2-3-2等差数列习题课
高中数学：人教A版 2.3.2 等差数列(习题课)学案
2.3.3 等差数列(习题课)-----学案 一、学习目标 1．掌握a n 与S n 的关系并会应用．(难点)2．掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点)3．会求等差数列前n 项和的最值．(重点、易错点)二、自主学习教材整理 等差数列前n 项和的性质阅读教材P 44例3～P 45，完成下列问题．1．S n 与a n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1.n ≥2 2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值． 做一做：1．下列说法中正确的有________(填序号)．(1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列． (2)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.(3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．(4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .【解析】 (1)正确．因为由等差数列前n 项和公式知S n n ＝d 2n ＋a 1－12d ，所以数列S n n为等差数列．(2)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd .(3)正确．由实数的运算可知该说法正确．(4)正确．因为S 2n －1＝a 1＋a 2n －12n －12＝2n －12[a n ＋(1－n )d ＋a n ＋(n －1)d ]＝(2n －1)a n .【★答案★】 (1)(3)(4)三、合作探究探究1：由数列的前n 项和S n 求a n例1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【精彩点拨】【自主解答】 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 与S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n >1)，可知，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式． ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. 由此可知：数列{a n }是以32为首项，以2为公差的等差数列． 归纳总结1．已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．2．由数列的前n 项和S n 求a n 的方法，不仅适用于等差数列，它也适用于其他数列．探究2：等差数列前n 项和的性质应用例2. (1)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( )A ．9B ．12C ．16D ．17(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________. 【精彩点拨】 (1)解决本题关键是能发现S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，a 17＋a 18＋a 19＋a 20能构成等差数列．(2)利用等差数列奇偶项和的性质求解，或利用“基本量法”求解．(3)解决本题关键是如何将a n 转化为用等差数列的前(2n －1)项的和表示．【自主解答】 (1)由题意知：S 4＝1，S 8－S 4＝3，而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列．即1,3,5,7,9，a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.(2)法一：(巧用性质)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10. 法二：(基本量思想)可设等差数列的首项为a 1，公差为d .依题意可列方程组⎩⎨⎧ n ＋1a 1＋n n＋12×2d ＝132，na 2＋n －1n 2×2d ＝120，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1a 1＋nd ＝132，n a 1＋nd ＝120，所以n ＋1n ＝132120，即n ＝10. (3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. 【★答案★】 (1)A (2)10 (3)53探究3：等差数列前n 项和S n 的函数特征探究1 将首项为a 1＝2，公差d ＝3的等差数列的前n 项和看作关于n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？【提示】 首项为2，公差为3的等差数列的前n 项和为S n ＝2n ＋n n －1×32＝32n 2＋12n ， 显然S n 是关于n 的二次型函数． 且常数项为0，二次项系数为d 2，一次项系数为a 1－d 2；如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么当n ＝1时，S 1＝a 1＝4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，则该数列的通项公式为a n ＝6n －2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n 项和都是关于n 的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n 项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．探究2 已知一个数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－5n ，试画出S n 关于n 的函数图象．你能说明数列{a n }的单调性吗？该数列前n 项和有最值吗？【提示】 S n ＝n 2－5n ＝⎝⎛⎭⎫n －522－254，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n }前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小，最小值为－6，即数列{a n }前2项或前3项和最小．例3. 数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2，(1)求{a n }的通项公式；(2)问{a n }的前多少项和最大；(3)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和S ′n .【精彩点拨】 (1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1，d ，从而求出通项．(2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．(3)利用a n 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用S n 的函数特征判断项的正负求解．【自主解答】 (1)法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n .故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .法二：由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知⎩⎨⎧ d 2＝－1，a 1－d 2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .(2)法一：令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17，故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．法二：由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332. 距离332最近的整数为16,17.由S n ＝－n 2＋33n 的 图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．(3)由(2)知，当n ≤17时，a n ≥0；当n ≥18时，a n <0.所以当n ≤17时，S n ′＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2.当n ≥18时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.