《推理与证明》变式题

CAS《推理与证明》变式题2．人教A 版选修2-2第83页例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想． 变式1：直角三角形与直角四面体的性质类比以上结论的证明如下：（1）由题设SA ，SB ，SC 两两垂直，则三角形SBC 为直角三角形，则斜边BC 边上的高SD 在三角形SBC 内，即点D 在BC 上， 连结AD ，则BC ⊥平面SAD ，则平面ABC ⊥平面ASD ，过点S 在平面内直角三角形的性质空间中直角四面体的性质DCBA在ΔABC 中，∠BCA =900，点C 在AB 上的射影为D ，则有下列结论:(1) 点D 在线段AB 上．(2) AB >AC,AB >BC , 即直角三角形三边中斜边最长. (3) 射影定理: AC 2=ADAB ,CB 2=DBAB, CD 2=ADDB(4) 222111CD AC CB=+ o CBAS在四面体S ABC 中，三个平面SAB 、平面SBC 、平面SAC 两两垂直，点S 在底面上的射影为O,则有类似结论:(1) 点O 在ΔABC 内．(2) ΔABC ，ΔABS ，ΔSBC ，ΔASC 中，ΔABC 的面积最大；(3) 2SAB OAB ABC S S S ∆∆∆=2SAC OAC ABC S S S ∆∆∆= 2SBC OBC ABC S S S ∆∆∆=(4)22221111SO SA SB SC=++面SAD 内作SO ⊥AD 于O ，则SO ⊥平面ABC ，即点S 在平面ABC 的射影为O ；由于三角形SAD 为直角三角形，则斜边AD 上的高的垂足O 在线段AD 上，即O 在三角形ABC 内． （2）由于12SBC S BC SD ∆=⋅，12ABC S BC AD ∆=⋅， ∵SAD 为直角三角形，则斜边AD SD >，故ABC SBC S S ∆∆>； 同理可证：ABC SBA S S ∆∆>，ABC SAC S S ∆∆>． （3）22214SBC S BC SD ∆=⋅，而在直角三角形ASD 中，2SD AD DO =⋅， ∴222211114422SBCS BC SD BC AD DO BC AD BC DO ∆=⋅=⋅⋅=⋅⋅⨯⋅， 因此 2SBC OBC ABC S S S ∆∆∆=．，同理可证2SAC OAC ABC S S S ∆∆∆=，2SAB OAB ABC S S S ∆∆∆=． （4）在直角三角形SAD 中，由于SO ⊥AD 于O ，则222111SO SA SD =+， 在直角三角形SBC 中，由于SD ⊥BC 于D ，则222111SD SB SC=+， 因此22221111SO SA SB SC =++． 变式2：平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比三角形四面体三角形两边之和大于第三边.四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心.四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心．三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半.四面体任意三条棱的中点连成的三角形的面积等于第四个面面积的14,且该三角形所在平面平行于第四个面.三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分.四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分．三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一条中线被该点分成的两段的比为2：1.将四面体的每一个顶点和对面的重心相连接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是3：1在ΔABC 中，A ∠的平分线交BC 于D ，则在四面体ABCD 中，二面角C-AB-D 的平分面交GBB 1FE DC 1A 1C A以上性质，限于篇幅，不再一一证明．变式3：平面内三角形与空间中的三棱柱性质类比三角形三棱柱三角形的三个内角之和为180三棱柱的任意两个侧面所成的三个二面角之和为180．三角形中任意两个两边之和大于第三边 三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积三角形中较大的边所对的角较大；反之，较大的角所对的边也较大．三棱柱中面积较大的侧面所对的二面角较大；反之，较大的二面角所对的侧面的面积也较大．三角形中位线定理：三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半．经过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱A 1C 1、B 1C 1、BC 中点D 、E 、F 的平面与侧面A 1B 1BA 平行，且该平面被三棱柱ABC -A 1B 1C 1所截得的四边形DEFG 的面积是侧面A 1B 1BA 面积的12．