2020年上海市金山区高三第二次模拟考试数学试题-含答案

2024年上海金山区高三二模数学试卷和答案

上海金山区2023-2024学年第二学期质量监控高三数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）（答案请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}1,3,5,7,9M =，{}2=8xN x =，则M N = ___________．2．已知向量(1,3)a =- ，(,1)b m =r ，若a b ⊥，则实数m 的值为___________．3．函数22log 1xy x+=-的定义域是___________．4．已知复数z 满足23i z z +=-，则z 的模为___________．5．设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202420226S S -=，则2024a =___________．6．若长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥E BCD-的体积是___________．7．设32()f x x ax x =++(a ∈R )，若()y f x =为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为___________．8．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)，给定的四点1(4,3)P -、2(3,4)P 、3(4,3)P -、4(2,0)P -中恰有三个点在双曲线C 上，则该双曲线C 的离心率是___________．9．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如右图所示列联表：取显著性水平0.05=α，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则m (m 440，m ∈N )的最小值为___________．(参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；参考值：2( 3.841)0.05P χ≈ ）10．在()()5311x y ++的展开式中，记mnx y 项的系数为(),f m n ，则()()3,02,1=f f +___________．11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC 、CD 是救生栈道的一部分，其中300m BC =，800m CD =，B 在A 的北偏东30︒方向，C 在A 的正北方向，D 在A 的北偏西80︒方向，且90B ∠=︒．若救生艇在A 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B C D --，则最短距离为___________m ．(结果精确到1m)12．已知平面向量a 、b 、c 满足：||||1a b == ，1a c b c ⋅=⋅=，则2a b c ⋅+ 的最小值为___________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆221164x y +=的一个顶点，则p 的值为()．(A)2(B)3(C)4(D)814．下列说法不正确的是()．(A)一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14(B)若随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(4)0.7P X = ，则(34)0.2P X <<=(C)若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高(D)对具有线性相关关系的变量x 、y ，且回归方程为0.3y x m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4-（第11题图）（第9题图）15．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则以下命题中正确的是()．(A)BM EN=(B)CD MN ⊥(C)A 、M 、N 三点共线(D)直线BM 与EN 相交16．设3(3)f x x x -=，有如下两个命题：①函数()y f x =的图像与圆221x y +=有且只有两个公共点；②存在唯一的正方形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图像上．则下列说法正确的是()．(A)①正确，②正确(B)①正确，②不正确(C)①不正确，②正确(D)①不正确，②不正确三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R ．（1）若函数()y f x =的最小正周期为π，当π()16f =时，求ω和ϕ的值；（2）若=1ω，π=6ϕ，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，点G 是 DF的中点，点P 在 CE上，异面直线BP 与AD 所成的角是30︒．（1）求证：AE BP ⊥；（2）若3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小．（第18题图）（第15题图）19．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分）有标号依次为1，2，…，n (2n ，n ∈N )的n 个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从1-n 号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止．（1）当2n =时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）设n 号盒子中红球个数为随机变量n X ，求3X 的分布及[]3E X ，并猜想[]n E X 的值（无需证明此猜想）．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，直线l 与椭圆Γ交于不同的两点11(,)M x y 、22(,)N x y ．（1）证明：点M 到右焦点F 的距离为122x -；（2）设点1(0,)2Q ，当直线l 的斜率为12，且QF 与QM QN + 平行时，求直线l 的方程；（3）当直线l 与x 轴不垂直，且△MNF 的周长为4时，试判断直线l 与圆22:3C x y +=的位置关系，并证明你的结论．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域D ．若存在常数a (a ∈R )，使得对于任意的1x D ∈，都存在2x D ∈，满足12()()f x g x a +=，则称函数()y g x =是函数()y f x =关于a 的“S 函数”．（1）若()ln f x x =，()e xg x =，试判断函数()y g x =是否是()y f x =关于0的“S 函数”，并说明理由；（2）若函数()y f x =与()y g x =均存在最大值与最小值，且函数()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，()y f x =又是()y g x =关于a 的“S 函数”，证明：min max [()][()]f x g x a +=；（3）已知()|1|f x x =-，()g x =，其定义域均为[0,]t ．给定正实数t ，若存在唯一的a ，使得()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，求t 的所有可能值．评分标准参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．{}3；2．3；3．(2,1)-；4．；5．4；6．10；7．y x =；8．72；9．44；10．40；11．475；12．1-．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．D；14．A；15．D；16．B．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（1）因为函数()y f x =的最小正周期2ππω=，所以2ω=．…………3分当π6x =时，πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π()32k k ϕ+=+∈Ζ，得π2π()6k k ϕ=+∈Ζ，因为0πϕ<<，所以取0k =得π6ϕ=．…………6分（2）当=1ω，π=6ϕ时，()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，设()πsin [1,1]6t f x x ⎛⎫==+∈- ⎪⎝⎭．由题意得，220t t a --=在[1,1]x ∈-有解．…………8分解法一：化简得22a t t =-．又因为2()2g t t t =-在[1,1]t ∈-上严格减，…………10分所以[1,3]a ∈-．…………14分解法二：记2()2g t t t a =--,由根的分布可得()010g ∆⎧⎨-⎩，，…………10分所以[1,3]a ∈-．…………14分18．（1）因为//AD BC ，所以CBP ∠是直线BP 与AD 所成角，为30︒，…………2分所以1203090EBP ∠=︒-︒=︒，得BP BE ⊥，又因为AB BP ⊥，且BE AB B = ，所以BP ⊥平面ABEF ，…………4分由AE ⊂平面ABEF ，得AE BP ⊥．…………6分（2）解法一：取 EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH ．因为120EBC ∠=︒，所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ====+=．取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ．则EM AG ⊥，CM AG ⊥，所以EMC ∠为所求二面角的平面角．…………10分又1AM =，所以13123EM CM ==-=．在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以23EC =，因此EMC ∆为等边三角形，故所求的角为60︒．…………14分解法二：以B 为坐标原点，分别以BE 、BP 、BA的方向为x 、y 、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得(0,0,3)A ，(2,0,0)E ，(1,3,3)G ，(1,3,0)C -，故(2,0,3)AE =- ，(1,3,0)AG = ，(2,0,3)CG =，设1111(,,)n u v w =是平面ACG 的一个法向量．由1100n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得111130230u v u w ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取12w =-22z =-，可得平面ACG 的一个法向量1(3,3,2)n =--．…………8分设2222(,,)n u v w =是平面AEG 的一个法向量．由2200n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得22222300u w u -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取22w =，可得平面AEG的一个法向量2(3,2)n =．…………10分所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>==⋅．因此所求的角为60︒．…………14分19．（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为621133C C 3C 5P ⨯==；…………5分（2）由题可知3X 可取1,2,3，()2211233323222264643C C C C C 11C C C C 5P X ==⨯+⨯=，…………7分()2211233332322226464C C C C C 13C C C C 5P X ==+⨯=，…………9分()()()333321135P X P X P X ==-=-==，…………11分所以3号盒子里的红球的个数3X 的分布列为123131555⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，…………12分3131[]1232555E X =⨯+⨯+⨯=．…………13分猜想[]2n E X =．…………14分20．（1）由(1,0)F ，得 (2)分11 ||2222x x MF====-=-…………4分（2）设直线l的方程为12y x m=+，联立221,431,2x yy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y，得2230x mx m++-=．由224(3)0m m∆=-->，得22m-<<．从而12x x m+=-，121213()222my y x x m+=++=． (6)分又1(1,)2QF=-，12123(,1)(,1)2mQM QN x x y y m+=++-=-．由QF与QM QN+平行，得31(11)()22m m⨯-=-⨯-， (8)分解得1m=，故直线l的方程为112y x=+．…………10分（3）设直线l的方程为y kx m=+，联立221,43,x yy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得222(34)84120k x kmx m+++-=，从而12221228,34412.34kmx xkmx xk⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由||||||4MF NF MN++=，得1222||422x x MN⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12||2x xMN+=， (12)分亦即218234km k ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭，化简，整理得4222212219340k k m k m ++--=，即222(34)(33)0k k m ++-=，从而223(1)m k =+． (15)分又圆心C 到直线l 的距离d r ====，故直线l 与圆C 相切． (18)分21．（1）()y g x =不是()y f x =关于0的“S 函数”．…………2分解法一：当11x >时，21ln 0x x e +>，所以不存在2x ，使得()()120f x g x +=……4分解法二：因为函数()e x g x =(0x >)的值域为(1,)+∞，比如取1e x =，则1()1f x =，不存在2x ，使得21e 0x +=．…………4分（2）设1min ()[()]f x f x =．由题意，存在1x D ∈，使得1min ()[()]f x f x =．因为函数()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，所以存在2x D ∈，满足min 2[()]()f x g x a +=，从而min max min 2[()][()][()]()f x g x f x g x a ++=．…………6分同理，由()y f x =是()y g x =关于a 的“S 函数”，可得max min [()][()]a g x f x +，…………8分综上，min max [()][()]f x g x a +=． (10)分（3）记集合{|()[0},],A y y f x x t ∈==，[0,]{|(),}B y y a g x t x ∈==-．由()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，得A B ⊆．①当01t <<时，[1,1]A t =-，[]B a a =，高中11从而11,t a a ⎧-⎪⎨⎪⎩解得11a t -+ ．因a 唯一，令11t -+=，解得0t =(舍)或1t =(舍)．…………12分②当12t 时，[0,1]A =，[]B a a =-，从而,1,0a a ⎧⎪⎨⎪⎩解得1a 因a1=，解得1t =，符合题意．…………14分③当2t >时，[0,1]A t =-，[]B a a =，从而0,1,a a t ⎧⎪⎨⎪⎩-解得1t a - ．因a 唯一，1t =-，解得352t +=，符合题意．…………16分综上，t 的所有可能值为1或352+．………18分。

