高中数学一轮复习课件：“椭圆的定义及其标准方程” (共28张PPT)

问题3：在笔尖运动的过程中，哪些 长度
是变化的？哪些长度是不变的？
并且回答问题2：椭圆是满足什么条件的轨 迹呢？
请看用超级画板进行的动态演示：
（超级链接2）
椭圆的定义
椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述：
• 平面上到两个定点 的距离的和（2a） 等于定长（大于 |F1F2 |）的点的轨 迹叫椭圆。 • 定点F1、F2叫做椭 圆的焦点。 • 两焦点之间的距离 叫做焦距（2C）。
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤： 坐标法 （1）建系; （2）设点; （3）列等式; （4）等式坐标化; （5）检验.
师生互动，导出椭圆的方程：
♦ 问题8、探讨建立平面直角坐标系的方案
（学生分组讨论，合作探究） y y y
y F1
O O O
y F2
M M
O F2
xx x
O
x F1
x
方案二 方案一 原则：一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段 所在的直线作为坐标轴.这样能使方程的形式简单、 运算简单。
（问题11）如果椭圆的焦点 在y上,那么椭圆的标准方程 又是怎样的呢?
如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y F1 (0, c), F2 (0, c) 轴） 如图所示,焦点则变成 x2 y2 只要将方程中 2 2 1 的 x, y 调换，即可得
课题：
二、【自主探究，形成概念】 ——“定性”地画出椭 圆
问题2： 动点按照某种规律运动形成的轨迹叫
曲线，那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢？
数学实验（做一做）
请同学们拿出课前准备好的一块纸板， 一段细绳，两枚图钉，同桌间相互磋商、动手 绘图 .并思考问题：
在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下， 实验1：当两个图钉重合在一点时，画出 的图形是什么？ （圆） 实验2：改变两个图钉之间的距离（让绳 长大于两个图钉之间的距离），画出的图形是 什么？ （椭圆）
x
由椭圆的定义得，限制条件：| MF 1 | | MF 2 | 2a 代入坐标 | MF1 | ( x c) 2 y 2 , | MF2 | ( x c) 2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
问题9：下面怎样化简？（学生回答，教师演示）
师生互动，导出椭圆的方程（方案一）
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
自 我 评 价 ， 反 馈 调 节
知 识 梳 理 ， 形 成 系 统
布 置 作 业 ， 巩 固 提 高
探究学习过程
一、【创设情境，提出课题】
——“形象”地给出椭圆
请看视频：神州六号飞船的起飞
和在轨飞行（超级链接1）
将飞船的在轨飞行用动 画演示：
问题1：飞船绕地球飞行的轨迹是 一个什么图形？它是一个圆吗？
MF1 MF2 2a 2C
M
F1
F2
问题5：到两个定点的距离的和等 于定长的点的轨迹一定是椭圆吗？ 数学实验（做一做）
在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下， 实验3：让绳长等于两个图钉之间的距离 时，画出的图形是什么？ 实验4：让绳长小于两个图钉之间的距离， 画出的图形是什么？
请看用超级画板进行的椭圆动态演示
探究目标重、难点
1. 重点：椭圆的定义及其标准方程
2. 难点：椭圆标准方程的推导和辨识
教学方法：启发诱导，问题探究 教学手段：多媒体辅助教学 （flash、超级画板、powerpoint等）
课前准备：直尺、细绳、图钉、笔、纸板
教学流程
创 设 情 景 ， 提 出 课 题 自 主 探 究 ， 形 成 概 念 习 题 探 究 ， 定 义 运 用 师 生 互 动 ， 导 出 方 程 习 题 探 究 ， 方 程 运 用
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
问题10：此方程形式还不够简捷，还有变形的必要，请思考.
2a 2c,即a c, a 2 c 2 0, 设a 2 c 2 b 2 (b 0),
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边除以 a 2b 2 得
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
师生互动，导出椭圆的方程：
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
F1
y
M ( x, y )
O
F2
x
叫做椭圆的标准方程。
它所表示的椭圆的焦点在x轴上， 焦点是 F1 (c,0) F2 (c,0) ，中心在坐标原点 的椭圆方程 ,其中 a 2 b 2 c 2
移项，平方 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
a 2 cx a ( x c ) 2 y 2 两边再平方，得
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
（超级链接3）
三、【习题探究，定义运用】
(超级链接4）
四、【师生互动，导出方程】 ——“定量”地分析椭 圆
知道了椭圆的基本几何特征，这只是一种“定性”的描 述，对于这种曲线还具有哪些性质，需要利用坐标法先建立 椭圆的方程（“定量”的描述），然后通过对椭是什么？
三维学习目标
1.知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程， 明确焦点、焦距的概念，理解椭圆标准方程的推导。
2. 过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定
义和标准方程的获得过程，从而进一步掌握求曲线方程的方 法和数形结合的思想，提高解决几何问题的能力及运算能力。
3. 情感态度与价值观目标：通过主动探究、合作学习，相 互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的 科学态度和契而不舍的钻研精神。培养学生自主学习的能 力。 以“神舟六号”围绕地球运行轨迹演示，激发学生学 习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩 展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育。