2020年天津高考数学真题

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2020年天津高考数学试题及答案

2020年天津高考数学试题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UA B =∩A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．365．若棱长为23 A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(2)4A +的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．参考解答一．选择题：每小题5分，满分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二．填空题：每小题5分，满分30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．32i - 11．1012．513．16；2314．4 15．16；132三．解答题 16．满分14分．（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==．（Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=．17．满分15分．依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6．（Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ．所以，直线AB 与平面1DB E 18．满分15分．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=．（Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k kk --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-． 19．满分15分．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<．（Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==．对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和22311211352144444nnkknk k k n c==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k n n k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑．因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑．所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯． 20．满分16分．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=．令()0g x '=，解得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+．对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭． ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故23336ln 10t t t t-++->． ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。

2020年高考真题：数学(天津卷)【含答案及解析】

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）(数学)第I 卷参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()È=+P A B P A P B ．如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．球的表面积公式24S R p =，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =I ð（）A.{3,3}- B.{0,2}C.{1,1}-D.{3,2,1,1,3}---2.设a ÎR ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为（）A.B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]L ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为）A.12pB.24pC.36pD.144p6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -æö===ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -= C.2214x y -= D.221x y -=8.已知函数()sin 3f x x p æö=+ç÷èø．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2p ；②2f p æöç÷èø是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.① B.①③C.②③D.①②③9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ì=í-<î…若函数2()()2()g x f x kx xk =--ÎR 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.1,)2æö-¥-+¥ç÷èøUB.1,(0,2æö-¥-ç÷èøUC.(,0)(0,-¥UD.(,0))-¥+¥U2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）(数学)第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________．11.在522x x æö+ç÷èø的展开式中，2x 的系数是_________．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB °Ð==，6BC =，且3,2AD BC AD AB l =×=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数l 的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =u uu u r ，则DM DN ×u u u u r u u u r的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p æö+ç÷èø的值．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<ÎN；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+ì-ïï=íïïî为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x¢=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -…时，求证：对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-．答案及解析第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =I ð（）A.{3,3}- B.{0,2}C.{1,1}-D.{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--ð，则(){}U 1,1A B =-I ð.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.设a ÎR ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3.函数241xy x =+的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]L ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+´=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518´=.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.5.若棱长为）A.12pB.24pC.36pD.144p【答案】C 【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R p p p ==´=.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -æö===ç÷èø，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -æö==>=ç÷èø，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -= C.2214x y -= D.221x y -=【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-´=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-´=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8.已知函数()sin 3f x x p æö=+ç÷èø．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2p ；②2f p æöç÷èø是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.① B.①③ C.②③D.①②③【答案】B 【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin(3f x x p =+，所以周期22T pp w ==，故①正确；51()sin()sin 122362f p p pp =+==¹，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3p个单位长度，得到sin()3y x p =+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ì=í-<î…若函数2()()2()g x f x kx xk =--ÎR 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.1,)2æö-¥-+¥ç÷èøUB.1,(0,2æö-¥-ç÷èøUC.(,0)(0,-¥UD.(,0))-¥+¥U 【答案】D 【解析】【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ì>==í<î，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0D =得280k -=，解得k =，所以k >综上，k的取值范围为(,0))-¥+¥U .故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i是虚数单位，复数82ii-=+_________．【答案】32i-【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】()()()()828151032 2225i ii iii i i----===-++-.故答案为：32i -.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11.在522x x æö+ç÷èø的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．【详解】因为522x x æö+ç÷èø的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r rr r r T C x C x r x --+æö==××=ç÷èø，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ´=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．【答案】5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】 (1).16(2).23【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236´=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-´-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解.【详解】0,0,0a b a b >>\+>Q ，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b\++=++++4==，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+，或22a b =+=.故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB °Ð==，6BC =，且3,2AD BC AD AB l =×=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数l 的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =u uu u r ，则DM DN ×u u u u r u u u r的最小值为_________．【答案】 (1).16 (2).132【解析】【分析】可得120BAD Ð=o ，利用平面向量数量积的定义求得l 的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ££），得出DM DN ×u u u u r u u u r关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ×u u u u r u u u r的最小值.【详解】AD BC l =u u u r u u u rQ ，//AD BC \，180120BAD B \Ð=-Ð=o o ，cos120AB AD BC AB BC AB l l ×=×=×ouu u r uu u r uu u r u uu r u uu r u uu r1363922l l æö=´´´-=-=-ç÷èø，解得16l =，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()66,0BC C =\Q ，,∵3,60AB ABC =Ð=°，∴A的坐标为3,22A æöç÷ç÷èø,∵又∵16AD BC =uu u r u u u r ,则5,22D æöç÷ç÷èø，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ££），5,22DM x æö=--ç÷èøu u u u r，3,22DN x æö=--ç÷èøu u u r，()2225321134222222DM DN x x x x x æöæöæö×=--+=-+=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøu u u u r u u u r ，所以，当2x =时，DM DN ×u u u u r u u u r 取得最小值132.故答案为：16；132.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p æö+ç÷èø的值．【答案】（Ⅰ）4C p =；（Ⅱ）sin 13A =；（Ⅲ）sin 2426A p æö+=ç÷èø.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC V中，由5,a b c ===及余弦定理得222cos 22a b c C ab +-===，又因为(0,)C p Î，所以4C p=；（Ⅱ）在ABC V 中，由4C p =，a c ==及正弦定理，可得sin sin a C A c ´===13；（Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A ==13，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin2cos cos2sin 444132132A A A p p p +=+=´+´=26.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6；（Ⅲ）3.【解析】【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC u u u r u u u r u u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M u u u u r 和1B D u u u u r 的坐标，得出110C M B D ×=uu u u r u uu u r，即可证明出11C M B D ^；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA uu u r ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n r，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA uu u r 、CB u u u r、1CC u u u u r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =uu uu r ，()12,2,2B D =--uu u u r，从而112200C M B D ×=-+=uu u u r u u u u r，所以11C M B D ^；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =uu u r是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =u uu r ，()2,0,1ED =-u u u r．设(),,n x y z =r为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ì×=ïí×=ïîr u u u r r u u u r ，即2020y z x z +=ìí-=î，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-r．cos ,6C CA n A C n A n ×<>===×u u u r ru u u r u r u u r r，sin ,6CA n \<>==u u u r r ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6；（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-u u u r．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-r 为平面1DB E的一个法向量，于是cos ,3AB n AB n AB n ×<>===-×u u u r ru u u r r u u u r r ．所以，直线AB 与平面1DB E所成角的正弦值为3.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =u u u r u u u r，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ^，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ^，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）Q 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，\3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）Q 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ^，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，2231189y kx x y =-ìïí+=ïî，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =×--=++，所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k æö-ç÷++èø，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -æöç÷++èø，由3OC OF =u u u r u u u r，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ^，所以231261k k k ×=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<ÎN；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+ì-ïï=íïïî为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+´.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=å和21nkk c=å的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==æö=-=-ç÷+-+èøåå，和223111211352321444444nnk k n n k k k n n c -==---==+++++ååL ①由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++åL ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=æö-ç÷--èø=+++-=---åL ，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++æö-ç÷--+èø--=-´--´=-´-，从而得：21565994nk nk n c =+=-´å.因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+´ååå.所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+´.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+Î，()f x ¢为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x¢=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -…时，求证：对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得()g x ¢的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i)当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.(ii)依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++Î+¥.从而可得()2263'36g x x x x x=-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x¢-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：x ()0,11x =()1,+?()'g x -0+()g x 单调递减极小值单调递增所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x¢=+.对任意的12,[1,)x x Î+¥，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ¢¢-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x æöæö=-+++--+ç÷ç÷èøèø3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x æö=--++--ç÷èø()332213312ln x t t t k t t t æö=-+-+--ç÷èø.①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--Î+¥.当x >1时，22121()110h x x x x ¢æö=+-=->ç÷èø，由此可得()h x 在[)1,+¥单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ³，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ³-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t ttæöæö-+-+-------ç÷+ç÷èøèø (323)36ln 1t t t t=-++-.②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->③由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ¢¢-+-->.所以，当3k ³-时，任意的[)12,1,x x Î+¥，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。

