环体，n=10，S=48此时，满足判断框内的条件n＞k，退出循环，输出S的值为48．故选：B．由已知中的程序框图及已知中输入k的值，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由x3＜27得x＜3，由得0＜x＜3，则“x3＜27”是“”的必要不充分条件，故选：B．5.答案：A解析：解：根据题意，以C为坐标原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系，如图：则B（2，0），A（0，2），D为AB的中点，则D（1，1），点P是线段CD上的动点，设P（m，m），（0≤m≤1）；则=（-m，2-m），=（2-m，-m），则=（-m）（2-m）+（2-m）（-m）=2m2-4m=2（m-1）2-2，又由0≤m≤1，则当m=1时，取得最小值-2；故选：A．根据题意，建立坐标系，求出A、B、D的坐标，进而设P（m，m），求出向量、的坐标，由数量积的计算公式可得=（-m）（2-m）+（2-m）（-m）=2m2-4m，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题，6.答案：A解析：解：根据题意，函数f（x）=e|x|，有f（-x）=e|-x|=e|x|=f（x），即函数f（x）为偶函数，则有c=f（）=f（-log23）=f（log23），又由当x＞0时，f（x）=e x，易得f（x）为[0，+∞）上为增函数，又由log23＞1＞sin=＞＞2-3，则有f（log23）＞f（sin）＞f（2-3），则有b＜a＜c；故选：A．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）为偶函数且在[0，+∞）上为增函数，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，涉及分段函数的应用，属于基础题．7.答案：D解析：解：由题意可知，抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则，p=2．∴抛物线方程为y2=4x．如图，设MN所在直线方程为y=k（x-1），联立，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则，由|MN|=x1+x2+2=8，得，解得k=±1．∴x1+x2=6，则MN的中点坐标为（3，2），不妨取k=1，可得MN的垂直平分线方程为y-2=-1×（x-3），即y=-x+5．取y=0，得A（5，0）．此时A到直线x-y-1=0的距离d=．∴△AMN的面积S=．故选：D．由题意求得抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，设出直线方程，利用抛物线焦点弦长公式求得k，再求出MN的垂直平分线方程，得到A的坐标，由点到直线的距离公式求出A到MN的距离，代入三角形面积公式求解．本题考查圆锥曲线的综合，考查直线与篇文章位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．8.答案：B解析：解：∵函数的图象过点，∴2sinφ=，∴φ=．f（x）在上单调，∴•≥-，∴0＜ω≤3．把f（x）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k•=π，k∈Z，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+）．当且x1≠x2时，2x+∈（，3π），若f（x1）=f（x2），则x1+x2=2•=5π，f（x1+x2）=2sin（10π+）=2sin=，故选：B．利用正弦函数的周期性和单调性，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得x1+x2的值，可得f（x1+x2）的值．本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．9.答案：解析：解：=．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．10.答案：28解析：【分析】本题考查了二项式展开式的通项公式，属中档题．由二项式展开式的通项公式得：2n=256，解得：n=8，又（-）8的二项式展开式的通项为T r+1=（）8-r（-）r=（-1）r x，令=0，则r=2，即展开式中常数项等于（-1）2=28，得解．【解答】解：由在的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，可得：2n=256，解得：n=8，又（-）8的二项式展开式的通项为T r+1=（）8-r（-）r=（-1）r x，令=0，则r=2，即展开式中常数项等于（-1）2=28，故答案为：28．11.答案：解析：解：∵圆锥的底面半径r=4，高h=3，∴圆锥的母线l=5，∴圆锥侧面积S=πrl=20π，设球的半径为r，则4πr2=20π，∴r=，∴该球的体积为V=•π•（）3=．故答案为：．由已知中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得球的半径，利用球的体积公式即可计算得解．本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键，属于中档题．12.答案：解析：解：由C1的参数方程消去参数α得曲线C1的普通方程为：（x+1）2+y2=2，由曲线C2的极坐标方程以及互化公式可得C2的普通方程为：x+y-4=0，依题意可得|PQ|的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，∴|PQ|min=-=．故答案为：．分析：先将直线与圆的方程化成直角坐标方程，然后将|PQ|的最小值等于圆心到直线的距离减去半径可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程和参数方程，属中档题．13.答案：解析：【分析】本题主要考查基本不等式，对数的运算法则，1的代换是解决本题的关键，属于中档题．根据对数的运算进行化简，结合基本不等式利用1的代换进行转化求解即可．【解答】解：∵=log4（4ab），∴a+4b=4ab，得，得=1，即+=1，则a+b=（a+b）（+）=1+++≥+2=+1=，当且仅当=，即a=2b时取等号，即a+b的最小值为，故答案为：14.答案：解析：解：由g（x）=f（x）-kx+1=0得kx=f（x）+1，当x=0时，0=f（0）+1=0+1不成立，即x≠0，则k=，若g（x）有四个零点，则等价为k=有四个不同的根，设h（x）=，则当x＞0时，h（x）==ln x+-2，h′（x）=-=，则当x＞1时，h′（x）＞0，函数为增函数，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，函数为减函数，即此时当x=1时，h（x）取得极小值，极小值为h（1）=-1，当x→+∞，f（x）→+∞，当x≤0时，h（x）==x++，h′（x）=1-=，由h′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜-1，此时函数为增函数，由h′（x）＜0得-1＜x＜0，此时h（x）为减函数，即当x=-1时，h（x）取得极大值，极大值为h（-1）=-1-1+=-，作出函数h（x）的图象如图：要使k=有四个根，则满足-1＜k＜，即实数k的取值范围是（-1，），故答案为：（-1，）根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，转化为两个函数交点个数，求函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．