第一章 数值分析(计算方法)课程介绍
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数值分析第一章PPT
1.1.2 计算数学与科学计算 现代科学的三个组成部分: 科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
一些边缘学科的相继出现：
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起.005 0 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 0 .743 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
数值分析
第1章
数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
1.1.1 什么是数值分析 数值分析是计算数学的主要部分,计算数学是数学 科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的 数值计算方法及其理论与软件实现.这门课程又称为(数 值)计算方法、科学与工程计算等。
•
在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天， 需要研究适合计算机使用的数值计算方法。使用计 算机解决科学计算问题时大致要经历如下几个过程:
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析
第一章 数值分析与科学计算引论1,1 数值分析的对象、作用与特点用计算机求解科学技术问题通常经历一下步骤： (1).根据实际问题建立数学模型。
(2).由数学模型给出数值计算方法。
(3).根据计算方法编制算法程序（数学软件）在计算机上算出结果。
数值分析的特点：第一， 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。
第二， 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要进行误差分析。
第三， 要有好的计算复杂性。
第四， 要有数值实验。
1.2 数值计算的误差1.数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。
2.用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差或方法误差。
3.设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值的绝对误差，简称误差。
4.*e 的绝对值不超过*ε，*ε叫做近似值的误差限。
5.误差*e 与准确值x 得比值xx x x e -=**称为近似值*x 的相对误差，记作*r e 。
6.相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即***xrεε=。
7.若近似值*x 的误差限是某一单位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说*x 有n 位有效数字。
它可表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数，且1*1021+-⨯≤-n m x x 。
8.设近似数*x 表示为)1010(10)1(121*---⨯++⨯+⨯±=n n m a a a x ，其中),,2,1(n i a i =是0到9中的一个数字，m a ,01≠为整数。
若*x 具有n 为有效数字，则其相对误差限)1(1*1021--⨯≤n r a ε；反之，若*x 的相对误差限)1(1*10221--⨯+≤n r a ε，则*x 至少具有n 为有效数字。
数值分析基础
数值分析基础整理：朱华伟参考文献：张卫国讲义一、绪论1.1数值分析理论1、课程介绍数值分析：是指用计算机求解各类数学问题的方法与理论。
数值分析中需要考虑的问题：a、理论可靠性：指由数值分析算法得出的结果值不值得信赖；b、计算复杂性包括时间复杂性和空间复杂性。
时间复杂性是指算法运行时间的长短；空间复杂性是指数据占据空间的大小，这里理解为数据占据计算机存储空间的大小。
c、结构要好：指实现算法的程序可移植性要好，可修改性要好等等。
