人教A版高中数学选修1-1考前过关训练 第二课 圆锥曲线与方程 Word版含答案
2020年高中数学人教A版选修1-1 第二章圆锥曲线与方程 练习12 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【解析】 由定义，知|AB |＝5＋2＝7，因为|AB |min ＝4，所以这样的直线有且仅有两条．【答案】 B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．213B ．215C ．217D ．219【解析】 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由直线AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，|AB |＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝516－4＝215.故选B.【答案】 B3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 【解析】 由y 2＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设A 点到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.【答案】 A4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在抛物线上，得y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)．又线段AB 的中点的纵坐标为2，即y 1＋y 2＝4，直线AB 的斜率为1，故2p ＝4，p ＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1.【答案】 B5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若O A →·A F →＝－4，则点A 的坐标为( ) 【导学号：26160061】A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)【解析】 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，①O A →＝(x ，y )，A F →＝(1－x ，－y )，O A →·A F →＝x －x 2－y 2＝－4，② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2.【答案】 B二、填空题6．抛物线y 2＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为________．【解析】 可判断直线y ＝x ＋4与抛物线y 2＝4x 相离，设y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝4x 相切，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y ＋4m ＝0. ∴Δ＝16－16m ＝0，m ＝1.又y ＝x ＋4与y ＝x ＋1的距离d ＝|4－1|2＝322， 则所求的最小距离为322. 【答案】 3227．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 21的最小值是________．【解析】 设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，当m ＝0时，y 21＋y 22最小为32.【答案】 328．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.【解析】 设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，联立得⎩⎨⎧ y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解之得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |＜|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.【答案】 56三、解答题9．求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【解】 如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， 即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则设直线为y ＝kx ＋1，代入y 2＝2x 得：k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0，当k ＝0时，直线方程为y ＝1，与抛物线只有一个交点．当k ≠0时，Δ＝(2k －2)2－4k 2＝0⇒k ＝12.此时，直线方程为y ＝12x ＋1.可知，y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.10．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2， ∴A ，B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ， ∴|AB |＝2|p |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线方程为y 2＝±42x .[能力提升]1．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3【解析】 ∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， ∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34.联立⎩⎨⎧ y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ，所以|AB |＝212＋32＝12.【答案】 C2．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，O 为原点，若|OA→|＝|OB→|，且抛物线的焦点恰好为△AOB 的垂心，则直线AB 的方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝32pC ．x ＝52pD ．x ＝3p【解析】 ∵|OA →|＝|O B →|，∴A ，B 关于x 轴对称．设A (x 0，2px 0)，B (x 0，－2px 0)．∵AF ⊥OB ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴2px 0x 0－p 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2px 0x 0＝－1， ∴x 0＝52p .【答案】 C3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .设过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)．代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k 2－4)2－4k 4<0，∴k 2>1.∴k >1或k <－1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知直线l ：y ＝12x ＋54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若O A →·O B →＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程. 【导学号：26160062】 【解】 (1)直线l ：y ＝12x ＋54.①过原点且垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②由①②，得x ＝－12.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，∴－p 2＝－12×2，∴p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x ，y )．由O A →·O B →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得y 1y 2＝－16.③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y ＝4y 2x .④ 由③④及y ＝y 1，得点N 的轨迹方程为x ＝－4(y ≠0)．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.2 含解析
