河道剖面轮廓的一元分形插值模拟

河道 的河 床纵 剖面具 有 分 形 特征 ， 用分 形 维 数来 刻 可
画 其 发 育 的 复 杂 程 度 ； 矿 采 用 分 形 理 论 对 长 江 河 道 张
形 态 进行 了量化 分析 Ｈ ， 获得 了长 江河 道 整 体 及分 段
分形 维数值 ， 为分 形 理论 非 常 适 于研 究 具 有 复 杂结 认
《 ｃｅ ｃ）上 发 表 了 “ 国 海 岸 线 究 竟 有 多 长 ？ Ｓｉ ｅ ｎ ） 英 ”一
文 ¨ ， 由此 翻开 了分 形研 究 的新 篇 章 。国 内外 学 者 并
借 鉴海岸 地貌 形态 分 形 研究 的思 想 ， 河道 轮 廓 形 态 对
的分形特 征 开展 了大量研 究 ， Ｎ ｋｒ 对 苏联 ４ 如 ｉｏａ ６条 河
一
参 数 ｄ 是 仿射 变换 的垂 直 比例 因子 ， 各插 值 区 若 间 的 ｄ 均相 等 ， 式 （ ）中 的变换 为 自相 似变 换 ； ｄ 则 ２ 若
＝
个 Ｉ Ｓ由一个完 备 的度 量空 间 （ ｄ 和 一组 有 Ｆ Ｘ， ）
０ 则 自相 似变换 函数 ∞ 为分段 线性 插值 函数 。 直 ， 垂
河 道 剖 面轮 廓 的一 元分 形 插 值 模 拟
许 光 祥 ２ 钟 亮 ， ２
（． １ 重庆 交通 大 学 省部 共 建 水 利 水 运 工 程 教 育部 重 点实 验 室 ， 重庆 ４ ０ ７ ； ２ 重庆 交通 大 学 河 海 学院 ， 庆 ４０ ７ ） ００ ４ ． 重 ０ ０４
该 压 缩映 射存 在 唯一不 动点 Ｐ∈Ｈ（ ， 足 Ｐ ＝ Ｘ） 满 ｔ Ｐ）＝ｕ ∞ （ 。 ａ（ Ｐ） 该不 动 点 Ｐ称 为 Ｉ Ｓ的吸 引子 ， Ｆ 对 于 任意 的初 始点 Ｂ Ｅ Ｈ（ ， 在 Ｐ ＝ｌ ａ （ 。 Ｘ） 存 ｉ ｔ Ｂ） ｍ ‘
值点 编 号为 ｉ， 有 （ ，… ）∈ ［ 一ｎ ， 则 Ｙ Ｙ ｉ ｏｉ ＋ｎ ］ 占 ｏ ；
＝
１０＋ｒｎ ｏ 艿 ， ｎ ｏ 是 计算 机 内部 的随机 ． ａ ｄ ｍ（ ） ｒ ｄ ｍ（ ａ
函数 ， 用 于产生 一个 ０ ～１之 间的随 机数 。 （ ）中 它 式 ５ Ｙ、 体现 了局 部信 息 ，… 、 体 现 了 全局 信 息 ， Ｙ Ｙ Ｙ 随 机数 的产 生保 证 了 分形 本 身 的性 质 ， 因此 式 （ ）综 合 ５ 考 虑 了 ｄ 对 数据 局 部 细 节 和 待 插 值 对 象 整体 特 征 的
连 续通 过 每 个 点 ， Ｙ 即 ：， ） Ｂ ｒｓ ｙ给 出 了利 用 （ 。 ａｎｌ ｅ Ｉ Ｓ来 构造插 值 函数 厂 ） 该 Ｉ Ｓ｛ ∞ ， １ ２ … ， Ｆ （ ， Ｆ Ｒ ： ＝ ， ，
比例 因子 ｄ 的大小 直 接影 响 函数值 的起 伏 ， 控制 分 形 插值 轮廓 的复 杂程度 ， 因此在分 形插 值 的实现 过程 中 ，
ｄ 的选 取非 常关 键 。 处 选 取 无 量 纲 形 式 的 ｄ ， 表 此 其 达形 式 为
㈥
ｓ 。
是 完 备空 间 （ Ｘ） ｈ ｄ ）上 具 有 压缩 因 子 ｓ的压 缩 日（ ， （ ） 映射 ， 有 则