15.答案：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得，…………（2分）∵，∴，…………（4分）∵A∈（0，π），∴．…………（6分）（Ⅱ）∵a=6b=2c，∴a2=b2+c2-2bc cos A，…………（8分）整理可得36=4c2+c2-2c2，∴解得，…………（10分）∴．…………（13分）解析：（Ⅰ）由已知利用正弦定理可求，结合范围A∈（0，π），可求．（Ⅱ）由已知利用余弦定理整理可得36=4c2+c2-2c2，解得，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：解：（Ⅰ）设“王同学至少取到2道乙类题”为事件A，.（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3 ,，，,X0123P.解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力,是中档题．（Ⅰ）设“王同学至少取到2道乙类题”为事件A，利用古典概型概率的求法求解即可．（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列然后求解期望即可．17.答案：（Ⅰ）证明：由已知得CG∥DE且CG=DE，故四边形CDEG为平行四边形，∴CD∥EG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴AB∥EG，又EG⊄平面ABF，AB⊂平面ABF，∴EG∥平面ABF．（Ⅱ）过点A作AO⊥DE交DE于点O，过点O作OK∥CD交CF于点K由（1）知平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF=DE，AO⊂平面ADE，∴AO⊥平面CDEF，∵CD⊥DE，∴OK⊥DE，以O为原点建立如图的空间直角坐标系，则D（0，-1，0），E（0，2，0），C（3，-1，0），F（3，3，0），，D （0，-1，0），∴，，，设平面ABCD的法向量为，则，即，令z=-1，则，，∴=，∴直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为，（Ⅲ）（0≤λ≤1）∴G（3，4λ-1，0）．∴，，设平面AEG的法向量为，则，即，令y=3，则，x=3-4λ，∴，平面AED的法向量为，=，解得，∴，∴|CG|=λ|CF|=4λ=，∵|CG|≤4，∴．解析：（I）根据平行四边形的性质可得EG∥CD∥AB，故EG∥平面ABF；（II）建立空间坐标系，求出平面ABCD的法向量，计算与的夹角得出直线BE与平面ABCD所成角；（III）设=λ，用λ表示出平面AEG和平面ADE的法向量，根据二面角大小列方程解出λ即可得出CG的长．本题考查了线面平行的判定，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）∵{a n}是等差数列S5=35∴，a3=7，∵a2=5，∴d=2，∴a n=a2+（n-2）•2=2n+1．当n=1时T1=2b1-1，∴b1=1．当n≥2时T n-1=2b n-1-1又∵T n=2b n-1，∴b n=2b n-2b n-1b n=2b n-1∴{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴．（Ⅱ）∵，∴设前2n项中奇数项的和为A n，偶数项的和为B n．①②，①-②得：．，．∴．解析：（Ⅰ）首先利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用分类讨论思想和乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．19.答案：（Ⅰ）解：∵抛物线的焦点是，∴……（1分）．∵，a2=b2+c2∴……（2分）．∴椭圆C的方程……（3分）（Ⅱ）（i）设A（x0，y0）那么D（x0，-y0）．∵M是线段AN的中点∴A（x0，2m）D（x0，-2m）……（4分）．∴，……（5分），∴3k+k′=0……（6分）（ii）根据题意得：直线AM的斜率一定存在且k＞0设直线AM为y=kx+m，则直线DM为y=k′x+m=-3kx+m由可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-6=0……（7分）利用韦达定理可知：，∴……（8分），∵3k+k′=0，∴同理可得……（9分），∴∵k＞0，∴当且仅当时即为时等号成立……（14分）（不求出k值，不扣分）解析：（Ⅰ）结合题意分别求出b的值，再利用离心率求出a，c的值，求出椭圆方程即可；（Ⅱ）（i）设A（x0，y0）那么D（x0，-y0）．可得，，即可得3k+k′=0．（ii）设直线AM为y=kx+m，则直线DM为y=k′x+m=-3kx+m利用韦达定理及3k+k′=0，可求得B，G坐标，求出直线BG的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可k的最小值，再求出m的值即可本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，考查了运算求解能力转化与划归能力，属于难题．20.答案：解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x•e-x，∴f′（x）=e-x-x•e-x=e-x（1-x）……（1分）∴f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x．……（2分）（Ⅱ）由题意，f'（x）=（2ax+1）e-x-（ax2+x+a）e-x=-e-x[ax2+（1-2a）x+a-1]=-e-x（x-1）（ax+1-a）．……（3分）（ⅰ）当a=0时，f'（x）=-e-x（x-1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（-∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（4分）（ⅱ）当a＞0时，，令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得或x＞1，……（5分）所以f（x）在单调递增，在，（1，+∞）单调递减，………（6分）（Ⅲ）令g（a）=e-x（x2+1）a+xe-x，a∈（-∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e-x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则，………………（7分）则g（a）≤b ln（x+1）对∀a∈（-∞，0]恒成立等价于b ln（x+1）≥g（a）max=g（0），即xe-x≤b ln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（8分）（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），b ln（x+1）＜0，xe-x＞0，此时xe-x＞b ln（x+1），不合题意，舍去．