6.5相似三角形的性质(1)
6.5相似三角形的性质
中线
Dˊ C ˊ
相似三角形对应线段的比等于相似比.
如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k，它们的面积 比是多少？ A
A/
AB BC CA AD k A`B` B`C ` C `A` A`D`
B
D
C
B/
D/ C/
S ABC S A`B `C `
1 BC AD 2 k k k2 1 B`C ` A`D` 2
C`
3、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面 积等于梯形BCED的面积，则△ADE与 1: 2 △ABC的相似比是_______
A
D B
E
C
4、如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2， 求△AEF与△CDF周长的比。如果S△AEF=6 cm2, 求S△CDF？
D
C
F A E B
5.如图，S□ABCD=2008cm2，点E是平行四边形ABCD
相等
相等相等相等相 相等 成比例 似ΔABC∽ΔAˊBˊCˊ, 相似比为k, 求
A B C B/
ΔABC的周长 ΔA’B’C’的周长
A/
C/
解:
∵ ΔABC∽ΔAˊBˊCˊ
AB BC CA ∴设 k A`B` B`C ` C `A`
∴
AB k A`B` BC k B`C ` CA k C `A`
1 的边AB的延长线上一点，且 BE 4 AB ，那么
S△BEF =
.
D F A B E C
6、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上， NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交NH于 E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y 与x的关系式。
6.5 相似三角形的性质(1)
2 BC AD 1
A'B'C' 2 B'C' A'D'
BC AD B'C' A'D'
＝ ＝＝
∴
AD A'D'
AA'BB' ＝k
k×k
＝k 2
6.5 相似三角形的性质（1）
相似三角形周长比等于相似比． 相似三角形面积比等于相似比的平方．
类似的，我们还能得到： 相似多边形的周长比等于相似比． 相似多边形的面积比等于相似比的平方．
此时：
（1）△MNP与△ABC相似吗？为什么？
（2）这两个三角形的相似比是多少？
（3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？
6.5 相似三角形的性质（1）
根据刚才的探究，你有什么猜想？ 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
怎样验证这样的猜想呢？
6.5 相似三角形的性质（1）
3．在一张比例尺为5:1的图纸上，量得一个零部件的 周长是3.6cm，面积是6cm2，求这个零部件的实际周 长和面积．
6.5 相似三角形的性质（1）
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马
路旁边原有一个面积为100m2，周长为80m的三角形绿
化地，由于马路拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一
个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30m缩短成
如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的 相似比是k，AD、A′D′是对应高． A′
A
zxxkw
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B
DC
S ∵△ABC∽△A'B'C'
B′
6.5相似三角形的性质(一)
6.5相似三角形的性质（一）学习目标1、探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2、发展学生合情推理和有条理的表达能力。
学习重点相似三角形的性质学习难点有条理的表达与推理学习过程自主先学自学课本P69-71的内容，解答下列问题：1、一个三角形的边长扩大4倍，则面积扩大为 ______ 倍。
2、一个三角形的三边之比为2︰3︰4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的长是_____ ，周长是_____。
3、若△ABC 与△A ′B ′C 相似，且∠A=450，∠B=300，则∠C /=____。
4、在比例尺为1︰500的地图上，测得一个三角形地块ABC 的周长为12cm ，面积为6cm 2，求这个地块的实际周长及面积。
小组讨论 交流展示1、如图，已知以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，且AD=3，DE=2.5，AC=6，∠AEB=∠B ，求⊿ABC 周长。
2、如图，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF 。
(1) 求证：E F ∥BC ； (2) 若四边形BDFE 的面积为6，求⊿ABD 的面积。
如图，把△ABC 沿AB 边平移到△DEF 的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距离AD 的长。
E D C BA D F E CB AF C质疑拓展如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，AE:EB=1:2,EF ∥BC,交AC 于点F ，AD ∥BC,交CE 的延长线于点D 。
设△AEF 的面积为3，求△CEF 和△ADE 的面积。
检测反馈1、两个相似多边形的面积之比为1︰4，周长之差为6，则两个相似多边形的周长分别是______。
2、如图，在□ABCD 中，AE ︰AB=1︰2。
(1)求⊿AEF 与⊿CDF 的周长的比； (2)若S ⊿AEF =8cm 2,求S ⊿CDF 。
6.5相似三角形的性质-苏科版九年级数学下册教案
6.5 相似三角形的性质-苏科版九年级数学下册教案1. 背景介绍在九年级的数学学习中，学生已经学习了初中数学的基本知识和技能，接下来需要学习更为深入和具体的知识和技能。
本次教学内容是介绍相似三角形的性质。
相似三角形不仅在初中阶段学习中经常出现，而且还有广泛的应用。
2. 教学目标1.能够掌握相似三角形的概念和判定方法。
2.能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
3.能够理解相似三角形的应用，如比例尺的制作等。