2020年上海市金山区高考数学二模试卷

2020年上海市金山区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1．（4分）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =I ． 2．（4分）函数12y x -=的定义域是．3．（4分）i 是虚数单位，则||1ii-的值为． 4．（4分）已知线性方程组的增广矩阵为113()02a ，若该线性方程组的解为1()2，则实数a = ．5．（4分）已知函数21()||11x f x =，则1(0)f -= ． 6．（4分）已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a = ．7．（5分）已知函数1()sin 11xf x lg x x-=+++．若()4f m =，则()f m -= ．8．（5分）数列{}n a 通的项公式*11,2132n nn na n N n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎩…，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= ． 9．（5分）甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是．（结果用最简分数表示）10．（5分）若点集22{(,)|1}A x y x y =+„，{(,)|22B x y x =-剟，11}y -剟，则点集12{(,)|Q x y x x x ==+，12y y y =+，1(x ，1)y A ∈，2(x ，2)}y B ∈所表示的区域的面积是．11．（5分）我们把一系列向量(1i a i =u u r ，2，⋯，)n 按次序排成一列，称之为向量列，记作{}i a u u r，已知向量列{}i a u u r 满足1(1,1)a =u u r ，11111(,)(,)(2)2n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+u u r …，设n θ表示向量n a uu r 与1n a -u u u r 的夹角，若2n n n b θπ=对任意正整数n ，log (12)a a ⋯+>-恒成立，则实数a 的取值范围是．12．（5分）设*n N ∈，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，16,2m t t R =-+∈，1222[][][]([]333n n n na a ab x =++⋯+表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b m -+-的最小值为．2x二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =是“两直线1l ，2l 平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．（5分）如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )A 22+ B 12+ C ．22D ．12+15．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是( )A ．221111111()3A A A D A B A B ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u rB ．1111()0AC A B A A -=u u u u r u u u u r u u u rgC ．向量1AD u u u u r 与1A B uuu r的夹角是120︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD u u u r u u u r u u u rg g16．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．11(,)44-B ．(12,21)-C ．11(4,4)()44k k k Z -+∈D ．(412,421)()k k k Z ++∈三、解答题（本大满分76分）本天题共有5题，下列必频在答题纸相应编号的规定区城内写出必要的步骤，17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，1PA =，底面ABCD 是正方形，E是PD 的中点，PD 与底面ABCD所成角的大小为6π．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知函数2()2cos 3sin 2xf x x =．（1）求函数()f x 在区间[0，]π上的单调增区间；（2）当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值． 19．（14分）随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放．据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型*:n N ∈ 以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n -+⎧⎪⎪=+⎨⎪-⎪⎩g剟剟剟表示第n 个时刻进入园区的人数；以0115()4005000162882002936n g n n n n ⎧⎪=-⎨⎪⎩剟剟剟表示第n 个时刻离开园区的人数；设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n =；8点30分作为第2个计算单位，即2n =；依此类推，把一天内从上年8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四含五入，精确到整数）．（1）试分别计算当天12:30至13:30这一小时内，进入园区的人数(19)(20)(21)(22)f f f f +++和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g +++；（2）请问，从12点（即16)n =开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由．20．（16分）已知动直线l 与与椭圆22:12y C x +=交于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两不同点，且OPQ ∆的面积2OPQ S ∆=O 为坐标原点．（1）若动直线l 垂直于x 轴．求直线l 的方程；。