…………（9分）（ⅱ）当b＞0时，令h（x）=b ln（x+1）-xe-x，x∈[0，+∞），则，……（10分）其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）=be x+x2-1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……（11分）①当b≥1时，p（x）≥p（0）=b-1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）=0，即不等式b ln（x+1）≥xe-x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………（12分）②当0＜b＜1时，由p（0）=b-1＜0，p（1）=be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）=0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即b ln（x+1）＜xe-x，不符合题意．……（13分）综上所述，b≥1．…………（14分）解析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x•e-x，f′（x）=e-x-x•e-x=e-x（1-x），可得f′（0）=1，f（0）=0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）=（2ax+1）e-x-（ax2+x+a）e-x=-e-x[ax2+（1-2a）x+a-1]=-e-x（x-1）（ax+1-a）．对a分类讨论：a=0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）=e-x（x2+1）a+xe-x，a∈（-∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e-x（x2+1）≥0，g （a）单调递增，则．可得g（a）≤b ln（x+1）对∀a∈（-∞，0]恒成立等价于b ln（x+1）≥g（a）max=g（0），即xe-x≤b ln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2020天津市部分区二模数学试题参考答案(02.06稿)
天津市部分区2020年高三质量调查试卷（二）数学试卷参考答案一、选择题：(本大题共9个小题，每小题5分，共45分)二、填空题：(本大题共6个小题，每小题5分，共30分)10．221916x y -= 11．2- 12． 13．2 14．2；10 15．920-三、解答题：（本大题共5个小题，共75分）16．解：（1）依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2:2:3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别 抽取2人、2人、3人． ……………………………………………………………3分 （2）（ⅰ）依题意，得随机变量X 的所有可能取值为2，3，4．………………4分所以，45247()(2,3,4)k kC C P X k k C -⋅===．…………………………………………5分 因此，所求随机变量X 的分布列为………………………………………………10分故随机变量X 的数学期望为1020520()2343535357E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………………………11分 （ⅱ）依题意，设事件B 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C 为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”.则有M B C =U ，且B 与C 互斥. 由①知，()(2),()(3)P B P X P C P X ====，所以6()()(2)(3).7P M P B C P X P X ===+==U ………………………13分 故事件M 发生的概率为67． ……………………………………………………14分 17.（1）证明：因为()2=31n n S a -（n ∈N *）， ①所以，当2n ≥时，有()-1-12=31n n S a -， ② ……………………………1分 ①-②得()()112=3n n n n S S a a ----， 即12=33n n n a a a --，所以1=3n n a a -（n ∈N *，2n ≥）．………………………3分 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． …………………………………………4分 又由①得()112=31S a -，所以13a =． …………………………………………5分所以111333n n nn a a q --==⨯=． …………………………………………………7分（2）解：由题意及（1）得()()21213=-=-n n n b n a n ． ………………………8分 所以()121333213=⨯+⨯++-⋅L n n T n ， ③所以()()23131333233213+=⨯+⨯++-⋅+-⋅L n n n T n n ， ④ …………10分 ③-④，得()1231213232323213+-=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅L n n n T n………………12分()()11231323333213+=-+++++--⋅L n n n()()()1133132213621331++-=-+⨯--⋅=----n n n n n ， …………14分故()1313n n T n +=+-． …………………………………………………………15分18.（1）证明：因为AB //CD ，90∠=oBAD ，所以90ADC ∠=o.又因为1==AD CD ，所以ACD ∆是等腰直角三角形,所以AC =45CAD ∠=o ． …………………………………………………2分又因为90∠=oBAD ，45ABC ∠=o，所以90ACB ∠=o，即AC BC ⊥． ………………………………………………3分 因为⊥PC 底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥.又PC AC C =I ,所以BC ⊥平面PAC ． ………………………………………6分 （2）解：在Rt ∆ABC 中, 45ABC ∠=o，AC =BC =由（1）知，BC ⊥平面PAC ，所以BPC ∠是直线PB 与平面PAC所成的角，则sin BPC ∠=． ………7分 在Rt ∆PBC 中, sin 3BC PB BPC ===∠所以2PC ==． ……………………………………………………8分【方法一】以点C 为原点，分别以,,AC CB CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． …………………………9分 则()()()()0,0,0,0,0,2,,C P A B . 