2020年天津市高考数学试卷-解析版

2020年天津市高考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π)−0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()6.设a=30.7，b=(13A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b7. 设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A. x 24−y 24=1B. x 2−y 24=1C. x 24−y 2=1D. x 2−y 2=18. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =______．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；(Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点．(Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1b n+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20.已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k=6时，(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值；x> (Ⅱ)当k≥−3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2f(x1)−f(x2)．x1−x2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题．进行补集、交集的运算即可．【解答】解：全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}，则∁U B ={−2,−1,1}， ∴A ∩(∁U B)={−1,1}，故选：C ．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a 的范围，即可判断出结论．【解答】解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件，故选：A ．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ，当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ，故选：A ．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出直径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，所以2R=√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)2=6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，故选：D．【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．10.【答案】3−2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i，故答案为：3−2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在(x+2x2)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵(x+2x2)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r2r x−2r=2r C5r x5−3r，令5−3r=2，得r=1，∴x2的系数是2×C51=10，故答案为10．12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x−√3y+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+(|AB|2)2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为(0,0)，半径为r；则圆心到直线x−√3y+8=0的距离d=√1+3=4，若|AB|=6，则有r2=d2+(|AB|2)2=16+9=25，故r=5；故答案为：513.【答案】16；23【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13，则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23，故答案为：16，23．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b=a+b 2+8a+b，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a >0，b >0，且ab =1，则12a+12b+8a+b=a+b 2ab+8a+b=a+b 2+8a+b≥2√a+b 2⋅8a+b=4，当且仅当a+b2=8a+b，即a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号，故答案为：415.【答案】16 ；132【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．16.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13，可得sinA = asinC c=2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313，则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513，∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，(Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)，设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量，则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66， ∴sin <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33， ∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．【解析】(Ⅰ)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明； (Ⅱ)先平面DB 1E 的法向量n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅱ)求出cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2−3k +1=0，解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．【解析】(Ⅰ)根据可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1， ∴a n =1+n −1=n ，∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)，解得q =2， ∴b n =2n−1；证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0， ∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k2k+1−22k−22k−1)=22n2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14knk=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①，由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n2n+1−6n+59×4n −49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n−49．【解析】(Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：(I)(i)当k =6时，f(x)=x 3+6lnx ，故f′(x)=3x 2+6x ，∴f′(1)=9， ∵f(1)=1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=9(x −1)，即9x −y −8=0． (ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x 3+6lnx −3x 2+3x ，x >0， ∴g′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2=3(x−1)3(x+1)x 2，令g′(x)=0，解得x =1，当0<x <1，g′(x)<0，当x >1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， x =1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值证明：(Ⅱ)由f(x)=x 3+klnx ，则f′(x)=3x 2+kx ，对任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1>x 2，令x 1x 2=t ，t >1，则(x 1−x 2)[f′(x 1)+f′(x 2)]−2[f(x 1)−f(x 2)]=(x 1−x 2)(3x 12+k x 1+3x 22+kx 2)−2(x 13−x 23+kln x1x 2)，=x 13−x 23−3x 12x 2+3x 1x 22+k(x 1x 2−x 2x 1)−2kln x1x 2，=x 23(t 3−3t 2+3t −1)+k(t −1t −2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t>1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．【解析】(Ⅰ)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(ii)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；(Ⅱ)要证不等式成立，只要证明(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]>0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。