故S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧ 33n －n 2n ≤17，n 2－33n ＋544n ≥18. 归纳总结1．在等差数列中，求S n 的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．(2)借助二次函数的图象及性质求最值．2．寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)利用到y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．3．求解数列{|a n |}的前n 项和，应先判断{a n }的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题． 四、学以致用1．已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n －2.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1；当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)＝2n 2－7n ＋5，则a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－(2n 2－7n ＋5)＝2n 2－3n －2n 2＋7n －5＝4n －5.此时若n ＝1，a n ＝4n －5＝4×1－5＝－1＝a 1，故a n ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1；当n ≥2时，S n －1＝3n －1－2，则a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝3·3n －1－3n －1＝2·3n －1.此时若n ＝1，a n ＝2·3n －1＝2·31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 2．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.(2)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________． 【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8，所以S 13＝a 1＋a 132×13＝a 7·13＝104. (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3.所以S n ＝n 3＋2n ＋12＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75. 【★答案★】 (1)104 (2)753．在等差数列中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)该数列第几项开始为负；(2)求数列{|a n |}的前n 项和．【解】 设等差数列{a n }中，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 25－a 10＝15d ＝－45，23＝a 1＋10－1×d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝50，d ＝－3. (1)设第n 项开始为负，a n ＝50－3(n －1)＝53－3n <0，∴n >533，∴从第18项开始为负． (2)|a n |＝|53－3n |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 53－3n 1<n ≤17，3n －53n >17.当n ≤17时，S n ′＝－32n 2＋1032n ；当n >17时， S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n )，S n ′＝－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＋2S 17＝32n 2－1032n ＋884，∴S n ′＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1032n n ≤17，32n 2－1032n ＋884n >17.五、自主小测1．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．242．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A ．5B ．4C ．3D ．23．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a n ＝________.4．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值为________．5．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n .(1)求数列 {a n }的通项a n ；(2)求S n 的最小值及对应的n 值.参考★答案★1.【解析】 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.【★答案★】 B2.【解析】 由题意得S 偶－S 奇＝5d ＝15，∴d ＝3.或由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，5a 1＋25d ＝30，求得d ＝3，故选C. 【★答案★】 C3.【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又因为a 1＝1适合a n ＝2n －1.所以a n ＝2n －1.【★答案★】 2n －14.【解析】 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.【★答案★】 －15.【解】 (1)∵S n ＝2n 2－30n ，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. ∵n ＝1也适合，∴a n ＝4n －32，n ∈N *.(2)法一：S n ＝2n 2－30n ＝2⎝⎛⎭⎫n －1522－2252∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 法二：∵a n ＝4n －32，∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0，当n ≥9时，a n >0. ∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112.。
2-3第2课时等差数列前n项和的性质
的通项公式 an 时，要分两步进行；先求当 n≥2 时，an＝Sn
－Sn－1，此时令 n＝1，求 a1.
若 a1＝S1，则 an 即为所求，若 a1≠S1，
则
an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n≥2，
即表示为分段函数形式．
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第二章 数列
2．等差数列前 n 项和公式的性质 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋a1－d2n. 可以写成自变量 n∈N*的函数式，其图象是分布在抛物线上
的一系列点，d2 为二次项系数，a1－d2 为一次项系数，常数项 为 0 .所以当 d≠0 时，其 Sn 是关于 n 的无常数项的 二次 函数．
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第二章 数列
1 ． 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn ＝ 2n2 ＋ n(n∈N*) ， 则 数 列 {an} 为 ()
A．首项为1，公差为2的等差数列 B．首项为3，公差为2的等差数列 C．首项为3，公差为4的等差数列 D．首项为5，公差为3的等差数列
由已知得11000a1a＋1＋101× 2009× 2d＝991d0＝010
②
①
①×10－②，整理得 d＝－5110. 代入①，得 a1＝1100909，
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第二章 数列
∴S110＝110a1＋110×2 109d
＝110×1100909＋110×2 109×－5110
＝110×1
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第二章 数列
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1. ∵a1＝1 不符合 an＝2·3n－1，
∴an＝12·3n－1
n＝1 n≥2 .