早期主要考虑计算复杂性，现在主要考虑结构性要好，计算复杂度适中即可，也就是，在保证结构性要好的同时，计算复杂度要尽可能的小。
2、主要内容主要的数学模型：a、方程求根模型，如，一元二次方程。
可以用迭代法求解，迭即是重复，代即是代入。
b、线性方程组模型，可以用迭代法，直接法求解。
c、特征值的特征向量模型。
d、插值方法与数值微分模型。
e、数值逼近与数值拟合模型。
f 、 数值积分模型。
g 、 微分方程组的解的模型。
1.2误差及有效数字 1、误差的来源解决一个实际问题的过程： 分析问题假设、简化、抽象数学模型构造算法 编程求解误差有四种：a 、模型误差：由数学模型与实际问题的差别所造成。
b 、方法（算法）误差：有些问题需要截断进行处理，这样就会产生余项误差。
c 、舍入误差：计算机存储时出现的误差。
d 、观测（测量）误差：在进行实际数据的测量时产生的误差。
在数值分析中我们只关心舍入误差和观测误差。
2、误差的度量 有三种方式：a 、绝对误差与绝对误差界， 是绝对误差的界， 为准确值，x 为 的一个近似值。
，n 的取值取决于具体的b 、相对误差与相对误差界， 是相对误差的界。
通常c、有效数字有两种方法表示：1、如果舍去部分不超过所取值的最后一位的一半，则有效数字取到所取值的最后一位；如果舍去部分超过所取值的最后一位的一半，则有效数字取到所取值的最后一位的前一位。
2、规格法设，k>0且取整，取1~9，取0~9，若=，则x有n位有效数字，的取值取决于方法1，然后经过换算即可求出n。
数值分析课程介绍
课程介绍
1 课程基本情况
• 课程名称：数值分析、计算方法 • 课程性质：校级学位课、54学时、考试课 • 适用专业：全校理工类各专业 • 开课学院：计算机学院 • 授课教师：张卫国
课程介绍
2 数值分析课程的内涵
数值分析是研究用计算机求解工程与实践中遇到的各种数 学问题的数值计算方法和理论。它既具有纯数学的抽象性 和严密性，又具有应用的广泛性与实验的技巧性。 数值分析的内涵可概括为“研究理论可靠、计算复杂性好、 能在计算机上实现的求解数学模型的方法”。其中，理论 可靠是指算法的稳定性（高）和收敛性（速度快），复杂 性好是指算法的时间和空间效率好，机器实现是指算法的 有限性及可操作性。
计算思维 三种科学方法
理论方法、实验方法、计算方法
科学思维
逻辑思维（公理、规则、结论）→推理，如数学 实证思维（重现、自洽、预见）→实验，如物理学
计算思维（能行、构造、模拟）→使自动，如计算机科学
计算思维
运用计算机科学的基础概念、问题求解、系统设计以及人类行 为理解等涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动。（周以真）
[5]方法的进一步研讨.如加速算法、预测—校正技术等。
7 数学思维与计算思维
数学思维 严格套定义
如集合、向量空间等
思想方法：
综合（从已知条件出发，进行推导） 分析（从问题着手，看为解决问题，需要那些东西）
问题转化：
构造（构造一个函数、方程、辅助线、新定义来解决或证 明问题） 映射（将问题映射为一个模型或其它东西。如七桥问题））
数值方法已成为求解数学问题不可或缺的途径和手段。
课程介绍
3 数值分析研究的主要内容及数学模型
f ( xi ) p ( xi ) i 0,1, , n 函数插值 数值逼近 函数逼近与曲线拟合 min f ( x) ( x) p b n 数值积分与数值微分 f ( x)dx Ai f ( xi ) i 0 a 一元方程求根 f ( x) 0 矩阵计算与方程求根 线性方程组求解 Ax b 特征值与特征向量 Ax x dy 常微分方程数值解 dx f ( x, y ) y ( x0 ) y程讲解数值计算的基本理论与方法，涉及到工程与实践 中最常用到的7-8个数学问题（模型），各模型相对独立， 但过程大体相同，即
1 课程基本情况
• 课程名称：数值分析、计算方法 • 课程性质：校级学位课、54学时、考试课 • 适用专业：全校理工类各专业 • 开课学院：计算机学院 • 授课教师：张卫国
课程介绍
2 数值分析课程的内涵
数值分析是研究用计算机求解工程与实践中遇到的各种数 学问题的数值计算方法和理论。它既具有纯数学的抽象性 和严密性，又具有应用的广泛性与实验的技巧性。 数值分析的内涵可概括为“研究理论可靠、计算复杂性好、 能在计算机上实现的求解数学模型的方法”。其中，理论 可靠是指算法的稳定性（高）和收敛性（速度快），复杂 性好是指算法的时间和空间效率好，机器实现是指算法的 有限性及可操作性。
计算思维 三种科学方法
理论方法、实验方法、计算方法