2.3.2抛物线的简单几何性质(二)课时过关·能力提升基础巩固1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围为()A.[-12,12]B.[−2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]Q的直线l的方程为y=k(x+2),联立抛物线方程与直线方程,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时,显然满足;当k≠0时,因为l与抛物线有公共点,所以Δ≥0,即k2≤1,且k≠0.综上所述,-1≤k≤1.3.若过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为()A.2√13B.2√15C.2√17D.2√19A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知AB 的方程为y=-2(x-1), 即y=-2x+2.由{y 2=8x ,y =-2x +2,得x 2-4x+1=0,则x 1+x 2=4,x 1·x 2=1.故|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√(1+4)(16-4)=√5×12=2√15.4.若抛物线y 2=2px 截直线y=x+1所得弦长为2√6,则此抛物线的方程为( ) A.y 2=2xB.y 2=6xC.y 2=-2x 或y 2=6xD.以上都不对{y =x +1,y 2=2px ,得x 2+(2-2p )x+1=0.x 1+x 2=2p-2,x 1x 2=1.则2√6=√1+12·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2·√(2p -2)2-4.解得p=-1或p=3,故抛物线方程为y 2=-2x 或y 2=6x.5.已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A .12B.23C.34D.43x=−p 2=−2,∴p=4,∴抛物线方程为y 2=8x.由已知易得过点A 与抛物线y 2=8x 相切的直线斜率存在,设为k ,且k>0,则可得切线方程为y-3=k (x+2).联立方程{y -3=k (x +2),y 2=8x ,消去x 得ky 2-8y+24+16k=0.(*)由相切得Δ=64-4k (24+16k )=0,解得k =12或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y 2=8x ,得x=8,即切点B 的坐标为(8,8),又焦点F 为(2,0),故直线BF 的斜率为43.6.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y=2x-4与C 交于A ,B 两点,则cos ∠AFB 等于( ) A .45B.35C.−35D.−45{y 2=4x ,y =2x -4,得x 2-5x+4=0,∴x=1或x=4.不妨设A (4,4),B (1,-2),则|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)·(0,-2)=-8. ∴cos ∠AFB =FA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |FA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-810=−45.7.已知直线x-y+1=0与抛物线y=ax 2相切,则a= .{x -y +1=0,y =ax 2,得ax 2-x-1=0.∵a ≠0,∴Δ=1+4a=0,a=−14.148.直线y=x-1被抛物线y 2=4x 截得的线段的中点坐标是 .y=x-1代入y 2=4x ,整理,得x 2-6x+1=0.由根与系数的关系,得x 1+x 2=6,x 1+x 22=3,则y 1+y 22=x 1+x 2-22=6-22=2.故所求点的坐标为(3,2).9.求抛物线y=4x 2上到直线y=4x-5的距离最短的点的坐标.y=4x 2与y=4x-5不相交,设与y=4x-5平行的直线方程为y=4x+m.则{y =4x 2,y =4x +m ⇒4x 2-4x-m=0.①设此直线与抛物线相切,则Δ=0, 即Δ=16+16m=0,解得m=-1. 将m=-1代入①式,得x =12,y =1, 所求点的坐标为(12,1).10.已知过点A (-2,-4)作倾斜角为π4的直线,交抛物线y2=2px(p >0)于M,N 两点,且|AM|,|MN|,|AN|成等比数列,求抛物线的方程.,知MN 的方程为y=x-2.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由{y =x -2,y 2=2px 消去x ,得y 2-2py-4p=0,故y 1+y 2=2p ,y 1y 2=-4p. ∵|AM|·|AN|=|MN|2,且|AM|=√2(y1+4),|AN|=√2(y2+4),|MN|=√2|y1−y2|, ∴(y 1+4)(y 2+4)=(y 1-y 2)2, 即5y 1y 2+4(y 1+y 2)+16=(y 1+y 2)2, 则p 2+3p-4=0,解得p=1或p=-4(舍去). 故所求抛物线的方程为y 2=2x.能力提升1.抛物线y=ax 2与直线y=kx+b (k ≠0)交于A ,B 两点,且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( ) A.x 3=x 1+x 2 B.x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3 C.x 1+x 2+x 3=0D.x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=0{y =ax 2,y =kx +b ,则ax 2-kx-b=0,x 1+x 2=k ,x1x2=−b ,x3=−b .又−b =k ·(-b ),即x 1x 2=(x 1+x 2)x 3=x 1x 3+x 2x 3,选项B 正确.2.若抛物线y 2=x 上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为( ) A.-3B.3C.2D.-2AB 与直线y=x+b 垂直,∴设直线AB 的方程为y=-x+m ,代入y 2=x ,得y 2+y-m=0.∴y 1y 2=-m.又y 1y 2=-1, ∴m=1.设线段AB 的中点M (x 0,y 0),则y 0=y 1+y 22=−12,x0=x 1+x 22=1-y 1+1-y 22=1−y 1+y 22=32.∵点M 在直线y=x+b 上, ∴−12=32+b,b =−2.3.已知直线y=k (x+2)(k>0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则k 等于( )A .13B.√23C.23D.2√23y=k (x+2)代入y 2=8x ,得k 2x 2+4(k 2-2)x+4k 2=0(k>0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=4.∵|FA|=x 1+2,|FB|=x 2+2,且|FA|=2|FB|, ∴x 1=2x 2+2.又x 1x 2=4,∴x 2=1(负值舍去). ∴B (1,2√2),代入y=k (x+2),得k =2√23.4.