吉林省辽源市2016-2017学年高一上学期期末数学(理科)试卷 Word版含解析

吉林省辽源市2016-2017学年高一（上）期末试卷（理科数学）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}2．sin600°=（）A． B．C．D．3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．24．已知平面向量=（3，1），=（x，﹣3），且⊥，则x=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x|6．要得到函数的图象可将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度7．函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[2，3]上是单调函数，则a的取值范围是（）A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤2 D．a≥38．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ=B．ω=1，φ=﹣ C．ω=2，φ=D．ω=2，φ=﹣9．设f （x ）=asin （πx+α）+bcos （πx+β）+4 （a 、b 、α、β为常数），且f （2000）=5，那么f （2009）等于（ ） A ．1B ．3C ．5D ．710．若函数f （x ）=是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，+∞）B ．（1，8）C ．[4，8）D ．（4，8）11．已知ω＞0，函数f （x ）=sin （ωx+）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，]C ．（0，]D ．（0，2]12．已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ ）A ．f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B ．f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C ．f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D ．f （x 1）＞0，f （x 2）＞0二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，则•= ．14．若cos α=﹣，α∈（0，π），则tan α等于 ．15．已知幂函数f （x ）的图象经过点（2，），则f （）的值为 ．16．关于函数f （x ）=4sin （2x+）（x ∈R ），有下列命题：①y=f （x ）的表达式可改写为y=4cos （2x ﹣）；②y=f （x ）是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f （x ）的图象关于点对称；④y=f （x ）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是 ．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A={x|1＜x ＜3}，集合B={x|2m ＜x ＜1﹣m}．（1）当m=﹣1时，求A ∪B ；（2）若A ∩B=∅，求实数m 的取值范围．18．（12分））已知平面向量)4,3(=→a ，),9(x b =→，),4(y c =→，且→a //→b ，→a ⊥→c （1）求→b 与→c（2）若→→→-=b a m 2，→→→+=c a n ，求向量→m 、→n 的夹角的大小． 19．（12分）已知f （x ）=log 4（4x ﹣1）． （1）求f （x ）的定义域； （2）讨论f （x ）的单调性；（3）求f （x ）在区间[，2]上的值域． 20．（12分）求下列函数的最大值与最小值 （1）y=2sinx ﹣3，x ∈R（2）y=+sinx ﹣sin 2x ，x ∈R ．21．（12分）已知函数f （x ）=2a （cos 2x+sinxcosx ）+b （1）当a=1时，求函数f （x ）的周期及单调递增区间（2）当a ＞0，且x ∈[0，]时，f （x ）的最大值为4，最小值为3，求a ，b 的值．22．（12分）设函数f （x ）对任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，f （1）=﹣2 （1）证明f （x ）为奇函数． （2）证明f （x ）在R 上是减函数．（3）若f （2x+5）+f （6﹣7x ）＞4，求x 的取值范围．2016-2017学年吉林省辽源市高一（上）期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．sin600°=（）A． B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】600°=720°﹣120°，利用诱导公式即可求得sin600°的值．【解答】解：∵sin600°=sin（720°﹣120°）=sin（﹣120°）=﹣sin120°=﹣，∴sin600°=﹣．故选：B．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，考查转化与运算能力，属于基础题．3．已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数定义得，f（﹣1）=﹣f（1），根据x＞0的解析式，求出f（1），从而得到f（﹣1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣1）=﹣f（1），又当x＞0时，f（x）=x2+，∴f（1）=12+1=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性及运用，主要是奇函数的定义及运用，解题时要注意自变量的范围，正确应用解析式求函数值，本题属于基础题．4．已知平面向量=（3，1），=（x，﹣3），且⊥，则x=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案．【解答】解：根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得，3x+1×（﹣3）=0，解可得，x=1，故选：C．【点评】本题向量数量积的应用，判断向量垂直，简单题，仔细计算即可．5．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由题意知A和D在（0，+∞）上为减函数；B在（0，+∞）上先减后增；c在（0，+∞）上为增函数．【解答】解：∵f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数，∴A不正确；∵f（x）=x2﹣3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，∴B 不正确；∵f（x）=﹣在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，∴C正确；∵f（x）=﹣|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确．故选C．【点评】本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答．6．要得到函数的图象可将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数的平移变化，，分析选项可得答案．【解答】解：要得到函数的图象可将y=sin2x的图象向左平移．故选B．