分形几何与分形插值(孙洪泉著)思维导图
分形几何学
整理课件
10
分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
整理课件
4
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维 的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的 海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描 述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这 是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
整理课件
5
一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相 似图形和结构的几何学。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
初中数学各章节知识图解思维导图(共9张PPT)
应用
特例
定理
勾股定理
证明 内容
文字.符号图形
互逆命题
内容
文字.符号图形
直角三角形
逆定理
全等
证明
应用
知三边定形状
锐角三角函数
有关线段
定义
三角 形
解直角三角形
锐角三角函数
定义
计算
三边关系锐角关 系边角关系
应用
坡度 仰.俯角 方位角
正弦
余弦
符号.几何意义. 特殊角的值
特殊值的运算
正切
作对称轴 作一点到两点距离相等 离相等（外心）
作等腰三角形 作一点到三点距
翻折后与 另一图形重 合
到两点距离相等的 点
点到两点 的距离 相等
性质
判定
应用
垂直平分线
定义
对称点
关于轴对称
基本 图形
对称 轴
特征
要素
利用轴对称制作图案
用
坐
作：关于x轴、
标
y轴的对称点
表
示
轴
对
解决几何中的
称
极值问题
基本图形
一条直线
翻折后与 两部分 重合
对称轴 定义
轴对称图形 静
与y轴交点位置 c＞0.
对应角相等， 尺规作角 对应边成比例，
二次函数与 一元二次方程
对称轴垂直平分对称点的连线
作对直称线公轴理
直线
作等腰三角形
磁道问题
利润问题 拱桥问题
在表示原与点画法 c＜0.
到寻三找射边线方的法 距离相射等线 在三角形内直线.射线.线段
一次函数与反比例函数
表示与画法
线段
计算与比较
分形几何学
混沌的特性
（1）确定系统的内在随机性.
混沌现象是由系统内部的非线性因素引起的，是 系统内在随机性的表现，而不是外来随即扰动所 产生的不规则结果。混沌理论的研究表明，只要 确定性系统中有非线性因素作用，系统就会在一 定的控制参数范围内产生一种内在的随机性，即 确定性混沌。
混沌的定义
目前尚未确定，众说纷纭，这儿只取其一帮助理解。
混沌是指确定宏观的非线形系统在一定条件下所呈现 的或不可预测的随即现象，是确定性与不确定性，规 则性与不规则性，有序性与无序性融为一体的现象， 其不确定性或随机性不是来源于外部干扰，而是来源 于内部的“非线性交叉耦合作用机制”。这种“非线 性交叉耦合作用”得数学表达式是动力学方程中的非 线性项。正是由于这种“交叉”作用，非线性系统在 一定的临界条件下才表现出混沌现象，才导致其对初 值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。
西方的大爆炸理论的未定势
在大爆炸的宇宙观中，混沌就是巨大的能力 在未对称破缺的阶段；
中国的小说或古代神话：指代宇宙的初始， 自由均衡未定结构和状态；
现代意义，大系统的自由熵状态；例如一段 未被环流化的天气系统—它可能会在一定的 机缘中孕育台风这样的旋转序，
一个自由的能量系统，这种能量和资源可能 会不确定的被其中的子系统序化。
混沌现象是确定性系统的一种“内在随机性”， 它有别于由系统外部引入不确定随机影响而产生 的随机性。为了与类似大量分子热运动的外在随 机性和无序性加以区别，我们称所研
的混沌为非线形动力学混沌，而把系统处于平衡态 时究所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡 态热力学混沌。
分形几何概述阮火军
分形几何的研究对象（一） —自相似集
1 Cantor集
2 Sierpinski垫片
3 Koch曲线
Cantor集C
Cantor集C中的点的表示
• x[0,1]，可用三进 ： x 制a小 j 3j， 数 aj 展 {0,1,2} 开 ． j1 记x为 (a1a2 an )．
• k 若x aj 3j，其a中 k 0．我们规定： j1 当 a k 2 时 x ( ， a 1 a 2 a k 0 取 ) 0 ； 0
在大多数令人感兴趣的情形下，E以非常 简单的方式定义，可能由迭代产生。
分形几何的研究方法 ——维数和测度
我们仅讨论维数 传统意义下的维数：
点是0维的，线是1维的，平面是2维的， 立方体是三维的，… 用这个维数去刻画分形集合时的困难：
Cantor集：含有无穷多个点，长度为0. Koch曲线：长度为无穷，面积为0. Sierpinski垫片：长度为无穷，面积为0.
Koch曲线
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
Koch曲线的一些基本性质
Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫 片类似的性质.
长度等于无穷.