因为E 为PB的中点，所以0,12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以(),0,2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．…………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2y z ⎧=+=⎩ 令2y =，得0,x z ==(0,2,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()0,1,0n =r为平面PAC 的一个法向量． ……………13分所以cos ,m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --…………………………………15分 【方法二】以点C 为原点，分别以,,CB CA CP u u u r u u u r u u u r的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz -． ………………………9分 则()()())0,0,0,0,0,2,,C P A B.因为E 为PB的中点，所以012E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，所以(),2CA CE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ． …………10分设平面ACE 法向量为(),,m x y z =u r，则0,0,CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r即0,0.2x z =+=⎩ 令2x =，得0,y z ==．所以(2,0,m =u r． ………………………12分由BC ⊥平面PAC ，则()1,0,0n =r为平面PAC 的一个法向量.………………13分所以cos ,3m n m n m n⋅===u r ru r r u r r ． 故所求二面角P AC E --……………………………………15分 19.（1）解：设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c （0c >），则26c =，所以3c =． ……………………………………………………………1分因为直线AB 过C 的焦点1F ，且2ABF ∆的周长是， 所以()()()2112224AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =． ……………………………………………………………………2分 所以2221899b a c =-=-=． …………………………………………………3分所以，椭圆C 的方程是221189x y +=． ……………………………………………4分（2）（ⅰ）证明：由题意得，直线OP ：1y k x =，直线OQ ：2y k x =. 因为直线,OP OQ 与圆M 相切，=,化简，得22210010(6)260x k x y k y --+-=； 同理，得222020020(6)260x k x y k y --+-=．……………………………………6分所以12,k k 是一元二次方程2220000(6)260x k x y k y --+-=的两实数根，则有20122066y k k x -⋅=-．………………………………………………………………7分又因为点00(,)M x y 在C 上，所以22001189x y +=，即2200192y x =-， 所以()22001222001136122662x x k k x x --===---（定值）． ……………………………9分 （ⅱ）解：22OP OQ +是定值，且定值为27． ……………………………10分 理由如下：【方法一】设),(,),(2211y x Q y x P .由（1）、（2）联立方程组122,1,189y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得212122112118,1218.12x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ …………11分 所以2221112118(1)12k x y k ++=+． …………………………………………………12分同理，得2222222218(1)12k x y k ++=+． ……………………………………………13分 由（2）知1212k k =-， 所以2222221122OP OQ x y x y +=+++2212221218(1)18(1)1212k k k k ++=+++ 22112211118(1())18(1)211212()2k k k k +-+=+++-2121275412k k +=+27=， 所以22=27OP OQ +（定值）．……………………………………………15分 【方法二】设),(,),(2211y x Q y x P , 由（2）知1212k k =-，所以2222121214y y x x =． ………………………………11分 因为),(,),(2211y x Q y x P 在C 上，所以221122221,1891,189x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 即 2211222219,219.2y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………………………………12分 所以22221212111(9)(9)224x x x x --=，整理得221218x x +=， 所以222212121199922y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………14分 故有22=27OP OQ +（定值）.………………………………………………15分 20.解：（1）由题意,得()()()()sin cos 4cos sin 2sin 4x x x f x e x x e x x e x '=-+++=+，………1分所以()04f '=．因为()03f =，所以()340y x -=-，即所求曲线()=y f x 在点()()0,0f 处的切线方程为430x y -+=． ………3分 （2）易知，函数()h x 的定义域为R ，()2sin '=+g x x ， 且有()()''=-h x f x ()'ag x()()()()2sin 4sin 22sin 2=+-+=-+x x e x a x e a x ．……………5分由于sin 20+>x 在∈x R 上恒成立，所以①当0≤a 时，20->xe a 在∈x R 上恒成立，此时()0'>h x ，所以，()h x 在区间(),-∞+∞上单调递增． ……………………………………7分 ②当0>a 时，由()0'>h x ，即20->xe a ，解得ln2>ax ； 由()0'<h x ，即20-<xe a ，解得ln2<a x . 