2020年天津高考数学试卷及答案

x2 18
y2 9
消去 y ，可得 1,
2k 2 1
x2
12kx
0
，解得
x
0
，或
x
12k 2k 2 1
．依
题意，可得点
B
的坐标
12k 2k 2
1
,
6k 2k
2 2
3 1
．因为
P
为线段
AB
的中点，点
A
的坐
标为
(0,
3)
，所以点
P
的坐标为
6k 2k 2 1
,
3 2k 2 1
．由
3OC
n(n 1)(n
2)(n
3) ，
S2 n1
1 4
(n
1)2
n
2 2
，从而
SnSn2
S2 n1
1 2
(n
1)(n
2)
0
，所以
SnSn2
S2 n1
．
（Ⅲ）解：当 n 为奇数时， cn
3a2)
2n1 n2
2 n 1 n
；当 n 为偶
数时， cn
2n
项和为
4n 2n 1
6n 5 94n
4 9
．
20．（Ⅰ）（i）解：当 k 6 时， f (x) x3 6 ln x ，故 f (x) 3x2 6 ．可得 f (1) 1， x
．
由①②得 3
4
n
c2k
k 1
1 2 4 42
2 4n
2 n 1 4 n1
2 4
1
1 4n
1 1
1 4
2 n 1 4 n1
，从而得
4

2020年天津卷高考数学试题及答案

（Ⅱ）解：因为直线与以为圆心的圆相切于点，所以．依题意，直线和直线的斜率均存在．设直线的方程为．由方程组消去，可得，解得，或．依题意，可得点的坐标．因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为．由，得点的坐标为，故直线的斜率为，即．又因为，所以，整理得，解得，或．
（Ⅱ）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则即不妨设，可得．
因此有，于是．
所以，二面角的正弦值为．
（Ⅲ）解：依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
18．满分15分．
（Ⅰ）解：由已知可得．记半焦距为，由可得．又由，可得．所以，椭圆的方程为．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分15分）
已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
11．在的展开式中，的系数是_________．
12．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
（Ⅰ）解：在中，由余弦定理及，有．又因为，所以．
（Ⅱ）解：在中，由正弦定理及，可得．

