均值不等式的应用习题答案

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均值不等式的应用

计才能使围成的矩形牧场面积最大？
1．利用均值不等式求最值时，必须同时满足三个条件：一_正_______二、定________、三__相_等_______.
2．连续两次使用不等式变形时要保持前后等号成立___条__件___的一致性．
1．由基本不等式a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋) 可以推导出： (1)ab≤(a＋2 b)2，(a、b∈R＋)． (2)反向不等式：a＋b≤ 2a2＋b2(a、b∈R＋)．你会证明吗？ (1)由基本不等式两边平方即得． (2)将 a2＋b2≥2ab，两边同加上 a2＋b2 得 2(a2＋b2)≥(a＋b)2 开方即得．
由①②知，k＝－1 为符合题意的实数．
[点评] 若f(x)的最大值为M，最小值为m，则k≥f(x) 恒成立，⇔k≥M；k≤f(x)恒成立，⇔k≤m；k>f(x) 有解⇔k>m；k<f(x)有解⇔k<M.
又 a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2 ab.
∴ ab≤12， 1ab≥2，－ ab≥－12.
∴
1－ ab
ab≥32.
∴(
1－ ab
ab)2≥94.
∴(a＋1a)(b＋1b)≥94＋2＋2＝245.
当且仅当 a＝b＝12时，式中等号成立．
(2009·湖北高考)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙总费用为y(单位：元).ຫໍສະໝຸດ 小值为( )A． 2
B．2
C．2 2

高中数学2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用人教B版必修第一册

第2课时均值不等式的应用[A 基础达标]1．设a >0，b >0，则下列不等式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B.2aba ＋b≥ab C.a 2＋b 2ab≥a ＋bD ．(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4解析：选B.因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab，即a ＝b ＝22时取等号，故A 成立．因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2aba ＋b≥ab 不一定成立，故B 不成立．因为2ab a ＋b ≤2ab2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， a 2＋b 2a ＋b ＝（a ＋b ）2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2aba ＋b ≥2ab －ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b≥ab ，所以a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故C 一定成立．因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，故D 一定成立，故选B.2．若0<a <b ，a ＋b ＝1，则a ，12，2ab 中最大的数为( )A ．aB ．2ab C.12D ．无法确定解析：选C.因为0<a <b ，a ＋b ＝1，所以a <12，因为ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以2ab <12，则a ，12，2ab 中最大的数为12，故选C.3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：选B.设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.4．已知a <b ，则b －a ＋1b －a＋b －a 的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．4D ．1解析：选A.因为a <b ，所以b －a >0，由均值不等式可得b －a ＋1b －a ＋b －a ＝1＋1b －a ＋(b －a )≥1＋21b －a·（b －a ）＝3，当且仅当1b －a ＝b －a (b >a )，即当b －a ＝1时，等号成立，因此，b －a ＋1b －a＋b －a 的最小值为3，故选A.5．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a，即a＝b ＝18时等号成立，所以9m ≤54，即m ≤6，故选C.6．已知y ＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．解析：y ＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立，此时y 取得最小值4a .又由已知x ＝3时，y min ＝4a ，所以a2＝3，即a ＝36.答案：36 7．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________．解析：因为a ＜1，即1－a >0，所以－⎝⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a≥2 （1－a ）·11－a＝2.当且仅当1－a ＝11－a ，即a ＝0时取等号．所以a －1＋1a －1≤－2，即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 8．(2019·扬州期末)如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为________(单位：cm 2)．解析：如图所示，连接OC ，设|OB |＝x (0<x <4)，则|BC |＝|OC |2－|OB |2＝16－x 2，|AB |＝2|OB |＝2x ，所以，由均值不等式可得，矩形ABCD 的面积为S ＝|AB |·|BC |＝2x ·16－x 2＝2（16－x 2）x 2≤(16－x 2)＋x 2＝16，当且仅当16－x 2＝x 2时，即当x ＝22时，等号成立，答案：169．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8. 证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以y x ＋z x≥2yz x＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0， x z ＋y z ≥2xy z＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．10．已知a ＞b ＞c 且2a －b ＋1b －c ≥ma －c恒成立，求实数m 的最大值．解：由题意，a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，又2a －b ＋1b －c ≥m a －c ，即2（a －c ）a －b ＋a －c b －c ≥m ，即2（a －b ＋b －c ）a －b ＋a －b ＋b －cb －c≥m ，因为2＋2（b －c ）a －b ＋1＋a －bb －c ≥3＋22(当且仅当a －b ＝2(b －c )时取等号)，所以m ≤3＋22，所以实数m 的最大值为3＋2 2.[B 能力提升]11．若实数x >0，y >0，且x ＋4y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C.根据题意，实数x >0，y >0，若x ＋4y ＝xy ，则1y ＋4x＝1，x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋4x ＝x y ＋4yx＋5≥2x y ×4yx＋5＝9，当且仅当x ＝2y ，即x ＝6，y ＝3时等号成立，即x ＋y 的最小值为9，故选C.12．已知a ＞0，b ＞0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7解析：选B.因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ≥m 2a ＋b ⇔2（2a ＋b ）a ＋2a ＋b b ＝5＋2b a ＋2a b ≥m ，由a ＞0，b ＞0得，2b a ＋2a b≥22b a ·2ab＝4(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．所以5＋2b a ＋2ab≥9，所以m ≤9.故选B.13．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，求1a ＋1＋1b ＋3的最小值．解：因为a ＋b ＝4，所以(a ＋1)＋(b ＋3)＝8，所以，8⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3＋2≥2b ＋3a ＋1·a ＋1b ＋3＋2＝4，所以1a ＋1＋1b ＋3≥12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时，等号成立，所以1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12. 14．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x 6yz ＋2y 3zx ＋3z 2xy ≥1x ＋12y ＋13z.证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以x 6yz ＋2y 3zx ＝13z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y ＋2y x ≥23z，当且仅当x ＝2y 时等号成立，同理可得2y 3zx ＋3z 2xy ≥2x ，当且仅当2y ＝3z 时等号成立，3z 2xy ＋x 6yz ≥1y，当且仅当x ＝3z 时等号成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x 6yz ＋2y 3zx ＋3z 2xy ≥1x ＋12y ＋13z，当且仅当x ＝2y ＝3z 时等号成立． [C 拓展探究]15．如图，为加强社区绿化建设，欲将原有矩形小花坛ABCD 适当扩建成一个较大的矩形花坛AMPN .要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．若设DN ＝x ，则DN 为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．解：因为DC ∥AM ，所以|DN ||AN |＝|DC ||AM |，所以x x ＋2＝3|AM |所以|AM |＝3（x ＋2）x，(x >0)矩形花坛AMPN 的面积y ＝|AM |·|AN |＝3（x ＋2）2x＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x＋4≥3⎝⎛⎭⎪⎫2x ·4x ＋4＝24，4 x ，即x＝2时取等号，所以矩形花坛AMPN的面积的最小值为24，此时DN＝2.当且仅当x＝。