科学思维
逻辑思维（公理、规则、结论）→推理，如数学 实证思维（重现、自洽、预见）→实验，如物理学
计算思维（能行、构造、模拟）→使自动，如计算机科学
计算思维
运用计算机科学的基础概念、问题求解、系统设计以及人类行 为理解等涵盖计算机科学之广度的一系列思维活动。（周以真）
[5]方法的进一步研讨.如加速算法、预测—校正技术等。
7 数学思维与计算思维
数学思维 严格套定义
如集合、向量空间等
思想方法：
综合（从已知条件出发，进行推导） 分析（从问题着手，看为解决问题，需要那些东西）
问题转化：
构造（构造一个函数、方程、辅助线、新定义来解决或证 明问题） 映射（将问题映射为一个模型或其它东西。如七桥问题））
数值方法已成为求解数学问题不可或缺的途径和手段。
课程介绍
3 数值分析研究的主要内容及数学模型
f ( xi ) p ( xi ) i 0,1, , n 函数插值 数值逼近 函数逼近与曲线拟合 min f ( x) ( x) p b n 数值积分与数值微分 f ( x)dx Ai f ( xi ) i 0 a 一元方程求根 f ( x) 0 矩阵计算与方程求根 线性方程组求解 Ax b 特征值与特征向量 Ax x dy 常微分方程数值解 dx f ( x, y ) y ( x0 ) y程讲解数值计算的基本理论与方法，涉及到工程与实践 中最常用到的7-8个数学问题（模型），各模型相对独立， 但过程大体相同，即
数值分析第一章
截断误差：
Rn(x)
f (n1)()xn1
(n1)!
舍入误差：机器字长有限
R 3 .14 0 1 .05 09 0 .数0 制转0 换、2 机器6 数.
二、误差、有效数字
定义1 绝对误差，简称误差： e*x* x,其x* 中 为准 x的 确 近 .值 似
误差限：*|e*|的一个上 . 界
数值分析
第1章 绪论
§1 数值分析的研究对象与特点
一、什么是数值分析
数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数 学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题 的数值计算方法及其理论与软件实现.
实际问题→数学模型→数值计算方法 →程序设计→上机计算求出结果
先看两个例子。 例1 求方程 x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。 理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出
而 按 (2.相 1 )， m 对 3 ,误 n3 差绝 .2限对 相误 同 2 *差 ： 1 21限 05. r*0.005 /90..80000/00.0050.980
定理１设近似x*数 表示为
x*10m(a1a2101al 10(l1)) (2.)1
一般 Cp10认为是病 . 态 其他计算问题条 也件 要 ,考 数 考虑虑是否 . 病态
二、算法的数值稳定性
考虑初始数据误差在计算中的传播问题.
例 5计In算 e 10 1xnexdx,n0,1 , ,并估.计误
In 1 n n 1 I ,n 1 ,2 , , I01e1. (A) II0 n 1 0.6nI3n ,1 2,n11,2, . (B)II9n** 10.01n(168,In*4),n9,8, ( ,1I9. 1 2(110e110)0.06)8 定义一3个算法若输 误入 差 ,而数 在据 计有 算过 误差不,则 增称 长此算法是 的,否 数则 值是 稳不 定. 稳
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
数值分析教程
研究 对象 现 实 世 界 观测 数据
数学模型 的建立
计算方法 的构成
数值运算 的执行
结果
模型 误差
截断 误差
舍入 误差
观测 误差
计算方法
计算方法
➢ 模型误差 /* Modeling Error */ —— 从实际问题中抽象出数学模型时产生的误差
➢ 观测误差 /* Measurement Error */ ——通过测量得到模型中参数的值 导致输入数据的
e
x
2
作Taylor展开后再积分
1
0
e 大x2 d家x一1 起1/e01猜(113？x212!01215xe4!x312!dx3!x6 71
x8 4!
1
1
1
4! 9
) dx
当n=20时，N =9.7 1021.
当n=30时，N =7.41036.
当n=40时，N =5.351052.