已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2B.3C .17√28 D.√10AB 所在直线方程为x=my+t.由{x =my +t ,y 2=x消去x ,得y 2-my-t=0.设A (y 12,y1),B(y 22,y2)(不妨令y 1>0,y 2<0),故y 12+y 22=m,y1y2=−t.而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 12y 22+y1y2=2,解得y 1y 2=-2或y 1y 2=1(舍去). 所以-t=-2,即t=2.所以直线AB 过定点M (2,0).而S △ABO =S △AMO +S △BMO =12|OM||y1−y2|=y1−y2, S △AFO =12|OF|×y1=12×14y1=18y1, 故S △ABO +S △AFO =y 1-y 2+18y1=98y1−y2.由98y1−y2=98y1+(−y2)≥2√98y 1×(-y 2)=2√98×2=3, 得S △ABO +S △AFO 的最小值为3,故选B.5.已知抛物线C 的方程为x 2=12y,过点A(0,−1)和点B(t,3)的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 .AB 的方程为4x=t (y+1),代入x 2=12y,得2tx 2-4x+t=0.∵直线AB 与抛物线C 没有公共点, ∴t ≠0,且Δ=16-8t 2<0,即t >√2或t<−√2.-∞,−√2)∪(√2,+∞)★6.若A ,B 是抛物线x 2=y 上任意两点(非原点),则当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小时,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在两条直线的斜率之积kOA ·k OB 为 .AB 与x 轴不垂直,∴设直线AB 的方程为y=kx+b ,代入x 2=y ,得x 2-kx-b=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=-b.∴y 1y 2=x 12x 22=b2,∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=−b +b2=(b -12)2−14≥−14, 当且仅当b =12时,取“=”. 则k OA ·k OB =y 1x 1·y 2x 2=x1x2=−b =−12.127.已知A ,B 为抛物线y 2=2px (p>0)上的两点,O 为原点,若OA ⊥OB ,求证:直线AB 过定点.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则OA ⊥OB ⇒x 1x 2+y 1y 2=0,点A ,B 在抛物线上⇒y 12y 22=4p2x1x2,∴{y 1·y 2=-4p 2,x 1·x 2=4p 2.l AB :y-y 1=2py 1+y 2(x −x1), ∴y-y 1=2p y 1+y 2(x -y 122p), ∴y =2py 1+y 2x −y 12y 1+y 2+y1=2py 1+y 2x −4p 2y 1+y 2=2py 1+y 2(x −2p),∴直线AB 过定点(2p ,0).★8.已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程.(2)是否存在正数m ,对于过点M (m ,0)且与曲线C 有两个交点A ,B 的任一直线,都有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.设P (x ,y )是曲线C 上任意一点,那么点P (x ,y )满足√(x -1)2+y 2−x =1(x >0).化简得y 2=4x (x>0).(2)设过点M (m ,0)(m>0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 设l 的方程为x=ty+m ,由{x =ty +m ,y 2=4x ,得y 2-4ty-4m=0,Δ=16(t 2+m )>0, 于是{y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4m .①FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x1−1,y1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x2−1,y2). FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2<0. ②又x =y 24,于是不等式②等价于y 124·y 224+y1y2−(y 124+y 224)+1<0⇔(y 1y 2)216+y1y2−14[(y1+y2)2−2y1y2]+1<0.③ 由①式,不等式③等价于m 2-6m+1<4t 2.④对任意实数t ,4t 2的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立,等价于m 2-6m+1<0,即3-2√2<m <3+2√2.由此可知,存在正数m ,对于过点M (m ,0)且与曲线C 有两个交点A ,B 的任一直线,都有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0,且m 的取值范围是(3-2√2,3+2√2).。
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考前过关训练(二)圆锥曲线与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2015·湖南高考)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e==.【补偿训练】(2016·长沙高二检测)已知椭圆C:+ =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,若PF1⊥PQ,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解题指南】连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率.【解析】选C.连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,可得OA∥PF1,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,在直角三角形PF1F2中,利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,将c2=a2-b2代入,整理可得b=a,于是e====.2.(2016·南昌高二检测)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,可设A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1.3.(2016·广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选C.设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0),因为双曲线以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2),所以解之得a2=20,b2=16,因此,该双曲线的标准方程为-=1.4.(2016·西安高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= ( )A. B. C. D.【解析】选C.依题意:a=b=,所以c=2.因为|PF1|=2|PF2|,则设|PF2|=m,则|PF1|=2m,又|PF1|-|PF2|=2=m.所以|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,所以cos∠F1PF2==.5.(2016·桂林高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=4x【解析】选A.