均值不等式含答案

课时作业15均值不等式时间：45分钟满分：100分课堂训练5 31.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( )A V【答案】当且仅当3x=5y时取等号.42・函数f(x)=x+~+3在(一8,一2］上( )xA.无最大值，有最小值7B.无最大值，有最小值一1C.有最大值7,有最小值一1D.有最大值一1,无最小值【答案】D4【解析】Vx^-2, ：.f(x)=x+~+3✓V= __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+34=—1,当且仅当一x=—即x=—2时，取等号,有最大值一1，无最小值.1 43・己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ .【答案】(-8,計【分析】对于本题中的函数，可把x+1看成一个整体，然后将函数用x+1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理.【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0.“ r «+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1= 吊4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)•苗+5=94当且仅当x+l= 勒，即X=1时，等号成立.mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数• 课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)・••当x=\时，工+7x+l° 灯仆-1 — $函数〉'一丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9.【规律方法】形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) —【解析】斤胃字E+芥沁+树+2胡畔4. 求函数y=以+7卄10~x+1(Q-1)的最小值. mx+n1.设X>0,则y=3-3x--的最大值是（A. 3 B・ 3—3也C. 3-2\/3 D・一1【答案】C［解析】y=3 —3x—2=3 —（3x+g）W3— =3_2^/5.当且仅当3x=p即兀=平时取“=”・2.下列结论正确的是（）A.当x>0 且xH 1 时，lgx+占$2C.当诈2时，x+2的最小值为2D.当0<A W2时,x—丄无最大值X【答案】B【解析】A中，当x>0且兀工1时，lgx的正负不确定，・°・lgx +占M2或lgx+吉W—2； C中，当诈2时，（x+£）min=|； D中当1 I 30aW2 时，），=兀一？在（0,2］上递增，（x--）.…ax=2-3.如果d, b 满足0<a<b, a+b= 1,则g, u,2ub, a2+b2中值最大的是（）A. 3C. 3-2^3A iB • aD. cr+b 1【答案】D【解析】方法一：*.* 0<ci<b,・ *. 1 =a+b>2a i 又 a 2+b 2^2cib 9・•・最大数一定不是“和2", 又 a 2+b 2=(a + b)2—lab = 1 — 2ab, V \ =a+b>2\[ab,ab<^,1 — 2ab> 1 —[=[, 即 cP+Z?2>^.I ? 45方法二：特值检验法：取a=y b=y 则2ab=§, a 2+b 2=^ / ^>2>Q >3，^cr+b 1 最大.4. 己知a>b>c>0.则下列不等式成立的是（） 1,1 _______ 2 a~b b —f^a —c1 ___2 b~c a~c]a~b【答案】A【解析】*.\/>Z?>c>0, *.a —b>0, b —c>0, a — c>0,••・("_4士+爲C. lab 1<21 b —c= [(a~b) + (b~c)Y b~c a —b =2+三+口匚+丄宀丄5. 下列函数中，最小值为4的是（C. /(x) = 3x +4X3"v【答案】D ・ /(x) = lgx+log v 10«+5 工+4+1 —•血)=2X 严=2X = 2X(尸 +寸;+4）24,要取等号，必须寸卫+4=^^^,即工+4=1,这是不可能的，排除.故选C.6. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量•设物体放在左右托盘称得的重量分别为“，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？（）a+bA.—^―；大 C.\[ab ；大【答案】D4A. f(x)=x+~ 工+5B ・・22X 严【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不 b~c a~b22+2、/三•戸=4能取等号， B ・¥力 D.\[cib ；小【解析】设物体真实重量为血，天平左.右两臂长分别为d 12,则ml ［=al2® m 【2 = bh ②①X ②得加2川2 =如2 • • m =yfcib又・・•字鼻颁且“Hb,・・・等号不能取得，故g 字. 7・已知x>0,）>0, x+2y+2xy=8,则x+ly 的最小值是（）A. 3B. 49 C 2【答案】B•: — l<x<8,8—x 9 I Q・・・+）=卄2•百亍（卄1）+吊-222屮+1）•吊—2 = 94,当且仅当x+l=—y 时“="成立，此时x=2, y=l,故选B.1 F -HxH -18 .在区间［㊁,2］上，函数.心）=工+加+c （Z?、c G R ）与g （x ）=: --------------------------------------------------------------------------- ---- 在同一点取得相同的最小值，那么/（对在区间百，2］上的最大值是（）5D 4F+x+11【解析】 Tx+2y+2x)=88—x2x+2>0, C. 8【解析】•••g（x） = -—=X+£+1N3,当x=l时取等号，即当x=l时取最小值3, :.fix）的对称轴是x=l, ・•”=—2,将（1,3）代入即得c=4, 5）=工一加+4,易得在右，2]上的最大值是4.二、填空题（每小题10分，共20分）工+29.比较大小：-7=7= ________ 2（填“>”y，“N” 或“W”）・帖+1【答案】2Q+2 J ________ 1【解析】脅7T声1+肩百浓10.当X>1时，不等式^+土鼻“恒成立，则实数"的取值范X— 1围是_______ .【答案】（一8, 3]【解析】Tx>l, ・°・x+— >0,x— 1要使x+JryNd 恒成立，设f{x） =x+-^~r（x> 1）,则dW/（X）min 对x>\恒成立.又./W=x+=7=x—1+7^7+1鼻2寸（%^）><^^+1=3,当且仅当x—1=亠即兀=2时取“=”・X— 1・・・aW3.三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）11.设兀，yWR*,且x+y+xy=2,(1)求x+y的取值范围；(2)求厂的取值范围.Y-H V【解析】(1) 2 = x+y+xy W x+y+(2,当且仅当x=y时取“•二(x+yF+4(x+y) — 8 $0.・：[(x+y)+2]2212.*/x+y>0, .*.x+y+2・・」+〉—2也一2,当且仅当x=y=羽一1时取“ ="•故x+y的取值范围是[2萌一2, +8).(2)2=x+y+xy2y[xy+xy,当且仅当x=y=\[3— 1 时取“=”.•: (y[xy)2~\~2ylxy^2.1)?W3.又x、)>0, .\y[xy+1>0. .\y[xy+ 1羽—1.・・・()5W4—2萌，即厂的取值范围是(0,4—2羽].12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】(1)设船捕捞刃年后的总盈利y万元.则,n(n— 1)y=50/?-98-[12Xn+ 2X4]= -2/r+40/?-98=-2(/1-10)2+102・：捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.v 4W(2)年平均利润为匚=—2 n+—-20r~49W_2〔2\” •万_20,= 1249当且仅当”=节，即n=7时上式取等号.所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元.【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定31域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.。

