知识表格等差数列习题课

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高考一轮复习等差数列知识点+例题+练习

自主梳理1.等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第一项起，每一项与它的前一项的—等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为(n£N*,d为常数).(2)数列a,A,b成等差数列的充要条件是，其中A叫做a,b的2.等差数列的有关公式(1)通项公式：a n=,a n=a m+(m,n W N*).(2)前n项和公式：S n==.3.等差数列的前n项和公式与函数的关系S n=dn2+数列U｛a n｝是等差数列的充要条件是其前n项和公式S n=4.等差数列的性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,q W N*),则有，特别地，当m+n=2p时，.(2)等差数列中，S m,S2m-S m,S3y m—S2m成等差数列.(3)等差数列的单调性：若公差d>0,则数列为；若d<0,则数列为；若d=0，则数列为.自我检测1.已知等差数列｛a n｝中，a5+a9—a7=10，记S n=a1+a2H\-a n，贝U S13的值为.2.等差数列U｛a n｝的前n项和为S n，且S3=6,a3=4,则公差d=.3.设等差数列U｛a n｝的前n项和为S n.若S9=72,则a2+a4+a9=.4.若等差数列U｛a n｝的前5项之和S5=25,且a2=3,则a7=.5.设是等差数列｛4的前〃项和，若^=9,则19=.il 后练习区一逍题精,现"答尊探究点一等差数列的基本量运算例1等差数列｛a ｝的前n 项和记为S .已知a 10=30,a 20=50,⑴求通项an ；nn (2)若S n =2彳2,求n .变式迁移1设等差数列U ｛a ｝的公差为d (d W 0),它的前10项和S 10=110,且a 1,a 2,a 4成等比数列，求公差d 和通项公式an.探究点二等差数列的判定31一例2已知数列｛a n ｝中，a 1=5,a n =2-(n 三2,n —t(n £N *).(1)求证：数列出｝是等差数列； (2)求数列｛a /中的最大值和最小值，并说明理由. 变式迁移2已知数列｛%｝中，a 1=5且a n =2a n _^+2n —1(n 三2且n £*).(1)求a 2,a 3的值.(2)是否存在实数口，使得数列｛吟｝为等差数列？若存在，求出口的值；若不存在，说明理由．N *),数列U{b }满足b =一nn a 一1 n探究点三等差数列性质的应用例3若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3已知数列｛a n｝是等差数列.⑴前四项和为21,末四项和为67,且前n项和为286,求n；(2)若S=20,S2=38,求S3；(3)若项数为奇数,且奇数项和为44,偶数项和为33,求数列的中间项和项数．探究点四等差数列的综合应用例4已知数列｛%｝满足2%+I=%+%+2(〃£N*),它的前〃项和为S”，且％=10,S6=72.若勾=2a n—30,求数歹U｛勾｝的前n项和的最小值.变式迁移4在等差数歹U｛a｝中，a16+a17+a18=a9=—36,其前n项和为S.⑴求S n的最小值，并求出S n取最小值时n的值."(2)求T n=1a j+l a2H——H a n if1.等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n+1-a n=d(d是常数)。