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第二章 数列
[题后感悟] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 或 Sn 与 an 的关
高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。
高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
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第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
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第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
2-3-1等差数列的前n项和 79张
第二章
2.3
第1课时
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nn－1 d 如果{an}是等差数列，公差为 d，则 Sn＝na1＋ d＝ 2 2 d d d n ＋(a1－ )n，令 A＝ ，B＝a1－ ，则 Sn＝An2＋Bn.反之，若 2 2 2
2
{an}前 n 项和 Sn＝An2＋Bn，则 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(An2＋ Bn)－[A(n－1)2＋B(n－1)]＝2A＋(B－A)，a1＝S1＝A＋B 也满 足，∴an＝2An＋(B－A)，显然{an}为等差数列．
第二章
2.3
第1课时
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思路方法技巧
第二章
2.3
第1课时
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命题方向
数列{an}的前 n 项和与通项的关系
[例 1]
Sn 是数列{an}的前 n 项和，据条件求 an.
(1)Sn＝2n2＋3n； (2)Sn＝3n－2. [分析]
S 1 Sn－Sn－1
一 般 地 ， 已 知 Sn 求 an ， 可 利 用 an ＝
n＝1 求解． n≥2
第二章
2.3
第1课时
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[解析]
(1)a1＝S1＝5，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋
3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，当 n＝1 时也适合，∴an＝ 4n＋1. (2)a1＝S1＝1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1 －2)＝2×3n 1，显然 a1 不适合，
第二章
2.3
第1课时
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等差数列通项公式、求和练习
【名师一号】15-16高一数学（人教）必修5双基练：2-2-1等差数列.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．0,0,0，…，0，…B ．－2，－1,0，…，n －3，…C ．1,3,5，…，2n －1，…D ．0,1,3，…，n 2－n2，…2．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2009－7n ，则使a n <0的最小n 的值为( ) A ．286 B ．287 C ．288D ．2893．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31D ．644．等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为( ) A ．5x ＋5 B ．2x ＋1 C ．5D ．45．若{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q )D.p ＋q 26．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．97．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，则首项a 1＝________，公差d ＝________. 8．已知f (n ＋1)＝f (n )－14(n ∈N *)，且f (2)＝2，则f (101)＝________.9．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．10．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25. 11．(1)求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．12．假设某市2008年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？【名师一号】15-16高一数学（人教）必修5双基练：2-2-2等差数列的性质1．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－122．已知等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2＝( ) A ．3 B ．－3 C.32D ．－323．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43D ．454．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．75．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝516．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－377．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d ＝________. 8．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________.9．已知数列{a n }满足a 1＝1，若点⎝⎛⎭⎪⎫a n n ，a n ＋1n ＋1在直线x －y ＋1＝0上，则a n＝________.10．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，a n ＝17－2n ，则过(3，a 2)、(4，a 4)两点的直线的斜率为________． 11．