2018高三函数专的题目

思维数学第一讲一．选择题（共24小题）1．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A． B．C．1 D．2．数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．50503．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）4．某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP（＞0），练车时间为t，则函数θ=f （t）的图象大致为（）A．B．C．D．5．函数的大致图象为（）A．B．C．D．6．图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S=S（a）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则函数S（a）的图象大致为（）A．B．C．D．7．对任意的实数a，b，记若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g （x）的图象如图所示则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（﹣1）C．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2D．y=F（x）在（﹣3，0）上不是单调函数8．如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g （x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（）A．B．C．D．9．如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．10．设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为（）A．B．C．D．ln3﹣111．已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．12．下列四个函数图象，只有一个是符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（其中k1，k2，k3为正实数，b1，b2，b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3之间一定成立的关系是（）A．k1+k2=k3B．k1=k2=k3C．k1+k2＞k3D．k1+k2＜k313．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2 B．4 C．5 D．814．函数f（x）的图象如图所示，已知函数F（x）满足F′（x）=f（x），则F（x）的函数图象可能是（）A．B． C． D．15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′（x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是（）A．（B．C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）16．已知函数y=f（x）的导函数的图象如图甲所示，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．17．已知可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x）（如图），设F（x）=f（x）﹣g（x），则（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）的极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）的极值点18．如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数y=f（x）的部分图象，则f（x）可能是（）A．x2cosx B．xcosx C．xsinx D．x2sinx19．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（﹣4）=﹣1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，10）D．（﹣∞，﹣1）21．已知函数y=f（x）的图象如图，则函数在[0，π]上的大致图象为（）A．B．C．D．22．若函数的图象如图所示，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，）D．23．已知函数y=f（x）的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x）﹣f（x﹣a）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．24．函数y=的大致图象如图所示，则（）A．a∈（﹣1，0） B．a∈（0，1）C．a∈（﹣∞，1）D．a∈（1，+∞）二．填空题（共12小题）25．已知函数f（x）满足f（x）=2f（），且f（x）≠0，当x∈[1，3]，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是．26．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．27．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a x•g（x），．令，则使数列{a n}的前n项和S n超过的最小自然数n的值为．28．若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a 的取值范围．29．定义在R上的函数f（x）满足；f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为．30．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集是．31．设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f（）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．32．若函数f（x）=的图象关于点（3，0）对称，则实数a= ．33．已知函数f（x）=2x﹣a，g（x）=xe x，若对任意x1∈[0，1]存在x2∈[﹣1，1]，使f（x1）=g （x2）成立，则实数a的取值范围为．34．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则b= ．35．在△ABC中，∠A=，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|2=，则∠B= ．36．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A=θ，若+=2m，则m= ．（用θ表示）三．解答题（共3小题）37．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值．（3）证明不等式：（n∈N*）．38．已知函数（1）试判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）试证明：对∀n∈N*，不等式．39．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣2x（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为﹣4，求a的值；（Ⅱ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若过点（0，﹣）可作函数y=f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．