【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．7．函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[2，3]上是单调函数，则a的取值范围是（）A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤2 D．a≥3【考点】二次函数的性质．【分析】由已知中函数的解析式f（x）=x2﹣2ax+3，根据二次函数的图象和性质，判断出函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，由函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[2，3上为单调函数，可得区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+3的图象是开口方向向上，且以x=a为对称轴的抛物线故函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，若函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[2，3]上为单调函数，则a≤2，或a≥3，故答案为：a≤2或a≥3．故选A．【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据函数f（x）=x2﹣2ax+3在区间[2，3]上为单调函数，判断出区间在对称轴的同一侧，进而构造关于a的不等式是解答本题的关键．8．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ=B．ω=1，φ=﹣ C．ω=2，φ=D．ω=2，φ=﹣【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以 2×+φ=，φ=﹣．故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．9．设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4 （a、b、α、β为常数），且f（2000）=5，那么f（2009）等于（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数的值．【分析】由已知利用诱导公式推导出asinα+bsinβ=1，由此能求出f（2009）．【解答】解：∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4 （a、b、α、β为常数），且f （2000）=5，∴f（2000）=asin（2000π+α）+bcos（2000π+β）+4=asinα+bsinβ+4=5，∴asinα+bsinβ=1，∴f（2009）=asin（2009π+α）+bcos（2009π+β）+4=﹣asinα﹣bcosβ+4=﹣1+4=3．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、诱导公式的合理运用．10．若函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞） B．（1，8）C．[4，8）D．（4，8）【考点】函数单调性的性质；分段函数的应用．【分析】让两段都单调递增，且让x=1时a x≥（4﹣）x+2，解关于a的不等式组可得．【解答】解：∵函数f（x）=是R上的增函数，∴，解得4≤a＜8故选：C【点评】本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数和一次函数的单调性，属中档题．11．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的减区间可得，由此求得实数ω的取值范围．【解答】解：∵ω＞0，函数f （x ）=sin （ωx+）在（，π）上单调递减，则，求得≤ω≤， 故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．12．已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ ）A ．f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B ．f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C ．f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D ．f （x 1）＞0，f （x 2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【分析】因为x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点 可得到f （x 0）=0，再由函数f （x ）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2） 故选B ．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，则•= ﹣2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可知的夹角为，然后直接代入数量积公式求解．【解答】解：如图，•=．故答案为：﹣2．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．14．若cosα=﹣，α∈（0，π），则tanα等于﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tanα的值．【解答】解：∵cosα=﹣，α∈（0，π），∴sinα==，则tanα==﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．15．已知幂函数f（x）的图象经过点（2，），则f（）的值为 4 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数f（x）=y=xα（α为常数），则=2α，解得α即可得出．【解答】解：设幂函数f（x）=y=xα（α为常数），则=2α，解得α=﹣2．∴f（x）=．∴f（）==4．故答案为：4．【点评】本题考查了幂函数的定义及其函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．关于函数f（x）=4sin（2x+）（x∈R），有下列命题：①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是①，③．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．【分析】先根据诱导公式可判断①，再由最小正周期的求法可判断②，最后根据正弦函数的对称性可判断③和④，得到答案．【解答】解：∵f （x）=4sin（2x+）=4cos（）=4cos（﹣2x+）=4cos（2x﹣），故①正确；∵T=，故②不正确；令x=﹣代入f （x）=4sin（2x+）得到f（﹣）=4sin（+）=0，故y=f （x）的图象关于点对称，③正确④不正确；故答案为：①③．【点评】本题主要考查正弦函数的基本性质﹣﹣周期性、对称性，考查诱导公式的应用．三角函数的基础知识是解题的关键．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016秋•辽源期末）已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}．（1）当m=﹣1时，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【分析】（1）m=﹣1时，求出集体合A和B，由此能求出A∪B．