2020年高考数学【真题母题解密】比较大小（天津卷）（解析版）

『高考真题·母题解密』『分项汇编·逐一击破』专题06比较大小【母题来源】2020年高考数学天津卷【母题题文】设，则的大小关系为（）0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c A. B. C. D. a b c <0.80.80.71333b a-⎛⎫==>= ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71c =<=所以.故选：D.1c a b <<<【命题意图】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点．考查对简单函数单调性的理解及不等式的有关知识；常见的命题角度有：与常用基础函数如：幂函数、指数函数、对数函数等知识结合.【方法总结】比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；x y a =1a >01a <<（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；log a y x =1a >01a <<（3）借助于中间值，例如：0或1等.1．【2020·天津九校高三下学期4月联考】设，，则（）．0.5log 0.8a = 1.10.8b log =0.81.1c =A. B. b a c <b<a<c 【详解】解：因为0.50.50.50log 1a log 0.8log 0.51=<=<=所以故选A1.1 1.1b log 0.8log 10=<=0.80c 1.1 1.11=>=b<a<c 【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用，在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.2．【2020·天津市北辰区高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调性得到的大小关系.【详解】；，即：为偶函数又在上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.3．【2020·天津市北辰区2020届高三第一次诊断测试】已知函数的定义域为，且函数()y f x =(),ππ-的图象关于直线对称，当时，（其中是()2y f x =+2x =-()0,x π∈()ln 'sin 2f x x f xππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'f x 的导函数），若,,，则的大小关系是（）()f x ()log 3a f π=13log 9b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭13c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,,a b c A B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>b c a>>【答案】D 【解析】【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在()'f x '2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭()'f x ()'f x ()f x 上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇()0,π13log 32ππ、、()f x 偶性与单调性可得结果.【详解】，，()ln 'sin 2f x x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()''cos 2f x f xx ππ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，'2'cos 2222f f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2cos f x xx π=-当时，；当时，，2x π≤<π()2cos 0,'0x f x ≤>02x π<<()2,2cos 2,'0x f x x π><∴>即在上递增，的图象关于对称，()f x ()0,π()2y f x =+ 2x =-向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，()2y f x ∴=+()y f x =y 即为偶函数，，，()y f x =()()13log 922b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭0log 1log 3log 1ππππ=<<=，即，，1103212πππ=<<<130log 32πππ<<<<()()132log 3f f f ππ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭即.故选D.b c a >>【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，()1f x ()2f x ()n f x ()f x ()1f x ，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．()2f x ()n f x 4．【2020·天津市滨海新区三校2020届高三高考数学5月份模拟】已知奇函数f （x ）在R 上是减函数，若a ＝﹣f （1og 3），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8），则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】B【分析】结合函数的单调性及奇偶性进行比较函数值的大小．解：奇函数f （x ）在R 上是减函数，∵log 34∈（1，2），0，2﹣0.8∈（0，1），∵a ＝﹣f （1og 3）＝f （log 34），b ＝f （），c ＝f （2﹣0.8）＝f （），则a ＜c ＜b ，故选：B ．5．【2020·天津市部分区2020届高考二模】已知，，，则，，的大小3log 0.3a =0.3log 2b =0.23c =a b c 关系是（）A B. C. D. a b c >>b c a>>c b a >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得解.10a b c <-<<<【详解】由题意，，，331log 0.3log 13<=-0.30.30.3log log 2lo 1013g 10=<<-=0.20331>=所以.10a b c <-<<<故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.6．【2020·天津市第一百中学2020届高三高考模拟】已知函数是定义在上的偶函数，且在()f x R 上单调递增，则三个数，，的大小关系为[)0,∞+()3log 13a f =-121log 8b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0.62c f =A. B. a b c >>a c b >>C. D. b a c >>c a b>>【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性得：，通过临界值的方式可判断出自变量之间的大小关系，再利用函数的单调()3log 13a f =性得到的大小关系.,,a b c 【详解】；，3332log 9log 13log 273=<<=1221log log 838==0.610222<<=即：为偶函数 0.6312102log 13log 8<<<()f x ()()33log 13log 13a f f ∴=-=又在上单调递增，即()f x [)0,+∞()()0.61321log log 1328f f f ⎛⎫∴>> ⎪⎝⎭b a c>>本题正确选项：C【点睛】本题考查利用函数单调性判断大小的问题，关键是能够利用奇偶性将自变量变到同一单调区间内，再通过指数、对数函数的单调性，利用临界值确定自变量的大小关系.7．【2020·天津市第一中学2020届高三下学期第四次月考】已知奇函数，且在()f x ()()g x xf x =上是增函数.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为[0,)+∞2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =A. B. C. D. a b c <<c b a<<b a c<<b c a<<【答案】C【解析】【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，()f x ()()g x xf x =R [0,)+∞，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，又，则，所以即，0.822<4 5.18<<22log 5.13<<0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<所以，故选C ．b ac <<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．【2020·天津市东丽区耀华滨海学校高三年级上期第二次统练】已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c a b<=0.3000.20.21,<<=01,c a c b <<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题.9．【2020·天津市和平区2020届高三高考二模】已知：，，，则a ，b ，c 的11ln 4a =113eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭11log 3e c =大小关系为（）A. B. C. D. c a b >>c b a>>b a c>>a b c>>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数，对数函数的性质求解.【详解】因为，，11111ln ln log ln 343e e a c =<=<==1111033eb ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<=所以a ，b ，c 的大小关系为.c a b >>故选：A【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数的性质，还考查了转化问题的能力，属于基础题.10．