第2章杆件的内力与内力图
杆件的内力图课件
ห้องสมุดไป่ตู้2
杆件内力图的绘制方法
截面法
定义截面
在杆件上选择一个截面， 该截面可以是垂直于杆件 轴线的平面，也可以是与
杆件轴线平行的平面。
计算截面内力
通过计算或实验得到截面 上的内力，包括轴力、剪
力、弯矩等。
绘制内力图
将截面内力按照一定的比 例尺绘制成图，通常采用 直角坐标系或极坐标系。
积分法
01
02
03
04
杆件内力图的实际应用案例
桥梁结构中的内力图分析
桥梁是内力图分析的重要对象之一，通 过对桥梁结构进行内力图分析，可以确 定桥梁的承载能力、刚度和稳定性等性
能指标。
在进行桥梁内力图分析时，通常需要考 虑多种荷载工况，例如车辆荷载、风荷 载和地震荷载等，以便全面评估桥梁的
安全性和可靠性。
内力图分析在桥梁结构优化设计和维护 保养方面也具有重要意义，可以通过对 桥梁结构进行内力图分析，发现潜在的 结构缺陷和安全隐患，及时采取相应的
内力图与外力图的关系
总结词
内力图和外力图是相互关联的，它们共 同反映了杆件的受力情况。
VS
详细描述
外力图表示杆件所受到的外力的大小和方 向，而内力图则表示杆件内部受力分布情 况。两者之间存在一定的关系，通常情况 下，外力图和内力图是相互匹配的，以确 保杆件在给定边界条件下达到平衡状态。 在分析过程中，需要综合考虑外力、约束 和惯性等影响因素。
定义积分域
选择杆件上的一段或多段 作为积分域，该积分域可 以是直线段、圆弧段或复 杂曲线段。
计算应力分布
根据材料力学和弹性力学 知识，计算出积分域内各 点的应力分布情况。
积分得到内力
将积分域内的应力分布乘 以面积元，并对整个积分 域进行积分，得到整个杆 件的内力。
杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
工程力学05-杆件的内力图
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
构件内力图概念、画法
杆件基本变形时内力图的表示
内力图沿杆轴线的分布规律 最大内力与危险截面的确定
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 1）扭转内力分量与扭矩
作用在杆件上的外力偶矩可以向杆轴线简化， 简化的结果若力偶作用面在横截面上，该力偶矩分 量——扭矩 扭矩可以是外力简化，也可以由传递的功率计 算得到 2）功率P、转速n和外力偶矩T P (5-1) T=9549 n (N.m) 式中： P：功率（kW) n：转速（r/min)
d
D MD D
确定控制截面
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
5.2 轴力图与扭矩图
5.2.2 扭矩图 MA=1146N.m，MB=MC=350N.m，MD=446N.m。 MB MC MA 求各截面扭矩 BC段 SMx= 0 B C A
C
l l MO =2FPl
FP D B
MC C
l
FP
D B
FQC
S M C= 0
解得：
– MC + MO – FP×l =0
FQC=FP MC = MO – FP×l = 2FPl– FPl = FPl
第二章内力与内力图详解
例：如左图，求n-n面的内力。 左半部分
Fx 0
FN FP
右半部分：
Fx 0 FN FP
左右两部分的力方向相反，但是同一内力， 因此规定内力由变形确定正负号，是标量。
§2-1 横截面上内力与内力分量
P2
P1
m
P4
P1
P2
m
P3 P2
P3
m P5
(a)
P1
y FR
m
M
C x
zm
(c)
P3
m
(b)
第二章 内力与内力图
§2-1 横截面上内力与内力分量 §2-2 轴向拉压杆的内力与内力图 §2-3 扭转圆轴的内力与内力图 §2-4 平面弯曲梁的内力与内力图 §2-5 平面刚架和曲杆的内力图
横截面上内力计算--截面法
截面法求内力步骤
❖ 将杆件在欲求内力的截面处假想的截断，取其中任一部分； ❖ 画出其受力图。所有外力，并在断面上画出相应内力； ❖ 由静平衡条件确定内力大小。
传动轴的扭矩图。
解：1)计算外力偶
MA
9549
PA n
9549 36 300
1146N.m
M B MC 350N.m；M D 446N.m
2)由外力偶分段，用截面法分别求每段
轴的扭矩即为1-，由
Mx 0
M B M x1 0 M x1 350N.m
B
C
A
350
700
446 x
D