3-2-1《均值不等式》含答案

基础巩固一、选择题1．若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2[答案] D[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误．对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.2．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2 D.ab <a <a ＋b2<b[答案] B[解析] ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，故选B. 3．设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10B ．6 3C ．4 6D ．18 3[答案] D[解析] x ＋y ＝5,3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝18 3. 4．已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( )A ．100B ．75C ．50D ．25[答案] D[解析] ∵a 5>0，a 16>0，a 5＋a 16＝10， ∴a 5·a 16≤(a 5＋a 162)2＝(102)2＝25，当且仅当a 5＝a 16＝5时，等号成立．5．(2012～2013学年度湖南师大附中高二期中测试)设a ＞0，b ＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B.6．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b[答案] D[解析] 解法一：∵0<a <1,0<b <1，∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2， ∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法二：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．二、填空题7．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小，结果为________________．[答案] 12log a t ≤log a t ＋12[解析] ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋128．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________． [答案] 98[解析] ∵0≤x ≤1，∴3－2x ＞0，∴y ＝122x ·(3－2x )≤12[2x ＋(3－2x )2]2＝98，当且仅当2x ＝3－2x 即x ＝34时，取“＝”号．三、解答题9．已知a 、b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小．[解析] ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0. ∴21a ＋1b ≤221ab＝ab . 即21a ＋1b≤ab . 能力提升一、选择题1．已知x >0，y >0，lg2x＋lg8y＝lg2，则 1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3[答案] C[解析] 由lg2x ＋lg8y ＝lg2，得lg2x ＋3y ＝lg2， ∴x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝(1x ＋13y )(x ＋3y )＝2＋x 3y ＋3yx ≥4，当且仅当x 3y ＝3y x ，即x ＝12，y ＝16时，等号成立．2．(2012～2013学年度山西忻州一中高二期中测试)a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )(x 、y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1[答案] A[解析] 由已知得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2. ∴xy ＝x (2－2x )＝2x (2－2x )2≤12×(2x ＋2－2x 2)2＝12.3．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数[答案] A[解析] ∵x <0，∴f (x )＝2x ＋1x －1 ≤－2(－2x )(－1x )－1＝－22－1，等号在－2x ＝1－x ，即x ＝－22时成立．∴f (x )有最大值．4．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4[答案] D[解析] 由等差、等比数列的性质得 (a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x y ＋yx ＋2≥2y x ·xy ＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4.二、填空题5．已知a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b 2)，则P 、Q 、R 的大小关系是________．[答案] P <Q <R[解析] 因为a >b >1，所以lg a >lg b >0，所以12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P ，又因为a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，所以R >Q .故P <Q <R .6．函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n 的最小值为________．[答案] 4[解析] 函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1.又mn >0，∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·(m ＋n )＝2＋(n m ＋mn )≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立．三、解答题7．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．[解析] 不对．设左右臂长分别为l 1，l 2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a 、b ，真实重量为G ，则由杠杆平衡原理有：l 1·G ＝l 2·a ，① l 2·G ＝l 1·b ，②①×②得G 2＝ab ，∴G ＝ab ，由于l 1≠l 2，故a ≠b ，由均值不等式a ＋b2＞ab 知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数．8．求函数y ＝1－2x －3x 的值域． [解析] y ＝1－2x －3x ＝1－(2x ＋3x )． ①当x >0时，2x ＋3x ≥22x ·3x ＝2 6.当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时取等号． ∴y ＝1－(2x ＋3x )≤1－2 6.②当x <0时，y ＝1＋(－2x )＋(－3x )． ∵－2x ＋(－3x )≥2(－2x )·(－3x )＝2 6.当且仅当－2x ＝－3x 时，即x ＝－62时取等号． ∴此时y ＝1－2x －3x ≥1＋2 6综上知y ∈(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．∴函数y ＝1－2x －3x 的值域为(－∞，1－26)∪[1＋26，＋∞)．。