3. 教学内容和步骤3.1 相似三角形的概念相似三角形是指角度相等，对应边比值相等的两个三角形。
如图所示，对于两个三角形ABC和DEF，如果有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则称为相似三角形。
A D/ \\ / \\/ \\ / \\B-----C E-----F3.2 相似三角形的判定方法判定相似三角形有以下几种方法：•AA判定法：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
•SAS判定法：两个三角形的一个角和两边分别成比例，则这两个三角形相似。
•SSS判定法：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
3.3 相似三角形的性质相似三角形有以下几个性质：•对应角相等。
•对应边成比例。
•对应的高线成比例。
•对应的中线成比例。
•对应的垂线成比例。
•对应的角平分线成比例。
3.4 相似三角形应用比例尺是指图形与实际物体的比值，可以用来计算实际物体的大小。
比例尺的制作需要用到相似三角形的知识，如图所示。
AB : PQ = 1 : 20000AC : PR = 1 : 30000假设一张地图上的两点A和B之间的实际距离为2公里，现在要制作一张比例尺为1:20,000的地图，请问在地图上A和B两点之间的距离应该画多长？解：首先，根据比例尺的定义可知：1厘米 = 20,000厘米；1公里 = 100,000厘米；所以比例尺是 1:20000，相当于 1厘米: 2公里。
由此可知，A和B两点在地图上的距离应该是 AB / 20000，因为 AB 的长度是实际长度的 1/20000，对应在地图上的就是 1厘米。
6.5 相似三角形的性质-苏科版数学九年级下册精品讲义
第6章 图形的相似6.5相似三角形的性质知识点01 相似三角形的性质1. 相似三角形周长的比等于相似比（1） ∽，则由比例性质可得：。
（2）相似多边形周长的比等于相似比.【即学即练1】在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，故选：A．2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则，分别作出与的高和，则【微点拨】相似多边形面积的比等于相似比的平方.【即学即练2】在中，AD平分交边BC于点D，点E在线段AD上，若，则与的面积比为( )A．16：45B．1：9C．2：9D．1：3【答案】C【分析】根据等高三角形的面积比等于底边的长度比，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到的面积比，即可得到答案；【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵∠ABE=∠C，∴，∵，∴，，，∴．故选C ；知识点02 相似三角形中对应线段的比1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.【微点拨】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.【即学即练3】如下图所示，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且△ABC ∽△ADB ，则下列结论一定正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．【详解】解：∵△ABC ∽△ADB ，∴，∴AB 2=AC •AD ．故选：A ．考法01利用三角形性质求解能力拓展【典例1】如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（）A．16：21B．3：7C．4：7D．4：3【答案】A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得．【详解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∵，与的高相等，∴，∴．故选：A．考法02 证明三角形的对应线段成比例【典例2】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案．【详解】解：，，，，，，由，，，，，故选：C ．题组A 基础过关练1．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．12【答案】C【分析】在与中，利用两角对应相等的两个三角形相似，对应边对应成比例，即可求解．【详解】解：如图所示，∵，，分层提分∴，，∴，，∴，∴，即，且，，∴，故选：．2．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DE BC的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：如图，解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；B．当时，△ADE与△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能得到DE BC，故选项符合题意；C．∵，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；D．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；故选：B．3．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】根据相似三角形的性质可得AE：CE＝2：5，从而得到CE＝5，即可求解．【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，∴AE：CE＝2：5，∵AE＝2，∴CE＝5，∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】证明利用对应边对应成比例即可求出．【详解】解：∵∴∴∴∴故选C．5．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（）A．3∶4B．C．9∶16D．3∶7【答案】A【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，∴它们的周长比是：3：4．故选：A．6．已知，，，则的周长之比为____．【答案】4∶3【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得解．【详解】解：∵，，，∴；故答案为：4∶3．7．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m．