AB BDAC DC=； 棱CD 于点E ，则，BCE ABCBDE ABDS S S S ∆∆∆∆=； 在ΔABC 中，a b csin A sin B sinC==（正弦定理） 在四面体ABCD 中，棱AB 与面ACD 、BCD 的夹角分别α，β，则BCD ACDS S sin sin αβ∆∆=设ΔABC 的三边长分别为a 、b 、c ，ΔABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则 （1）2Sr a b c=++（2）2R r ≥四面体S —ABCD 的四个侧面的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，则（1）12343Vr S S S S =+++（2）3R r ≥A C1三角形内角平分线定理：在ΔABC中，A∠的平分线交BC于D，则AB BDAC DC=．在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面BB1GH平分面角A—BB1—C1，则111111A AHG A ABBGHCC B BCCS SS S=四边形四边形四边形四边形正弦定理：在ΔABC中，有a b csin A sin B sinC==如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，二面角B—AA1—C、C—BB1—A、B—CC1—A所成的二面角分别为α、β、γ，则有111111BB C C AA C C BB C CS S Ssin sin sinαβγ==NMPC1B1A1CBA余弦定理：在ΔABC中，有2222b ac accos B=+-2222a b c bccos A=+-2222c a b abcosC=+-在三棱柱ABC—A1B1C1中，二面角B—AA1—C、C—BB1—A、B—CC1—A所成的二面角分别为α、β、γ，则11111111112222BB C C AAC C AA B B AAC C AA B BS S S S S cosα=+-11111111112222AAC C BB C C AA B B BB C C AA B BS S S S S cosβ=+-BB 1FEDC 1A 1CA图411111111112222BB A A AAC C CC B B AAC CCC B BS S S S Scos γ=+-三角形的面积为12a S ah =在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，棱CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为h ，则三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为1112A ABB V S h =侧面．以上性质证明的关键是构造直截面（与侧棱垂直的截面），转化为平面问题，以正弦定理的拓广为例，其余的类似证明．（6）如图4，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，二面角B —AA 1—C 、 C —BB 1—A 、B —CC 1—A 所成的二面角分别为α、β、γ，则111111BB C CAA C CBB C CSSSsin sin sin αβγ==；证明：作平面DEF 与三棱柱ABC -A 1B 1C 1侧棱垂直，分别交侧棱AA 1，BB 1 ，CC 1于点D ，E ，F ，则EDF ∠=α，DEF β∠=，DFE γ∠=，在∆DEF 中，根据正弦定理得EF DF DEsin sin sin αβγ==，即111EF AA DF AA DE AA sin sin sin αβγ⋅⋅⋅==而111AA BB CC ==，且111AA BB CC ==，因此111111BB C CAA C CBB C CSSSsin sin sin αβγ==．一、合情推理1．人教A 版选修2-2第79页例1：已知数列{}n a 的第1项11a =，且11nn na a a +=+(1,2,)n =，试归纳出这个数列的通项公式．变式1：已知数列{}n a 的第1项11a =，且112nn na a a +=+(1,2,)n =，试归纳出这个数列的通项公式．解：213a =，315a =，…，一般地有121n a n =-； 本题也可以直接求出通项公式． 由112n n na a a +=+得，112112n n n n a a a a ++==+，即1112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公差为2的等差数列，则1112(1)n n a a =+-，而11a =，则121n a n =-． 理科学生还可以先归纳，提出猜想，然后用数学归纳法证明． 变式2：已知数列{}n a 的第1项11a =，且122nn na a a +=+(1,2,)n =，试归纳出这个数列的通项公式．解：223a =，324a =，…，一般地有21n a n =+；本题也可以直接求出通项公式． 由122n n n a a a +=+得，1211122n n n n a a a a ++==+，即11112n n a a +-=，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公差为12的等差数列，则1111(1)2n n a a =+-⨯，而11a =，则21n a n =+． 