2.2.4 均值不等式及其应用

2．2.4均值不等式及其应用课时作业17均值不等式知识点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式1．已知数轴上，A(2)，B(－4)，求线段AB的长以及线段AB的中点M的坐标．解画出数轴，如图所示．则线段AB的长为AB＝|－4－2|＝6.AB中点M的坐标为－4＋22＝－1，即M(－1).知识点二算术平均值与几何平均值2.下列不等式中正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23答案D解析若a＜0，则a＋4a≥4不成立，故A错误；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错误；若a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错误；由均值不等式可知D正确．3．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b答案 B解析解法一：∵0＜a ＜b ，∴a ＜a ＋b2＜b ，排除A ，C.又ab －a ＝a (b －a )＞0，即ab ＞a ，排除D ，故选B.解法二：取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b2＜b .故选B. 知识点三利用均值不等式证明不等式4.(1)已知a ，b ，c 均为正实数，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ；(2)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca . 证明 (1)∵a ，b ，c 均为正实数，∴a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c ＋c ≥2b 2c ·c ＝2b ， c 2a ＋a ≥2c 2a ·a ＝2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . (2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，c ＋a ≥2ca ＞0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立． ∴a ＋b ＋c ＞ab ＋bc ＋ca .5．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2≥2(a ＋b ＋c )．证明 ∵2ab ≤a 2＋b 2， ∴a 2＋2ab ＋b 2≤2(a 2＋b 2)， ∴(a ＋b )22≤a 2＋b 2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，∴a ＋b 2≤ a 2＋b 22，∴a 2＋b 2≥a ＋b 2＝22(a ＋b )(a ，b ∈R ，等号在a ＝b ≥0时成立)．同理，b 2＋c 2≥22(b ＋c )(等号在b ＝c ≥0时成立)． a 2＋c 2≥22(a ＋c )(等号在a ＝c ≥0时成立)．三式相加得a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋a 2＋c 2 ≥22(a ＋b )＋22(b ＋c )＋22(a ＋c )＝2(a ＋b ＋c )(等号在a ＝b ＝c ≥0时成立). 易错点一忽视均值不等式适用条件 6.给出下列结论： ①若a ＞0，则a 2＋1＞a ；②若a ＞0，b ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③若a ＞0，b ＞0，则(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④若a ∈R 且a ≠0，则9a ＋a ≥6. 其中恒成立的是________．易错分析易忽略不等式成立的前提条件a ∈R ＋而误认为④也正确．答案 ①②③正解因为a >0，所以a 2＋1≥2a 2＝2a >a ，故①恒成立．因为a ＞0，所以a ＋1a ≥2，因为b ＞0，所以b ＋1b ≥2，所以当a ＞0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立．因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋ab ≥2，因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立．因为a ∈R 且a ≠0，9a ＋a ≥6不符合基本不等式的条件，故④错误. 易错点二忽视定值的条件7.求函数y ＝2x (5－3x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53的最大值．易错分析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0,5－3x ＞0， ∴y ＝2x (5－3x )＝2[x (5－3x ) ]2≤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5－3x 22＝(5－2x )22.当且仅当x ＝5－3x ，即x ＝54∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，此时(5－2x )22＝258.故y 的最大值为258.以上解法不符合均值不等式求最值的条件：和或积为定值．正解 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，∴2x ＞0,5－3x ＞0，y ＝2x (5－3x )＝23[3x ·(5－3x )]2≤23⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋5－3x 22＝256. 当且仅当3x ＝5－3x ，即x ＝56∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53时，等号成立，故所求函数的最大值为256.一、选择题1．若0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b答案 D解析 ∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，a ≠b . ∴a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab .∴四个数中最大的应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴a (a －1)＜0，b (b －1)＜0， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ， ∴a ＋b 最大，故选D.2．下列不等式一定成立的是( )A ．x ＋1x ≥2(x ≠0) B ．x 2＋1x 2＋1≥1(x ∈R ) C ．x 2＋1≤2x (x ∈R ) D ．x 2＋5x ＋6≥0(x ∈R )答案 B解析对于A ，当x ＞0时才成立；对于B ，∵x 2＋1＋1x 2＋1≥2，∴x 2＋1x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时等号成立；对于C ，应为x 2＋1≥2x (x ∈R )；对于D ，x 2＋5x ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522－14≥－14；综上所述，应选B.3．若a ＞b ＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －b ＞1b －1a B ．c 2a ＜c 2b C.ab >2aba ＋bD ．3a ＋b a ＋3b ＞a b答案 C解析逐一考查所给的选项：当a ＝2，b ＝13时，a －b ＝53，1b －1a ＝52，不满足a －b ＞1b －1a ，A 错误；当c ＝0时，c 2a ＝c 2b ＝0，不满足c 2a ＜c 2b ，B 错误；当a ＝2，b ＝1时，3a ＋b a ＋3b ＝75，a b ＝2，不满足3a ＋b a ＋3b ＞a b ，D 错误；若a ＞b ＞0，则a ＋b >2ab ，即a ＋b >2ab ab，整理可得ab >2ab a ＋b ，C 正确．故选C.4．若a ≥0，b ≥0且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3 答案 C解析 ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)＋(a 2＋b 2)≥(a 2＋b 2)＋2ab ，即2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2＝4， ∴a 2＋b 2≥2.5．设a ，b 是两个实数，且a ≠b ，①a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3，②a 2＋b 2≥2(a －b －1)，③ab ＋ba ＞2.上述三个式子中恒成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案B解析①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＞0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；ab＋ba＞2或ab＋ba＜－2.故选B.二、填空题6．已知a＞b＞c，则(a－b)(b－c)与a－c2的大小关系是________．答案(a－b)(b－c)≤a－c 2解析∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴a－c2＝(a－b)＋(b－c)2≥(a－b)(b－c)，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．7．设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．答案32解析(a＋1＋b＋3)2＝a＋b＋4＋2a＋1·b＋3≤9＋a＋1＋b＋3＝9＋a＋b＋4＝18，当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5，即a＝72，b＝32时等号成立，所以a＋1＋b＋3≤3 2.8．设a，b为非零实数，给出不等式：①a2＋b22≥ab；②a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22；③a＋b2≥aba＋b；④ab＋ba≥2.其中恒成立的不等式是________(填写序号)．答案①②解析由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；a2＋b22＝2(a2＋b2)4＝(a2＋b2)＋(a2＋b2)4≥a2＋b2＋2ab4＝(a＋b)24＝⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22，可知②正确；当a＝b＝－1时，不等式③的左边为a＋b2＝－1，右边为aba＋b＝－12，可知③不正确；当a＝1，b＝－1时，显然④不正确．