2020-2021学年上海市长宁、金山、青浦区第二次高考模拟高三数学试卷

上海市第二学期高三教学质量检测数学试卷一、填空题：1、已知集合{}|1,A x x x R =>-∈，集合{}|2,B x x x R =<∈，则A B =I .2、已知复数z 满足()2332i z i -=+（i 为虚数单位），则z = .3、函数()sin 2cos 2cos sin xx f x x x 的最小正周期为 .4、已知双曲线()()2222103x y a a a -=>+的一条渐近线方程为2y x =，则a = .5、若圆柱的侧面展开图是边长为4cm 的正方形，则圆柱的体积为 . cm 3（精确到0.1cm 3） 6、已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .7、直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 .8、已知函数()22,0log ,01x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 9、设多项式()()()()2311110,n x x x x x n N *++++++++≠∈L 的展开式中A x 项的系数为n T ，则2lim n n T n →∞= . 10、生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率为0.9603，则p = .11、已知函数()f x x x a =-，若对任意的[]1212,2,3,x x x x ∈≠，恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为 . 12、对于给定的实数0k >，函数()k f x x=的图象上总存在点C,使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围为 .二、选择题：13．设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是（）A. ①②③④B. ①③C. ①④D. ②④15．如图，AB 为圆O 的直径且AB=4，C 为圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值为（） A. ﹣4 B. ﹣3 C. ﹣2 D. ﹣116．设1210,,x x x K 为1,2,,10L 的一个排列，则满足对于任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同的排列的个数为（）A. 512B. 256C. 255D. 64三、解答题：17、（本题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BC CD 线段的中点.（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；（2）求直线EF 与平面11ABB A 所成角的大小.18.（本题满分14分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为3π（即3ACB π∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记.ABC θ∠=（1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大，问θ当何值时，该活动室面积最大？并求最大面积.19.（本题满分14分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(),0T t 0t >且与抛物线交于两点,A B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线的方程，并证明：OA OB ⋅u u u r u u u r 为值与直线倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.20.（本题满分16分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足:①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()()2112,0f x a R a a a x=+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.21.（本题满分18分）已知数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意n N *∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若11,2a k ==-，求n S ；（3）是否存在实数k ，使得数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.。

2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案

解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )．（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅，可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示，当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。