【2020·天津市河北区高三高考数学一模】已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）单调递增，设a ＝f （），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则a ，b ，c 大小关系为（）A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【答案】C 【解析】根据题意，由偶函数的性质可得c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由指数、对数的性质可得0.83＜1log 3log 37，结合函数的单调性分析可得答案．根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83），又由f （x ）在[0，+∞）单调递增，且0.83＜1log 3log 37，则有c ＜a ＜b ，故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数值的大小比较，属于基础题．11．【2020·天津市河北省区2019届高三总复习质量检测】.已知，则13241log 3log 72a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,，的大小关系为（）,,a b c A. B. C. D. a c b <=>b c a >>【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.12．【2020·天津市红桥区2020届高三高考二模】已知，，，则（）131log 2a =121log 3b =32log 3c =A. B. C. D. b a c >>a b c>>c b a>>a c b>>【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数单调性得到，，，得到答案.01a <<l b >0c <【详解】，，，111333110log 1log log 123a =<=<=112211log log 132b =>=332log log 310c =<=故.b a c >>故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.13．【2020·天津高三一模】已知函数．若，，()25x f x x =+131log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3log b f =．则a ，b ，c 的大小关系为（）()0.26c f =A. B. C. D. a b c >>a c b>>c a b>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到，，再根据函数单调性，即可判13310log log 12<<<0.261>断出结果.【详解】因为，，113333310log 1log log log lo 2g 312=<=<<=0.261>函数与都是增函数，所以也是增函数，2xy =5y x =()25x f x x =+因此，即.故选：D.(()0.21331log log 62f f f ⎛⎫< ⎪<⎝⎭c b a >>【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.14．【2020·天津市六校高三上学期期初检测】已知，，，则，，的大ln a π=lg125b =0.31c e ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c 小关系是（）A. B. a b c >>b a c >>C. D. 以上选项都不对c a b >>【答案】B 【解析】【分析】利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.,,a b c 【详解】由题得，2ln ln ln 2e a e π<=<=所以.12a <<,2lg125lg102b =>=,0.3011()1c e e ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭所以.b a c >>故选：B【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【2020·天津市南开区南开中学高三下学期第一次月考】设，则0.231012143a b og c lg =-==，，a ，b ，c 的大小关系是（）A. B. C. D. a c b<=∴< 331031,13log log b >=∴> ,,故选：A ．1410,01lg lg lg c <<∴<< a c b ∴<<【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.16．【2020·天津高三一模】已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】化简，根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出，的取值范围，结合的单调性与奇偶性即可得结果.【详解】，是偶函数，，，，，，，又因为在上递减，，，即，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，以及指数函数与对数函数的性质，属于综合题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．17．【2020·天津南开中学高三月考】已知奇函数在上是增函数，若，()f x R 21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，则的大小关系为()()2log 4.1b f =()0.82c f =,,a b c A. B. C. D. a b c <><<据此：，结合函数的单调性有：，0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>即.本题选择C 选项.,a b c c b a >><<【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.18．【2020·天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试（】已知定义在R 上的奇函数满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，令，，，则(2)()f x f x +=-ln 2a =121(4b -=12log 2c =的大小关系为（）(),(),()f a f b f c A. B. ()()()f b f c f a <<()()()f a f c f b <<C. D. ()()()f c f b f a <<()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由满足，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，再由奇函数()f x (2)()f x f x +=-()f x [1,0]-性质得在上递增，在上单调递增．然后把自变量的值都转化到上，比较大小．()f x [0,1][1,1]-[1,1]-【详解】设，则，又在上递减，1210x x -≤<≤121222x x ≤+<+≤()f x [1,2]∴，而，，∴，即12(2)(2)f x f x +>+11(2)()f x f x +=-22(2)()f x f x +=-12()()f x f x ->-，∴在是递增，12()()f x f x <()f x [1,0]-∵是奇函数，∴在上递增，从而在上单调递增，，()f x ()f x [0,1][1,1]-(0)0f =，，，，ln 2(0,1)a =∈121()24b -==12log 21c ==-()(2)(0)0(0)f b f f f ==-==∴由得，即．10ln 2-<<(1)(0)(ln 2)f f f -<<()()()f c f b f a <<故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解题关键是确定函数的单调性，难点在于由满足()f x ，且在区间[1，2]上是减函数，确定在上是增函数，然后就是这类问题的常(2)()f x f x +=-()f x [1,0]-规解法，确定出上单调性，转化比较大小[1,1]-19．【2020·天津和平区高三第三次质检】设正实数分别满足，则,,a b c 2321,log 1,log 1a a b b c c ⋅===的大小关系为( ),,a b c A. B. C. D. a b c >>b a c>>c b a>>a c b>>【答案】C 【解析】【分析】把看作方程的根，利用数形结合思想把方程的根转化为函数图象交点的横坐标，则可以利用图象比,,a b c 较大小.【详解】由已知可得231112,log ,log ,a b c ab c ===作出函数的图象，它们与函数图象的交点的横坐标分别为，232,log ,log xy y x y x ===1y x =,,a b c 如图所示，易得.故选C.c b a >>【点睛】本题考查函数与方程，基本初等函数的图象.对于含有指数、对数等的方程，若不能直接求得方程的根，一般可以利用数形结合思想转化为函数图象的交点问题.20．【2020·天津市芦台一中2020届高三年级第二次模拟】已知定义在R 上的函数的图象关于()f x 1-对称，且当时，单调递减，若，，，则x 1=x 0>()f x ()0.5a f log 3=()1.3b f 0.5-=()6c f 0.7=a ，b ，c 的大小关系是 ()A. B. C. D. c a b >>b a c>>a c b>>c b a>>【答案】A 【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.0x >0x >()f x 【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，R ()1f x -1x =()f x ∵，∴，∴，，0.50.5log 3log 10<=()()0.52log 3log 3f f =2221log 2log 3log 42=<<= 1.31.30.522-=>．∵当时，单调递减，∴，故选A ．600.71<<0x >()f x c a b >>【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小。