等差数列习题课

等差数列习题课一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 6的值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【解析】选B.因为等差数列{}a n 中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，所以2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)，所以a 3＋a 6＋a 9＝27，所以3a 6＝27，所以a 6＝9.2．已知等差数列{a n }的公差d≠0，S n 是其前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝－15，a 2＋a 4＋a 6＝－21，则18 S 3的值是( )A ．－5B ．－58C ．－98D ．－18【解析】选C.由等差数列性质知3a 3＝－15，3a 4＝－21，故a 3＝－5，a 4＝－7，则a 2＝－3. 则18 S 3＝18 ×3（a 1＋a 3）2 ＝3a 28 ＝－98 .3．在数列{}a n 中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，则( ) A ．a n ＝3nB ．a n ＝3nC ．a n ＝n － 3D ．a n ＝3n 2【解析】选D.因为点(a n ，a n －1 )在直线x －y － 3 ＝0上，所以a n －a n －1＝ 3 ，所以数列{}a n 是首项为 3 ，公差为 3 的等差数列．所以数列{}a n 的通项公式为 a n ＝ 3 ＋(n －1)·3 ＝ 3 n. 所以a n ＝3n 2.4．若数列{a n }的通项a n ＝2n －6，设b n ＝|a n |，则数列{b n }的前7项和为( ) A ．14 B ．24 C ．26 D ．28【解析】选C.当n≤3时，a n ≤0，b n ＝|a n |＝－a n ＝6－2n ，即b 1＝4，b 2＝2，b 3＝0.当n>3时，a n >0，b n ＝|a n |＝a n ＝2n －6，即b 4＝2，b 5＝4，b 6＝6，b 7＝8.所以数列{b n }的前7项和为4＋2＋0＋2＋4＋6＋8＝26.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100【解析】选A.因为a 5＝5，S 5＝15，所以5（a 1＋5）2 ＝15，所以a 1＝1.所以d ＝a 5－a 15－1＝1，所以a n ＝n.所以1a n a n ＋1 ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1 的前100项的和为：T 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101 ＝1－1101 ＝100101 .6．(多选题)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值为( )A ．1B ．12 C ．2 D ．3【解析】选AB.本题考查等差数列．设等差数列{a n }的公差为d ，则a na 2n＝a 1－d ＋dna 1－d ＋2dn为常数，则a 1＝d 或d ＝0，a n a 2n ＝12 或1.二、填空题(每小题5分，共10分)7．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6＝______．【解析】因为a 2＝3，a 3＋a 4＝9，所以a 2＋a 3＋a 4＝12，即3a 3＝12，故a 3＝4，a 4＝5，所以a n ＝n ＋1，所以a 1a 6＝2×7＝14. 答案：148．已知数列{a n }满足a n ＝11－2n ，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 8|＝________．【解析】原式＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)－(a 6＋a 7＋a 8) ＝(9＋7＋5＋3＋1)－(－1－3－5)＝34. 答案：34三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知数列{a n }中，a 7＝6，a 10＝－3，S n 为等差数列{a n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式及S n 的最大值； (2)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|的值．【解析】(1)因为a 7＝6，a 10＝－3，故⎩⎨⎧a 1＋6d ＝6a 1＋9d ＝－3，解得a 1＝24，d ＝－3，则a n ＝－3n ＋27，数列的前n 项和公式为：S n ＝n×24＋n （n －1）2 ×(－3)＝－32 n 2＋512 n ，注意到数列{a n }单调递减，且a 8>0，a 9＝0，所以S n 的最大值＝S 8＝S 9＝108.(2)因为|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a 20)＝2S 9－S 20，由于S 9＝108，S 20＝－90，即|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 19|＋|a 20|＝306.10．已知S n 为各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，a 1∈(0，2)，a 2n ＋3a n ＋2＝6S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1 ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意n ∈N *，t≤4T n 恒成立，求实数t 的最大值．【解析】(1)①当n ＝1时，a 21 ＋3a 1＋2＝6S 1＝6a 1，即a 21 －3a 1＋2＝0，又因为a 1∈(0，2)，解得a 1＝1. ②对任意n ∈N *，由a 2n ＋3a n ＋2＝6S n 知 a 2n ＋1 ＋3a n ＋1＋2＝6S n ＋1，两式相减，得a 2n ＋1 －a 2n ＋3(a n ＋1－a n )＝6a n ＋1，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0，由a n >0得a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由a n ＝3n －2得b n ＝1a n a n ＋1 ＝1（3n －2）（3n ＋1）＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13n －2－13n ＋1 ＝13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13n ＋1 ＝n 3n ＋1 . 因为T n ＋1－T n ＝n ＋13（n ＋1）＋1 －n 3n ＋1＝1（3n ＋1）（3n ＋4）>0，所以T n ＋1>T n ，即数列{T n }是递增数列，所以t≤4T n ，t 4 ≤T n ，t 4 ≤T 1＝14 ，t≤1，所以实数t 的最大值是1.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋n ＋1，S n ＝10，则n ＝( ) A ．90 B ．119 C ．120 D ．121【解析】选C.因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1 －n ，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫2－1 ＋⎝⎛⎭⎫3－2 ＋…＋(n ＋1 －n )＝n ＋1 －1＝10，故n ＋1＝121 ，故n ＝120.2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＜0，a 8＋a 9＞0，a 8·a 9＜0.则使S n ＞0的n 的最小值为( )A ．8B ．9C ．15D ．16【解析】选D.因为等差数列{a n }，首项a 1<0，a 8＋a 9>0，a 8·a 9<0，所以a 8<0，a 9>0，由S n ＝12 n(a 1＋a n )，可得S 15＝15a 8<0，S 16＝16（a 1＋a 16）2 ＝8(a 8＋a 9)>0，所以使前n 项和S n >0成立的最小自然数n 的值为16.3．已知函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，且函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f(a 50)＝f(a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50【解析】选B.因为函数y ＝f(x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f(x)的图象关于直线x ＝－1对称，又因为函数f(x)是(－1，＋∞)上的单调函数，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 50)＝f(a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，S 100＝100（a 1＋a 100）2＝50(a 50＋a 51)＝－100. 4．(多选题)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值【解析】选ABD.