2020 金山高三二模

2020 金山高三二模一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =I 2. 函数12y x-=的定义域是3. i 是虚数单位，则i||1i-的值为 4. 已知线性方程组的增广矩阵为11302a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =5. 已知函数21()11x f x =，则1(0)f -=6. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7. 已知函数1()lgsin 11xf x x x-=+++，若()4f m =，则()f m -= 8. 数列{}n a 的通项公式1,1,21,32n nn na n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，n ∈*N ，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=9. 甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是（结果用最简分数表示） 10. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是11. 我们把一系列向量i a u r (1,2,,)i n =⋅⋅⋅按次序排成一列，称为向量列，记作{}i a u r ，已知向量列{}i a u r满足1(1,1)a =u u r ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+u u r (2)n ≥，设n θ表示向量1n a -u u u r 与n a u u r 夹角，若2n n n b θπ=，对任意正整数nlog (12)a a ⋅⋅⋅>-恒成立，则实数a 的取值范围是 12. 设n ∈*N ，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，t ∈R ，1222[][][]333n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m -+-的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:l a x b y c ++0=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件14. 如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（） A .22+ B . 12+ C . 22+ D . 12+ 15. 在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A. 221111111()3A A A D A B A B ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r B . 1111()0A C A B A A ⋅-=u u u r u u u u r u u u r 、C .向量1AD u u u u r 与1A B uuu r的夹角是0120D .正方体1111ABCD A B C D -的体积为1AB AA AD ⋅⋅u u u r u u u r u u u r16. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A . 11(,)44- B . (12,21)--C . 11(4,4)44k k -+(Z k ∈) D . (412,421)k k +-+-(Z k ∈)三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，1PA =，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为6π. （1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 已知函数2()2cos 3sin 2xf x x =+.（1）求函数()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间；（2）当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值.19. 随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型（*N n ∈）：以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n -+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数，以0115()4005000162882002936n g n n n n ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n =，8点30分作为第2个计算单位，即2n =，依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数(19)(20)f f +(21)(22)f f ++和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g +++；（2）请问，从12点（即16n =）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.20. 已知动直线l 与椭圆22:12y C x +=交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点，且△OPQ的面积2OPQ S =V ，其中O 为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ===V V V ？若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.21. 若无穷数列{}n a 满足：存在*N k ∈，对任意的0n n ≥（*N n ∈），都有n k n a a d +-=（d 为常数），则称{}n a 具有性质0(,,)Q k n d .（1）若无穷数列{}n a 具有性质(3,1,0)Q ，且11a =，22a =，33a =，求234a a a ++的值；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质0(,,0)Q k n ，并说明理由；（3）设无穷数列{}n a 既具有性质1(,2,)Q i d ，又具有性质2(,2,)Q j d ，其中*,N i j ∈，i j <，i 、j 互质，求证：数列{}n a 具有性质1(,2,)j iQ j i d i--.金山区2019学年第二学期质量监控高三数学试卷评分参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．02（，）；2．0+∞（，）；3．2 ； 4．2；5．0；6．127．-2；8．74；9．114；10．20+π；11．10,3（）；12．95 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．B ；14．C ；15．D ；16．C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)解：(1)由PA ⊥底面ABCD ，得PD 与底面ABCD 所成角为PDA ∠， …………………3分由=6PDA π∠，得AD = ……………………………………………………4分所以2113V AD PD =⨯=; ……………………………………………………………………7分 (2)解法一：取CD 中点F ，连接,EF AF ，因为//EF PC ，所以AEF ∠就是所求角（或其补角） 10分由计算得1,AE AF EF ===，222cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅所以，异面直线所成角为其补角，大小为. ………………………………………14分解法二：如图建系（图略），得())10,0,1,,0,22P CE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， …………………10分设异面直线所成角为θ ，则cos 7||||AE PC AE PC θ⋅==u u u r u u u ru u u r u u u r所以，异面直线所成角大小为arccos7. ………………………………………14分 18．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)解：(1)()1cos 2sin 16f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ……………………………3分 22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，22233k x k ππππ-+≤≤+， ………5分所以，当[0,]x π∈ 时，函数单调递增区间是[0,]3π; ……………………7分(2)1132sin 1,sin ,6565ππαα⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………9分因为,36263πππππαα2-<<-<+< ，所以cos 06πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， …11分因而3424sin 2sin 22sin cos 236665525ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………14分 19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 解：(1)进入园区人数为(19)(20)(21)(22)f f f f +++1314151611111111300[3333]24004=⨯++++⨯14738≈（人）， …………………3分离开园区的人数(19)(20)(21)(22)=12800g g g g +++（人）； ………………6分（2）当时，园内游客人数递增；当时，园内游客人数递减， …8分 ①当1628n ≤≤时，661111()()30032400(4005000)30034007400n n f n g n n n ---=⋅+--=⋅-+，由计算器计算可得：当1622n ≤≤时，()()0f n g n ->，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多; 当2328n ≤≤时，()()0f n g n -<，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；…10分()()()()222282.9130,2323161.30f g f g -=>-=-< ………………11分②当2936n ≤≤时，由()()65015200f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午13：30时（22n =）园区内的游客人数最多人. ………………14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)解：(1)直线l 垂直于x 轴时，,P Q 两点关于x轴对称，由111|||2y |22S x =⋅=与2211=12y x +，…2分可得2112x =，所以，直线l的方程为2x =± ； ……………………………………4分(2) 若直线l 垂直于x 轴时，由（1）知，22121x x +=，22122y y +=均为定值 ……………5分若直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+ ，0)()(≥-n g n f 0)()(<-n g n f联立2212y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：222(2)220k x kmx m +++-=，则12221222222km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由∆>0 得222m k <+， …………………6分由122|||2PQ x x k=-=+，d =21|||222m S PQ d k ===+V得()()242222244220,22m mkk m k -+++==+ 满足∆>0， ……………8分()()()()()22222222212121222222242222122k m m k m k x x x x x x k k -++++=+-===++， ………9分()()2222121222222y y x x +=-+-=，综上，2212=1x x + 和2212=2y y + 均为定值; ……………10分(3) 椭圆C 上不存在点,,D E G，使得三角形面积ODE ODG OEG S S S ===V V V ,………11分假设存在()()()112233,,,,,,D x y E x y G x y 由（2）得2222221223311,1,1x x x x x x +=+=+= ，得22212312x x x ===同理，2221231y y y ===, ………13分所以,,D E G只能在12⎛⎫±± ⎪ ⎪⎝⎭这4个点中任取3个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，不构成三角形，所以产生矛盾，假设不成立.所以，椭圆C 上不在点,,D E G . …………16分21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)解：(1) 由30,1n n a a n +-=≥ …………1分知411a a ==，所以2346a a a ++=； …………………4分(2) 设等差数列{}n b 公差为d ，等比数列{}n c 的公比为q ，则由题意，411111481b c q b d c ⎧==⎨+==⎩解得11811,,1203c b d q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩52019,3nn n b n c -=-=， …………………7分532019n n a n -=+-，对任意0n n ≥，()520331n k n k n a a k --+-=+-不恒为0，所以，不具有性质()0,,0Q k n .…………………………………………10分（解法二：说明从第二项起单调递增） (3) 由题意得12(1)2(2)n i n n j n a a d n a a d ++-=⎧≥⎨-=⎩，，， …………………………………………12分由（1）得1n ji n a a jd +=+ （3）由（2）得2n ij n a a id +=+ （4）(3)(4)- 得21,2,jd d n i=≥ …………………………………………15分由（1）得()1+,2n j n j i a a d n +--=≥ （5），由(2)(5)- 得211,2n j i n j ia a d d d n i+---=-=≥ 即数列{}n a 具有性质1,2,j i Q j i d i -⎛⎫- ⎪⎝⎭.{}n a {}n a。