设抛物线的准线与x轴的交点为D,依题意,F为线段AB的中点,故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,|AB|=2|AF|=2|AC|=4p,所以∠ABC=30°,||=2p,·=4p·2p·cos30°=48,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.6.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点.若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率e的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,设左焦点为N连接AF,AN,BN,BF,所以:四边形AFBN为长方形.根据椭圆的定义得|AF|+|AN|=2a,∠ABF=α,则∠ANF=α.所以:2a=2ccosα+2csinα利用e===,α∈,所以≤α+≤,则≤≤-1,即椭圆离心率e的取值范围为.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.【解题指南】本题考查了双曲线的知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知==b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即(c,-b),代入双曲线方程为-=1,得=2,所以==1,所以渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【补偿训练】若曲线+=1的焦距与k无关,则它的焦点坐标是.【解析】因为k+5>k-2,又曲线+=1的焦距与k无关,所以k+5>0,k-2<0,曲线是焦点在y轴上的双曲线,且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦点坐标为(0,±).答案:(0,±)8.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②,得+=0,又点P(1,1)是AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,所以+=0,从而+y1-y2=0,又x1≠x2,所以直线l的斜率k==-.答案:-9.(2016·重庆高二检测)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可. 【解析】由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60°,所以直线方程为y=±x或y=±x.又因为有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足<≤,解得<e≤2.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)10.(2016·衡水高二检测)已知A,B,C均在椭圆M:+y2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2,当·=0时,有9·=.(1)求椭圆M的方程.(2)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求·的最大值. 【解析】(1)因为·=0,所以有⊥,所以△AF1F2为直角三角形,所以||cos∠F1AF2=||,因为9·=,所以9·=9||||cos∠F1AF2=9||2==||2,所以||=3||,又||+||=2a,所以||=,||=,在Rt△AF1F2中,有||2=||2+||2,即=+4(a2-1),解得a2=2,椭圆M的方程为+y2=1.(2)·=(-)·(-)=(--)·(-)=(-)2-=-1,从而将求·的最大值转化为求的最大值,P是椭圆M上的任一点,设P(x0,y0),则有+=1,即=2-2,又N(0,2),所以=+(y0-2)2=-(y0+2)2+10,而y0∈,所以当y0=-1时,取最大值9,故·的最大值为8.【补偿训练】设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线的方程.【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO 的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5求得p.【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,所以直线BO的斜率为-,即直线BD的方程为y=-x,把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为,把直线y=-x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.11.(2016·郑州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C.(1)当直线l的斜率是时,=,求抛物线G的方程.(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知得,当k1=时, l方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得又因为=,所以y2=y1或y1=4y2.由p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线G的方程为x2=4y.(2)由题意知l的斜率存在.设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0.①所以x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.所以BC的垂直平分线的方程为y-2k2-4k=-(x-2k),所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,对于方程①由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.所以b∈(2,+∞).所以b的取值范围为(2,+∞).关闭Word文档返回原板块。
(人教版)高中数学选修1-1检测第2章 圆锥曲线与方程2.3.2.2 Word版含答案
第二章一、选择题(每小题分，共分)．已知过抛物线＝焦点的弦长为，则该弦所在直线的倾斜角是( )或．或或．解析：抛物线的焦点为，过焦点垂直于轴的弦长为≠，∴该弦所在直线的斜率存在．设直线方程为＝，与方程＝联立得：－(＋)＋＝.设直线与抛物线交点为(，)，(，)．∴＋＝，∴＋＋＝＋＝.∴＝，∴＝±.答案：．已知抛物线＝(>)，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为( )．＝．＝－．＝．＝－解析：抛物线的焦点，所以过焦点且斜率为的直线方程为＝－，即＝＋，将其代入＝＝＝＋，所以－－＝，所以＋＝＝，∴＝所以抛物线的方程为＝，准线方程为＝－.答案：．抛物线＝与直线＋－＝的一个交点是()，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )．．解析：由已知得抛物线方程为＝，直线方程为＋－＝，抛物线＝的焦点坐标是()，到直线＋－＝的距离＝＝.答案：．设斜率为的直线过抛物线＝(≠)的焦点，且和轴交于点，若△(为坐标原点)的面积为，则抛物线方程为( )．＝±．＝±．＝．＝解析：抛物线＝(≠)的焦点坐标为，则直线的方程为＝，它与轴的交点为，所以△的面积为·＝，解得＝±.所以抛物线方程为＝±.答案：二、填空题(每小题分，共分)．在直角坐标系中，直线过抛物线＝的焦点，且与该抛物线相交于，两点，其中点在轴上方，若直线的倾斜角为°，则△的面积为．解析：根据题意写出直线的方程后求出点坐标，然后再求解．∵＝的焦点为()，又直线过焦点且倾斜角为°，故直线的方程为＝(－)，将其代入＝得－＋－＝，即－＋＝.∴＝或＝.又点在轴上方，∴＝.∴＝.∴△＝××＝.答案：．设点与抛物线＝上的点之间的距离为，到抛物线准线的距离为，则当＋取最小值时，点坐标为．解析：当点是与焦点连线与抛物线交点时，＋最小，的方程为＝－，与抛物线＝联立得()．答案：()三、解答题(每小题分，共分)．已知抛物线＝，过点()引一弦，使它恰在点被平分，求这条弦所在直线方程．解析：设弦的两个端点为(，)，(，)，所求直线方程为－＝(－)，∵，在抛物线上，∴＝，＝，两式相减得(＋)(－)＝(－)①将＋＝代入①得＝＝，∴直线方程为－－＝.．给定抛物线：＝，是抛物线的焦点，过的直线与相交于，两点．若＝，求直线的方程．解析：显然直线的斜率存在，故可设直线：＝(－)，联立(\\(＝(－(，＝，))消去得－(＋)＋＝，则＝，故＝.①又＝，∴＝，则－＝(－)②由①②得＝(＝舍去)，所以，得直线的斜率为＝＝±，∴直线的方程为＝±(－)．。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-1习题：第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.1 含解析