已知数列{a n }，a n ＝2n －1，b n ＝a 2n －1. (1)求{b n }的通项公式；(2)数列{b n }是否为等差数列？说明理由．12．已知f (x )＝x 2－2x －3，等差数列{a n }中，a 1＝f (x －1)，a 2＝－32，a 3＝f (x )．求：(1)x 的值； (2)通项a n .∙【名师一号】15-16高一数学（人教）必修5双基练：2-3-1等差数列的前n 项和 1．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝( ) A ．9B ．10精品系列资料 传播先进教育理念 提供最佳教学方法C ．11D ．122．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝35，则a 4＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．53．设数列{a n }是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．84．若数列{a n }为等差数列，公差为12，且S 100＝145，则a 2＋a 4＋…＋a 100的值为( )A ．60B ．85 C.1452D ．其他值5．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．76．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ． 763D ．6637．在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，(n ∈N *)，其中a ，b 为常数，则ab ＝8．在等差数列{a n }中，S 4＝6，S 8＝20，则S 16＝________.9．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n (n ∈N *)，且a 5＝12，则a 3＝________.10．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .11．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．12．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .【名师一号】15-16高一数学（人教）必修5双基练：2-3-2等差数列（习题课） 1．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．nB ．n (n ＋1)精品系列资料 传播先进教育理念 提供最佳教学方法C ．n (n －1) D.n (n ＋1)22．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和且a 3＝－6，a 7＝6，则( ) A ．S 4＝S 5 B ．S 5＝S 6 C ．S 4>S 6D ．S 5>S 63．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项D ．第7项5．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列的通项公式为__________；数列{na n }中数值最小的项是第__________项．6．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则a 1－a 2b 1－b 2＝________.7．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.8．在等差数列{a n }中，a 2＋a 9＝2，则它的前10项和S 10＝________. 9．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2，且a n >0.(1)求a 1，a 2； (2)求{a n }的通项公式；(3)令b n ＝20－a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．。
高二数学必修5第二章 数列2-3课件(共22张PPT)
2.3 等差数列前n项和公式
第一页，编辑于星期一：一点 二十分。
本节主要学习等差数列前n项和公式及其简单应用。以泰姬陵中的 宝石数为引子，研究求和公式。用高斯小时候的故事来讲解求和公式。 问题探究一：用倒序相加法得出公式并总结变形公式。用例1加以巩 固。问题探究二：公式的灵活应用，知三求二，用变式2、3加以巩固。
第十一页，编辑于星期一：一点 二十分。
第十二页，编辑于星期一：一点 二十分。
(II)在等差数列 an中,已知: d 4 , n 20 , sn 460
求
a1
及
a 20
.
解: 利用 公式2
Sn
na1
n(n 1) 2
d
a1= -15
再根据
a20= 61
第十三页，编辑于星期一：一点 二十分。
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校
通”工程中的总投入是多少？
第十四页，编辑于星期一：一点 二十分。
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经 费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列{an},表示从 2001年起各年投入的资金，其中 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
2015年新课标A版高中数学必修五课件：2-3-等差数列的前n项和1
(2)若项数为2n，则 S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1＝d＋ d＋…＋d＝nd， SS奇 偶＝n2n2aa1＋2＋aa2n2－n1＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
第十一页，编辑于星期五：十点 三十八分。
(3)若项数为2n－1，则
第二十五页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解得AB＝ ＝－ 15473. ， ∴S28＝－73S12＋154S20＝1092.
第二十六页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解法4：∵{an}为等差数列， ∴Sn＝na1＋nn－2 1d. ∴Snn＝a1－d2＋d2n. ∴{Snn}是等差数列． ∵12,20,28成等差数列， ∴S1122，S2200，S2288成等差数列． ∴2×S2200＝S1122＋S2288，解得S28＝1092.
规律技巧 应用基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本 方法，应熟练掌握.根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开 阔思路，有时可以简化计算.