（2）由A ∩B=∅，根据B=∅和B ≠∅两种情况分类讨论，能求出实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）∵集合A={x|1＜x ＜3}，集合B={x|2m ＜x ＜1﹣m}． ∴m=﹣1时，B={x|﹣2＜x ＜2}， ∴A ∪B={x|﹣2＜x ＜3}． （2）由A ∩B=∅，得：①B=∅时，2m ≥1﹣m ，即m ．②B ≠∅时，或，解得0或∅，即0． 综上，实数m 的取值范围是{m|m ≥0}．【点评】本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集、交集性质的合理运用．18．（12分）已知平面向量)4,3(=→a ，),9(x b =→，),4(y c =→，且→a //→b ，→a ⊥→c （1）求→b 与→c（2）若→→→-=b a m 2，→→→+=c a n ，求向量→m 、→n 的夹角的大小． 【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由∥求出x 的值，由⊥求出y 的值，从而得出、；（2）计算→m 、→n ，利用平面向量夹角的公式求出cos ＜→m 、→n ＞，即得夹角的大小．【解答】解：（1）由∥得3x ﹣4×9=0，解得x=12；由⊥得9×4+xy=0，解得y=﹣=﹣=﹣3；所以=（9，12），=（4，﹣3）； （2）→→→-=b a m 2=（﹣3，﹣4），→→→+=c a n =（7，1）；所以∙→m →n =﹣3×7﹣4×1=﹣25，|→m |==5，||==5；所以cos ＜，＞===﹣，所以向量→m 、的夹角为．【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．19．（12分）（2016秋•辽源期末）已知f （x ）=log 4（4x ﹣1）． （1）求f （x ）的定义域； （2）讨论f （x ）的单调性；（3）求f （x ）在区间[，2]上的值域． 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】（1）根据4x ﹣1＞0求解即可 （2）利用单调性的定义判断即可（3）根据（2）问结论得出最大值，最小值即可得出值域．【解答】解：（1）4x ﹣1＞0，所以x ＞0，所以定义域是（0，+∞）， （2）f （x ）在（0，+∞）上单调增，设0＜x 1＜x 2，则f （x1）﹣f （x2）=log4（4x1﹣1）﹣log4（4x2﹣1）=log 4又∵0＜x 1＜x 2，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1﹣1＜4x2﹣1∴0＜＜1，即log 4＜0∴f （x 1）＜f （x 2），f （x ）在（0，+∞）上单调增．（3）∵f （x ）区间[，2]上单调递增，∴最小值为log 4（4﹣1）=log 41=0．最大值为log4（42﹣1）=log415∴值域为：[0，log415]【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•辽源期末）求下列函数的最大值与最小值（1）y=2sinx﹣3，x∈R（2）y=+sinx﹣sin2x，x∈R．【考点】三角函数的最值．【分析】（1）直接利用正弦函数的值域求解．（2）根据函数y=+sinx﹣sin2x=﹣（sinx﹣）2+2，﹣1≤sinx≤1，利用二次函数的性质求得函数的最值．【解答】解：（1）∵﹣1≤sinx≤1，﹣2≤2sinx≤2，∴﹣5≤2sinx﹣3≤﹣1．∴函数y=2sinx﹣3的最大值是﹣1．最小值为﹣5；（2）∵函数y=+sinx﹣sin2x=﹣（sinx﹣）2+2，﹣1≤sinx≤1，故当sinx=﹣1时，函数取得最小值为﹣，当sinx=时，函数取得最大值为2．【点评】本题考查了正弦函数的值域、二次函数的性质应用，属于中档题．21．（12分）（2016秋•辽源期末）已知函数f（x）=2a（cos2x+sinxcosx）+b（1）当a=1时，求函数f（x）的周期及单调递增区间（2）当a＞0，且x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，最小值为3，求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）当a=1时，化简函数，即可求函数f（x）的周期及单调递增区间（2）当a＞0，且x∈[0，]时，求出sin（2x+）∈[﹣，1]，利用f（x）的最大值为4，最小值为3，求a，b的值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2a（cos2x+sinxcosx）+b=cos2x+1+sin2x+b=sin（2x+）+1+b，∴函数f（x）的周期为π；由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得单调递增区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）f（x）=asin（2x+）+a+b∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]∵a＞0，f（x）的最大值为4，最小值为3，∴，∴a=﹣1，b=3．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的化简，正确化简函数是关键．22．（12分）（2016秋•辽源期末）设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f （y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣2（1）证明f（x）为奇函数．（2）证明f（x）在R上是减函数．（3）若f（2x+5）+f（6﹣7x）＞4，求x的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．【分析】（1）在所给的等式中，令x=y=0，可得f（0）=0．再令y=﹣x，可得f（﹣x）=﹣f （x），可得函数f（x）为奇函数．（2）设x1＜x2，则△=x2﹣x1＞0，根据f（ x2﹣x1）=﹣f（x1）+f（x2）；以及当x＞0时，f（x）＜0，可得 f（ x2﹣x1）＜0，即﹣f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2），可得f（x）在R上是减函数．（3）若f（2x+5）+f（6﹣7x）＞4，则f（11﹣5x）＞4，即f（ 11﹣5x）＞f（﹣2），结合f（x）在R上是减函数可得 11﹣5x＜﹣2，由此解得x的范围．【解答】解：（1）由于函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，可得f（0）=0．再令y=﹣x，可得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即 0=f（x）+f（﹣x），化简可得f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数．（2）设x1＜x2，则△=x2﹣x1＞0，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（ x2﹣x1）=f（x2）﹣f（x1）．再由当x＞0时，f（x）＜0，可得 f（ x2﹣x1）＜0，即﹣f（x1）+f（x2）＜0，故有f（x1）＞f（x），2故f（x）在R上是减函数．（3）若f（2x+5）+f（6﹣7x）＞4，则f（2x+5+6﹣7x）=f（11﹣5x）＞4．再由f（1）=﹣2，可得f（ 11﹣5x）＞f（﹣2），结合f（x）在R上是减函数可得 11﹣5x＜﹣2，解得x＞，故x的范围为（，+∞）．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．。