2.1.2椭圆的简单几何性质(一)课时过关·能力提升基础巩固1.椭圆x 22+y24=1的短轴长为()A.√2B.2C.2√2D.42.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.x 23+y24=1B.x242√3=1C.x 2+y2=1D.x2+y2=13.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(−√3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )A.x 24+y2=1B.x2+y24=1C.x 23+y2=1D.x2+y23=1一个焦点为(−√3,0),∴焦点在x轴上,且c=√3.又长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b,∴a=2b.故选A.4.在一个椭圆中,以焦点F1,F2为直径两端点的圆恰好过椭圆短轴的两个端点,则此椭圆的离心率e等于()A.12B.√22C.√32D.2√55b=c,故a=√2c.所以e=ca =√22.5.椭圆x 225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0<k<9)的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率x2+y2=1中,a=5,b=3,c=4,且焦点在x轴上.在椭圆x2+y2=1中, ∵0<k<9,且25-k>9-k,∴焦点在y轴上,且c=4,∴两个椭圆有相等的焦距.6.已知P是椭圆x 22+y2b2=1(a>b>0)上的一个动点,且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为−1,则椭圆的离心率为()A.√32B.√22C.12D.√33P(x0,y0),则y0x0-a·y0x0+a=−12,化简得x02a2+2y02a2=1.又因为点P在椭圆上,所以x02a2+y02b2=1,所以a2=2b2,故e=√22.7.若焦点在x轴上的椭圆x 22+y2m=1的离心率为12,则m=.x轴上, 所以0<m<2.所以a2=2,b2=m.所以c2=a2-b2=2-m.因为椭圆的离心率为e=12,所以e2=14=c2a2=2-m2,解得m=32.8.若椭圆的中心在原点,其对称轴为坐标轴,长轴长为2√3,离心率为√33,则该椭圆的方程为.,a=√3.又e =√33,∴c =1.∴b2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1或y 23+x 22=1.y 22=1或y 23+x 22=19.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆C 的离心率为 .x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则不妨设B (0,b ),F (c ,0). 设D (x 0,y 0),∵BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(c ,-b )=2(x 0-c ,y 0). ∴x 0=3c,y0=−b.代入椭圆方程得9c 24a 2+b24b2=1,∴c 2a2=13,∴e =c a =√33.10.已知A 为y 轴上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,△AF 1F 2为等边三角形,且AF 1的中点B 恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.,连接BF 2.∵△AF 1F 2是等边三角形,且B 为线段AF 1的中点,∴AF 1⊥BF 2.又∠BF 2F 1=30°,|F 1F 2|=2c , ∴|BF 1|=c ,|BF 2|=√3c.根据椭圆定义得|BF 1|+|BF 2|=2a , 即c +√3c =2a,∴ca =√3−1. ∴椭圆的离心率e =√3−1.能力提升1.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)有两个顶点在直线x +2y =2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±√3,0)B.(0,±√3)C.(±√5,0)D.(0,±√5)2.椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F,椭圆C 与x 轴正半轴交于点A,与y 轴正半轴交于点B(0,2),且BF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4√2+4,则椭圆C 的方程为( ) A .x 24+y 22=1B.x 26+y 24=1C .x 28+y 24=1D.x 216+y 28=13.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) A .14B.√55C .1D.√5−2A ,B 为椭圆的左、右顶点,F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,所以|AF 1|=a-c ,|F 1F 2|=2c ,|F 1B|=a+c.又因为|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列, 所以(a-c )(a+c )=4c 2,即a 2=5c 2. 所以离心率e =c a =√55,故选B.4.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为√55,且过点P(−5,4),则椭圆的方程为 .e =c a=√55,∴c 2a 2=a 2-b 2a 2=15,∴5a 2-5b 2=a 2,即4a 2=5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2+5y 24a 2=1(a >0). ∵椭圆过点P (-5,4),∴25a 2+5×164a 2=1.解得a2=45.∴椭圆方程为x 245+y236=1.y236=1★5.已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别是F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的面积是5,A,B两点的坐标是(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|=.,S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=c|y1−y2|(A,B在x轴上、下两侧),又S△ABF2=5,∴|y1−y2|=5c=53.6.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等边三角形,求该椭圆的离心率.x轴上,如图,由AB⊥F1F2,且△ABF2是等边三角形,得出在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,则|AF2|=2x,利用勾股定理,求出|F1F2|=√3x=2c.而|AF1|+|AF2|=2a,即可求出离心率e.x轴上,∵AB⊥F1F2,且△ABF2为等边三角形,∴在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,则|AF2|=2x.∴|F1F2|=√|AF2|2-|AF1|2=√3x=2c.由椭圆定义,可知|AF1|+|AF2|=2a.∴e=2c2a=√3x3x=√33.★7.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=√32,已知点P(0,32)到这个椭圆上的点的最远距离为√7,求这个椭圆方程.x2a2+y2b2=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由ca=√32,得a=2b,|PM|2=x2+(y-32)2=−3(y+12)2+4b2+3(−b≤y≤b).若0<b<12,则当y=-b时|PM|2最大,即(b+32)2=7,解得b=√7−32>12,故矛盾.若b≥12,则当y=−12时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为x24+y2=1.。