所以，()h x 在区间,ln 2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭a 上单调递减； 在区间ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭a 上单调递增． ………………………………………9分 （3）易知，cos 0+-≤xx mx e等价于cos 0--≤x e x x m .设()cos ϕ=--x x e x x m （50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ）．…………………………………10分 由题意，对50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，不等式cos 0+-≤x x m x e 恒成立， 只需()max 0ϕ≤x ． ………………………………………………………………11分 易得()()cos sin 1'ϕ=--x x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x . 令()()cos sin 1=--x t x e x x ，50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ， 所以()()2sin '=-x t x e x ． ……………………………………………………13分 显然，当50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0'≤t x 恒成立. 所以函数()t x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减，所以()()00≤=t x t ， 即()0'ϕ≤x 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 恒成立．……………………………………………14分 所以，函数()ϕx 在50,12π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 上单调递减. 所以有()()max 010ϕ=ϕ=-≤x m ， …………………………………………15分 所以1≥m .故所求实数m 的取值范围是[)1,+∞． …………………………………………16分。
2020年天津市部分区高考数学二模试卷
2020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，0，1}，{1B =-，2，3}，{|11}C x R x =∈-<„，则()(A B C =U I)A ．{1}-B ．{1-，0}C ．{1-，1}D ．{1-，0，1}2．（5分）已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是( ) A ．x R ∃∈，2230x x ++> B ．x R ∀∈，2230x x ++„C ．x R ∀∈，2230x x ++…D ．x R ∀∈，2230x x ++>3．（5分）已知i 为虚数单位，若复数1()2aiz a R i+=∈-的实部为1-，则||(z = ) A ．13BC ．53D4．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，()2(x f x x a a =++为常数），则f （a ）(= )A ．12B ．32 C ．32-D ．2-5．（5分）若sin()3πθ-=，(0,)θπ∈，则cos()(6πθ-= )A ．0B ．12C ．1 D6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，10100S =，则7(a = ) A ．11B ．13C ．15D ．177．（5分）已知3log 0.3a =，0.3log 2b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>8．（5分）若函数()cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<在区间[,]66ππ-上单调递减，且在区间(0,)6π上存在零点，则ϕ的取值范围是( ) A ．(,]62ππB ．25[,)36ππ C ．2(,]23ππD ．[,)32ππ9．（5分）已知函数2171,20,()6,0,x x x f x lnx x e ⎧++-<⎪=⎨⎪<⎩„„函数()g x kx =．若关于x 的方程()()0f x g x -=有3个互异的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．15(,)6eB ．11[,]3eC ．15[,]36D ．1(0,)e二、填空题：本大题共6小题，共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.10．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为(5,0)F ，且一条渐近线方程是43y x =，则该双曲线的方程是 ．11．（5分）若6()ax x +的展开式中的常数项为160-，则实数a = ．12．（5分）已知点(,)P x y 在直线230x y +-=上，则24x y +的最小值为 ．13．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2sin cos()04a C c A π--=，则cos A = ．14．（5分）如图，点O 是长方体1111ABCD A B C D -的中心，E ，F ，G ，H 分别为其所在棱的中点，且1BC BB =．记棱AB 的长度为l ，点O 到平面11BCC B 的距离为0l ，则l = 0l ；若该长方体的体积为120，则四棱锥O EFGH -的体积为 ．15．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM u u u u r u u u u rg的最小值为 ． 三、解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16．（14分）天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”（每位学生只能参加一个小组），以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．（ⅰ）记X 表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）设M 为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M 发生的概率． 17．（15分）已知各项均为正数的数列{}n a ，满足*23(1)()n n S a n N =-∈． （1）求证：{}n a 为等比数列，并写出其通项公式； （2）设*(21)()n n b n a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是直角梯形，PC ⊥底面ABCD ，//AB CD ，90BAD ∠=︒，1AD CD ==，45ABC ∠=︒，E 为PB 的中点． （1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为3，求二面角P AC E --的余弦值．