三、解答题9．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：bca＋acb＋abc＞a＋b＋c.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋acb≥2abc2ab＝2c，acb＋abc≥2a2bcbc＝2a，bc a ＋ab c ≥2acb 2ac ＝2b .又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋abc ＞a ＋b ＋c .10．(1)已知m ，n >0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值； (2)已知x >3，求y ＝x ＋4x －3的最小值．解 (1)∵m ，n >0且m ＋n ＝16，∴由基本不等式可得mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1622＝64，当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64. ∴12mn 的最大值为32. (2)∵x >3，∴x －3>0，4x －3>0，于是y ＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3 ≥2(x －3)·4x －3＋3＝7，当且仅当x －3＝4x －3，即x ＝5时，y 取到最小值7. 课时作业18 均值不等式的应用知识点一用均值不等式求最值1.若点(a ，b )在直线x ＋2y ＝3上移动，则2a ＋4b 的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．4 2 D ．32答案 C解析点(a ，b )在直线x ＋2y ＝3上，则a ＋2b ＝3，所以2a ＋4b ＝2a ＋22b ≥22a ＋2b ＝223＝42，当且仅当a ＝2b ＝32时等号成立．故选C.2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B．12C.34D．23答案B解析由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×⎝⎛⎭⎪⎫3x＋3－3x22＝13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．3．已知x，y均为正实数，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．答案3解析xy＝12×⎝⎛⎭⎪⎫x3·y4≤12·x3＋y422＝12×⎝⎛⎭⎪⎫122＝3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时，等号成立，∴xy的最大值为3.知识点二均值不等式的实际应用4.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为()A．200件B．5000件C．2500件D．1000件答案D解析设进货n次，则每次的进货量为10000n件，一年的运费和租金为y元．根据题意得y＝100n＋10000n≥2000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次进货量应为1000件．故选D.5. 如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x米墙．(1)求x的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到1米)．解(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x米，则其邻边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y＝x＋2×144 x.令y＝x＋2×144x≤44(x＞0)，解得8≤x≤36.则x的取值范围是[8,36]．(2)由均值不等式，得y ＝x ＋288x ≥24 2. 当且仅当x ＝288x ，即x ＝122时，等号成立，则y 最小值＝242≈34. 即最少需要约34米铁丝网. 易错点忽略等号成立的一致性6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．易错分析易错解为1x ＋1y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥22xy ·21xy ＝4 2.在求解过程中使用了两次均值不等式：x ＋2y ≥22xy ，1x ＋1y ≥21xy ，但这两次取“＝”分别需满足x ＝2y 与x ＝y ，自相矛盾，所以“＝”取不到．正解 ∵x ＋2y ＝1，x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋x y ＋2y x ≥3＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x y ＝2y x ，即x ＝2y 时，取“＝”.由⎩⎨⎧x ＋2y ＝1，x ＝2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2－1，y ＝1－22.∴当且仅当x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y 有最小值，为3＋2 2.一、选择题1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．18 B ．16 C ．8 D ．10答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y ，即x ＝4y时，等号成立．2．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36 答案 B解析 (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25.故选B.3．函数y ＝x x ＋1的最大值为( ) A.25B ．12 C.22D ．1答案 B解析令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2，∴y ＝x x ＋1＝t t 2＋1.当t ＝0时，y ＝0；当t ＞0时，y ＝1t 2＋1t＝1t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2，∴0＜1t ＋1t≤12.∴y 的最大值为12.4．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－22C ．6－4 2D ．6＋42 答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2b c ≥4＋22b a ·a b ＋2c a ·ac ＋2c b ·2bc ＝6＋42，当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2b c ，即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立．5．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D 解析 a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1ab ＝4，当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b ＝2时，等号成立．故选D.二、填空题6．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(5－4x )＋15－4x ＋3 ≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立． 7．已知m ＞0，n ＞0，则当81m 2＋n 2＋7298mn 取得最小值时，m －n 的值为________．答案－4解析依题意，81m 2＋n 2＋7298mn ≥18mn ＋7298mn ≥81，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＝n ，18mn ＝7298mn ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＝n ，mn ＝94⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝12，n ＝92时等号成立，此时m －n ＝－4.8．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1760解析设水池池底的一边长为x m ，则其邻边长为4x m ，则总造价为y ＝120×4＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×2＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥480＋320×2x ×4x＝1760. 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，y 取最小值1760.所以水池的最低总造价为1760元．三、解答题9．若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解设y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3， ∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2，∴y ≤15，即y max ＝15. ∴a ≥15. 10．某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)设2019年该产品的利润为y 万元，将y 表示为m 的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？解 (1)由题意，知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，即k ＝2.∴x ＝3－2m ＋1. 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x 元， ∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)．(2)y ＝28－16m ＋1－m ＝29－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(m ＋1)＋16m ＋1， ∵m ≥0，∴(m ＋1)＋16m ＋1≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤29－8＝21，即当m ＝3时，y max ＝21.∴该厂家2019年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大，最大利润为21万元．。