【答案】3【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∵△PAB∽△PCD，∴，（相似三角形对应高之比是相似比）即：，解得PF＝3．故答案为：3．8．如图，△ABC∽△CAD，∠ACB=∠D=90°，_____．【答案】AB•DC【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠ACB=∠D=90°，且△ABC∽△CAD，∴，即=AB•DC，故答案为：AB•DC．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．【答案】2.4【分析】根据已知可证明△ABE~∆FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB∴，∵BC=3，E是AD的中点，∴AE=1.5 ，∴BE=2.5，∴，∴FC=2.4．10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析；(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，，∴BC=6．题组B 能力提升练1．下列命题中，是真命题的是（ ）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．小明爬山时发现上山比下山的盲区小C．若点P是线段AB的黄金分割点，则D．相似三角形的周长比等于相似比的平方【答案】A【分析】根据菱形的判定方法、黄金分割的定义、相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，故A正确；B、爬山时上山比下山的盲区大，原命题是假命题，故B错误；C、若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP时，则，原命题错误，故C错误；D、相似三角形的周长比等于相似比，原命题错误，故D错误．故选：A．2．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△BMN的面积的比是（）A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4【答案】C【分析】利用三角形重心的性质得到MO：MC＝1：3和点N是BC的中点，从而得到△MON和△MNC的面积比、△BMN和△CMN的面积比，然后综合两个面积比求得结果．【详解】解：∵点O是△ABC的重心，∴MO：MC＝1：3，点N是BC的中点，∴，∴，故选：C．3．若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵，且与的面积比是，∴与的相似比是，∴与对应角平分线之比为，故选：B．4．如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为（ ）A．B．1C．D．2【答案】C【分析】先根据三角形的中位线定理证明，则△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由求出四边形DBCE的面积．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴，AE＝CE＝AB，∴，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，故选：C．5．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以BC上点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切E、C 两点，与BC的另一交点为D，则线段BD的长为________【答案】1【分析】连接OE，OE⊥AB，OE=OC，AC⊥OC，△BEO∽△BCA，故，故可得OC的长，即可得出BD的长．【详解】解：如图，连接OE，∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB，OE=OC，∵AC⊥OC，∴BEO∽BCA，∴，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴，∴，∴OE=，∴OC=，∴BD=BC-2×OC=4-2×．故答案为：1．6．如图，点G是的中线上一点，且，作，垂足为点E，若，则点A到的距离为______________．【答案】【分析】过点作，则的长即为到的距离，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，过点作，则的长即为到的距离，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，故答案为：．7．如图，已知AB CD，AD与BC相交于点P，，若AP＝6，则PD的长是_____．【答案】10【分析】证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵AB CD，∴，∴，即，解得：PD＝10，故答案为：10．8．如图，在中，，，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动．如果与同时出发，那么经过______秒和相似．【答案】4或【分析】分两种情况讨论，由相似三角形对应边成比例列方程求解即可．【详解】解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，∴CP=8-x（cm），CQ=2x（cm），当△PCQ∽△ACB，则，∴，∴x=4，当△PCQ∽△BCA，则，∴，∴x=，综上所述：经过4或秒，△PQC和△ABC相似．故答案为：4或．9．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与交于点M．(1)求证：；(2)若，求BM．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据已知条件可得四边形是平行四边形，从而得到，即可求证；（2）根据相似三角形的对应边成比例求出相似比，即可求得线段的长．【详解】（1）证明：，E是的中点，，，四边形是平行四边形，，，，；（2）解：，F是的中点，，，，，又，．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE，过点E作交AD于点F．(1)求EF的长．(2)求证：△DEF∽△ABD．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）利用，证明△AEF∽△ACD，根据对应边对应成比例进行计算即可；（2）利用勾股定理求出AD，利用，求出AF，利用求出DF，从而得出，在利用外角的性质，得到，即可得证．