2017年09月13日光头强的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）A． B．C．1 D．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|AB|的范围，进而可得答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选A．【点评】本题主要考查抛物线的应用和余弦定理的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．2．数列{a n}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1对任何的正整数n都成立，则的值为（）A．5032 B．5044 C．5048 D．5050【分析】a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1，①；a1a2+a2a3+…+a n a n+1+a n+1a n+2=（n+1）a1a n+2，②；①﹣②，得﹣a n+1a n+2=na1a n+1﹣（n+1）a1a n+2，，同理，得=4，整理，得，是等差数列．由此能求出．【解答】解：a1a2+a2a3+…+a n a n+1=na1a n+1，①a1a2+a2a3+…+a n a n+1+a n+1a n+2=（n+1）a1a n+2，②①﹣②，得﹣a n+1a n+2=na1a n+1﹣（n+1）a1a n+2，∴，同理，得=4，∴=，整理，得，∴是等差数列．∵a1=，a2=，∴等差数列的首项是，公差，．∴==5044．故选B．【点评】本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．3．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）【分析】根据题意，首先可得a n通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案．【解答】解：根据题意，a n=f（n）=；要使{a n}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．【点评】本题考查数列与函数的关系，{a n}是递增数列，必须结合f（x）的单调性进行解题，但要注意{a n}是递增数列与f（x）是增函数的区别与联系．4．某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随动点P变化的视角为θ=∠AOP（＞0），练车时间为t，则函数θ=f （t）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】题干错误：θ=∠AOP（＞0），应该去掉括号．根据视角θ=∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．【解答】解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ=∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选D．【点评】本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题．5．函数的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】观察题设中的函数表达式，应该以1为界来分段讨论去掉绝对值号，化简之后再分段研究其图象．【解答】解：由题设条件，当x≥1时，f（x）=﹣（x﹣）=当x＜1时，f（x）=﹣（﹣x）=﹣（﹣x）=x故f（x）=，故其图象应该为综上，应该选D【点评】本题考查绝对值函数图象的画法，一般要先去掉绝对值号转化成分段函数再分段做出图象．6．图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S=S（a）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则函数S（a）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先观察原图形面积增长的速度，然后根据增长的速度在图形上反映出切线的斜率进行判定即可．【解答】解：根据图象可知在[0，1]上面积增长的速度变慢，在图形上反映出切线的斜率在变小；在[1，2]上面积增长速度恒定，在[2，3]上面积增长速度恒定，而在[1，2]上面积增长速度大于在[2，3]上面积增长速度，故选：C【点评】本题主要考查了函数的图象，同时考查了识图能力以及分析问题和解决问题的能力，属于基础题．7．对任意的实数a，b，记若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g （x）的图象如图所示则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（﹣1）C．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2D．y=F（x）在（﹣3，0）上不是单调函数【分析】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．【解答】解：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R，f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）；故B不正确y=F（x）的没有最小值和最大值为，故C不正确y=F（x）在（﹣3，0）上不为单调函数；故D正确故选D．【点评】本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决．本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题．8．如图，函数y=f（x）的图象为折线ABC，设g （x）=f[f（x）]，则函数y=g（x）的图象为（）A．B．C．D．【分析】函数y=f（x）的图象为折线ABC，其为偶函数，所研究x≥0时g（x）的图象即可，首先根据图象求出x≥0时f（x）的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出g（x）的解析式再进行判断；【解答】解：如图：函数y=f（x）的图象为折线ABC，函数f（x）为偶函数，我们可以研究x≥0的情况即可，若x≥0，可得B（0，1），C（1，﹣1），这直线BC的方程为：l BC：y=﹣2x+1，x∈[0，1]，其中﹣1≤f（x）≤1；若x＜0，可得lAB：y=2x+1，∴f（x）=，我们讨论x≥0的情况：如果0≤x≤，解得0≤f（x）≤1，此时g（x）=f[f（x）]=﹣2（﹣2x+1）+1=4x﹣1；若＜x≤1，解得﹣1≤f（x）＜0，此时g（x）=f[f（x）]=2（﹣2x+1）+1=﹣4x+3；∴x∈[0，1]时，g（x）=；故选A；【点评】此题主要考查分段函数的定义域和值域以及复合函数的解析式求法，是一道好题；9．如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．【分析】先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论．【解答】解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2∵x1，x2是原函数的极值点所以有x1+x2=，，故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==．