自相似集合的定义
f的斥性周期点合 所的 组闭 成包 集 f的 称Ju为li集 a ．
若f(z)z2,则f的Jul集 ia 为单位(圆 验周 证 ) ． ！ 若f(z)z2C,则 当C0时f， 的Jul集 ia 将非常复
Julia集的图象
C = -1
C = -0.5+0.5i
C=-0.2+0.75 i
分形插值及分形维数的图解法
分形插值及分形维数的图解法陈慧琴【摘要】自然界中存在的许多现象具有分形特征,传统的Euclid空间对具有分形特征的自然界形态模拟具有一定的困难,对此可以用分形插值来拟合自然界形态.基于迭代函数系统(IFS),通过离散的数据点构成分形插值函数,可以证明分形插值函数是这个IFS唯一的吸引子.分形插值曲线的分形维数直接用数学公式求解比较困难,借助于MATLAB矩阵运算与图形绘制功能,采用图解方法求取,精度可以达到0.01~0.001,从而实现离散数据点的分形插值拟合及其分形维数的求解.试验结果表明,该算法具有简捷直观的特点.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2010(028)002【总页数】4页(P167-169,185)【关键词】分形插值;迭代函数系统;分形维数;图解法【作者】陈慧琴【作者单位】江西蓝天学院机电系,江西,南昌,330098【正文语种】中文【中图分类】O174.42分形几何是由Mandelbrot(1983)发展起来的一门新的数学分支,用来描述自然界不规则以及杂乱无章的现象和行为。
自然界中存在的许多现象具有分形特征,如大脑皮层的褶皱、闪电的痕迹、雪花的形状、山峰的形状、植物的形状、晶体的结构等,这些分形现象的特点是局部与整体具有自相似的性质,或是近似的,用传统 Euclid 几何进行描述与恢复重现比较困难[1～3]。
于是人们想到了用插值的方法拟合这些不规则的自然景观,由于它插值的对象是分形,故这种插值称作分形插值。
分形插值函数与初等函数一样也具有其本身的几何特征,它也能用数学公式来表示,能快速地被计算出来,它们之间的主要差别在于分形插值函数的分形特征,如它有非整的维数。
利用MATLAB极强的矩阵运算、图形绘制、数据处理功能,可以实现离散数据点的分形插值拟合与分形维数的计算。
分形插值函数是由一类特殊的迭代函数系统(Iterated Function System,简称 IFS)产生的,基于迭代函数系统的分形插值是利用数据点构成分形插值函数,把要生成的图形作为压缩映射的不变。
几何画板迭代详解之：迭代与分形几何
几何画板迭代详解之：迭代与分形几何佛山市南海区石门中学谢辅炬分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。
分形图片具有无可争议的美学感召力，特别是对于从事分形研究的科学家来说。
欣赏分形之美当然也要求具有一定的科学文化知识，但相对而言，分形美是通俗易懂的。
分形就在我们身边，我们身体中的血液循环管道系统、肺脏气管分岔过程、大脑皮层、消化道小肠绒毛等等都是分形，参天大树、连绵的山脉、奔涌的河水、漂浮的云朵等等，也都是分形。
人们对这些东西太熟悉了，当然熟悉不等于真正理解。
分形的确贴近人们的生活，因而由分形而来的分形艺术也并不遥远，普通人也能体验分形之美。
因为分形几何的迭代的原像一般不止一个，而且均为多映射迭代，为了叙述的方便，我们先作以下两个约定。
1.用(A,B,C)表示有顺序的两点A、B和C。
2.(A,B,C)(D,E,F,),(G,H,I)⇒表示A映射到D，B映射到D，C映射到F,然后添加映射A映射到G，B映射到H，C映射到I,如此类推。
【Sierpinski三角形】波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子，这些怪物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛”。
如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。
它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。
著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。
不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。
Sierpinski 三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。
【步骤】1.在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。
2.新建参数n＝33.顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,(B,C,A)(D,F,A)⇒。
分形几何 ppt课件
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到，这一操作让模的变化更剧烈了，
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间，就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数，比如 0.3 ， 那么整个图会怎样变化呢？
❖对于模相同的复数来说，给实数部分加上 0.3 ， 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此，上图将会变得更扁，整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图（为便于观察，对图像进行了旋 转）。
36
分形几何
❖ 我们照这个思路（加0.2然 后平方）迭代12次后，可 得到右图图形。可以看见 整个图形已经具有了分形 图形的复杂程度（图形的 “黑边”其实是密集的等 高线）。
37
分形几何
❖ 上图中，大部分区域内的数都变得越来越大，直 达无穷。而原点附近这个四叶草形区域内的数， 至少目前还不算太大。
8
分形几何
9
分形几何 ❖康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于
非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其 局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
10
分形几何
4. Mandelbrot集合 曼德博集合可以用复二次多项式来定义： fc(z)=z2+C; 其中 c 是一个复数参数。
➢ 从 z = 0 开始对 fc(z) 进行迭代：
① 将线段分成三等份（AC,CD,DB）； ② 以CD为底，向外（内外随意）画一个等边三角
形DMC ； ③ 将线段CD移去； ④ 分别对AC,CM,MD,DB重复1~3。
5
分形几何
6
第八章 分形几何
Peano-Hilbert曲线的出现，曾令数学界大吃一惊： （1）它是一条曲线，但又是一个平面； （2）Peano-Hilbert曲线的方程只有一个参数，但它却 能确定了一个平面；而在欧几里德几何学中，确定一条 曲线需要一个参数，确定一个平面需要两个参数。
“病态”原因：一维曲线却能充满二维平面。 分形维数：D=ln4/ln2=2.0。
对于典型的分形曲线，例如Koch曲线，构成方法 如下：取一段直线，将其三等分，保留两端的两段， 将中间一段拉起构造等边三角形的两条边。N=4，S=3， 分维D=ln4/ln3=1.26186。可以看出Koch曲线点点连 续，但点点不可导，属于病态曲线；Koch曲线局部与 整体相似，具有自相似性。因此可以使用Koch曲线来 模拟海岸线。根据Mandelbrot的计算，英国海岸线的 分维为D=1.25。
L0 ( P1 .x P0 .x) 2 ( P1 . y P0 . y ) 2
设递归n次后的最小线元长度为d，则
d L0 /(2(1 + cos ))
n
（8-4）
Koch 雪花
void CTestView::Koch(int n)//Koch函数 { if(0==n) { P1.x=P0.x+d*cos(Alpha); P1.y=P0.y+d*sin(Alpha); pDC->MoveTo(ROUND(P0.x),ROUND(P0.y)); pDC->LineTo(ROUND(P1.x),ROUND(P1.y)); P0=P1; return; } Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); Alpha-=2*Theta; Koch(n-1); Alpha+=Theta; Koch(n-1); }