2020上海金山高三二模数学

上海市金山区2020届高三二模数学试卷2020.5一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.集合{|03}A x x ，{|||2}B x x ，则A B 2.函数12y x的定义域是3.i 是虚数单位，则i||1i的值为 4.已知线性方程组的增广矩阵为11302a ，若该线性方程组的解为12，则实数a 5.已知函数21()11x f x ，则1(0)f6.已知双曲线2221x y a(0)a 的一条渐近线方程为20x y ，则实数a7.已知函数1()lg sin 11xf x x x，若()4f m ，则()f m8.数列{}n a 的通项公式1,1,21,32n nn na n，n *N ，前n 项和为n S ，则lim n n S9.甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是（结果用最简分数表示）10.若点集22{(,)|1}A x y x y ，{(,)|22,11}B x y x y ，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B 所表示的区域的面积是11.我们把一系列向量i a (1,2,,)i n 按次序排成一列，称为向量列，记作{}i a，已知向量列{}i a 满足1(1,1)a ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y (2)n ，设n 表示向量1n a 与n a 夹角，若2n n n b，对任意正整数n ，log (12)a a恒成立，则实数a 的取值范围是12.设n *N ，n a 为(2)(1)n n x x 的展开式的各项系数之和，162m t ，t R ，1222[][][]333n n n na a ab （[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ，2222:l a x b y c 0 ，那么“11220a b a b ”是“两直线1l 、2l 平行”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14.如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A.22B.12C. 2D. 115.在正方体1111ABCD A B C D 中，下列结论错误的是（）A. 221111111()3A A A D A B A B B. 1111()0A C A B A AC. 向量1AD 与1A B的夹角是120°D. 正方体1111ABCD A B C D 的体积为1||AB AA AD16.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x 为偶函数，当[0,1]x 时，()f x 若函数()()g x f x x m 有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A. 11(,)44B. (11)C. 11(4,4)44k k (Z k )D. (411)k k (Z k )三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知四棱锥P ABCD ，PA 底面ABCD ，1PA ，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为6.（1）求四棱锥P ABCD 的体积；（2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18.已知函数2()2cos 2xf x x . （1）求函数()f x 在区间[0,] 上的单调递增区间；（2）当11()5f，且236 ，求sin(23的值. 19.随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型（*N n ）：以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n表示第n 个时刻进入园区的人数，以0115()4005000162882002936n g n n n n表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n ，8点30分作为第2个计算单位，即2n ，依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数(19)(20)f f(21)(22)f f 和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g ；（2）请问，从12点（即16n ）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.20.已知动直线l 与椭圆22:12y C x 交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点，且△OPQ 的面积2OPQ S ，其中O 为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x 和2212y y 均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ？若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.21.若无穷数列{}n a 满足：存在*N k ，对任意的0n n （*N n ），都有n k n a a d （d 为常数），则称{}n a 具有性质0(,,)Q k n d .（1）若无穷数列{}n a 具有性质(3,1,0)Q ，且11a ，22a ，33a ，求234a a a 的值；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ，5181b c ，n n n a b c ，判断{}n a 是否具有性质0(,,0)Q k n ，并说明理由；（3）设无穷数列{}n a 既具有性质1(,2,)Q i d ，又具有性质2(,2,)Q j d ，其中*,N i j ，i j ，i 、j 互质，求证：数列{}n a 具有性质1(,2,)j iQ j i d i.参考答案一. 填空题1.(0,2)2.(0,)3.24.25.06.127.28.749.11410.20 11. 1(0,)312.95二. 选择题 13.B 14.C15.D16.C三. 解答题17.（1）1；（2）arccos7. 18.（1）[0,3 ；（2）2425.19.（1）14738，12800；（2）13点30分.20.（1）2x；（2）1，2；（3）不存在. 21.（1）6；（2）不具有；（3）略.。