由S 5＜S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5＜a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6，即a 6＞0，又因为S 6＝S 7，所以a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，所以a 7＝0，故B 正确；同理由S 7＞S 8，得a 8＜0，因为d ＝a 7－a 6＜0，故A 正确；而C 选项S 9＞S 5，即a 6＋a 7＋a 8＋a 9＞0，可得2(a 7＋a 8)＞0，由结论a 7＝0，a 8＜0，显然C 选项是错误的．因为S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，所以S 6与S 7均为S n 的最大值，故D 正确．二、填空题(每小题5分，共20分)5．在等差数列{}a n 中，S n 为其前n 项的和，若S 4＝12，S 8＝40，则S 16＝________. 【解析】设等差数列的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋4×32d ＝12S 8＝8a 1＋8×72d ＝40，解得a 1＝32 ，d ＝1，所以S 16＝16×32 ＋16×152 ×1＝144. 答案：1446．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足a 2＋a 8＝6，S 5＝－5，则a 6＝________，S n 的最小值为________．【解析】依题意得：⎩⎨⎧2a 1＋8d ＝6，5a 1＋10d ＝－5，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝2，所以a 6＝－5＋10＝5，S n ＝－5n ＋n （n －1）2 ×2＝n 2－6n ，当n ＝3时，S n 的最小值为－9. 答案：5 －97．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n>1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________．【解析】因为数列{a n }中，当整数n>1时， S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立⇔S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2⇔a n ＋1－a n ＝2(n>1).所以当n≥2时，{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列．所以S 15＝14a 2＋14×132 ×2＋a 1＝14×2＋14×132 ×2＋1＝211. 答案：2118．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 1≤3，3≤a 1＋S 3≤6，则a 2a 1的取值范围是________．【解析】在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝2a 2，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，又3≤a 1＋S 3≤6，所以3≤a 1＋3a 2≤6. 由1≤a 1≤3得13 ≤1a 1≤1.所以1≤a 1＋3a 2a 1≤6，即1≤1＋3a 2a 1≤6，所以0≤a 2a 1 ≤53 .即a 2a 1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53三、解答题(每小题10分，共30分)9．已知数列{a n }，a n ∈N *，S n 是其前n 项和，S n ＝18 (a n ＋2)2. (1)求证：{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12 a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝18 (a 1＋2)2，解得a 1＝2.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18 (a n ＋2)2－18 (a n －1＋2)2，即8a n ＝(a n ＋2)2－(a n －1＋2)2，整理得(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0. 因为a n ∈N *，所以a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1－4＝0，即a n －a n －1＝4(n≥2). 故数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． (2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，因为b n ＝12 a n －30，且由(1)知，a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2(n ∈N *)，所以b n ＝12 (4n －2)－30＝2n －31.故数列{b n }是单调递增的等差数列．令2n －31＝0，得n ＝1512 .因为n ∈N *，所以当n≤15时，b n <0；当n≥16时，b n >0，即b 1<b 2<…<b 15<0<b 16<b 17<….故当n ＝15时，T n 取得最小值，最小值为T 15＝－29－12 ×15＝－225. 10．已知等差数列{a n }(n ∈N *)满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1 ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n(n ＋2)(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n(n ＋1)，所以b n ＝14n （n ＋1）＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1 . 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n ＋1 ＝n 4（n ＋1），所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4n ＋1 (n ∈N *). 【补偿训练】数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求H n . 【解析】(1)因为a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.所以{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，所以d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n.故a n ＝10－2n(n ∈N *).(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n>5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n<5时，a n >0.设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .所以当n>5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝n 2－9n ＋40，当n≤5时，H n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.所以H n ＝⎩⎨⎧9n －n 2，n≤5，n 2－9n ＋40，n>5 (n ∈N *).11．数列{a n }满足a 1＝12 ，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *). (1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 为等差数列，并求出{a n }的通项公式． (2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n≥2都有B 3n －B n >m 20 成立，求正整数m 的最大值．【解析】(1)因为a n ＋1＝12－a n，所以1a n ＋1－1 ＝112－a n－1 ＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1 ，即1a n ＋1－1 －1a n －1＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1 是首项为－2，公差为－1的等差数列，1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1 .(2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1 ＋1n ＋2 ＋…＋13n ，所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2 ＋1n ＋3 ＋…＋13（n ＋1）－ 1n ＋1 －…－13n ＝－1n ＋1 ＋13n ＋2 ＋13n ＋3 ＋13n ＋1＝13n ＋2 －23n ＋3 ＋13n ＋1 >23n ＋3 －23n ＋3 ＝0，所以C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又因为n≥2，所以(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13 ＋14 ＋15 ＋16 ＝1920 ，m 20 <1920 ，m<19. 又因为m ∈N *，所以m 的最大值为18.。