19．（15分）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，其焦距为6，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长是122 （1）求C 的方程；（2）若0(M x ，0)y 是C 上的动点，从点(O O 是坐标系原点）向圆2200()()6x x y y -+-=作两条切线，分别交C 于P ，Q 两点．已知直线OP ，OQ 的斜率存在，并分别记为1k ，2k ． （ⅰ）求证：12k k 为定值；（ⅱ）试问22||||OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 20．（16分）已知函数()(sin cos 4)x f x e x x =-+，函数()2cos g x x x =-，其中 2.71828e =⋯。
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2020年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i2．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+（y﹣1）2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤35．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取________人进行该项调查．10．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于________．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=________．12．函数的单调递增区间是________．13．已知数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，则a2020=________．14．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．16．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：每件产品A 每件产品B研制成本、搭载费用之和（百万元）2 1.5计划最大资金额15（百万元）产品重量（千克） 1 1.5 最大搭载重量12（千克）预计收益（百元）1000 1200 ________并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍．如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=AB=1，AE∩DF=O，M为EC的中点．（Ⅰ）证明：OM∥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AB﹣E的正切值；（Ⅲ）求BF与平面ADEF所成角的余弦值．18．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的长轴长为短轴长的倍．（1）求椭圆E的离心率；（2）设椭圆E的焦距为2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与圆x2+y2=相切．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n为{b n}的前n项和，求T2n．20．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx．（a∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处的切线斜率为，不等式f（x）≥bx﹣2对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n∈N，n≥2有： +++…+＜．2020年天津市十二区县重点高中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数得答案．【解答】解：z==，故选：A．2．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+（y﹣1）2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l与曲线C有公共点⇔≤1，化为|b﹣1|≤，即可判断出结论．【解答】解：直线l与曲线C有公共点⇔≤1，化为|b﹣1|≤．可知：b=1时，满足上式；反之不成立，取b=也可以．∴“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件．故选：A．3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】分别利用指数式与对数函数的运算性质比较三个数与0和1的大小得答案．【解答】解：∵a=50.2＞50=1，0＜b=logπ3＜logππ=1，c=log5sinπ≤0，∴a＞b＞c．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤3【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意当s=8，k=3时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，s=1应满足条件，执行循环体，s=1，k=1应满足条件，执行循环体，s=2，k=2应满足条件，执行循环体，s=8，k=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8．则判断框内应为：k＜3？故选：C．5．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，使S△PBC≤S△ABC得到三角形高的关系，利用几何概型求概率．【解答】解：设P到BC的距离为h，∵三角形ABC的面积为S，设BC边上的高为d，因为两个三角形有共同的边BC，所以满足S△PBC≤S△ABC时，h≤d，所以使S△PBC ≤S△ABC的概率为=；故选：A．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得φ的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+），∴图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到y=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+），∵所得的图象关于原点对称，∴2φ+=kπ（k∈Z），φ＞0，则φ的最小正值为．故选：B．