【详解】（1）解：∵CB＝5，DB＝1，∴，∵，∴，∵，∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴；（2）证明：∵∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，∴，∵∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴，∴，∵，∴，∵，又∵，∴，∴△DEF∽△ABD题组C 培优拔尖练1．如图，在梯形中，，，对角线与相交于点O，把、、、的面积分别记作，那么下列结论中，不正确（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由，推出，推出，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴选项A，B，D正确，选项C错误，故选：C．2．如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（）A．3B．4C．6D．9【答案】B【分析】由旋转和平行线的性质易证，从而易证，即得出，代入数据即可求出BD的长．【详解】∵，∴．由旋转的性质可知，∴．又∵，∴，∴，即，∴．故选B．3．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（ ）A．4.8B．4C．6.4D．6【答案】A【分析】利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出x,注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出．【详解】解：设△ABC的高AH交DE于点M，正方形的边长为x.由正方形DEFG得，DE∥FG，即DE∥BC，∵AH⊥BC，∴AM⊥DE．由DE∥BC得△ADE∽△ABC，∴，把BC=12，AH=8，DE=x,AM=8-x代入上式得：，解得：x=4.8．答：正方形的边长是4.8．故选：A．4．如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【答案】B【分析】设对角线AC与BD交于点O，过点O作于M，利用平行四边形性质得BO=DO，得MC=MD，然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长．【详解】解：设对角线AC与BD交于点O，在中，，，过点O作于M（如图），，，，，．故选B．5．如图Rt AOB∽DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P 点，连接MP，AOB保持不动，将COD绕O点旋转，则MP的最大值是_____．【答案】9【分析】根据相似三角形的判定定理证明COB∽DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．【详解】解：取AB的中点S，连接MS、PS，则PM≤MS+PS，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=10，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB=∠DOA，∵AOB∽DOC，∴，∴COB∽DOA，∴∠OBC=∠OAD，∴O、B、P、A共圆，∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，∴PS=AB=5，∵M为OA的中点，S是AB的中点，∴MS=OB=4，∴MP的最大值是4+5=9，故答案为：9．6．如图，为等边边上的高，，为高上任意一点，则的最小值为_____．【答案】【分析】连接，交于点，此时最小，过点作于点，证明，然后求得，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示：连接，交于点，此时最小，过点作于点，∵为等边边上的高，∴点与点关于对称，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴在中，∴的最小值为：．故答案为：．7．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号）【答案】①③④【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而=2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；在Rt ABF中，AF==8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt GFH中，∵，∴，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE=∠C=90°，∴∠EFD+∠AFB=90°，而∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠EFD，∴ABF∽DFE，∴，∴，而，∴，∴DEF与ABG不相似；所以②错误．∵=×6×3=9，=×3×4=6，∴．所以③正确．故答案为：①③④．8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝________．【答案】9：25【分析】先由DE：EC=3：2，得DE：DC=3：5，再根据平行四边形ABCD，得AB CD，AB=CD，所以，△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解．【详解】解：∵DE：EC=3：2，∴DE：DC=3：5，∵平行四边形ABCD，∴AB CD，AB=CD，∴，△DEF∽△BAF，∴，故答案为：9∶25．9．如图，在△ABC中，过点A作，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，．(1)求证：四边形ACED是菱形；(2)当，时，直接写出的值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据可得，即可证明四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质以及角平分线得出，则可根据邻边相等的平行四边形为菱形；（2）根据菱形的性质可得，从而求出的长，然后根据可得，根据相似三角形对应边成比例可得结论．【详解】（1）证明：，，即，，四边形是平行四边形，，，平分，，，，四边形是菱形；（2）四边形是菱形；，，，，，．10．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD交于点O，．