(精校版)2020年天津卷数学高考试题(含答案)

2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A． () 2
C． (, 0) (0, 2 2)
D． (, 0) (2 2, )
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共 11 小题，共 105 分．
二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答
18．（本小题满分 15 分）
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的一个顶点为
A(0, 3) ，右焦点为 F
，且| OA || OF
| ，其中 O 为原
点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点 C 满足 3OC OF ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以 C 为圆心的圆
[5.45, 5.47),[5.47, 5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间
[5.43,5.47) 内的个数为
A．10
B．18
C．20
D．36
5．若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
A．12π
B． 24π
C． 36π
D．144π

2020年天津市高考数学试卷

2020年天津市高考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，0，2，3}，则A∩（）=（）A. {-3，3}B. {0，2}C. {-1，1}D. {-3，-2，-1，1，3 }2.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=的图象大致为（）A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[5.31，5.33），[5.33，5.35），…，[5.45，5.47），[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π6.设a=30.7，b=（）-0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A. a＜b＜cB. b＜a＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b7.设双曲线C的方程为-=1（a＞0，b＞0），过抛物线y2=4x的焦点和点（0，b）的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A. -=1B. x2=1C. -y2=1D. x2-y2=18.已知函数f（x）=sin（x+）．给出下列结论：①f（x）的最小正周期为2π；②f（）是f（x）的最大值；③把函数y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数y=f（x）的图象．其中所有正确结论的序号是（）A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9.已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）-|kx2-2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A. （-∞，-）∪（2，+∞）B. （-∞，-）∪（0，2）C. （-∞，0）∪（0，2）D. （-∞，0）∪（2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.i是虚数单位，复数=______．11.在（x+）5的展开式中，x2的系数是______．12.已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|=6，则r的值为______．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14.已知a＞0，b＞0，且ab=1，则++的最小值为______．15.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且=λ，•=-，则实数λ的值为______，若M，N是线段BC上的动点，且||=1，则•的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=2，b=5，c=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A的值；（Ⅲ）求sin（2A+）的值．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．18.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，-3），右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3=，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．19.已知{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a1=b1=1，a5=5（a4-a3），b5=4（b4-b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n=求数列{c n}的前2n项和．20.已知函数f（x）=x3+k ln x（k∈R），f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）当k=6时，（ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ⅱ）求函数g（x）=f（x）-f′（x）+的单调区间和极值；（Ⅱ）当k≥-3时，求证：对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有＞．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题.进行补集、交集的运算即可．【解答】解：全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，0，2，3}，则={-2，-1，1}，∴A∩（）={-1，1}，故选：C．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a的范围，即可判断出结论．【解答】解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y=f（x）=，则f（-x）=-=-f（x），则函数y=f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0是，y=f（x）＞0，故排除B，故选：A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出径径落在区间[5.43，5.47）的频率，再乘以样本的个数即可．【解答】解：直径径落在区间[5.43，5.47）的频率为（6.25+5）×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47）内的个数为0.225×80=18个，故选：B．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．正方体的对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的对角线就是球的直径，所以2R==6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=（）-0.8=30.8，则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7=1，∴c＜a＜b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），则直线l的方程为y=-b（x-1），∵双曲线C的方程为-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴-=-b，•（-b）=-1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2-y2=1，故选：D．8.【答案】B【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f（x）=sin（x+），①由周期公式可得，f（x）的最小正周期T=2π，故①正确；、②f（）=sin（）=sin=，不是f（x）的最大值，故②错误；可得到函数y=f（x）的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f（x）=|kx2-2x|有四个根，⇒y=f（x）与y=h（x）=|kx2-2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k＜0时，当k＞0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g（x）=f（x）-|kx2-2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）=|kx2-2x|有四个根，即y=f（x）与y=h（x）=|kx2-2x|有四个交点，当k=0时，y=f（x）与y=|-2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k＜0时，y=|kx2-2x|与x轴交于两点x1=0，x2=（x2＜x1）图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k＞0时，y=|kx2-2x|与x轴交于两点x1=0，x2=（x2＞x1）只需y=x3与y=kx2-2x在（，+∞）还有两个交点，即可，即x3=kx2-2x在（，+∞）还有两个根，即k=x+在（，+∞）还有两个根，函数y=x+≥2，（当且仅当x=时，取等号），所以，且k＞2，所以k＞2，综上所述，k的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．