(人教版)高中数学选修1-1检测第2章 圆锥曲线与方程2.1.2.1 Word版含答案
第二章一、选择题(每小题分，共分)．设已知椭圆＋＝(>>)的一个焦点是圆＋－＋＝的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为( ) ．(－) ．(－)．(－) ．(－)解析：圆的方程可化为(－)＋＝，∴圆心为()，则椭圆的一个焦点为()，∴＝＝，＝.＝＋＝，∴＝，椭圆的左顶点为(－)．答案：．已知椭圆的左、右焦点坐标分别是(－，)，(，)，离心率是，则椭圆的方程为( ) ＋＝．＋＝＋＝．＋＝解析：因为＝，且＝，所以＝，＝＝.所以椭圆的方程为＋＝.答案：．设<<，则椭圆＋＝与＋＝具有相同的( )．顶点．长轴与短轴．离心率．焦距解析：由<<，知<－<－，椭圆＋＝焦点在轴上，焦距为.而椭圆＋＝的焦点在轴上，焦距也为.答案：．椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )．．解析：依题意：＝，∴＝，即－＝.∴＋－＝，∴＝(舍去负值)．答案：二、填空题(每小题分，共分)．若点和点分别为椭圆＋＝的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则·的最大值为．解析：由椭圆＋＝可得(－)，()．设(，)，－≤≤，则·＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋，当且仅当＝时，·取得最大值.答案：．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为．解析：依题意设椭圆的方程为＋＝(＞＞)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为，∴＝，即＝.∵椭圆的离心率为，∴＝＝＝，∴＝，∴＝.∴椭圆的方程为＋＝.答案：＋＝三、解答题(每小题分，共分)．设椭圆方程为＋＝(＞)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长，焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为＋＝.()当＜＜时，＝，＝，＝.∴＝＝＝，∴＝，∴＝，＝.∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是，焦点坐标为(－，)，()，顶点坐标为(－)，()，(，－)，(，)．()当＞时，＝，＝，∴＝，∴＝＝＝，解得＝，∴＝，＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，，焦点坐标为，，顶点坐标为，，(－)，()．．求适合下列条件的椭圆的标准方程：()过点()，离心率＝；()焦距为，在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．。
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1 Word版含解析
切．
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知双曲线ax2－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为 2，且右焦点与抛物线 y2 ＝4 3x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于导学号 03624529( B )
A． 2
B． 3
C．2
D．2 3
[解析] ∵抛物线 y2＝4 3x 的焦点( 3，0)为双曲线的右焦点，∴c＝ 3，
第二章 2.3 2.3.1
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若 A 是定直线 l 外一定点，则过点 A 且与直线 l 相切的圆的圆心轨迹为
导学号 03624520( D ) A．直线
B．椭圆
C．线段பைடு நூலகம்
D．抛物线
[解析] 因为圆过点 A，所以圆心到 A 的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆
心到直线的距离也等于圆的半径，且点 A 是定直线 l 外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．
2．如果抛物线 y2＝2px 的准线是直线 x＝－2，那么它的焦点坐标为导学号 03624521(
B)
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(－1,0)
[解析] 因为准线方程为 x＝－2＝－p2，所以焦点为(p2，0)，即(2,0)．
3．(2016·贵州贵阳高二检测)抛物线 x2＝4y 的焦点到准线的距离为导学号 03624522(
则△POF 的面积为导学号 03624532( C )
A．2
B．2 2
C．2 3
D．4
3．若抛物线 y2＝2px 的焦点与椭圆x62＋y22＝1 的右焦点重合，则 p 的值为
导学号 03624531( D ) A．－2
2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.1.1 Word版含解析
第二章 2.1 2.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·浙江宁波高二检测)已知椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为导学号 03624359( D )A ．8B ．12C ．23D ．4 3[解析] 把点(－2，3)代入x 216＋y 2b 2＝1，得b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝12.∴c ＝23，∴2c ＝4 3.2．(2015·广东文)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝导学号 03624360( B )A ．2B ．3C ．4D ．9[解析] ∵椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，∴c ＝4＝25－m 2，∴m 2＝9，∴m ＝3，选B ．3．已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |＝5，则|AF 1|＋|BF 1|＝导学号 03624361( A )A ．11B ．10C ．9D ．16[解析] 由方程知a 2＝16，∴2a ＝8，由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝16，∴|AF 1|＋|BF 1|＝11，故选A ．4．(2016·山东济宁高二检测)设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是导学号 03624362( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[解析] 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的导学号 03624363( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，则m >0，n >0，从而mn >0，但当mn >0时，可能有m ＝n >0，也可能有m <0，n <0，这时方程mx 2＋ny 2＝1不表示椭圆，故选B ．