第二十九页，编辑于星期五：十点 三十八分。
三 求数列{|an|}的前n项 【例3】 在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－30，
求数列{|an|}的前n项和． 【分析】 本题实际上是求数列{an}各项绝对值的和．由
第二十四页，编辑于星期五：十点 三十八分。
解法3：设S28＝AS12＋BS20，其中A，B∈R. ∵28a1＋28×2 27d＝A(12a1＋12×2 11d)＋ B·20a1＋20×2 19d， ∴28a1＋14×27d＝(12A＋20B)a1＋(66A＋190B)d. 比较两边对应项的系数，得1626AA＋＋2109B0B＝＝283，78，
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，
∵a1<0，∴d>0， 解得 10≤n≤11. ∴n 取 10 或 11 时，Sn 取最小值．
第二章
2.3
第2课时
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解法 3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0， ∴a11＝0.∵a1<0，∴前 10 项或前 11 项和最小．
第二章
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2.3
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合作探究 已知在正整数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足： 1 Sn＝ (an＋2)2. 8 (1)求证：{an}是等差数列； 1 (2)若 bn＝ an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值． 2
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2.3
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2.3
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[分析]
Sn 是等差数列前 n 项的和，故 Sn 是 n 的不含常数
2
1 项的二次函数，即 Sn＝an ＋bn 形式，从而 可拆项，从而相 Sn 加相消可得 S.
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2.3
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[解析]
kk－1 ∵Sk＝3k＋ ×2＝k2＋2k＝k(k＋2)， 2
2.3
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[点评]
解法 1 利用等差数列前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数
(公差 d≠0 时)，通过二次函数求最值的方法求解；解法 2 利用 等差数列的性质由 a1<0 及 S9＝S12 知 d>0，从而数列中必存在 一项 an≤0 且 an＋1>0 以找出正负项的分界点；解法 3 利用 S9 ＝S12 及等差数列的性质．要注意体会各种解法的着眼点，总结 规律．
[解析]
1 (1)证明：∵Sn＝ (an＋2)2，① 8 (n≥2)．
1 ∴Sn－1＝8(an－1＋2)2
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 1 1 2 ＝8(an＋2) －8(an－1＋2)2， 整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. ∴an－an－1＝4，即{an}为等差数列．
第二章
.
第二章
2.3
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[点评]
解决此类问题要认真阅读理解所给出的定义，并
将其与所学知识相联系，寻求解题方法．
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2.3
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设 m∈N*，log2m 的整数部分用 F(m)表示，则 F(1)＋F(2) ＋F(3)＋„＋F(1024)的值是( A．8204 C．9218 ) B．8192 D．8021
2.3
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1 1 2 (2)解：∵S1＝8(a1＋2) .∴a1＝8(a1＋2)2. 解得 a1＝2.∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2， 1 1 ∴bn＝2an－30＝2(4n－2)－30＝2n－31. 31 令 bn<0 得 n< 2 ， ∴S15 为前 n 项和的最小值． 故 S15＝b1＋b2＋„＋b15＝2(1＋2＋„＋15)－15×31 ＝－225.
天入院治疗流感的人数共有________人．
[答案] 255
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2.3
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[解析]
∵an＋2－an＝1＋(－1)n
(n∈N*)，∴n 为奇数时，
an＋2＝an，n 为偶数时，an＋2－an＝2，即数列{an}的奇数项为 常数列，偶数项构成以 2 为首项，2 为公差的等差数列． 15×14 故这 30 天入院治疗流感人数共有 15＋(15×2＋ 2 ×2)＝255 人．
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2.3
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命题方向
信息给予题
[例 2]
定义“等和数列”：在一个数列中，如果任意相
邻两项的和都等于同一个常数， 那么这个数列叫做等和数列， 这个常数叫做数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且 a1 ＝2，公和为 5，求 a18 和这个数列的前 n 项和 Sn. [分析] 本题是信息题，正确理解“新定义”，既要和
[解析]
解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得
1 1 9a1＋ ×9×8· d＝12a1＋ ×12×11· d 2 2 ∴a1＝－10d， ∵a1<0，∴d>0， 1 1 2 21 ∴Sn＝na1＋ n(n－1)d＝ dn － dn 2 2 2 212 441 d ＝ n－ 2 － d. 2 8
[解析]
(1)∵对任意的正整数 n,2 Sn＝an＋1①
恒成立， 当 n＝1 时，2 a1＝a1＋1，即( a1－1)2＝0， ∴a1＝1. 当 n≥2 时，有 2 Sn－1＝an－1＋1.②
2 ①2－②2 得 4an＝a2－an－1＋2an－2an－1， n
即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
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2.3
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nx1＋xn ∴ ＝24n，∴x1＋xn＝48， 2 又∵xn＝5x1， ∴6x1＝48，∴x1＝8. ∴xn＝40 (min)． 故最后关闭的水龙头放水 40min.