等差数列习题课课件

解法2：设Sn＝an2＋bn， ∵S10＝100，S100＝10， ∴110020a2＋a＋101b0＝0b1＝001，0， ⇒ab＝＝－1110111.010， ∴Sn＝－11010n2＋11101n. ∴S110＝－11010×1102＋11101×110＝－110.
解法3：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－ S100，…成等差数列，设公差为D，
题型二已知Sn求an 例2 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式． (1)Sn＝2n－1； (2)Sn＝2n2＋n＋3.
分析本题为通过Sn求an，因为Sn＝a1＋a2＋…＋an，∴ Sn与an有关系an＝SS1n，－Snn＝－1，1，n≥2. 可求得an.
解 (1)由Sn＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1) ＝2n－2n－1＝2n－1. 当n＝1时也适合a1＝21－1＝20＝1， ∴an＝当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时， an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2＋n＋3)－[2(n－1)2＋(n－1)＋3] ＝4n－1. ∴an＝64，n－n1＝，1n，≥2.
规律技巧已知数列{an}的前 n 项和 Sn 求 an，一般使用公式 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，但必须注意它成立的条件(n∈N*， n≥2)．
3．等差中项
(1)如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中
项，即A＝
a＋b 2
(或2A＝a＋b)．容易看出，两个数的等差中
项就是两个数的算术平均数．
(2)等差中项描述了等差数列中相邻三项之间的数量关
系.2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)还可推广为：若2n＝m＋ p(m，p，n∈N*)，则2an＝am＋ap.