故选D．【点评】本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题．10．设动直线x=m与函数f（x）=x3，g（x）=lnx的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为（）A．B．C．D．ln3﹣1【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），求出导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，令导函数小于0求出函数的单调递减区间，求出函数的极小值即最小值．【解答】解：画图可以看到|MN|就是两条曲线间的垂直距离．设F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣lnx，求导得：F'（x）=．令F′（x）＞0得x＞；令F′（x）＜0得0＜x＜，所以当x=时，F（x）有最小值为F（）=+ln3=（1+ln3），故选A【点评】求函数的最值时，先利用导数求出函数的极值和区间的端点值，比较在它们中求出最值．11．已知函数f（x）=4﹣x2，g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log2x，则函数y=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】由已知中函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，我们易判断出函数在区间（0，+∞）上的形状，再根据函数奇偶性的性质，我们根据“奇×偶=奇”，可以判断出函数y=f（x）•g（x）的奇偶性，进而根据奇函数图象的特点得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=4﹣x2，是定义在R上偶函数g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，故函数y=f（x）•g（x）为奇函数，共图象关于原点对称，故A，C不正确又∵函数f（x）=4﹣x2，当x＞0时，g（x）=log2x，故当0＜x＜1时，y=f（x）•g（x）＜0；当1＜x＜2时，y=f（x）•g（x）＞0；当x＞2时，y=f（x）•g（x）＜0；故D不正确故选B【点评】本题考查的知识点是函数的图象和函数奇偶性质的性质，在判断函数的图象时，分析函数的单调性，奇偶性，特殊点是最常用的方法．12．下列四个函数图象，只有一个是符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（其中k1，k2，k3为正实数，b1，b2，b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3之间一定成立的关系是（）A．k1+k2=k3B．k1=k2=k3C．k1+k2＞k3D．k1+k2＜k3【分析】由于k1，k2，k3为正实数，考虑当x足够小时和当x足够大时的情形去掉绝对值符号，转化为关于x的一次函数，通过观察直线的斜率特征即可进行判断．【解答】解：当x足够小时y=﹣（k1+k2﹣k3）x﹣（b1+b2﹣b3）当x足够大时y=（k1+k2﹣k3）x+（b1+b2﹣b3）可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有③符合条件．此时k1+k2﹣k3=0．故选A．【点评】本小题主要考查函数图象的应用、直线的斜率等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想、极限思想．属于基础题．13．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（）A．2 B．4 C．5 D．8【分析】根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解．【解答】解：由图可知[﹣2，0）上f′（x）＜0，∴函数f（x）在[﹣2，0）上单调递减，（0，4]上f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，4]上单调递增，故在[﹣2，4]上，f（x）的最大值为f（4）=f（﹣2）=1，∴f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）⇒表示的平面区域如图所示：故选B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题．解决时要注意数形结合思想应用．14．函数f（x）的图象如图所示，已知函数F（x）满足F′（x）=f（x），则F（x）的函数图象可能是（）A．B． C． D．【分析】先根据导函数f'（x）的图象得到f'（x）的取值范围，从而得到原函数的斜率的取值范围，从而得到正确选项．【解答】解：由图可得﹣1＜f'（x）＜1，即F（x）图象上每一点切线的斜率k∈（﹣1，1）且在R上切线的斜率的变化先慢后快又变慢，结合选项可知选项B符合故选B．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，同时考查了识图能力，属于基础题．15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′（x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是（）A．（B．C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用线性规划的方法得到答案．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＜0，原函数单调递减，∵两正数a，b满足f（2a+b）＞1，且f（2）=1，∴2a+b＜2，a＞0，b＞0，画出可行域如图．k=表示点Q（2，1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（1，0）时，k最大，最大值为：；当P点在B（0，2）时，k最小，最小值为：．k的取值范围是（﹣，1）．故选A．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．16．已知函数y=f（x）的导函数的图象如图甲所示，则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先根据导函数的正负与原函数的单调性之间的关系结合导函数的图象判断出函数f（x）的单调性是先增后减，然后观察选项ABCD满足条件的只有D，得到答案．【解答】解：根据函数y=f（x）的导函数的图象可知导函数是先正后负∴原函数y=f（x）应该是先增后减的过程根据选项中的函数f（x）的单调性知选D故选D．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的增减性的关系﹣﹣导函数小于0时原函数单调递减，导函数大于0时原函数单调递增．17．已知可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x）（如图），设F（x）=f（x）﹣g（x），则（）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）的极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）的极值点【分析】由F（x）=f（x）﹣g（x）在x0处先减后增，得到F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点．【解答】解：∵可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x），∴F（x）=f（x）﹣g（x）在x0处先减后增，∴F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点．