故选：D．10.【答案】3-2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数===3-2i，故答案为：3-2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵的展开式的通项公式为T r+1=x5-r 2r x-2r=2r x5-3r，令5-3r=2，得r=1，∴x2的系数是2×=10，故答案为10．12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x-y+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+（）2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为（0，0），半径为r；则圆心到直线x-y+8=0的距离d==4，若|AB|=6，则有r2=d2+（）2=16+9=25，故r=5；故答案为：513.【答案】【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，则甲、乙两球都落入盒子的概率×=，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1-（1-）（1-）=1-=，故答案为：，．14.【答案】4【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．由++=+=+，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a＞0，b＞0，且ab=1，则++=+=+≥2=4，当且仅当=，即a=2+，b=2-或a=2-，b=2+取等号，故答案为：415.【答案】【解析】【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出λ的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B=60°，AB=3，∴A（，），∵BC=6，∴C（6，0），∵=λ，∴AD∥BC，设D（x0，），∴=（x0-，0），=（-，-），∴•=-（x0-）+0=-，解得x0=，∴D（，），∴=（1，0），=（6，0），∴=，∴λ=，∵||=1，设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴=（x-，-），=（x-，-），∴•=（x-）（x-）+=x2-4x+=（x-2）2+，当x=2时取得最小值，最小值为，故答案为：，．16.【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a=2，b=5，c=，则cos C===，∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由正弦定理，以及C=，a=2，c=，可得sin A===；（Ⅲ）由a＜c，及sin A=，可得cos A==，则sin2A=2sin A cosA=2××=，∴cos2A=2cos2A-1=，∴sin（2A+）=（sin2A+cos2A）=（+）=．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．（Ⅰ）根据余弦定理即可求出C的大小；（Ⅱ）根据正弦定理即可求出sin A的值；（Ⅲ）根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3），（Ⅰ）证明：依题意，=（1，1，0），=（2，-2，-2），∴•=2-2+0=0，∴C1M⊥B1D；（Ⅱ）依题意，=（2，0，0）是平面BB1E的一个法向量，=（0，2，1），=（2，0，-1），设=（x，y，z）为平面DB1E的法向量，则，即，不妨设x=1，则=（1，-1，2），∴cos＜，＞==，∴sin＜，＞==，∴二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）依题意，=（-2，2，0），由（Ⅱ）知，=（1，-1，2）为平面DB1E的一个法向量，∴cos＜，＞==-，∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；（Ⅱ）先平面DB1E的法向量，再根据向量的夹角公式，求出二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅱ）求出cos＜，＞值，即可求出直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知可得b=3，记半焦距为c，由|OF|=|OA|可得c=b=3，由a2=b2+c2，可得a2=18，∴椭圆的方程为+=1，（Ⅱ）：∵直线AB与C为圆心的圆相切于点P，∴AB⊥CP，根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3，由方程组，消去y可得（2k2+1）x2-12kx=0，解得x=0，或x=，依题意可得点B的坐标为（，），∵P为线段AB的中点，点A的坐标为（0，-3），∴点P的坐标为（，），由3=，可得点C的坐标为（1，0），故直线CP的斜率为=，∵AB⊥CP，∴k•=-1，整理可得2k2-3k+1=0，解得k=或k=1，∴直线AB的方程为y=x-3或y=x-3．【解析】（Ⅰ）根据可得c=b=3，由a2=b2+c2，可得a2=18，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3，联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线AB的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=1，a5=5（a4-a3），则1+4d=5d，可得d=1，∴a n=1+n-1=n，∵b1=1，b5=4（b4-b3），∴q4=4（q3-q2），解得q=2，∴b n=2n-1；证明（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S n=，∴S n S n+2=n（n+1）（n+2）（n+3），（S n+1）2=（n+1）2（n+2）2，∴S n S n+2-S n+12=-（n+1）（n+2）＜0，∴S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；解：（Ⅲ），当n为奇数时，c n===-，当n为偶数时，c n==，对任意的正整数n，有c2k-1=（-）=-1，和c2k==+++…+，①，由①×可得c2k=++…++，②，①-②得c2k=+++…+---，∴c2k=-，因此c2k=c2k-1+c2k=--．数列{c n}的前2n项和--．【解析】（Ⅰ）分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则课证明；（Ⅲ）分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：（I）（i）当k=6时，f（x）=x3+6ln x，故f′（x）=3x2+，∴f′（1）=9，∵f（1）=1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=9（x-1），即9x-y-8=0．（ii）g（x）=f（x）-f′（x）+=x3+6ln x-3x2+，x＞0，∴g′（x）=3x2-6x+-=，令g′（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1，g′（x）＜0，当x＞1，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，x=1是极小值点，极小值为g（1）=1，无极大值证明：（Ⅱ）由f（x）=x3+k ln x，则f′（x）=3x2+，对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，令=t，t＞1，则（x1-x2）[f′（x1）+f′（x2）]-2[f（x1）+f（x2）]=（x1-x2）（3x12++3x22+）-2（x13-x23+k ln），=x13-x23-3x12x2+3x1x22+k（-）-2k ln，=x23（t3-3t2+3t-1）+k（t--2ln t），①令h（x）=x--2ln x，x＞1，当x＞1时，h′（x）=1+-=（1-）2＞0，∴h（x）在（1，+∞）单调递增，∴当t＞1，h（t）＞h（1）=0，即t--2ln t＞0，∵x2≥1，t3-3t2+3t-1=（t-1）3＞0，k≥-3，∴x23（t3-3t2+3t-1）+k（t--2ln t）＞t3-3t2+3t-1-3（t--2ln t）=t3-3t2+6ln t+-1，②，由（Ⅰ）（ii）可知当t≥1时，g（t）＞g（1）即t3-3t2+6ln t+＞1，③，由①②③可得（x1-x2）[f′（x1）+f′（x2）]-2[f（x1）+f（x2）]＞0，∴当k≥-3时，对任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，有＞．【解析】（Ⅰ）（i）根据导数的几何意义即可求出切线方程；（ii）根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；（Ⅱ）要证不等式成立，只要证明（x1-x2）[f′（x1）+f′（x2）]-2[f（x1）+f（x2）]＞0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。