扭矩图例2
10kN 30kN.m 20kN.m
A
2m B
10kN.m
D C
M x (kN.m)
10
A
B
20
C
第2章 杆件的内力分析
第2章构件的内力分析思考题2-1 判断题(1) 梁在集中力偶的作用处，剪力F S图连续，弯矩M图有突变。
(对)(2) 思2-1(1)图示的两种情况下，左半部的内力相同。
思2-1(1)图(3) 按静力学等效原则，将梁上的集中力平移不会改变梁的内力分布。
(4) 梁端铰支座处无集中力偶作用，该端的铰支座处的弯矩必为零。
(5) 若连续梁的联接铰处无载荷作用，则该铰的剪力和弯矩为零。
(6) 分布载荷q(x)向上为负，向下为正。
(7) 最大弯矩或最小弯矩必定发生在集中力偶处。
(8) 简支梁的支座上作用集中力偶M，当跨长l改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不改变。
(9) 剪力图上斜直线部分可以肯定有分布载荷作用。
(10) 若集中力作用处，剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。
2-2 填空题(1) 用一个假想截面把杆件切为左右两部分，则左右两部分截面上内力的关系是，左右两面内力大小相等，( )。
A. 方向相反，符号相反B. 方向相反，符号相同C. 方向相同，符号相反D. 方向相同，符号相同(2) 如思2-1(2)图所示矩形截面悬臂梁和简支梁，上下表面都作用切向均布载荷q，则( )的任意截面上剪力都为零。
A. 梁(a)B. 梁(b)C. 梁(a)和(b)D. 没有梁第2章 构件的内力分析思2-1(2)图(3) 如思2-1(3)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是梁(a)上的集中力F 作用在铰链左侧梁上，梁(b)上的集中力作用在铰链右侧梁上，铰链尺寸不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(3)图(4) 如思2-1(4)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是集中力偶M 分别作用在铰链左右侧，且铰链尺寸可忽略不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(4)图(5) 如思2-1(5)图所示，梁ABCD 在C 点作用铅垂力F ，若如思2-1(5)图(b)所示，在B 点焊接一刚架后再在C 点正上方作用铅垂力F ，则两种情形( )。
杆件的内力与内力图轴向拉压杆的内力轴力图轴向拉压杆的内力轴
Fθθ34轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力为轴力，用F N 表示轴力的大小：由平衡方程求解PN ,0F F F x ==∑轴力的正负：拉力为正；压力为负轴力的单位：N ；kN6轴向拉压杆的内力轴力图解：应用截面法，在F N1，由∑F x ＝0kN5.21P 1N ==F F kN5.13P 2P 1P 2N -=-=-=F F F F 在2－2截面截开，画出正向的F N2，由∑F x ＝089= 6 kN = -4 kN轴力图画在受力图正下方；10轴向拉压杆的内力轴力图例2 图示一砖柱，柱高3.5m ，截面尺寸370×370mm 2，柱顶承受轴向力F P ＝60 kN ，砖砌体容重ρ.g ＝18 kN/m 3。
试绘柱的轴力图。
11轴力图应用截面法，由平衡方程求得：kN46.260P y y A g F --=⋅⋅⋅-ρ,kN 6.68)5.3(,kN 60)0N -=-=F ㈠F N /kNy68.66012轴向拉压杆的内力轴力图等截面直杆在上端A 处固定，其受力如图试绘制杆件的轴力图。