(完整版)均值不等式专题20道-带答案

均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

高中数学《均值不等式及其应用》针对练习及答案

第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C ． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+针对练习二均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（） A ．12 B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（） A ．1 BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．4 BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（） A ．3 B ．6CD针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（） A ．114ab+≤、 B≥ C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（） A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916a b +≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①①① B ．①①① C ．①①① D ．①①①14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（） A ．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 215．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（） A ．13 B ．19 C ．21 D ．2717．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（） A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（） A ．100 B ．300 C ．800 D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．2+20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（）针对练习五对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值针对练习六分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A．B ．3+C ．2+ D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12 B ．14C D30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（） A ．0 B ．3C ．94D ．1针对练习七均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）． A ．13 B ．12 C ．25 D ．1632．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（）A ．12 B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（） A ．12 B ．2 C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（） A ．12 B ．14CD35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（） A ．372a a +≥ B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】均值不等式使用首要条件都为正数．排除BD ，A 选项可取等号．【详解】A 选项，()()()222221110a b a b a b +---=-++≥，故A 不正确；B 、C 选项的不等式，只有0,0a b >>时才成立，所以不正确；D 选项, 作差法()22022a b a b ab -+⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，所以正确选项为D ．【点睛】均值不等式的使用“一正二定三相等”，缺一不可． 2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>> 【答案】C 【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】因为0a b >>，所以2a ba +>b ，又根据基本不等式可得，2a b+>所以2a ba b +>>>. 故选：C.3．下列不等式中正确的是（） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥ 【答案】D 【解析】【分析】利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解. 【详解】A. 2224()2a b ab a b ab +-=--不一定大于等于零，所以该选项错误；B. 4a a +，当a 取负数时，显然40a a +<，所以44a a+≥错误，所以该选项错误；C. 22122a a ++≥+，当且仅当221a +=时成立，由于取得条件不成立，所以221222a a ++>+，如0a =时，22152422a a ++=<+，所以该选项错误；D. 224a a +≥，当且仅当a =.所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C 【解析】设图中直角三角形的边长分别为a ，b ，正方形面积，根据图象关系，可得222ab a b ≤+即可得答案. 【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a ，b ，则四个直角三角形的面积为1422a b ab ⨯⨯⨯=，正方形的面积为222a b =+，由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积，所以222ab a b ≤+，当且仅当a b =时等号成立，所以对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+【答案】A 【解析】本题可根据11112abab得出211a b≤+a b+≥2a b +≤，最后根据222a bab +≥2a b+≥，即可得出结果. 【详解】因为111122a ba b ab，当且仅当a b =时取等号，所以211ab≤+a b =时取等号，因为a b +≥a b =时取等号， 2a b+≤，当且仅当a b =时取等号，因为222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号，所以()22222222a b a b aba b +≥++=+，即22224a b ab 2a b +，当且仅当a b =时取等号，综上所述，2112a b a b+≤≤+a b =时取等号，故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的相关性质，主要考查基本不等式通过转化得出的其他形式，考查运算能力，考查转化与化归思想，是简单题.针对练习二均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（） A ．12 B ．14C ．18D ．116【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得2x y +≥即1≤，解得18xy ≤，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，取等号，故选：C.7．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（） A ．1B C ．3D ．5【答案】D 【解析】【分析】结合基本不等式求得mn 的最大值. 【详解】依题意m n +=所以252m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当m n =.故选：D8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．54【答案】D 【解析】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等，结合25a b +=即可得解. 【详解】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等，又25a b +=，此时54b =. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，以及基本不等式的取等条件，属于基础题.9．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A．4 BC ．D 【答案】C 【解析】【分析】结合基本不等式来求得最小值. 【详解】依题意21a b -=，2213239b a ba-⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭122a b =-=时取等号．故选：C10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（） A ．3 B ．6 CD 【答案】B 【解析】【分析】直接由基本不等式可得．【详解】3236m n +≥⨯=，当且仅当33m n ==时取等号，所以3m n +的最小值为6，故选：B针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（）A ．114a b+≤ B +≥C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥【答案】B 【解析】【分析】根据条件结合基本不等式进行求解. 【详解】由题意，()1124baa b a b a b⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故选项A 错误；2≥=12a b ==时，等号成立，故选项B 正确；2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则2212a b +≥，故选项C 错误；()222124a b ab a b ab a b +⎛⎫+=+≤= ⎪⎝⎭，故选项D 错误. 故选：B.12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（） A ．