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圆心的圆相切于点 P ，且 P 为线段 AB 的中点．求直线 AB 的方程．
4 17．（本小题满分 15 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1 平面 ABC, AC BC, AC BC 2 ， CC1 3 ，点 D, E 分别在棱 AA1 和棱 CC1 上，且 AD 1,CE 2, M 为棱 A1B1 的中点．
（Ⅰ）求证： C1M B1D ；（Ⅱ）求二面角 B B1E D 的正弦值；
l ．若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线 C 的方程为
A． x2 y2 1 44
B． x2 y2 1 4
C． x2 y2 1 4
8．已知函数 f (x) sin(x π) ．给出下列结论： 3
① f (x) 的最小正周期为 2π ；
② f ( π ) 是 f (x) 的最大值； 2
（Ⅲ）求直线 AB 与平面 DB1E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分 15 分）
已知椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a b 0) 的一个顶点为 A(0, 3) ，右焦点为 F
，且| OA || OF
| ，其中 O
为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点 C 满足 3OC OF ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以 C 为
23 乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
_________．
14．已知
a
0,
b
0
，且
ab
1
，则
1 2a
1 2b
a
8
b
的最小值为_________．
15．如图，在四边形 ABCD 中， B 60, AB 3 ， BC 6 ，且 AD BC,
4
个零点，则 k
的取值
范围是
A． (, 1) (2 2, ) 2
C． (, 0) (0, 2 2)
B． (, 1) (0, 2 2) 2
D． (, 0) (2 2, )
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共 11 小题，共 105 分．
二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给
3 分，全部答对的给 5 分．
10．
i
是虚数单位，复数
8 2
i i
_________．
11．在
(x
2 x2
)5
的展开式中，
x2
的系数是_________．
12．已知直线 x 3y 8 0 和圆 x2 y2 r2 (r 0) 相交于 A, B 两点．若| AB | 6 ，则 r 的值为
_________． 13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 和 1 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、
·如果事件 A 与事件 B 相互独立，那么 P(AB) P(A)P(B) ．
·球的表面积公式 S 4πR2 ，其中 R 表示球的半径．
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U {3, 2, 1, 0,1, 2,3} ，集合 A {1, 0,1, 2}, B {3, 0, 2,3} ，则 A∩ðU B
A． {3, 3}
B．{0, 2}
C．{1,1}
D．{3, 2, 1,1,3}
2．设 a R ，则“ a 1”是“ a2 a ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
件
3．函数
y
x
4x 2
1
的图象大致为
D．既不充分也不必要条
A
B
C
D
4．从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： mm ），将所得数据分为 9 组：
AD
AB
3
，则
2
实数的值为_________，若 M , N 是线段 BC 上的动点，且| MN | 1，则 DM DN 的最小
值为_________．
三．解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ．已知 a 2 2,b 5, c 13 ．（Ⅰ）求角 C 的大小；（Ⅱ）求 sin A 的值；（Ⅲ）求 sin(2 A π) 的值．
A．12π
B． 24π
C． 36π
6．设
a
30.7
,
b
(
1) 0.8 3
,
c
log
0.7
ห้องสมุดไป่ตู้
0.8
，则
a,
b,
c
的大小关系为
A． a b c
B． b a c
C． b c a
D．144π D． c a b
7．设双曲线 C
的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
，过抛物线
y2
4x 的焦点和点 (0,b) 的直线为
D． x2 y2 1
③把函数 y sin x 的图象上所有点向左平移 π 个单位长度，可得到函数 y f (x) 的图象． 3
其中所有正确结论的序号是
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
9．已知函数
f
(x)
x3, x x, x
0, 0.
若函数
g
(
x)
f
(x)
kx2
2x
(k R) 恰有
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位
置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结
[5.31, 5.33),[5.33, 5.35),,
[5.45,5.47),[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在
区间[5.43,5.47) 内的个数为
A．10
B．18
C．20
D．36
5．若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．
参考公式： ·如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 P(A B) P(A) P(B) ．