结 构 。但 河道 剖 面轮 廓 形 态具 有 自相 似 性 ， 用 分形 理 论 来 描 述 。基 于有 限 的 数 据 资料 。 用 一 元 分 形 插 值 可 应 理 论 对 河道 纵 向剖 面轮 廓 形 态进 行 了分 形 插 值 模 拟 ， 准确 再现 了其 精 细 结 构 ， 好 地 解 决 了上 述 尺 度 相 关性 较 和 数 据 有 限性 问题 ， 从 微 观 角 度 开展 河床 变 形 、 流 阻力 等 问 题 的 分 形研 究提 供 了新 途 径 。 为 水 关 键 词 ： 道 剖 面 轮 廓 ； 元 分 形 插 值 模 拟 ；迭代 函数 系统 ；分 形理 论 河 一
射 到子 区间的右 端 点 （ ， 。 ｄ 为 自由参 数 （ Ｙ） 令 Ｉｄ ｌ ＜１ 否则 该 Ｉ Ｓ不 收敛 ） 将 式 （ ） 人式 （ ） 可得 各 ， Ｆ ， ２代 ３ ， 参 数表 达式 为
ａ ｆ＝ （ — 一） （ Ⅳ一 ） ｆ １ ／ ０ ｅ ＝ （ ， ｌ ０ ） （ Ⅳ 一 ） ｖ 一 ／ ０ 一
信 息特 征去模 拟真 实复 杂 的河 道剖 面轮廓 形态 也是 广 大科技 工 作 者 面 临 的 一 大 问 题 。英 国 数 学 家 Ｂ ｒｓ ａｎ — ｌｙ９ ６年提 出的分 形 插 值理 论 给 出 了一 种 分 形 重 构 ｅ １８
的新 思 想和新 方法 ， 为 解决 上 述 两 个 问题 提 供 行 之 可
子 Ｐ） Ｂ ｒｓ ｙ已证 明 了满足压 缩 映射 定 理 的 Ｉ Ｓ总 。 ａｎｌ ｅ Ｆ
１ ２ 一 元 分 形 插 值 迭 代 函数 ．
对 于 平 面上 的一 组 点 集 ｛ ， ∈ Ｒ ， （ Ｙ） ｉ＝０ １ ，， ２… ， ， Ⅳ且 ＜ ｝ 分形 插值 函数 ， ）的几何 图形 ， （
第４ ３卷 第 ３期
２０ １２ 年 ２ 月
人 民 长 江
Ｙａ ｇ ｚ Ｒｉ ｅ ｎ ｔｅ ｖｒ
Ｖｏ ． １ ４３． ． Ｎｏ ３ Ｆｅ ｂ．， ２ ２ ０１
文 章 编 号 ：０ １ ４ ７ （ ０ ２ ｏ ０ ２ ０ １ ０ — １ ９ ２ １ ） ３— ０ ０— ４
文献 标 志 码 ：Ａ
中 圈法 分 类 号 ： ＶＩ ３ Ｔ ４
河 道轮 廓形态 与河 床演 变学及 河流 动力学 的诸 多
问题 密 切 相 关 。１ ６ ９ ７年 ， 国科 学 家 Ｍａｄ ｌｒｔ 美 ｎ ｅ ｏ 在 ｂ
征 ， 在 多重尺 度特性 ， 存 因而采用 一定 分辨 率 的仪 器 只 能 获得该 分辨率 水 平 的粗 糙 轮廓 形 态 ， 能 真 实 体 现 不 其他 测量 尺度 下的粗 糙 信 息 ， 也是 粗 糙 度 测 量 尺度 这 相关 性 的表现 ， 王金安 、 和平等 已对类 似 问题作 了较 谢 系统 研究 。显然 ， 仅基 于某 一尺 度 采 集 数 据所 表 仅
构 的河道形 态 ； 江齐 英 等讨 论 了三 峡 大 坝 蓄水 前 （ 水
位 线 高程约 ６ 和一 期蓄 水后 （ ５ｍ） 坝前 水 位 １５ ｍ） ３ 两 个 时期 长江 干流 左右 库 岸 几何 形 态 的分 形 特 征 ， 认
有 效 的途径 。借鉴 分形 插 值 思想 ， 者应 用 一 元 分 笔 形插 值理 论对 河道纵 向剖 面轮廓 的粗 糙形 态进 行 了模