第四章习题课等差数列的性质的综合问题

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，求
这5个数.
解设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有
a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝895，
5a＝5，整理得5a2＋10d2＝895.
a＝1，解得d＝±23.
当 d＝23时，这 5 个数分别是－13，13，1，53，73；
立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立
夏的日影子长为
A.15.5尺
B.12.5尺
C.9.5尺
√D.6.5尺
解析设该等差数列为{an}，冬至、小寒、大寒、…芒种的日影子长分别记为a1，a2，a3，…，a12，公差为d，由题意可得， a1＋a4＋a7＝37.5，即a4＝12.5，又 a12＝4.5，所以 d＝a1122－－a44＝－1. 所以立夏的日影子长为a10＝a4＋6d＝12.5－6＝6.5(尺).
√C.新数列是公差为2d的等差数列
D.新数列是公差为3d的等差数列
解析因为(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝2d，所以数列a1＋a3，a2＋a4，a3＋a5，…是公差为2d的等差数列.
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4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”
二、等差数列中项的设法
例2 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；

等差数列的性质习题课

a sn1 sn 1 1 n = 1 ∴ = = sn sn1 sn sn1 2a 2 n 1 1 1 ∴ = sn sn1 2 1 ∴数 { }是差列列等数 sn
1 1 1 （） 2Q = sn sn1 2 1 1 1 1 5 ∴ = + (n 1)×( ) = n + 2 2 6 sn s1
作业：作业：等差数列测试卷B
m+n=p+q
am+an=ap+aq
注意：不一定成立的注意：①上面的命题的逆命题是不一定成立的；上面的命题中的等式两边有相同数目的项相同数目的项， ②上面的命题中的等式两边有相同数目的项，成立吗？如a1+a2=a3 成立吗？
4数 {a }的项 s 列前和 n n 2 + bn a 成差列 s = an 等数 n n a 且差 = 2a， 1 = s1 . 公 d
1 (x < 2) 6 已例：知f (x) = 2 x 2 1 (1)求 (x) f 1 1 2 若 = f (an )求 n a （） a1 =1, an+1 1 (x < 2) 解 Qy = ： 2 2 x
1 1 ∴x 2 = 2 ∴x = +2 2 y y
2
1 ∴f （ ) = x + 2( x > 0) 2 x
6 6 ∴an = sn sn1 = 5 3n 5 3(n 1)
18 ∴a = n (3n 5)(3n 8)
6 ∴s = n 5 3n
练习： { 练习：已知数列 an }满足an + 3sn sn1 = 0(n ≥ 2) 1 1 a1 = .(1)求证 }成等差数列 { 3 sn （）求 an }表达式. 2 {

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欢迎参加《等差数列习题课》PPT课件。我们将介绍什么是等差数列，以及如何判断等差数列，以及在现实生活中等差数列的应用。
什么是等差数列
定义
等差数列是指一个数列中每一项与它的前一项之差相等的数列。
通项公式
对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n -1) * d，其中a1为首项，d为公差，n为数列中第n项。
Hale Waihona Puke 1公差数列中相邻两项之差。
2
首项和末项
数列中第一项和最后一项。
3
特殊性质
例如等差中值定理、等差分解式等，都是基于等差数列的特殊性质而发展的。
等差数列的应用
在数学中的应用
在代数和数学分析中，等差数列是许多数学概念和公式的基础。
在现实生活中的应用
负债的抵消，抵押贷款还款计划和PMT等金融应用都与等差数列相关。
前n项和公式
对于等差数列an，其前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为首项，an为数列中第n项。
如何判断一个数列是否为等差数列
判断方法
判断数列中相邻两项之差是否相等。
给出前几项，判断方法
计算数列中相邻两项之差，看是否相等。
注意点
当数列中的公差为0时，该数列为等差数列。
等差数列的性质
常见问题及解答
1 常见的等差数列问题
2 如何解答等差数列问题
如何求等差数列的第n项、前n项的和等。
将已知的数据代入数列的公式求解。
3 实例演练及解答
通过实例演练，帮助学生更好地理解等差数列的应用。
结束语
总结内容
等差数列的定义、通项公式和前n项和公式。判断等差数列的方法及注意点。等差数列的性质和应用。常见问题和解答。