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|AF1|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=a，Rt△ABF2中算出cos ∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，在△F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=4x，则|BF2|=3x，|AF2|=5x，根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a，即5x﹣t=（4x+t）﹣3x=2a，解得t=2x，x=a，即|AF1|=a，|AF2|=a，∵|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，△F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1=a2+a2﹣2×a×a×（﹣）=20a2，可得|F1F2|=2a，即c=a，因此，该双曲线的离心率e==．故选：D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作出图形，根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对两边平方，进行数量积的运算便可得到5=4λ2+2λμ+μ2=（2λ+μ）2﹣2λμ，由基本不等式即可得出2λ+μ的范围，从而便可得出2λ+μ的最大值．【解答】解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，5==4λ2+2λμ+μ2==；∴；∴；∴2λ+μ的最大值为．故选B．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取31人进行该项调查．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：解：由分层抽样的定义得该校共抽取：=31，故答案为：31；10．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于1：3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴V1==，V2==4π．∴V1：V2=1：3．故答案为：1：3．11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=4．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC的长．【解答】解：∵PA是圆O的切线，∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3．∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°，∵△APE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3．∴BE=PB﹣PE=6，DE=PE﹣PD=2∵圆O中，弦AC、BD相交于E，∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，∴EC=4，故答案为：4．12．函数的单调递增区间是（2，3）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由函数，知﹣x2+4x﹣3＞0，由t=﹣x2+4x﹣3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，利用复合函数的单调性的性质能求出函数的单调递增区间．【解答】解：∵函数，∴﹣x2+4x﹣3＞0，解得1＜x＜3，∵t=﹣x2+4x﹣3是开口向下，对称轴为x=2的抛物线，∴由复合函数的单调性的性质知函数的单调递增区间是（2，3）．故答案为：（2，3）．13．已知数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，则a2020=﹣2．【考点】数列递推式．【分析】由于数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，可得a n+6=a n．即可得出．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，a2=3，a n+2=a n+1﹣a n，∴a3=a2﹣a1=2，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣3，a6=﹣2，a7=1，a8=3，…，∴a n+6=a n．则a2020=a335×6+6=a6=﹣2，故答案为：﹣2．14．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是（﹣6，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数f（x）是偶函数，结合函数与x轴交点个数得到f（0）=0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，则必有f（0）=0，即a2﹣6=0，即a2=6，即a=±，当a=时，f（x）=x2+2|x|，此时函数f（x）只有1个零点，不满足条件．当a=﹣时，f（x）=x2﹣2|x|，此时函数f（x）有3个零点，满足条件，此时f（x）=x2﹣2|x|=（|x|﹣）2﹣6，∴f（x）≥﹣6，由g（x）=f（x）﹣b=0得b=f（x），作出函数f（x）的图象如图：要使函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则﹣6＜b＜0，故答案为：（﹣6，0）三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出．（II）利用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）==．当时，f（x）取最小值为．（Ⅱ），∴．在△ABC中，∵C∈（0，π），，∴，又c2=a2+b2﹣2abcosC，（a+b）2﹣3ab=7．∴ab=3．∴．16．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：每件产品A 每件产品B研制成本、搭载费用之和（百万元）2 1.5计划最大资金额15（百万元）产品重量（千克） 1 1.5 最大搭载重量12（千克）预计收益（百元）1000 1200 10200（百元）并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍．如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【考点】简单线性规划．【分析】设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．由图表列出关于x，y的不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．则有．作出可行域如图：作直线l：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0．