上海市金山区高考数学二模试卷

高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列计算结果一定不等于0的是（）A. B. C. D.2.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3.设F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2=30°，则双曲线C的渐近线方程是（）A. x±y=0B. x±y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.若实数a、b满足，则的取值范围是（）A. [-2，0]B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.函数的定义域是______．6.函数y=（sin x+cos x）2的最小正周期是______．7.若关于x、y的线性方程组的增广矩阵为，该方程组的解为，则m+n的值是______8.二项式（x+1）7的展开式中含x3项的系数值为______．9.已知全集U=R，集合，则∁U P=______．10.若z1=1+i，z2=a-i，其中i为虚数单位，且R，则|z2|=______11.方程（t为参数，t∈R）所对应曲线的普通方程为______12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则=______．13.若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是______（结果用小数表示）14.已知函数f（x）=sin x和的定义域都是[-π，π]，则它们的图象围成的区域面积是______15.若集合A={x|x2-（a+2）x+2-a＜0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是______16.正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n∈R，则的最大值是______三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知△ABC中，，，．求：（1）角C的大小；（2）△ABC中最小边的边长．18.如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的侧面积为16π，OA=2，∠AOP=120°．（1）求三棱锥A1-APB的体积；（2）求直线A1P与底面PAB所成角的大小．19.从金山区走出去的陈驰博士，在《自然-可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年，t∈）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数．设该树栽下的时刻为0．（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？20.已知椭圆Γ：，过点D（-1，0）的直线l：y=k（x+1）与椭圆Γ交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E．（1）当m=1且k=1时，求点M、N的坐标；（2）当m=2时，设，，求证：λ+μ为定值，并求出该值；（3）当m=3时，点D和点F关于坐标原点对称，若△MNF的内切圆面积等于，求直线l的方程．21.若数列{a n}、{b n}满足|a n+1-a n|=b n（n∈N*），则称{b n}为数列{a n}的“偏差数列”．（1）若{b n}为常数列，且为{a n}的“偏差数列”，试判断{a n}是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列{a n}是各项均为正整数的等比数列，且a3-a2=6，{b n}为数列{a n}的“偏差数列”，求的值；（3）设，{b n}为数列{a n}的“偏差数列”，a1=1，a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1，若|a n|≤M对任意n∈N*恒成立，求实数M的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设长方体的长宽高分别为a，b，c则A（a，0，0），B（a，b，0），C（0，b，0），D（0，0，0），B1（a，b，c），C1（0，b，c），D1（0，0，c），∴=（-a，0，c），=（-a，0，-c），=（-a，-b，c），=（-a，b，0），=（0，b，0），=（-a，0，0），∴•=a2-c2，当a=c时，•=0，•=a2-b2，当a=b时，•=0，•=0，•=a2≠0，故选：D．以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据向量的运算和向量的数量积的关系即可判断本题考查了向量的数量积，建立坐标系是关键，属于基础题2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了阅读能力、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题.先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解.【解答】解：由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选：A．3.【答案】B【解析】解：设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|•|F1F2|cos30°，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2-2×4a×2c×，同时除以a2，化简e2-2e+3=0，解得e=，∴c=，∴b==，∴双曲线C：=1的渐近线方程为y==±，即=0．故选：B．设|PF1|＞|PF2|，由已知条件求出|PF1|=4a，|PF2|=2a，e=，进而求出b=，由此能求出双曲线C：=1的渐近线方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．4.【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：则=，的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点原点连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由，解得B（，），∴BO的斜率k=3，由可得A（1，1），OA的斜率k=1，∴1≤z≤3，则==（k-）2-∈．故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可求出的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．5.【答案】{x|x≥4}【解析】解：∵函数，∴x-4≥0，可得x≥4，∴函数的定义域为：{x|x≥4}，故答案为：{x|x≥4}；函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，进行求解；函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．6.【答案】π【解析】解：函数y=（sin x+cos x）2=1+2sin x cosx=1+sin2x，故它的最小正周期等于=π，故答案为：π．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于求出结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于基础题．7.【答案】10【解析】解：由题意，可根据增广矩阵的定义还原成线性方程组为：．∵方程组的解为，∴m=-2，n=12．∴m+n=10．故答案为：10．本题可先根据增广矩阵的定义还原成线性方程组，然后将方程组的解为代入方程组得到m、n的值，即可得到m+n的值．本题主要考查增广矩阵的定义，根据方程组的解得出参数的值．本题属基础题．8.【答案】35【解析】解：二项式（x+1）7的展开式的通项公式为T r+1=•x7-r，令7-r=3，求得r=4，可得展开式中含x3项的系数值为=35，故答案为：35．先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得含x3项的系数值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9.【答案】（-∞，1]【解析】解：由P中y=，0＜x＜1，得到y＞1，即P=（1，+∞），∵全集U=R，∴∁U P=（-∞，1]．