6．(2016·贵州贵阳高二检测)已知两点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是导学号 03624364( C )A ．x 216＋y 29＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 33＋y 24＝1[解析] ∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>|F 1F 2|，动点P 的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3，方程为x 24＋y 23＝1.二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为4和2，则椭圆的标准方程为 x 29＋y 28＝1 .导学号 03624365[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝4a －c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∴椭圆方程为x 29＋y 28＝1.8．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程是 x 215＋y 210＝1 .导学号 03624366[解析] 因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，将(－3,2)代入方程可得9a2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15，故方程为x 215＋y 210＝1.三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程.导学号 03624367[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.B 级 素养提升一、选择题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是导学号 03624368( C )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20[解析] 2c ＝2，∴c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故答案为C ．2．设椭圆的标准方程为x 2k －3＋y 25－k ＝1，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是导学号 03624369( C )A ．k >3B ．3<k <5C ．4<k <5D ．3<k <4[解析] 由题意得k －3>5－k >0，∴4<k <5.3．若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 、b 满足导学号 03624370( C )A ．a 2>b 2B ．1a <1bC ．0<a <bD ．0<b <a[解析] 将方程变为标准方程为x 21a ＋y 21b ＝1，由已知得，1a >1b >0，则0<a <b ，选C ．4．(2016·安徽师大附中高二检测)F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为导学号 03624371( C )A ．7B ．74C ．72D ．752[解析] 由已知得a ＝3，c ＝ 2. 设|AF 1|＝m ，则|AF 2|＝6－m ，∴(6－m )2＝m 2＋(22)2－2m ·2 2 cos 45°， 解得m ＝72.∴6－m ＝52.∴S △AF 1F 2＝12×72×22sin 45°＝72，故选C ．5．(2016·长沙模拟)设椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为导学号 03624372( C )A ．3B ．3或32C ．32D ．6或3 [解析] 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P 不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF 1F 2的面积为12×2c ×b 2a ＝32.二、填空题6．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m 的值为__6__.导学号 03624373[解析] 由题意知，c ＝1，∴m －5＝1，∴m ＝6.7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__2__；∠F 1PF 2的大小为__120°__.导学号 03624374[解析] 由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝2，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16＋4－2816＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°.8．(2016·广西南宁高二检测)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 24＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是__8__.导学号 03624375[解析] 如图所示，F 为椭圆的左焦点，A 为其右焦点，△ABC 的周长＝|AB |＋|BC |＋|AC |＝|AB |＋|BF |＋|AC |＋|CF |＝4a ＝8.C 级 能力提高1．根据下列条件，求椭圆的标准方程.导学号 03624376 (1)经过两点A (0,2)、B (12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点． [解析] (1)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，∵椭圆过A (0,2)、B ⎝⎛⎭⎫12，3. ∴⎩⎨⎧0m ＋4n ＝114m ＋3n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝4.即所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.(2)∵椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x 2m ＋y 2m ＋5＝1(m >0)，又椭圆经过点(2，－3)，则有4m ＋9m ＋5＝1，解得m ＝10或m ＝－2(舍去)， 即所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1.2．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积.导学号 03624377[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20， 又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.。