22xy+有最小值4 B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 4【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可【详解】解： 0x >，0y >，且2x y +=，对于A ，()221222242x y x y xy x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取等号，所以A 正确，对于B ，因为2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1x y ==时取等号，即xy 有最大值1，所以B 错误，对于C ，因为224x y +≥==，当且仅当1x y ==时取等号，即22x y +有最小值4，所以C 错误，对于D ，因为22()4x y x y =+++=，当且仅当1x y ==时取等号，即4，所以D 错误，故选：A13．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916ab+≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①①① B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断解：对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以1a b =+≥12a b ==时取等号，得104ab <≤，所以①错误，对于①，由①可知，104ab <≤，所以()1ln ln 4ab ≤，即ln ln 2ln 2a b +≤-，所以ln ln 0a b +<，所以①正确，对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()19199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9a b b a =即13,44a b ==时取等号，所以①正确，对于①，因为222()21a b a ab b +=++=，所以2212a b ab +=-，由①可知，104ab <≤，所以1122ab -≥，所以2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，所以①正确，故答案为：D14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（） A．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2【答案】C 【解析】由基本不等式得1ab ≤，根据各选项结合已知条件即可判断正误. 【详解】由0a >，0b >，2a b +=，得2()14a b ab +≤=当且仅当a b =时等号成立， 222()22a b a b ab +=+-≥，124a b b --=，111b a -=->-，即124a b->， 222log log log ()0a b ab +=≤，24a b =++0>2≤，故选：C15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤【答案】C【分析】ab 范围可直接由基本不等式得到，22a b +可先将a b +平方再利用基本不等式关系．【详解】解：由0a ，0b ，且4a b +=，∴242a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时取等号而2222216()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当2a b ==时取等号228a b ∴+．故选：C ．【点睛】本题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方．针对练习四均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（） A ．13 B ．19 C ．21 D ．27【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】11443333129152427b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当49ab ab =，即19a =，b ＝6时，等号成立，故13b a+的最小值为27 故选：D17．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（） A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的代换求34x y +的最小值，注意等号成立条件. 【详解】11123134(34)((13)31)(13555y x x y x y x y x y +=+++≥++=5=，当且仅当2x y =时等号成立，①34x y +的最小值是5. 故选：C18．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（） A ．100 B ．300 C ．800 D ．400【答案】D 【解析】【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为1919362b aa b++，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由,0,191a b a b >+=，①1191191919()(19)362362400b a a b ab a b a b +=++=++≥+，当且仅当a b =时等号成立. ①119a b+的最小值为400. 故选：D19．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（） A．2 B ．3 C ．2D ．2+【答案】D 【解析】【详解】根据题意，3132122a b ab b a+=⇒+=，①313()2222222a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭b =且32a b ab +=时等号成立，①a b +的最小值为2+ 故选：D ．20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（） A．6 B ．9 C ．D ．18【答案】B 【解析】【分析】依题意可得(1)1a b +-=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：0a >，1b >，且2a b +=，10b ->∴且(1)1a b +-=，∴4141()[(1)]11a b a b a b +=++--- 4(1)4(55291b a b a b -=+++-，当且仅当4(1)1b aa b -=-，即23a =43b =时取等号，故411ab +-的最小值为9；故选：B针对练习五对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+【答案】D 【解析】【分析】直接利用基本不等式2a b ab +．(0,0)a b >>和关系式的恒等变换的应用求出结果．【详解】解：用基本不等式要满足“一正二定三相等“．A ．选项中x 的正负不确定．同样的，C ，选项中3log x 和log 3x 取值不一定大于0．B ．当(0,)x π∈时，sin (0x ∈，1]sin 0x ⇒>，40sin x>， 4sin sin x x=时sin 2x ⇒=不符合，所以也不能用基本不等式，不满足三相等， D ．0x e >，40x e ->且4244x x x x e e e e --+=，当且仅当4x x e e -=即2x ln =时取等号．故选：D ．【点睛】本题考查的知识要点：直接利用基本不等式的性质的应用和用基本不等式要满足“一正二定三相等“．的条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．若0x >，则下列说法正确的是（）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为2 【答案】A 【解析】【分析】A.2≥，所以该选项正确； B. 函数的最小值不是1，所以该选项错误； C. 函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 【详解】解：A.2≥，当且仅当1x =时等号成立，所以该选项正确；B. 11111111x x x x +=++-≥=++，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是1，所以该选项错误；C. 1222x x +≥，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0,0lg x x <<，所以1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 故选：A23．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥ 【答案】D 【解析】当0a <时，10a a+<，选项,A B 不成立；当0a >时，10a a+>，选项C 不成立；11||||a a a a+=+，由基本不等式可得选项D 成立. 【详解】取1a =-时，12a a+=-，可判断选项A,B 不正确；取1a =时，12a a+=，可判断选项C 不正确；因为1,a a同号，11=||||2a a a a++≥，当且仅当1a =±时，等号成立，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题. 24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．9【答案】D【解析】先将函数解析式化为9333y x x =-++-，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为3x >，所以993333933y x x x x =+=-++≥==--，当且仅当933x x -=-，即6x =时，等号成立. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 25．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值【答案】B 【解析】【分析】根据基本不等式求解，注意“一正二定三相等”的条件. 【详解】解：因为()0,4x ∈，所以44y x x=+≥=，当且仅当42x x ==时等号成立，所以函数有最小值4，由于定义域为开区间，故无最大值. 故选：B针对练习六分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．