把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点B，此时z=1000x+1200y取得最大值．由，解得点M的坐标为（3，6）．∴当x=3，y=6时，z max=3×1000+6×1200=10200（百元）．答：搭载A产品3件，B产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元．故答案为：10200百元．17．如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=AB=1，AE∩DF=O，M为EC的中点．（Ⅰ）证明：OM∥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D﹣AB﹣E的正切值；（Ⅲ）求BF与平面ADEF所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出OM∥AC，由此能证明OM||平面ABCD．（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，则∠EHD为二面角D﹣AB﹣E的平面角，由此能求出二面角D﹣AB﹣E的正切值．（Ⅲ）推导出BD⊥DA，从而BD⊥平面ADEF，由此得到∠BFD的余弦值即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵O，M分别为EA，EC的中点，∴OM∥AC…．∵OM⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD…．∴OM||平面ABCD …．解：（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，EH∵DA=DB∴DH⊥AB，…．又EA=EB∴EH⊥AB…．∴∠EHD为二面角D﹣AB﹣E的平面角…．又DH=1，∴，∴二面角D﹣AB﹣E的正切值为．…．（Ⅲ）∵DC=BC=1，∠BCD=90°，∴∵．∴BD⊥DA…．∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面ADEF…．∴∠BFD的余弦值即为所求…在，∴…．∴…．18．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的长轴长为短轴长的倍．（1）求椭圆E的离心率；（2）设椭圆E的焦距为2，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与圆x2+y2=相切．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；（2）求得椭圆的a，b，可得椭圆方程，讨论直线的斜率不存在，设出方程x=m，代入椭圆方程求得P，Q的坐标，由仇恨值的条件，可得m，求得圆心到直线的距离可得结论；再设直线y=kx+n，代入椭圆方程，运用韦达定理，由两直线垂直的条件，可得x1x2+y1y2=0，化简整理，可得4t2=3+3k2，再求圆心到直线的距离，即可得到直线恒与圆相切．【解答】解：（1）由题意可得2a=2b，即a=b，c===a，可得e==；（2）证明：由题意可得c=，由（1）可得a=，b=1，椭圆的方程为+y2=1，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=m，代入椭圆方程，可得y=±，由OP⊥OQ，可得m2﹣（1﹣）=0，解得m=±，由圆心（0，0）到直线x=m 的距离为， 即有直线l 与圆x 2+y 2=相切；当直线的斜率存在时，设l ：y=kx +t ，代入椭圆方程x 2+3y 2=3，可得（1+3k 2）x 2+6ktx +3t 2﹣3=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），可得x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，y 1y 2=（kx 1+t ）（kx 2+t ）=k 2x 1x 2+kt （x 1+x 2）+t 2，由题意OP ⊥OQ ，可得x 1x 2+y 1y 2=0，即为（1+k 2）x 1x 2+kt （x 1+x 2）+t 2=0，即（1+k 2）•+kt （﹣）+t 2=0，化简可得4t 2=3+3k 2，由圆心（0，0）到直线y=kx +t 的距离为d===，即为半径．则直线l 恒与圆x 2+y 2=相切．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =，T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）当n 为奇数时，b n ==；当n 为偶数时，b n ==．分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）∵S n =2a n ﹣2，∴n=1时，a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2），化为a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，公比为2．∴a n =2n ，b n =（2）当n 为奇数时，b n ==；当n 为偶数时，b n ==．设数列{}的前k项和为A k，则A k=+…+==．设数列{}的前k项和为B k，则B k=，=，∴=2=2，∴B k=（﹣）=﹣．∴T2n=+﹣．20．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx．（a∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处的切线斜率为，不等式f（x）≥bx﹣2对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明对于任意n∈N，n≥2有： +++…+＜．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，得到a=1，分离参数得到，令，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出b的范围即可；（Ⅲ）当n≥2时，得到lnn2＜n2﹣1，根据放缩法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），…当a≤0时，ax﹣1＜0，从而f'（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减…当a＞0时，若，则ax﹣1＜0，从而f'（x）＜0，…若，则ax﹣1＞0，从而f'（x）＞0，…故函数f（x）在上单调递减，在上单调递增；…（Ⅱ）求导数：，∴，解得a=1．…所以f（x）≥bx﹣2，即x﹣1﹣lnx≥bx﹣2，由于x＞0，即．…令，则，当0＜x＜e2时，g'（x）＜0；当x＞e2时，g'（x）＞0∴g（x）在（0，e2）上单调递减，在（e2，+∞）上单调递增；…故，所以实数b的取值范围为…（3）证明：由当a=1，x＞1时，，f（x）为增函数，∵f（1）=0∴f（x）=x﹣1﹣lnx＞0即lnx＜x﹣1…∴当n≥2时，lnn2＜n2﹣1，…∴…=∴（n∈N*，n≥2）．…2020年9月7日。