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2.3
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(2011· 湖北荆门调研)秋末冬初， 流感盛行， 荆门市某医院 近 30 天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知 a1 ＝1，a2＝2，且 an＋2－an＝1＋(－1)n (n∈N*)，则该医院 30
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2.3
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n n 5 ∴Sn＝ · · n. 2＋ 3＝ 2 2 2 n－1 n＋1 当 n 是奇数时，有 个 3， 个 2， 2 2 n－1 n＋1 5n－1 ∴Sn＝ 2 · 3＋ 2 · 2＝ 2 . 5 n n＝2k，k∈N* 2 ∴Sn＝ 5n－1 n＝2k＋1，k∈N* 2
1 1 1 11 ∴S ＝ ＝2 k－k＋2， kk＋2 k 1 1 1 1 1 1 ∴S＝ 1－3＋2－4＋3－5＋„＋ 2
1 1 1 1 － ＋n－n＋2 n－1 n＋1
[答案] A
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[解析]
当 2n≤m<2n 1 时，n≤log2m<n＋1，
＋
此时 F(m)＝n，这样的值共 2n 个， 又 1024＝210，∴F(1024)＝10. ∴F(1)＋F(2)＋F(3)＋„＋F(1024) ＝0＋21×1＋22×2＋23×3＋„＋29×9＋10＝8204.
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2.3
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[点评]
准确理解 F(m)的含义是解答本题的关键，可先计
算部分项，如 F(1)＝0，F(2)＝1，F(3)＝1，F(4)＝2，F(5)＝2， F(6)＝2，F(7)＝2，F(8)＝3，观察其规律，从中发现 2n≤m<2n
＋1
时，F(m)＝n.
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2.3
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∵d>0，∴Sn 有最小值． 又∵n∈N*，∴n＝10 或 n＝11 时，Sn 取最小值．
第二章
2.3
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解法 2：同解法 1，由 S9＝S12 得 a1＝－10d，
a ＝a ＋n－1d≤0 n 1 设 an＋1＝a1＋nd≥0 －10d＋n－1d≤0 ，∴ －10d＋nd≥0
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
数 列
第二章
数
列
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第二章
2．3 等差数列的前 n 项和
第二章
数
列
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第二章
第 2 课时 等差数列习题课
第二章
数
1 1 1 1 ＝21＋2－n＋1－n＋2 2n＋3 3 ＝ － 4 2n＋1n＋2
第二章 2.3 第2课时
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[点评]
1 A 形如： 的式子， 若可拆分为 － an＋bcn＋d an＋b
B 的形式，一般可用此法进行求解． cn＋d
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2.3
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[解析]
设共有 n 个水龙头， 每个水龙头放水时间依次为
x1，x2，„，xn，由已知可知 x2－x1＝x3－x2＝„＝xn－xn－1， ∴数列{xn}成等差数列． 1 每个水龙头 1min 放水24n，(这里不妨设水池的容积为 1) 1 ∴ · ＋x ＋„＋xn)＝1，即 Sn＝24n， (x 24n 1 2
相关知识联系又要考虑其特点．
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2.3
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[解析]
由题设 a1＋a2＝a2＋a3＝„＝a17＋a18＝„＝a2k－1
＋a2k＝a2k＋a2k＋1＝5. ∵a1＝2，∴a2＝3，a3＝2，a4＝3，„， 当 n 是奇数时 an＝2，当 n 是偶数时，an＝3. ∴a18＝3. n n 当 n 是偶数时，有2个 2，2个 3，