由变式（1）、变式（2）你能总结出什么规律？ 对满足1nn n aa a b ca +=+(0)abc ≠型的数列{}n a ，当a b =时采取取倒数的方法即可得出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出数列{}n a 的通项． 变式3：（2005年高考湖南卷）已知数列{}n a 的第1项10a =，且1n a +=(1,2,)n =，则20a =A ．0 B． C． D．2解法1：由于1n a +=，10a =，则2a =，3a 40a =，由此归纳出数列{}n a 是以3为周期的数列，则206322a a a ⨯+===B ． 解法2：1n a +=，令tan n n a α=，则1tan tan()3n n παα+=-，则13n n k πααπ+=-+，即13n n k πααπ+-=-，20119()3k πααπ=+-，而10α=，则2021973k παππ=-+，2020tan a α== 变式4：（2007年广州市高考二模）已知数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的值为 ， 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 ．【思路1】分别求出23a =-、312a =-、413a =、52a =，可以发现51a a =，且12341a a a a ⋅⋅⋅=，故1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅2005200620071233a a a a a a =⋅⋅=⋅⋅=．【思路2】由111n n n a a a ++=-，联想到两角和的正切公式，设12tan a θ==，则有2tan 4a πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3tan 2a πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，43tan 4a πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()51tan a a πθ=+=，……．则12341a a a a ⋅⋅⋅=，故1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅2005200620071233a a a a a a =⋅⋅=⋅⋅=．从以上变式3到变式5，你能受到什么启发呢？结构与两角和或差正切公式相似，这样的数列一定是周期数列．二、直接证明与间接证明1．人教A 版选修2-2第96页例1 在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，且A ，B ，C 成等差数列，,,a b c 成等比数列，求证ΔABC 为等边三角形．变式1：在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，且A ，B ，C 成等差数列，,,a b c 也成等差数列，求证ΔABC 为等边三角形． 证明：由A ，B ，C 成等差数列知，3B π=，由余弦定理知222b ac ac =+-，又,,a b c 也成等差数列，∴2a c b +=，代入上式得222()4a c a c ac +=+-，整理得23()0a c -=，∴a c =，从而A C =，而3B π=，则3A B C π===，从而ΔABC 为等边三角形．变式2：在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，且co s ,c o s ,c o s A B C 成等比数列，,,a b c成等差数列，求证ΔABC 为等边三角形． 证明：由于cos ,cos ,cos A B C成等比数列，则2cos cos cos B A C=，即22c o sc o s ()c o s ()B A C A C =++- ∴22cos cos cos()B B A C =-+-（1）又,,a b c 成等差数列，则2sin sin sin B A C =+ 则4sin cos 2sin cos 2222B B AC A C+-=， 由于c o s s i n 022B AC +=≠，∴2s i n c o22BA C -=，即22cos()2cos 18sin 134cos 22A C BA CB --=-=-=- （2） 将（2）式代入（1）式得：22cos 5cos 30B B +-=， ∴1cos 2B =或cos 3B =-（舍去），而0B π<<，∴3B π= （3） 将（3）代入（1）得：cos()1A C -=，由于A C ππ-<-<，∴A C =， 因此3A B C π===，从而ΔABC 为等边三角形．变式3：在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，且c o s ,c o s ,c o s A B C 成等比数列，,,a b c成等比数列，求证ΔABC 为等边三角形． 