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等差数列问题处理方法小结： 1.基本量表示 2.灵活运用性质
例2．
1.已知等差数列an共有 2n 1项，其中奇数项之和为319，
偶数项之和为290。求中间项的值。
2.已知等差数列 an 中，S12 354 。前12项中，偶数项之和与奇数
项之和的比为32:27.求公差d。
3.已知两个等差数列 an 和 bn的前 n 项和分别为 An 和 Bn
且 An
Bn
7n 45，则使得
n3
an bn
为整数的
n
的个数为_____.
例3．在等差数列an中，公差 d 0 ，前 n 项的和为 Sn ，
且满足 a2a3 45, a1 a4 14 。
（1）求数列 an 的通项公式。
解： a2 a3 a1 a4 14
（2）a2a通3 项45 公式
等差数列综合习题课
高二
等
通项公式 an a1 (n 1)d
差
数
数列
列
前n 项和公式
Sn
a1 an n
2
na1
1 2
nn
1d
数列
通项公式 an a1 q n1
的
等
应
比
用
数列
前
项和公式
Sn
a1
na1, 1 qn
1 q
q 1 , q 1
例1． 1.已知an为等差数列，a1 a3 a4 105, a2 a4 a6 99 ，求 a20
bn
Sn nC
构造一个新数列，若bn 也是等差数列，
求非a2零, a3常是数方程Cx2 14x 45 0 的两个根
又 d 0
a2 a3
aa32

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等差数列习题课
根底知识回想
一、定义： an1 an d (n N * )
二、通项公式：an a1 (n 1)d
an am (n m)d
三、等差中项：若 a, A,b 成等差数列，则 A a b 2
四、前n项和公式：Sn
n(a1 an ) 2
n(n 1) na1 2 d
例 6 已知数列 an 满足 a1 33, an1 an 2n,
则 an 的最小值为__________. n
1.d>0， {an}是递增数列； d<0， {an}是递减数列；
d=0， {an}是常数列.
2.假设m+n=p+q那么 amm++ann==2akp，+a那q 么am+an=2ak
3.{an}是有穷等差数列，那么与首末两项等间隔的两项之和都相等，且等于首末两项之和. 即a1+an=a2+an-1=…=ai+an- 〔i-1〕 4=.数…列{kan+b}〔k、b是常数〕是公差为kd 的等差数列
12.〔1〕项数为偶数2n的等差数列{an}，有： S2n=n〔a1+a2n〕=…=n〔an+an+1〕； S偶-S奇=nd； S奇/S偶= an/an+1.
〔2〕项数为奇数2n-1的等差数列{an}，有： S2n-1=〔2n-1〕an〔为中间项〕； S奇-S偶=an； S奇/S偶=n/〔n-1〕.
运用举例
例1 等差数列{an}中，a7+a9=16,a4=1,那么 a12=〔〕
例2 在等差数列{an}中，a8=2,那么S15 =
例3 在等差数列{an}中，假设S4=1,S8=4,那么 a17 +a18+a19+a20 =

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(n，m(n∈－mN)d*)
性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an • 等差数列的常用性质
性质3 若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
性质4
若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列
性质5
若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)的等
3．等差数列的公差与斜率的关系 (1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率 k＝fxx22－－xf1x1(x1≠x2)．当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率．
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一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d.
【解析】由题意知，S奇+S偶=354, S偶:S奇=32:27. 列方程组解得：S奇=162，S偶=192， S偶-S奇=6d=30，所以d=5.
性质1 通项公式的推广：an＝am＋