故选B．【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数y=f（x）的部分图象，则f（x）可能是（）A．x2cosx B．xcosx C．xsinx D．x2sinx【分析】由函数的图象可知y=f（x）为偶函数，可排除B，D，y=f（x）不经过（2π，4π2），可排除A，从而可得答案．【解答】解：由函数的图象可知y=f（x）为偶函数，对于B，f（x）=xcosx为奇函数，可排除B；同理，D中f（x）=x2sinx为奇函数，可排除D；对于A，f（x）=x2cosx虽然为偶函数，但其曲线上的点（2π，4π2）在直线y=x的右上方，即不在图中的函数曲线上，故可排除A．故选C．【点评】本体考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性的应用，突出排除法的应用，属于中档题．19．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．【分析】由图象知f（x）=0的根为0，1，2，求出函数解析式，x1，x2为导函数的两根，可结合根与系数求解．【解答】解：由图象知f（x）=0的根为0，1，2，∴d=0．∴f（x）=x3+bx2+cx=x（x2+bx+c）=0．∴x2+bx+c=0的两个根为1和2．∴b=﹣3，c=2．∴f（x）=x3﹣3x2+2x．∴f′（x）=3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2=0的两根，∴．∴．【点评】本题考查了识图能力，以及极值与导数的关系20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（﹣4）=﹣1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（）A．B．C．（﹣1，10）D．（﹣∞，﹣1）【分析】先由导函数f′（x）是过原点的二次函数入手，再结合f（x）是定义域为R的奇函数求出f （x）；然后根据a、b的约束条件画出可行域，最后利用的几何意义解决问题．【解答】解：由f（x）的导函数f′（x）的图象，设f′（x）=mx2，则f（x）=+n．∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，即n=0．又f（﹣4）=m×（﹣64）=﹣1，∴f（x）=x3=．且f（a+2b）=＜1，∴＜1，即a+2b＜4．又a＞0，b＞0，则画出点（b，a）的可行域如下图所示．而可视为可行域内的点（b，a）与点M（﹣2，﹣2）连线的斜率．又因为k AM=3，k BM=，所以＜＜3．故选B．【点评】数形结合是数学的基本思想方法：遇到二元一次不定式组要考虑线性规划，遇到的代数式要考虑点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．这都是由数到形的转化策略．21．已知函数y=f（x）的图象如图，则函数在[0，π]上的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】先依据f（x）的图象特点，对区间[0，π]上的自变量x进行分类讨论：①当0≤x≤时；②当≤x≤π时．研究函数在[0，π]上的函数值的符号，从而即可选出答案．【解答】解：当0≤x≤时，，则函数的值为正；排除B，D；当≤x≤π时，，则函数的值为负；排除C；故选A．【点评】华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．22．若函数的图象如图所示，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，）D．【分析】结合函数的图象并利用导函数的性质得a＞0，再结合图象在第一象限内的性质得出1﹣2a ＞0，即可解答．【解答】解：∵函数，∴f′（x）=，令f′（x）=0得：x2=a由图可知，函数f（x）有两个极值点，故方程：x2=a有实数解，∴a＞0．又从图象中得出，当x＞0时，y＞0，∴1﹣2a＞0，∴a＜故a∈（0，）．故选C．【点评】本题考查了函数的图象、函数的极值与导数的联系，函数值与对应自变量取值范围的关系，解答关键是需要形数结合解题．23．已知函数y=f（x）的定义域是R，若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x）﹣f（x﹣a）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用g（x）是增函数⇒导数大于0⇒f（x）的导数是增函数⇒f（x）是凹函数即可得到答案．【解答】解：由于g（x）是增函数，所以它的导数大于0，也就是说f（x）的导数是增函数，所以f（x）的二阶导大于0，所以f（x）是凹函数，故选A．【点评】本题主要考查导数的定义以及函数的单调性与导函数之间的关系．这是一道考查导数定义的好题．24．函数y=的大致图象如图所示，则（）A．a∈（﹣1，0） B．a∈（0，1）C．a∈（﹣∞，1）D．a∈（1，+∞）【分析】考查x＞0时函数的图象特点，结合基本不等式得出关于a的不等关系求解即可．【解答】解：当x=0时，y=0，故a≠0，当x＞0 时，y==≤当且仅当x=时取等号，由图知，当x＞0时，函数取得最大值时相应的x的值小于1，∴0＜＜1，∴0＜a＜1，故选：B．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．二．填空题（共12小题）25．已知函数f（x）满足f（x）=2f（），且f（x）≠0，当x∈[1，3]，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是≤a＜．【分析】可以根据函数f（x）满足f（x）=2f（），求出x在[，1]上的解析式，已知在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围．【解答】解：在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x＞0）g′（x）=﹣a=，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时g（x）必须在[1，3]上有两个交点，∴，解得，≤a＜①设＜x＜1，可得1＜＜3，∴f（x）=2f（）=2ln ，此时g（x）=﹣2lnx﹣ax，g′（x）=﹣，若g′（x）＞0，可得x＜﹣＜0，g（x）为增函数若g′（x）＜0，可得x＞﹣，g（x）为减函数，在[，1]上有一个交点，则，解得0＜a≤6ln3②综上①②可得≤a＜；②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx﹣ax＞0，没有零点，不满足在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，③a=0，显然只有一解，舍去综上：≤a＜．故答案为：≤a＜．【点评】此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，难度比较大，需要排除a＜0时的情况，注意解方程的计算量比较大，注意学会如何分类讨论．26．设点P在曲线y=e x上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为．【分析】由于函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=，设g（x）=e x﹣x，求出g（x）min=1﹣ln2，即可得出结论．【解答】解：∵函数y=e x与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称函数y=e x上的点P（x，e x）到直线y=x的距离为d=设g（x）=e x﹣x，（x＞0）则g′（x）=e x﹣1由g′（x）=e x﹣1≥0可得x≥ln2，由g′（x）=e x﹣1＜0可得0＜x＜ln2∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，d min=由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2d min=．