摘 要 ： 道 剖 面轮 廓 形 态与 河 床 演 变 学 及 河 流 动 力 学 的诸 多 问题 密切 相 关 ， 河 目前 常 采 用 规 则 的 欧 氏 几 何 模 型 来描 述 ， 由于 复 杂 剖 面轮 廓 形 态 测 量 中存在 尺度 相 关性 和 数 据 有 限 性 的 问题 ， 以 全 面 准 确 体 现 其 微 观 粗 糙 难
收 稿 Ｅ期 ：０ １８—２ ｔ ２ １０ ４ 基金项 目： 高等 学校 博 士 学科 点 专项 科 研 基 金 资 助 课 题 （ Ｏ７ ６ ８０ ） 重 庆 交 通 大 学 省部 共 建 水利 水 运 工程 教 育 部 重 点 实验 ２０ ０ １Ｏ ３ ；
室 开 放 基金 课 题 （ Ｌ ２ ０ Ａ ２ ＳＫ０９ ０ ）
限的压 缩 映射 集 ａ，Ｘ— 及其 相 应 的压缩 因子 ｓ（ ｔ ： ０ ≤ｓ ＜１ ｉ＝ １２ … ， ， ， ， Ⅳ）所组 成 。 此 ， Ｊ定 义变 换 对 ｓ
ｔ Ｈ（ 一 ａ： Ｘ） 日（ ） 即 ａ（ ） ＝ｕ ａ （ ） ＶＢ ∈ 日（ ， ｔ ， ｔ Ｘ）
作者简介 ： 光祥 ， ， 授 ， 士 ， 许 男 教 博 主要 从 事 河流 动 力 学研 究 。Ｅ—ｍ ｉ： ｇｘ６ ６ １３ ｃｒ ａｌｘ ｇｘ２ ＠ ６ ・ｏ ｘ ｎ
第 ３期
许 光 祥 ， ： 道 剖 面轮 廓 的 一 元分 形 插 值 模 拟 等 河
２ １
微 观角 度 开展河 床 演变学 及 河流 动力 学相 关 问题 的分 形研 究 提供 了新 思 路 。
＝
［ Ｎ —Ｘｙ —ｄ（ Ｎ ０一ｘｙ ） ／ ｏ ｘ ｙ— ｌ ｏ ｘ ｙ ｏⅣ ］ （ Ⅳ一 ）
（） ４
数 为多 项式 、 理 函数或 三 角形等 初 等 函数 ， 分形 插 有 而 值 函数 是用 迭代 函数 系统 （Ｆ ） 实现 的 ， ＩＳ满 ＩＳ 来 该 Ｆ 足 压缩 映射 定理 （ ａａｈ不动 点定 理 ） Ｂ ｎｃ 和拼贴 定理 。
影响。
拼贴 定 理 给出 了吸 引子 Ｐ与给定 集 合 之 间误差
的度量 。 （ ｄ 设 Ｘ， ）是一 完 备 距 离 空 间 ， 定 集 合 Ｌ ∈ 给 日（ ）和 ６＞０ 选 定一 个带 有 压缩 因子 ０≤ ｓ＜ １的 ， Ｉ Ｓ｛ ∞１ ， ， ｝ 则 有 Ｈ ｕ ｄ ｒ 距 离 ｈ Ｌ Ｐ）≤ Ｆ Ｘ； ， … Ⅳ ， ２ ａ ｓｏｆ ｆ （，
６（ ／ １一ｓ ， （ ，ｕ ∞ （ ） 。 ） ｈ ￡ ）≤
采 用式 （ ） ４ 和式 （ ） ５ 求得 仿 射 变 换 矩 阵 中 的各 参 数后 ， 即可用 迭代 算法 得到 Ｉ Ｓ的吸 引子 。 Ｆ 随着迭 代次 数 的增 加 ， 值 曲线 与原 曲线 的拟合程 度不 断提 高 ， 插 经 过多 次迭代 ， 形 成 一 条 稳定 不 变 的 插 值 曲 线 （ 引 将 吸
１ 一 元 分 形 插 值 理 论
１ １ 一 元 分 形 插 值 原 理 ．
传 统 的数学 插 值 函数 或 曲 线 （ ） 合 函 数 都 是 面 拟
用 一组 基 函数 的线 性 组合 来 表 述 的 ， 常采 用 的基 函 通
Ｃ ＝ ［ 。 —ｄ（ 一Ｙ ） ／ ｘ Ｙ 一Ｙ— ｌ ｌＹ ｏ ］ （ Ⅳ一ｘ ） ０