故答案为：（-∞，1]求出P中y的范围确定出P，根据全集U=R，求出P的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．10.【答案】【解析】解：=a+i，则z1•=（1+i）（a+i）=a-1+（a+1）i，若R，则a+1=0，即a=-1，则z2=a-i=-1-i，则|z2|==，故答案为：根据复数的运算法则结合复数为实数求出a的值，结合复数模长的公式进行计算即可．本题主要考查复数模长的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．11.【答案】y=-x2+2x+2【解析】解：由方程消去参数t可得y=3-（x-1）2，化简得y=-x2+2x+2，故意答案为：y=-x2+2x+2．由方程消去参数t可得y=3-（x-1），再化简可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．12.【答案】16【解析】解：Rt△ABC中，C=90°，AC=4，则•=||•||•cos A=||•||==16，故答案为16．由题意可得•=||•||•cos A=||•||，由此可得结果．本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的投影，属于中档题．13.【答案】0.9702【解析】解：生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：p=（1-0.01）（1-0.02）=0.9702．故答案为：0.9702．利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：的图象为圆心为O半径为π的圆的上半部分，∵y=sin x是奇函数，∴f（x）在[-π，0]上与x轴围成的面积与在[0，π]上与x轴围成面积相同，则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积S==，故答案为：作出f（x）与g（x）的图象，结合图象的对称性进行求解即可．本题主要考查区域面积的计算，作出两个函数的图象，利用图象的对称性，利用割补法是解决本题的关键．比较基础．15.【答案】【解析】解：∵x2-（a+2）x+2-a＜0 且a＞0∴x2-2x+2＜a（x+1）令f（x）=x2-2x+2；g（x）=a（x+1）∴A={x|f（x）＜g（x），x∈Z}∴y=f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y=g（x）一次函数，图象是过一定点（-1，0）的动直线．又∵x∈Z，a＞0．数形结合，可得：．故答案为：（，]因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f（x）＜g（x）的形式，然后数形结合来解答，需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．16.【答案】1【解析】解：建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，-1），B（1，-1），D（-1，1），P（，），所以=（+1，sinθ+1），=（2，0），=（0，2），又，所以，则=，其几何意义为过点E（-3，-2）与点P（cosθ，sinθ）的直线的斜率，设直线方程为y+2=k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2=1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1由平面向量的坐标运算得：则A（-1，-1），B（1，-1），D（-1，1），P（，），所以=（+1，sinθ+1），=（2，0），=（0，2），又，所以，则=，其几何意义为过点E（-3，-2）与点P（cosθ，sinθ）的直线的斜率，由点到直线的距离得：设直线方程为y+2=k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2=1，由点到直线的距离有：，解得：，即的最大值是1，得解本题考查了平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属难度较大的题型17.【答案】解：（1）∵C=π-（A+B），tan A=，tan B=，∴tan C=-tan（A+B）=-=-1，又∵0＜C＜π，∴C=；（2）由tan A==，sin2A+cos2A=1且A∈（0，），得sin A=．∵，∴BC=AB•=．即最小边的边长为．【解析】（1）利用tan C=-tan（A+B）=-，求出内角C的大小；（2）先求出sin A=，再利用，求出最小边的边长．本题考查正弦定理的应用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，比较基础．18.【答案】解：（1）由题意，S侧=2π•2•AA1=16π，解得AA1=4，在△AOP中，OA=OP=2，∠AOP=120°，所以，在△BOP中，OB=OP=2，∠BOP=60°，所以BP=2，∵AB是圆O的直径，∴AP⊥BP．∴．（2）因为AA1⊥底面PAB，所以∠APA1是直线A1P与底面PAB所成的角，在Rt△APA1中，，，即直线A1P与底面PAB所成角的大小为．【解析】（1）根据侧面积公式计算圆柱的高，在底面中，根据等腰三角形知识求出AP ，BP，带入棱锥的体积公式计算体积；（2）在Rt△AA1P中计算∠A1PA．本题考查了棱锥的体积计算，直线与平面所成角的计算，属于中档题．19.【答案】解：（1）令≥5，解得t≥4+2ln5≈7.2，即需要经过8年，该树的高度才能超过5米；（2）当t∈时，=，设e-0.5t+2=u，则u∈（0，e2]，．令，则．上式当且仅当时，g（u）取得最大值．此时，u=e-0.25，即e-0.5t+2=e-0.25，解得t=4.5．由于要求t为正整数，故树木长高最快的t可能值为4或5，又，，所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．【解析】本题主要考查函数的应用问题，利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．属于中档题.（1）解不等式f（t）≥5即可;（2）利用作差法求出f（t）-f（t-1）的表达式，判断函数的单调性和最值即可．20.【答案】解：（1）当m=k=1时，联立，解之得：或，即M（0，1），N（，）；证明：（2）当m=2时联立，消去y得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由，，且点E的横坐标为0，得x1=λ（x1+1）、x2=μ（x2+1）．从而，则==，即λ+μ为定值3；解：（3）当m=3时，椭圆Γ：，假设存在直线l：y=k（x+1）满足题意，则△MNF的内切圆的半径为，又D（-1，0）、F（1，0）为椭圆Γ的焦点，故△MNF的周长为8，从而，消去y，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则．故，即．由（2），得，化简，得17k4+k2-18=0，解得k=±1，故存在直线l：y=±（x+1）满足题意．【解析】（1）代值联立方程组．解得即可求出，（2）联立方程，利用韦达定理，以及向量的知识可得从而，化简整理即可证明，（3）假设存在直线l：y=k（x+1）满足题意，则△MNF的内切圆的半径为，根据韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，即可求出k的值本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计算公式、考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）{a n}不一定为等差数列，如，则b n=2为常数列，但{a n}不是等差数列，（2）设数列{a n}的公比为q，则由题意，a1、q均为正整数，因为a3-a2=6，所以a1q（q-1）=6=1×2×3，解得或，故或（n∈N*），①当时，，，==；②当时，，，==；综上，的值为或；（3）由a2n≤a2n-1且a2n≤a2n+1得，=故有：，，……，累加得：==，又a1=1，所以，当n为奇数时，{a n}单调递增，a n＞0，，当n为偶数时，{a n}单调递减，a n＜0，，从而|a n|≤，所以M≥，即M的最小值为．【解析】（1）{a n}不一定为等差数列，如；（2）设数列{a n}的公比为q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求值；（3）由累加法可得数列{a n}的通项公式，讨论n为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立思想可得M的最小值．本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于难题．。