kN,10kN,5P2=F l(a)Cl（b）机械传动轴杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动ϕ1720扭矩沿轴线的变化规律e21221. 外力偶矩的计算m N ⋅=1146AmN ⋅=3509549n PB m N ⋅=446n D23扭矩的计算m N 350e ⋅-=-=B M m N 700e e ⋅-=--B C M M mN 446e ⋅=D M 扭矩图问题：如将轮A 与轮C 互换，扭矩图如何？哪种布置受力更合理？mN 700max ⋅=轴力图剪力图和弯矩图组合变形杆件的内力与内力图25梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解27纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直28单跨静定梁的三种基本形式由静力平衡方程无法全部确定梁所有外力和内力29平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图：剪力F S 和弯矩M 求内力的方法：截面法A F R =M MaF A R =30平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图单位；kNN ·m ；kN ·m31截面，并取右段研究221qa -33平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图剪力方程剪力沿梁轴线的变化规律，即F S =F S (x )弯矩方程弯矩沿梁轴线的变化规律，即M=M (x )按比例绘出F S (x )的图线按比例绘出M (x )的图线剪力图和弯矩图受力分析，画受力图，由平衡方程求支座约束力分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量x 的取值根据剪力方程，求各控制面的剪力值，按比例绘剪力图。
第二章 内力分析
第二章杆件内力分析——材料力学教案第二章 杆件内力分析§2-1 内力与内力分量1. 内力主矢与主矩无论杆件横截面上的内力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得到一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。
2. 内力分量图2-1a 中所示以截面形心为简化中心的主矢R F 和主矩M。
2-1b 中所示的QzQy Nx F F ,和z y x M MM ,,x 、y 、z 轴三个方向上的分量。
其中：Nx F 或N F 称为轴力，它与杆产生的轴向变形（伸长或缩短）相对应。
Qy F 、Qz F 称为剪力，二者均与杆件产生的剪切变形相对应。
x M 称为扭矩,它与杆件产生的绕杆轴转动的扭转变形相对应。
y M 、z M 称为弯矩,二者与杆件产生的弯曲变形相对应。
MM BM xF R 图2-1a 分布内力向截面形心简化的主矢与主矩 F RF NQ图2-1b 内力与内力分量3. 内力分量的正负好规定为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号，不仅要考虑内力分量的方向，而且要看它作用在哪一侧截面上。
于是，上述内力分量的正负号规则约定如下： 轴力Nx F 或N F ————无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。
剪力Qy F 或Qz F ————使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。
弯矩y M 或z M ————作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。
扭矩X M ————扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。
图2-2为 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定的方向。
)(+N F N)(-N FNF Q (–Q (–)F Q F Q (+)图2-2 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定§2-2外力与内力之间的相依关系1. 弹性体的平衡原理弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。
材料力学基本第二章 内力与内力图
2.4 剪力图和弯矩图
2.4.1 剪力和弯矩
支座约束力分别为
FAy
ql 2
，
FBy
ql 2
由
Fy得 0
ql FAy qx FQ 2 qx FQ 0
FQ
ql 2
qx
剪力：与横截面相切的分布内力系的主矢FQ。
MO 0
F Ayx
qx2 2
M
ql 2
x
qx2 2
M
0
M ql x qx2 22
外法线方向一致时为正(图3-4a)，反之为负(图3-4b)。
Me
T (+)