证明：由于cos ,cos ,cos A B C成等比数列，则2cos cos cos B A C=，即22c o sc o s ()c o s ()B A C A C =++- ∴22cos cos cos()B B A C =-+- （1）又,,a b c 成等比数列，则2sin sin sin B A C =，∴22sin s()cos B co A C B =-+， 即2s()2sin cos co A C B B -=- （2）将（2）代入（1）得：22cos cos 10B B +-=，∴1cos 2B =或cos 1B =-（舍去） 而0B π<<，∴3B π=（3）将（3）代入（1）得：cos()1A C -=，由于A C ππ-<-<，∴A C =，因此3A B C π===，从而ΔABC 为等边三角形．变式4：在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，且co s ,c o s ,c o s A B C 成等差数列，,,a b c成等差数列，求证ΔABC 为等边三角形．证明：由于cos ,cos ,cos A B C 成等差数列，则2cos cos cos B A C =+=2coscos 22A C A C+-∴cos cos2sin 2A C BB -=（1） 又,,a b c 成等差数列，则2sin sin sin B A C =+，∴4sin cos 2sin cos 2222B B AC A C +-=， 由于cossin 022B A C +=≠，∴2sin cos 22B A C-= （2） 将（1）代入（2）得2cos 2sin1cos 2B B B ==-，∴1cos 2B =，而0B π<<，∴3B π= （3）将（3）代入（2）得：cos 12AC -=，由于222A C ππ--<<，∴02A C-=， 因此3A B C π===，从而ΔABC 为等边三角形．变式5： 在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，且c o s ,c o s ,c o s A B C 成等差数列，,,a b c成等比数列，求证ΔABC 为等边三角形．证明：由于cos ,cos ,cos A B C 成等差数列，则2cos cos cos B A C =+=2coscos 22A C A C+- ∴cos cos 2sin2A CB B -=，则2222cos s()2cos 112sin 2A C B co A C B --=-=- （1） 又,,a b c 成等比数列，则2sin sin sin B A C =，∴22sin s()cos B co A C B =-+， 即2s()2sin cos co A C B B -=- （2）将(1)代入(2)整理得:235cos 4cos 32cos B B B +-= 即2324cos 4cos 32cos cos B B B B +-=-，分解因式得(2cos 1)(cos 3)(cos 1)0B B B --+=，∴1cos 2B =或cos 1B =-（舍去）或cos 3B =（舍去） 而0B π<<，∴3B π=（3）将（3）代入（2）得：cos()1A C -=，由于A C ππ-<-<，∴A C =，因此3A B C π===，从而ΔABC 为等边三角形．2．人教A 版选修2-2第101页例5：变式1：,m nm n=，从而m =，即223m n =， 所以m 为3的倍数，于是可设*3()m k k N =∈，因此，2293k n =，即223n k =，所以n 也为3的倍数，这与,m n变式2：若p,m nmn=，则 22(21)m p n =+，∴2222m n pn -=，∴2()()2m n m n pn -+=，∴()()m n m n -+为偶数，由于()()2m n m n m -++=为偶数，说明，m n -与m n +同为偶数或同为奇数，由于它们的积为偶数，则m n -与m n +同为偶数，设2m n k -=，2m n t +=*(,)k t N ∈，从而有2222r t pn ⋅=即22pn rt =，∴2n 为偶数，∴n 为偶数，则m 也为偶数，这与,m n 互质矛盾，由此可知假设是错误的，三、数学归纳法人教A 版选修2-2第106页例1：用数学归纳法证明 222(1)(21)126n n n n +++++=．变式1：是否存在常数,,a b c ，使得2223212n an bn cn +++=++对一切正整数n 都成立？并证明你的结论．解：假设存在常数,,a b c 使等式成立，令1,2,3n =得：22211284123279a b c a b c a b c=++⎧⎪+=++⎨⎪++=++⎩解之得131216a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，下面用数学归纳法证明：222(1)(21)126n n n n +++++=对一切正整数n 都成立．（略）变式2：已知*111123n a n N n=++++∈，是否存在n 的整式()g n ，使得等式121()(1)n n a a a g n a -+++=-对于大于1的一切正整数n 都成立？并证明你的结论．解：假设()g n 存在，令2n =，求得(2)2g =，令3n =，求得(3)3g =，令4n =，求得(4)4g =， 由此猜想：()g n n =，下面用数学归纳法证明：121(1)n n a a a n a -+++=-对一切大于1的正整数n 都成立．（略）。