计算方法
计算方法
数值分析的本质
输入复杂问题或运算
x,
ax,
ln x,
Ax
b,
b f (x)dx,
d f ( x), ......
a
dx
数值 分析
近似解
计算机
利用计算机高速的简单运算(加、减、乘、除)去实现各 种复杂的功能。
计算方法
计算方法
2. 数值分析的地位
现代科学的三个组成部分:
科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
数学模型 的建立
计算方法 的构成
数值运算 的执行
结果
模型 误差
截断 误差
舍入 误差
观测 误差
计算方法
计算方法
➢ 模型误差 /* Modeling Error */ —— 从实际问题中抽象出数学模型时产生的误差
➢ 观测误差 /* Measurement Error */ ——通过测量得到模型中参数的值 导致输入数据的
e
x
2
作Taylor展开后再积分
1
0
e 大x2 d家x一1 起1/e01猜(113？x212!01215xe4!x312!dx3!x6 71
x8 4!
1
1
1
4! 9
) dx
当n=20时，N =9.7 1021.
当n=30时，N =7.41036.
当n=40时，N =5.351052.
计算方法
计算方法
数值分析的本质
输入复杂问题或运算
x,
ax,
ln x,
Ax
b,
b f (x)dx,
d f ( x), ......
a
dx
数值 分析
近似解
计算机
利用计算机高速的简单运算(加、减、乘、除)去实现各 种复杂的功能。
计算方法
计算方法
2. 数值分析的地位
现代科学的三个组成部分:
科学理论, 科学实验, 科学计算 科学计算 的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 （Matlab, Mathematica, Maple, MathCAD etc. ）为工具，以数学 模型为基础进行模拟研究。
促使一些边缘学科的相继出现： 计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学,计算生物学, 计算地质学,计算经济学,等等
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学好本门课程需要做到： 认清算法的计算对象； 掌握基本的计算方法及其原理； 编制程序，在计算机上对算法进行验证； 对于算法要多思考多比较！
School of Math. & Phys.
7
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2014-4-11
School of Math. & Phys. 18 North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
给定a 0，求开方值
2
x a 0
a 的问题就是要求解方程
（1）
利用校正技术，设计求解
a（ a
0 ）的算法。
设给定某个预报值 x0 ，希望借助于某种简单方法确定 校正量 x ，使校正值 能够比较准确地满足方程（1），即使 x0 x a 成立， 2 设校正量 x是个小量，舍去上式中的高阶小量 x ， 令 x0 2 2 x0 x a ，从中定出 x ，继而可得校正值：
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数值分析(计算方法)课程介绍
数值计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨 性，又有实用性和实验性等技术特征，它是一门理论性 和实践性都很强的课程。在20世纪70年代，大多数学校 仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这 门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算 方法课程几乎已成为所有理工科大学生的一门必修课程。
S vt0 t1 V
求解上述方程即可定出校正值
School of Math. & Phys.
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North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
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J. G. Liu
进一步视 t1为新的预报值，重复实施上述手续，求出新 的校正值 t2，再由 t2定 t3 ，如此反复可生成一系列近 似值 t1,t2,t3,…这就规定了一个迭代过程，
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J. G. Liu
引例
§ 1.1 算法设计技术
古希腊哲学家 Zeno( 芝诺 ) 在两千多年前提出过一个骇人 听闻的命题：一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前 面的一只乌龟。这就是著名的Zeno悖论。
数值分析(计算方法)课程介绍
(1)
其中 det(A) 0 ,由克莱姆法则可知 (1)有唯一的解，而且解为：
a11 a1i 1 b1 a1i 1 a1n Di xi , D det(A), Di det D a a b a a ni 1 n ni 1 nn n1
J. G. Liu
参考书目：
1 谷根代等，数值分析与应用，科学出版社，2011 2 钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004. 3 颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版 社,2000.
4 李庆扬. 数值分析.清华大学出版社,2001.
5 白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.
6 王能超.计算方法.北京: 高等教育出版社, 2005.