T (+)
Me
a)
Me
T (-)
T (-)
Me
b)
扭矩图
扭矩图 反映扭矩随横截面位置变化的情况
按选定的比例尺，以沿杆轴线方向的坐标表 示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标代 表扭矩T，正的扭矩画在横轴上方，负的画 在下方。
例3-1 传动轴如图3-5a所示，主动轮A输入功率PA=72
例 简支梁承受满跨的均布载荷如图所示，试列出梁的剪力方程和弯矩方程，并 作剪力图和弯矩图
解： 1. 求支座约束力
由 M A， 0 得M B： 0
FAy
FBy
ql 2
2. 列剪力方程和弯矩方程
FQ (x)
FAy
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M
(x)
FAy x
qx
第二章 内力与内力图
§2-1 内力与内力分量 §2-2 轴力图 §2-3 扭矩图 §2-4 剪力图与弯矩图 §2-5 钢架的内力图 §2-6 结论与讨论
2.1 内力与内力分量
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P
解：① 反力
FA P ; M A PL
P
Fs(x)
x
M(x)
Fs(x)
② 内力方程
P
x x
Fs ( x ) P
M ( x ) Px
M ( x)
PL
③ 内力图
例2-9 画悬臂梁的内力图 q
解：① 内力方程
M ( x)
x
L
Fs(x)
Fs ( x ) qx
1 2 M ( x ) qx 2
x
—— 扭矩
M
n
m
x
返 回
M
n
*绕轴线转动
*符号规定—右手法则，
离开截面为正
2.2.5 扭转杆的扭矩图
返 回
m
* 规律：
m
M
n
跳跃性
x
封闭性
n =300r/min，主动轮N1=500kW，从动轮 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW，绘扭矩图。 m2 m3 m1 m4
①计算外力偶矩
4. 梁的三种基本形式
M — 集中力偶
①简支梁
②悬臂梁
③外伸梁
q — 均布力
q(x) — 分布力
P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
* 静定梁： 由静力学方程可求出全部反力 * 超静定梁： 由静力学方程不可求出全部反力
二、弯曲内力
已知：P，a，l
a A l FAx A FP B FP B
求：距A端x截面上内力 解：①求反力
2.1.1 轴向拉压杆
一、实例
* 桁架
返 回
2.1.2 轴向拉压杆的变形特点
返 回
2.1.3 轴向拉压杆的内力 1、轴力 截开：
FP A
返 回
FP
A
FP
简图
FP FP
A
代替：
平衡：
FN
轴力
X 0 FP FN 0
FP FN
* 符号规定
FN
FN
FN FN 0
FN
FN 0
Fs(x)
x
– qL
qL2 2
② 内力图
x M ( x)
q0 解：①求支反力
L
FA
q0 L2 6
FB
FA
q0 L qL ; FB 0 6 3
Fs(x)
3 L 3
q0 L2 3
②内力方程
x
Fs ( x) q0 2 (L 3x 2 ) 6L
x
q0 x 2 2 M ( x) (L x ) 6L
第二章 杆件的内力与内力图 2.1 轴向拉压杆的内力 轴力图 2.2 扭转杆的内力 扭矩图
2.3 平面弯曲梁的内力
剪力图和弯矩图 2.4 组合变形杆件的内力 内力图 2.5 平面刚架的内力 内力图
2.1 轴向拉压杆的内力 轴力图 2.1.1 轴向拉压杆
2.1.2 轴向拉压杆的变形特点
2.1.3 轴向拉压杆的内力 2.1.4 轴向拉压杆的轴力图 返 回
返 回
2.2.1 扭转杆 1．扭转实例： 方向盘、传动轴
轴 ——以扭转为主要变形的构件
返 回
2.2.2 扭转杆的变形特点
A B O
返 回
外力的合力为一力偶 力偶绕杆轴线
描述变形的指标
*扭转角（）：
任意两截面绕轴线转动的相对角位移。
*剪应变（）：
直角的改变量
返 回
* 平面假设
横截面象刚性平面一样绕轴线 转过一个角度。
M n3 m4 0 ,
M n3 m4 6.37kN
③绘制扭矩图
m2
m3
m1 n
m4
A
B
C
D
6.37
kN m
–
Mn
x
– 9.56
4.78
M
n max
9.56 kN m
BC段为危险段
练：作扭矩图
1
1.5
1 .5
返 回
2
( KN .m)
M
3 3