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考前过关训练(二)圆锥曲线与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2015·湖南高考)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e==.【补偿训练】(2016·长沙高二检测)已知椭圆C:+ =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,若PF1⊥PQ,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解题指南】连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率.【解析】选C.连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,可得OA∥PF1,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,在直角三角形PF1F2中,利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,将c2=a2-b2代入,整理可得b=a,于是e====.2.(2016·南昌高二检测)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,可设A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1.3.(2016·广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选C.设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0),因为双曲线以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2),所以解之得a2=20,b2=16,因此,该双曲线的标准方程为-=1.4.(2016·西安高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= ( )A. B. C. D.【解析】选C.依题意:a=b=,所以c=2.因为|PF1|=2|PF2|,则设|PF2|=m,则|PF1|=2m,又|PF1|-|PF2|=2=m.所以|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,所以cos∠F1PF2==.5.(2016·桂林高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=4x【解析】选A.设抛物线的准线与x轴的交点为D,依题意,F为线段AB的中点,故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,|AB|=2|AF|=2|AC|=4p,所以∠ABC=30°,||=2p,·=4p·2p·cos30°=48,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.6.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点.若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率e的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,设左焦点为N连接AF,AN,BN,BF,所以:四边形AFBN为长方形.根据椭圆的定义得|AF|+|AN|=2a,∠ABF=α,则∠ANF=α.所以:2a=2ccosα+2csinα利用e===,α∈,所以≤α+≤,则≤≤-1,即椭圆离心率e的取值范围为.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.【解题指南】本题考查了双曲线的知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知==b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即(c,-b),代入双曲线方程为-=1,得=2,所以==1,所以渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【补偿训练】若曲线+=1的焦距与k无关,则它的焦点坐标是.【解析】因为k+5>k-2,又曲线+=1的焦距与k无关,所以k+5>0,k-2<0,曲线是焦点在y轴上的双曲线,且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦点坐标为(0,±).答案:(0,±)8.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②,得+=0,又点P(1,1)是AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,所以+=0,从而+y1-y2=0,又x1≠x2,所以直线l的斜率k==-.答案:-9.(2016·重庆高二检测)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可. 【解析】由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60°,所以直线方程为y=±x或y=±x.又因为有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足<≤,解得<e≤2.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)10.(2016·衡水高二检测)已知A,B,C均在椭圆M:+y2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2,当·=0时,有9·=.(1)求椭圆M的方程.(2)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求·的最大值. 【解析】(1)因为·=0,所以有⊥,所以△AF1F2为直角三角形,所以||cos∠F1AF2=||,因为9·=,所以9·=9||||cos∠F1AF2=9||2==||2,所以||=3||,又||+||=2a,所以||=,||=,在Rt△AF1F2中,有||2=||2+||2,即=+4(a2-1),解得a2=2,椭圆M的方程为+y2=1.(2)·=(-)·(-)=(--)·(-)=(-)2-=-1,从而将求·的最大值转化为求的最大值,P是椭圆M上的任一点,设P(x0,y0),则有+=1,即=2-2,又N(0,2),所以=+(y0-2)2=-(y0+2)2+10,而y0∈,所以当y0=-1时,取最大值9,故·的最大值为8.【补偿训练】设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线的方程.【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO 的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5求得p.【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,所以直线BO的斜率为-,即直线BD的方程为y=-x,把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为,把直线y=-x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.11.(2016·郑州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C.(1)当直线l的斜率是时,=,求抛物线G的方程.(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知得,当k1=时, l方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得又因为=,所以y2=y1或y1=4y2.由p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线G的方程为x2=4y.(2)由题意知l的斜率存在.设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0.①所以x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.所以BC的垂直平分线的方程为y-2k2-4k=-(x-2k),所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,对于方程①由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.所以b∈(2,+∞).所以b的取值范围为(2,+∞).关闭Word文档返回原板块。