(1)如果，求AC的长；(2)如果△ADE的面积为1，求的面积．【答案】(1)18；(2)2【分析】（1）首先证明，利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）证明，利用等高模型即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴＝，∵，∴，∴，∴，∴＝，，∴＝，∵，∴．（2）∵＝，∴，∴．11．如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），点N在边的延长线上．且满足连接、，与边交于点E．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）证明，根据相似三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．12．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若CD=6，AC=8，求AE．【答案】(1)见解析；(2)12.5【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD，连接DE，证DCA∽EDA，得出比例式，代入数值求解即可．【详解】（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）解：在Rt ADC中，AC=8，CD=6，由勾股定理得：AD=10．连接DE，∵AE为直径，∴∠EDA=∠C=90°，∵∠CAD=∠EAD，∴DCA∽EDA，∴，∴，AE=12.5．13．矩形中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在延长线上（图1）(1)若，求的度数与的长度；(2)如图2将向右平移得，两直角边与拒形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使与相似，（先填空，再完成解答）解：设平移的距离为x，则______________________（用含x的代数式表示）【答案】(1)37°，4(2)，，或x=3.4【分析】（1）根据矩形的性质得出AD=BC=6，BC AD，∠B=90°，求出∠CAD=∠BCA=53°，则37°即可解答；由勾股定理求出=AC=10，进而求得；（2）设平移的距离为x，则，然后再解直角三角形表示出，进而表示出，同理表示出，然后根据相似三角形的性质列方程求解即可；【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，BC AD，∠B=90°，∴∠CAD=∠BCA=53°，∴∠BAC=90°-∠BCA=90°-53°=37°，∵将绕点A逆时针旋转得到∴37°在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：=AC=10∴．（2）解：设平移的距离为x，则，∵∴，解得：∴同理：∵与相似∴或∴或，解得或x=3.4∴当或x=3.4时，与相似．14．【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则___________．【拓展提升】（3）如图3，和都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．①求的值；②延长交于点G．交于点F．求．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②30°【分析】（1）证明BAD CAE，从而得出结论；（2）证明BAD∽CAE，进而得出结果；（3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到，再证明BAD∽CAE，进而得出结果；②由BAD∽CAE，得出∠ACE=∠ABD，进而得出∠BGC=∠BAC．【详解】（1）证明：∵ABC和ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD CAE（SAS），∴BD=CE；（2）解：∵ABC和ADE都是等腰直角三角形，∴，∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD∽CAE，∴；故答案为：；（3）解：①∵∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，∴AE=2DE，AC=2BC，由勾股定理得AD=DE，AB=BC，∴，同理BAD∽CAE，∴；②∵BAD∽CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵∠AFC=∠BFG，∴∠BGC=∠BAC=30°．。
6.5相似三角形的性质(1)
3、已知△ABC∽△A'B'C'， ，C△ABC＝ 20cm，S△A'B'C'＝64cm2则C△A'B'C'＝＿＿＿＿， S△ABC＝＿＿＿＿ 4 .如图DE∥FG∥BC且AD＝DF＝BF， 则S△ADE：S△AFG：S△ABC等于（ ） A 、 1 ： 2： 3 B 、 1 ： 3： 5 C 、 1 ： 4： 9 D 、 1 ： 2： 4
三角形的性质 相似三角形的性质 (1) (1)
1.什么叫相似三角形? 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做
相似三角形.
2.根据相似三角形的定义,相似三角形具有 哪些性质? 对应角相等,对应边成比例
在比例尺为1:500的地图上,测得一个三角 形地块ABC的周长为12cm,面积为6cm2 ,求 这个地块的实际周长和面积.
例3.如图,把△ABC沿BC边平移到 △DEF的位置,它们重叠部分的面积是 △ABC的面积的一半,若BC= 2 , 求此 三角形移动的距离CD的长.
A
P
F
B
E
C
D
例4 如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长
分别为60cm和72cm，且AB=15cm， B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长．
如图△ABC∽△A′B′C′ A′ A
B C
B′
C′
AB AC BC k A' B ' A'C ' B 'C '
?
AB AC BC k A ' B ' A ' C ' B ' C '
6、5 相似三角形的性质 -苏科版数学九年级下册
1 2
∵△ ABC ∽△ A′B′C′，∴
即 ∴
SS△△1AA2′'BB'′CC'′==(641)22=×9944=，136
，
×6×4=12. SS△△AA'BBC'C'=(BB'CC')2
，
即△ A′B′C′ 的面积为 16 .