——Zeno算法 可见，Zeno算法的设计思想是: “化大为小,化繁为简”，即将人 龟追赶计算化为简单的行程计算的重复。 算法的设计精髓：“简单”的重复生成复杂！
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S0 S , S k S k 1 v
S vtk tk 1 , k 0,1,2, V
(2)
Zeno悖论所描述的逼近过程正是这种迭代过程，当 k→∞时，tk →t* 。大家知道，任何形式的重复都可看 成是“时间”的量度。Zeno在刻画人龟追赶问题中设 置了两个“时钟”：一个是日常的钟，另外Zeno又将 迭代次数视为另一种时钟，不妨称之为Zeno钟。Zeno 公式（2）表明，当Zeno钟趋于∞时人才能追上龟， Zeno正是据此断言人永远追不上龟。
v0 a0
vk x vk 1 ak
(k 1, 2,)
算 法 流 程 图
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2 迭代法的校正技术
有些问题的“大事化小”过程似乎无法了结。Zeno悖论 强调人“永远”赶不上龟正是为了突出这层含义。这是 一类无限逼近的过程，适于用所谓预报校正技术来处理。
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数值分析(计算方法)课程介绍
研究对象和主要内容
实际问题
数学模型
算法设计
应用数学
程序设计
计 算 数 学
上机求解
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设解t*有某个预报值t0，希望提供校正量△t，使校正值 t1= t0+ △t 能更好的满足所给方程（1），即使得
V t0 t v t0 t S
注意到 v 是个小量，设△ t 也是个小量，则可从上式中 略去v△t ，即令校正量△t满足如下方程(近似)
V t0 t vt0 S
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数值分析(计算方法)课程介绍
特点
面向计算机 收敛性 有可靠的理论分析 特点 稳定性
时间复杂度 有较好的计算复杂性 空间复杂度 有数值实验
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考虑
P( x) a0 x a1 x
n
n 1
an1 x an
ak x
k 0
n
nk
利用缩减技术可得如下算法：
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tk-1
tk
V
v
Sk-1Βιβλιοθήκη V Skv图示: 人龟追赶过程 耐人寻味的是，尽管Zeno悖论的论断极其荒谬，但从算法设计思 想的角度来看它却是极为精辟的。Zeno悖论将人龟追赶问题表达 为一连串追赶步的逐步逼近过程。设人与龟的速度分别为V与v， 记Sk表示逼近过程的第k步人与龟的间距，另以tk表示相应的时间， 相邻两步的时间差△tk 。Zeno悖论将人龟追赶问题分解为一追一 赶两个过程： Sk 1 追的过程：先令龟不动，计算人追上龟所费的时间 tk 赶的过程：再令人不动，计算龟在这段时间内爬行的路程
School of Math. & Phys. 11
Sk vtk
V
North China Elec. P.U.
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若以人和龟之间的距离 S k 定义问题的规模大小，则 上述过程将问题规模压缩了 v V 倍： S k S k 1 v V v 由于龟的速度远远小于人的速度，故 V 很小，因此 按上述步骤很快问题的规模 S k 就可以忽略不计，从而 得到人追上龟所花时间 t k ，Zeno的解释可用如下过程 表示：
8 North China Elec. P.U.
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Numerical Analysis
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第一章 绪论
内容:
1、算法设计技术 2、误差 3、数值计算中需要注意的一些问题 4、算法的稳定性 5、病态问题
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Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设 人与龟同时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时 间便能追上它；但实际上在这段时间内龟又爬了一段路 程，从而人又得重新追赶，如下图所示，这样每追赶一 次所归结的是同样类型的追赶问题，因而这种追赶过程 “永远”不会终结。
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School of Math. & Phys. 2 North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
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数值分析(计算方法)课程介绍
首先看一个简单的例子：
x1 x2 1 2 x1 x2 0
x1 1 x2 2
Numerical Analysis
2014-4-11
J. G. Liu
数
值
分
刘敬刚
析
主讲：
School of Math. & Phys.
1
North China Elec. P.U.