5 【答案】B【解析】【分析】将函数化简变形为221(1)3(1)33()(1)3111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++---，然后利用基本不等式求解即可【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以221(1)3(1)33()(1)333111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++≥=---，当且仅当311x x -=-，即1x =+时取等号，所以函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为3+ 故选：B 27．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （） A．1+B ．2 C ．4 D ．6【答案】C【解析】【分析】由20x ->，而()4222f x x x =-++-，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出a 的值.【详解】由题意，20x ->，而()()()22222424422222x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---26≥=，当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立，所以4a =.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（） A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D【解析】【分析】构造基本不等式()1()33f x x x =-+-即可得结果. 【详解】①72x ≥，①30x ->，①()()22316101()=32333x x x f x x x x x -+-+==-+≥---，当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2. 故选：D.【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.29．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bc a b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 【答案】A【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12=，当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号，则2222ab bc a b c+++的最大值为12．故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x ===-++-，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号，即212x y z +-的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 针对练习七均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =；根据椭圆定义知：12210MF MF a +==，21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF =时取等号）， 12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选：C.32．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】D【解析】【分析】依据三点共线得到关于x y 、的等式，再依据均值定理去求1111x y +++的最小值【详解】因为G 是①ABC 的重心，所以()()211(0,0)323AG AB AC xAM y AN x y =⨯+=+>> 由于M ､G ､N 共线，所以11133x y +=，即3x y += 所以()1111111111211511511y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭14255⎛+= ⎝≥（当且仅当1111y x x y ++=++即32x y ==时取等号）故选：D33．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．2C ．34D ．43 【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得到3a b +=，再利用基本不等式可求出结果.【详解】因为()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭233311(1)(1)(1)33ax x bx x x =-----， 3(1)x -的展开式的通项公式为313(1)k k k k T C x -+=⋅-，0,1,2,3k =,所以221333311(1)(1)233a Cb C C ⋅⋅--⋅⋅--=，即3a b +=，因为0,0a b >>，所以1111()3a b a b a b ++=+⋅1(2)3b a a b =++14(22)33≥+=，当且仅当32a b ==时，等号成立.故选：D 34．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A ．12B ．14 CD【答案】A【解析】【分析】依据重要不等式去求解cos cos αβ的最大值【详解】①tan tan 1αβ=，sin sin cos cos ,αβαβ∴=()22222sin cos sin cos 11cos cos sin cos sin cos cos cos .2242ααββαβααββαβ++∴=⋅⋅=⇒≤（当且仅当tan tan 1αβ==时等号成立），故选：A.35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（） A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+ 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式可得321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，再利用基本不等式判断A ，利用特殊值判断B ，根据完全平方数的非负性判断C ，根据下标和性质判断D ；【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，所以321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，所以237221a q q a =≥++，当且仅当221q q =，即1q =±时取等号，故A 正确；所以461a a q q +=+，当0q <时460a a +<，故B 错误；()2276212110a a q q q -+=-+=-≥，故C 正确； 19191921919511a a a a a a a a a a a +++===+⋅，故D 正确；故选：B。

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解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

当，即x ＝2时取等号当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立。

技巧三：分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++）当,即t=时,459y t t≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

例：求函数224y x =+的值域。

24(2)x t t +=≥，则224y x =+2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥。

所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x =-.；3．203x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba33+的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33⋅定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解： b a 33和都是正数，ba 33+≥632332==⋅+b a b a当ba33=时等号成立，由2=+b a 及ba33=得1==b a 即当1==b a 时，ba33+的最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

错解．．：0,0x y >>，且191xy +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。

错因：解法中两次连用均值不等式，在2x y xy +≥等号成立条件是x y =，在1992xyxy+≥条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。

变式：（1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。

同时还应化简1＋y 2中y 2前面的系数为12， x 1＋y 2 ＝x 2·1＋y 22＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别看成两个因式： x ·12 ＋y 22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t≥2t ·16t＝8∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0，－5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考查不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22，本题很简单3x ＋2y ≤ 2（3x ）2＋（2y ）2 ＝ 23x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式: 求函数152152()22y x x x --<<的最大值。

解析：注意到21x -与52x -的和为定值。

222152)42(21)(52)4(21)(52)8y x x x x x x =--=+--≤+-+-=又0y >，所以02y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号。

均值不等式的应用习题答案