3
感悟新知
新知二 相似三角形对应线段的性质
1. 定理 相似三角形对应线段的比等于相似比. 2. 符号语言 (1)相似三角形对应高的比等于相似比(k). 如图6.5-3 所示，如果
平方”求解.
一题多解:
例 2 也 可 以 用 另 一 种 方 法 求 解 ， 如 ： 过 点 A′ 作
A′D′⊥B′C′于D′，利用相似三角形的性质先求出△A′B′C′
中B′C′边上的高A′D′的长，再利用S△A′B′C′=
1 2
B′C′·A′ D′
求面积.
感悟新知
解：S△ ABC=
1 2
BC·AD=
∴
x3 x－8=2
,解得x=24.
∴ 3x-2x=8，∴ x=8， ∴较大的三角形的周长 为3x=24.
感悟新知
例2 [模拟·宿迁] 如图6.5-2，△ABC ∽△ A′B′C′，BC=6， B′C′=4，AD⊥BC于D，AD=4，求△ A′B′C′ 的面积.
感悟新知
解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似比的
△ ABC ∽△ A′B′C′，AD，A′D′ 分别为对应边BC，B′C′ 上 的高，则 AA'DD'=AA'BB' =k.
感悟新知
(2)相似三角形对应边上中线的比等于相似比(k). 如图6.5-4
相似三角形的性质(一)
探究活动一： 探究相似三角形对应高的比.
(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ (4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
探究活动二： 类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比
如图：已知△ABC ∽△A’B’C’ ，相似比为k，AD平分∠BAC，A’D’平
分∠B’A’C’；E、E’分别为BC、B’C’的中点。试探究AD与 A’D‘的比值关 系，AE与A’E’呢？
三：学以致用
A
S
ER
B
P DQ C
过程详解
A
S
ER
B
P DQ C
证明：
∵四边形PQRS是正方形
∴ RS∥BC ∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C ∴ △ASR∽△ABC.
(两角分别相等的两个三角形相似)
A
S
ER
B
P DQ C
（2）∵ △ASR∽△ABC.
∴
AE SR AD BC
(相似三角形对应高的比等于相似比)
在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对 应边成比例这个性质呢？本节课我们将研究相 似三角形的其他性质.
回顾与反思
△ ABC∽和△ DEF全等，若AM,DN分别是 两个三角形的高，则AM=DN吗？ 若它们分别是对应角的角平分线或是对 应中线又有怎样的结论呢？ 试着证明一下。
A
D
B M CE N F
探究活动一： 探究相似三角形对应高的比.
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上 的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。
探究活动一： 探究相似三角形对应高的比.
(1)试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之间的关系，对应角之间的关系。 (2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
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6.5相似三角形的性质（1）
问题1 如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点．
（1）△DEF与△ABC相似吗？为什么？
（2）这两个相似三角形的相似比是多少？
（3）这两个相似三角形的周长比是多少？
（4）相似三角形的周长比与相似比有何关系？
问题2 如图，已知△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k.请运用所学知识对刚才的猜想加以证明.
结论1：
结论2：
（5）猜想相似三角形的面积比与相似比有何关系？
问题3 如图，已知△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k.请运用所学知识对刚才的猜想加以证明.
结论3：
结论4：
试一试：
1．两个相似三角形的相似比为2:3，它们的对应边之比为_______，周长之比为_____，面积之比为______．
2. 若两个三角形面积之比为16:9，则它们的周长之比为_________.
例题精讲：
在比例尺为1:500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2,求这个地块的实际周长和面积．
课后练习：
一、选择题
1．已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2．则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
2．若一个图形的面积为2，那么将与它成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题
3．在△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，CA=24 cm．另一个与它相似的△A′B′C′的周长为81 cm，那么△A′B′C′的最短边长为________cm．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EC=1：2，则S△ADE：S△ABC=________．
三、解答题
5. 两个相似多边形的面积之比为1:4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别
为多少？。