2024年上海金山区高三二模数学试卷和答案

上海金山区2023-2024学年第二学期质量监控高三数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）（答案请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合{}1,3,5,7,9M =，{}2=8xN x =，则M N = ___________．2．已知向量(1,3)a =- ，(,1)b m =r ，若a b ⊥，则实数m 的值为___________．3．函数22log 1xy x+=-的定义域是___________．4．已知复数z 满足23i z z +=-，则z 的模为___________．5．设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202420226S S -=，则2024a =___________．6．若长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥E BCD-的体积是___________．7．设32()f x x ax x =++(a ∈R )，若()y f x =为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为___________．8．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)，给定的四点1(4,3)P -、2(3,4)P 、3(4,3)P -、4(2,0)P -中恰有三个点在双曲线C 上，则该双曲线C 的离心率是___________．9．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如右图所示列联表：取显著性水平0.05=α，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则m (m 440，m ∈N )的最小值为___________．(参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；参考值：2( 3.841)0.05P χ≈ ）10．在()()5311x y ++的展开式中，记mnx y 项的系数为(),f m n ，则()()3,02,1=f f +___________．11．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC 、CD 是救生栈道的一部分，其中300m BC =，800m CD =，B 在A 的北偏东30︒方向，C 在A 的正北方向，D 在A 的北偏西80︒方向，且90B ∠=︒．若救生艇在A 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B C D --，则最短距离为___________m ．(结果精确到1m)12．已知平面向量a 、b 、c 满足：||||1a b == ，1a c b c ⋅=⋅=，则2a b c ⋅+ 的最小值为___________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆221164x y +=的一个顶点，则p 的值为()．(A)2(B)3(C)4(D)814．下列说法不正确的是()．(A)一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14(B)若随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(4)0.7P X = ，则(34)0.2P X <<=(C)若线性相关系数r 越接近1，则两个变量的线性相关程度越高(D)对具有线性相关关系的变量x 、y ，且回归方程为0.3y x m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4-（第11题图）（第9题图）15．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则以下命题中正确的是()．(A)BM EN=(B)CD MN ⊥(C)A 、M 、N 三点共线(D)直线BM 与EN 相交16．设3(3)f x x x -=，有如下两个命题：①函数()y f x =的图像与圆221x y +=有且只有两个公共点；②存在唯一的正方形ABCD ，其四个顶点都在函数()y f x =的图像上．则下列说法正确的是()．(A)①正确，②正确(B)①正确，②不正确(C)①不正确，②正确(D)①不正确，②不正确三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R ．（1）若函数()y f x =的最小正周期为π，当π()16f =时，求ω和ϕ的值；（2）若=1ω，π=6ϕ，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，点G 是 DF的中点，点P 在 CE上，异面直线BP 与AD 所成的角是30︒．（1）求证：AE BP ⊥；（2）若3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小．（第18题图）（第15题图）19．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分）有标号依次为1，2，…，n (2n ，n ∈N )的n 个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从1-n 号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止．（1）当2n =时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）设n 号盒子中红球个数为随机变量n X ，求3X 的分布及[]3E X ，并猜想[]n E X 的值（无需证明此猜想）．20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，直线l 与椭圆Γ交于不同的两点11(,)M x y 、22(,)N x y ．（1）证明：点M 到右焦点F 的距离为122x -；（2）设点1(0,)2Q ，当直线l 的斜率为12，且QF 与QM QN + 平行时，求直线l 的方程；（3）当直线l 与x 轴不垂直，且△MNF 的周长为4时，试判断直线l 与圆22:3C x y +=的位置关系，并证明你的结论．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域D ．若存在常数a (a ∈R )，使得对于任意的1x D ∈，都存在2x D ∈，满足12()()f x g x a +=，则称函数()y g x =是函数()y f x =关于a 的“S 函数”．（1）若()ln f x x =，()e xg x =，试判断函数()y g x =是否是()y f x =关于0的“S 函数”，并说明理由；（2）若函数()y f x =与()y g x =均存在最大值与最小值，且函数()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，()y f x =又是()y g x =关于a 的“S 函数”，证明：min max [()][()]f x g x a +=；（3）已知()|1|f x x =-，()g x =，其定义域均为[0,]t ．给定正实数t ，若存在唯一的a ，使得()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，求t 的所有可能值．评分标准参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．{}3；2．3；3．(2,1)-；4．；5．4；6．10；7．y x =；8．72；9．44；10．40；11．475；12．1-．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．D；14．A；15．D；16．B．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（1）因为函数()y f x =的最小正周期2ππω=，所以2ω=．…………3分当π6x =时，πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π()32k k ϕ+=+∈Ζ，得π2π()6k k ϕ=+∈Ζ，因为0πϕ<<，所以取0k =得π6ϕ=．…………6分（2）当=1ω，π=6ϕ时，()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，设()πsin [1,1]6t f x x ⎛⎫==+∈- ⎪⎝⎭．由题意得，220t t a --=在[1,1]x ∈-有解．…………8分解法一：化简得22a t t =-．又因为2()2g t t t =-在[1,1]t ∈-上严格减，…………10分所以[1,3]a ∈-．…………14分解法二：记2()2g t t t a =--,由根的分布可得()010g ∆⎧⎨-⎩，，…………10分所以[1,3]a ∈-．…………14分18．（1）因为//AD BC ，所以CBP ∠是直线BP 与AD 所成角，为30︒，…………2分所以1203090EBP ∠=︒-︒=︒，得BP BE ⊥，又因为AB BP ⊥，且BE AB B = ，所以BP ⊥平面ABEF ，…………4分由AE ⊂平面ABEF ，得AE BP ⊥．…………6分（2）解法一：取 EC的中点H ，连接EH ，GH ，CH ．因为120EBC ∠=︒，所以四边形BEHC 为菱形，所以223213AE GE AC GC ====+=．取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ．则EM AG ⊥，CM AG ⊥，所以EMC ∠为所求二面角的平面角．…………10分又1AM =，所以13123EM CM ==-=．在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，所以23EC =，因此EMC ∆为等边三角形，故所求的角为60︒．…………14分解法二：以B 为坐标原点，分别以BE 、BP 、BA的方向为x 、y 、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得(0,0,3)A ，(2,0,0)E ，(1,3,3)G ，(1,3,0)C -，故(2,0,3)AE =- ，(1,3,0)AG = ，(2,0,3)CG =，设1111(,,)n u v w =是平面ACG 的一个法向量．由1100n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得111130230u v u w ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取12w =-22z =-，可得平面ACG 的一个法向量1(3,3,2)n =--．…………8分设2222(,,)n u v w =是平面AEG 的一个法向量．由2200n AE n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得22222300u w u -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取22w =，可得平面AEG的一个法向量2(3,2)n =．…………10分所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>==⋅．因此所求的角为60︒．…………14分19．（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为621133C C 3C 5P ⨯==；…………5分（2）由题可知3X 可取1,2,3，()2211233323222264643C C C C C 11C C C C 5P X ==⨯+⨯=，…………7分()2211233332322226464C C C C C 13C C C C 5P X ==+⨯=，…………9分()()()333321135P X P X P X ==-=-==，…………11分所以3号盒子里的红球的个数3X 的分布列为123131555⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，…………12分3131[]1232555E X =⨯+⨯+⨯=．…………13分猜想[]2n E X =．…………14分20．（1）由(1,0)F ，得 (2)分11 ||2222x x MF====-=-…………4分（2）设直线l的方程为12y x m=+，联立221,431,2x yy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y，得2230x mx m++-=．由224(3)0m m∆=-->，得22m-<<．从而12x x m+=-，121213()222my y x x m+=++=． (6)分又1(1,)2QF=-，12123(,1)(,1)2mQM QN x x y y m+=++-=-．由QF与QM QN+平行，得31(11)()22m m⨯-=-⨯-， (8)分解得1m=，故直线l的方程为112y x=+．…………10分（3）设直线l的方程为y kx m=+，联立221,43,x yy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y，得222(34)84120k x kmx m+++-=，从而12221228,34412.34kmx xkmx xk⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由||||||4MF NF MN++=，得1222||422x x MN⎛⎫⎛⎫-+-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12||2x xMN+=， (12)分亦即218234km k ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭，化简，整理得4222212219340k k m k m ++--=，即222(34)(33)0k k m ++-=，从而223(1)m k =+． (15)分又圆心C 到直线l 的距离d r ====，故直线l 与圆C 相切． (18)分21．（1）()y g x =不是()y f x =关于0的“S 函数”．…………2分解法一：当11x >时，21ln 0x x e +>，所以不存在2x ，使得()()120f x g x +=……4分解法二：因为函数()e x g x =(0x >)的值域为(1,)+∞，比如取1e x =，则1()1f x =，不存在2x ，使得21e 0x +=．…………4分（2）设1min ()[()]f x f x =．由题意，存在1x D ∈，使得1min ()[()]f x f x =．因为函数()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，所以存在2x D ∈，满足min 2[()]()f x g x a +=，从而min max min 2[()][()][()]()f x g x f x g x a ++=．…………6分同理，由()y f x =是()y g x =关于a 的“S 函数”，可得max min [()][()]a g x f x +，…………8分综上，min max [()][()]f x g x a +=． (10)分（3）记集合{|()[0},],A y y f x x t ∈==，[0,]{|(),}B y y a g x t x ∈==-．由()y g x =是()y f x =关于a 的“S 函数”，得A B ⊆．①当01t <<时，[1,1]A t =-，[]B a a =，高中11从而11,t a a ⎧-⎪⎨⎪⎩解得11a t -+ ．因a 唯一，令11t -+=，解得0t =(舍)或1t =(舍)．…………12分②当12t 时，[0,1]A =，[]B a a =-，从而,1,0a a ⎧⎪⎨⎪⎩解得1a 因a1=，解得1t =，符合题意．…………14分③当2t >时，[0,1]A t =-，[]B a a =，从而0,1,a a t ⎧⎪⎨⎪⎩-解得1t a - ．因a 唯一，1t =-，解得352t +=，符合题意．…………16分综上，t 的所有可能值为1或352+．………18分。

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