故答案为：．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好．27．已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a x•g（x），．令，则使数列{a n}的前n项和S n超过的最小自然数n的值为 5 ．【分析】分别令x等于1和x等于﹣1代入①得到两个关系式，把两个关系式代入②得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知=a x是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列{a n}的通项公式，进而求得其前n项和S n，解不等式S n≤，即可求得结果．【解答】解：令x=1，得到f（1）=a•g（1）；令x=﹣1，f（﹣1）=•g（﹣1）．代入可得a+=，化简得2a2﹣5a+2=0，即（2a﹣1）（a﹣2）=0，解得a=2或a=．∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），∴′＜0，从而可得=a x是减函数，故a=．∴=，S n==1﹣．再由1﹣＞解得n＞4，故n的最小值为5，故答案为5．【点评】题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，利用导数研究函数的单调性，等比数列求和等知识，综合性强，根据已知求出=a x的单调性是解题的关键，考查运算能力和应用知识分析解决问题的能力，属中档题．28．若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a 的取值范围．【分析】求f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x﹣•=；从而可得∈（a﹣1，a+1）；从而求得．【解答】解：f（x）=x2﹣lnx+1的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣•=；∵函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，∴f′（x）=2x﹣•=在区间（a﹣1，a+1）上有零点，而f′（x）=2x﹣•=的零点为；故∈（a﹣1，a+1）；故a﹣1＜＜a+1；解得，＜a＜；又∵a﹣1≥0，∴a≥1；故答案为：．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点的应用，属于中档题．29．定义在R上的函数f（x）满足；f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故答案为：（0，+∞）．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．30．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集是（﹣2018，﹣2015）．【分析】根据题意，构造函数g（x）=x3f（x），x∈（﹣∞，0），利用导数判断g（x）的单调性，再把不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0化为g（x+2015）＞g（﹣3），利用单调性求出不等式的解集．【解答】解：根据题意，令g（x）=x3f（x），其导函数为g′（x）=3x2f（x）+x3f′（x）=x2[3f（x）+xf′（x）]，∵x∈（﹣∞，0）时，3f（x）+xf′（x）＞0，∴g（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增；又不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0可化为（x+2015）3f（x+2015）＞（﹣3）3f（﹣3），即g（x+2015）＞g（﹣3），∴0＞x+2015＞﹣3；解得﹣2015＞x＞﹣2018，∴该不等式的解集是为（﹣2018，﹣2015）．故答案为：（﹣2018，﹣2015）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题，是综合性题目．31．设奇函数f（x）定义在（﹣π，0）∪（0，π）上，其导函数为f′（x），且f（）=0，当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为（﹣，0）∪（，π）．【分析】设g（x）=，利用导数判断出g（x）单调性，根据函数的单调性求出不等式的解集．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，故g（﹣x）===g（x）∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π）上单调递减，∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．∵f（）=0，∴g（）==0，∵f（x）＜2f（）sinx，即g（）•sinx＞f（x）；①当sinx＞0时，即x∈（0，π），g（）＞=g（x）；所以x∈（，π）；②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（）=g（﹣）＜=g（x）；所以x∈（﹣，0）；不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为解集为（﹣，0）∪（，π）．故答案为：（﹣，0）∪（，π）【点评】求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之32．若函数f（x）=的图象关于点（3，0）对称，则实数a= 2 ．【分析】函数f（x）=的图象由反比例函数y=的图象右移a+1个单位得到，故关于点（a+1，0）对称，进而得到答案．【解答】解：函数f（x）=的图象关于点（a+1，0）对称，即a+1=3，解得：a=2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握反比例型函数的图象和性质，是解答的关键．33．已知函数f（x）=2x﹣a，g（x）=xe x，若对任意x1∈[0，1]存在x2∈[﹣1，1]，使f（x1）=g （x2）成立，则实数a的取值范围为[2﹣e，] ．【分析】问题转化为函数f（x）的值域是g（x）值域的子集，分别求出f（x）和g（x）的值域，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：若对任意x1∈[0，1]存在x2∈[﹣1，1]，使f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）的值域是g（x）值域的子集，x∈[0，1]时，f（x）的值域是：[﹣a，2﹣a]，对于g（x）=xe x，x∈[﹣1，1]，g′（x）=e x（x+1）≥0，g（x）在[﹣1，1]递增，g（x）的值域是[﹣e﹣1，e]，∴，解得：2﹣e≤a≤，故答案为：[2﹣e，]．【点评】本题考查子集的概念，考查一次函数的单调性，考查导数的应用，是一道中档题．34．若函数f（x）=的部分图象如图所示，则b= ﹣4 ．【分析】由题意可得函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点为（1，0）、（3，0），a＞0，它的最小值为=﹣1，再利用韦达定理求得b的值．【解答】解：由函数f（x）=的部分图象，可得函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点为（1，0）、（3，0），a＞0，。