1
0 .5
n
(KN m)
F
x
0 , FAx 0
FP a mA 0 , FB l FAy FP (l a ) Fy 0 , FAy l
FB
②求内力——截面法
F
y
0
FP (l a) Fs FAy l
FAx A
m
FP
B
m
FAy
m
x
FB
C
0
M FAy x
2.1.4 轴向拉压杆的轴力图
FP
返 回
FP
FN
FP x
* 画出杆的轴力图
O A B C D
5P
8P
B
4P
C D
P
FN 1
A
5P
解： OA段
8P
4P
P
F
x
0
FN 1 5P 8P 4 P P 0
FN 1 2 P
FN 2 3P
FN 2
B
C
D
8P
FN 3
C
4P
D
P
FN 3 5P
Fs1
M1 qLx1
2--2截面
返 回
qL 1
2
q
F
y
0: qL Fs 2 q( x2 a) 0
Fs 2 q(x2 a L)
1 a
2
b
m (F ) 0 ,
B i
qL
1 qLx2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
B M2 x2
A
Fs C M Fs M C FB
∴ 弯曲内力
剪力
FP (l a) x 弯矩 M l
FP (l a) Fs l
FAy
FP
1. 弯矩：M 作用面垂直于截面的内力偶矩。
A
Fs
2. 剪力：Fs
FAx
C
M
作用线平行于截面的内力
Fs M C FB
FP
3.内力符号
① 剪力Fs Fs(+) Fs(+) ②弯矩M
M(+) M(–) M(–)
Fs(–)
Fs(–)
M(+)
例2-5 求指定截面的内力
[例] 求图示梁1--1、2--2截面处的内力
qL
1 1 a 2 2 q
解：求1--1截面内力
b
F
y
0: qL Fs1 0
qL
A
Fs1 qL
M1
x1
m (F ) qLx
A i
1
M1 0
桥梁结构主梁
返 回
3.1.2 弯曲梁的变形特点
返 回
平面弯曲: 弯曲变形后，轴线仍然 和外力在同一平面内。 * 对称弯曲—— 平面弯曲的特例
P1 q P2
M
纵向对称面
* 非对称弯曲
梁不具有纵对称面
返 回
P z
x
y P2
外力并不作用在对称面内
P1
纵向对称面
3.1.3 弯曲梁的内力 一、梁的计算简图
驻点等。
qa A a Fs
q
内力关系 内力导数 Fs qa; M 0 左端点：
a x 线形：根据
dFs x q x ； dx
2
dM ( x) dM (x ) q( x) Fs (x )； 2 dx dx
– qa qa2
及集中载荷点的规律确定。
3 2 分区点A： F qa; M qa 2 qa s 2
2.2.3 扭转杆的外力偶
返 回
功率、转速与外力偶矩的关系
M == 9549 N / n (N.m)
功率KW 转速r.p.m.
M == 7024 N / n (N.m)
功率：马力 转速r.p.m.
1 马力 (马力) = 735.49875 瓦
2.2.4 扭转杆的内力 ——截面法
返 回
m
x
m 0 Mn m 0 Mn m
返回
dM (x ) Fs (x ) dx
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
y
q(x) Fs(x)+d Fs (x)
dFs x q x dx
M ( x)
Fs(x) dx
A
dM 2 (x ) q (x ) 2 dx
M(x)+d M(x) ——弯矩与荷载集度的关系
返 回
三、剪力、弯矩与外力间的关系
外 力 无外力段
q=0
返回
集中力偶
m
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
P C
C
Fs 图 特 征
水平直线 Fs Fs
斜直线 Fs Fs
自左向右突变 Fs F
s1
无变化 Fs
C
x
Fs>0 Fs<0
x
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x m 特 M1 征M 反 M M M M M 增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 M1 M2 m
③根据方程画内力图
M ( x)
3q0 L2 27
返 回
二、 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
F
x
y M ( x) A dx M(x)+d M(x) dx q(x)
y